CC BY
65
Построение и анализ математической модели на линиях концентрации трафика
Построена и исследована модель совместной передачи трафика сервисов реального Ключевые слова: Мультисервисные модели, времени и пачечного трафика данных, допускающего задержку. Трафик реального времени
трафик реального пачечный трафик имеет абсолютное преимущество в занятии и использовании канального ресурса. Даны
данны1х определения основным показателям качества совместного обслуживания заявок.
До Суан Тху,
аспирант кафедры "Автоматической электросвязи", МТУСИ, thudx@mail.ru5
Введение
В анализируемой системе связи исследование процесса обслуживания информационных сообщений в сети происходит на уровне соединения. При построении модели и ее последующем анализе будем использовать традиционные предположения, которые применяются для этих целей в теории и практике телетрафика. Для этого необходимо, исходя из функционального описания модели, определиться со схемой потока поступающих заявок и с моделью занятия канального ресурса линии концентрации трафика на обслуживание поступившей -заявки. Будем считать, что для рассматриваемого сегмента мультисер-висной сети справедливы предположения о возможности использования пуассоновской модели входного потока заявок с интенсивностью поступления заявок и потребностями в канальном ресурсе, зависящими от номера анализируемого потока. Данное предположение можно считать справедливым в гранзитной части сети, где происходит смешивание большого числа потоков заявок.
В модели будет исследовано три типа информационных потоков:
• пуассоновский поток заявок на выделение канального ресурса от абонентов, требующих установления голосового соединения,
• пуассоновский поток заявок на выделение канального ресурса от абонентов, требующих установления широкополосного соединения для передачи видео,
• пуассоновский поток заявок на выделение канального ресурса от абонентов, требующих установления соединения для передачи трафика сети Интернет.
Времена занятия канального ресурса на обслуживание всех трех видов поступающих сообщений будем считать имеющим экспоненциальное распределение.
Первые два введенных потоков заявок относятся к передаче трафика сервисов реального времени и должны быть обслужены с минимальной задержкой. В то же время при обслуживании заявки на передачу трафика сети Интернет, который поступает макропакетами, допускается некоторая задержка при транспортировке соответствующей информации по сети. Каждый макропакет представляет собой сгущение в поступлении 1Р-пакетов рассматриваемой сессии связи с сетью Интернет. Предположим, что заявки на передачу трафика сервисов реального времени имеют абсолютный приоритет в занятии канального ресурса. Из данного утверждения следует, что в ситуации нехватки некоторого числа единиц канального ресурса
для обслуживания поступившей приоритетной заявки, требуемое число единиц канального ресурса может быть освобождено, если оно в настоящий момент занято обслуживанием трафика сети Интернет.
В соответствии с обсуждением, проведенным выше, информационные сообщения, вытесненные с передачи, уходят на ожидание в буфер. Будем предполагать, что размеры буфера ограничены. По мере появления свободных канальных единиц на линии, ожидающие макропакеты переходят на передачу, реализуя модель «первый в очереди - первый на обслуживание». Будем считать, что обслуживание макропакета в момент его повторной постановки на передачу начинается заново и при этом для его обслуживания требуется одна канальная единица. Предположим, что макропакет может попасть в буфер также и в момент блокировки, когда все канальные единицы заняты. Положим, что время пребывания макропакета в буфере ограничено и не превосходит некоторой величины, имеющей экспоненциальное распределение. После неудачного завершения времени ожидания сообщение считается потерянным и не возобновляется. Исследование модели ведется в соответствии с положениями [1-2].
Входные параметры модели. Обозначим через V -скорость передачи информации мультисервисной линии, выраженной в единицах канального ресурса. На линию поступает два потока заявок для передачи трафика сервисов реального времени и поток заявок на передачу графика данных, допускающих возможность задержки в пересылке информации. В соответствии с предположениями, сформулированными в предыдущем разделе, поступление заявок всех типов подчиняется закону Пуассона. Введём обозначения для параметров к-го потока заявок на передачу трафика реального времени. Пусть Л/ - интенсивность поступления заявок на выделение канального ресурса от абонентов, требующих установления голосового соединения, \1/( ///,)] - среднее время их обслуживания, Ь/ - число единиц ресурса, используемых для обслуживания одной заявки. Пусть Л2 - интенсивность поступления заявок на выделение канального ресурса от абонентов, требующих установления широкополосного соединения для передачи видео, [1/( Цт)\ ~ среднее время их обслуживания, Ь^ - число единиц ресурса, используемых для обслуживания одной заявки. Время обслуживания заявок на передачу трафика реального времени имеет экспоненциальное распределение с соответствующим параметром.
Обозначим через ^ интенсивность поступления заявок на передачу трафика данных. Каждой заявке соответствует пачка, состоящая из фиксированного числа макропакетов. В соответствии с обсуждением, проведенным в предыдущем разделе, предположим, что с вероятностью /
поступившая пачка содержит ровно s макропакетов. Для передачи каждого из s поступивших макропакетов используется единичный ресурс линии. Для удобства записи последующих формул будем предполагать, что индекс s для f меняется от 1 до v+L, где L - объем буфера, т.е. максимально возможное число макропакетов, которые одновременно могут находиться на ожидании. Таким образом, поступившая пачка не может быть пустой, и её объём не превосходит суммы имеющегося канального ресурса линии и объёма буфера. Обозначим через bj среднее число макропакетов, содержащихся в одной заявке. Величина bj находится из выражения ^ ' /■ v
d s=I ■’ ’
Если при поступлении пачки, состоящей из s макропакетов, имеется достаточный объём ресурса, то s канальных единиц занимаются на время передачи поступивших макропакетов. Время занятия каждой единицы ресурса имеет экспоненциальное распределение с параметром //«/. Если ресурса для передачи всей поступившей пачки не хватает, то занимается имеющийся свободный ресурс, а оставшиеся макропакегы, составляющие пачку, уходят на свободные места ожидания, а если и их не хватает, то избыток макропакетов теряется без возобновления. Время пребывания макропакета на ожидании ограничено случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение с параметром ст.
Математическое описание модели. Оно выполняется с использованием понятий теории вероятностей. Введём соответствующие компоненты марковского процесса, которые задают динамику изменения состояния занятых каналов и мест в буфере. Пусть ij(t) - число заявок на выделение канального ресурса от абонентов, требующих установления голосового соединения, находящихся в момент времени I на обслуживании, ¡¡(I) - число заявок на выделение канального ресурса от абонентов, требующих установления широкополосного соединения для передачи видео, и находящихся в момент времени / на обслуживании, d(t) - число макропакетов, находящихся в момент времени I на передаче и ожидании.
Динамика изменения общего числа обслуживаемых заявок и макропакетов описывается трехмерным случайным процессом r(t) = (i,(t),i2(0.d(t)), определённым на конечном пространстве состояний S. Во множество S включены вектора (ii,h>d) с компонентами ii,ij,d, принимающими значения
v • / =0,1,...,
(1)
/, =0,1,...,
= -¡2Ь2
где скобки ].[ обозначают целую часть от соответствующего выражения.
Поскольку все реализуемые в модели случайные величины, определяющие длительности интервалов времени между поступлением заявок и длительности их обслуживания, имеют экспоненциальное распределение и не зависят друг от друга, то случайный процесс, описывающий функционирование модели, является марковским и может исследоваться в стационарном режиме. Для существования стационарного режима достаточно потребовать выполнения условия об ограниченности длины очереди ожидающих макропакетов или ограниченности длительности интервала времени, ограничивающего время пре-
бывания макропакета на ожидании. Если величина очереди ожидающих макропакетов не ограничена и отсутствует ограничение на время пребывания в буфере, то интенсивность поступления заявок на передачу данных ограничена максимальной пропускной способностью линии, которая может быть использована для передачи макропакетов.
Обозначим через р(іі,і2,с!) стационарные вероятности СОСТОЯНИЙ (¡І,І2,СІ). Соответствующие величины р(Іі,І2,СІ) интерпретируются как доля времени пребывания системы в состоянии (іі,і2,сі'), где і/ - число заявок на выделение канального ресурса ог абонентов, требующих установления голосового соединения, и находящихся в стационарном режиме на обслуживании, і2 - число заявок на выделение канального ресурса от абонентов, требующих установления широкополосного соединения для передачи видео, и находящихся в стационарном режиме на обслуживании, (1 - число макропакетов, находящихся в стационарном режиме на передаче и ожидании. Используя данную интерпретацию значений стационарных вероятностей р(і/,і2.сі) можно дать определение для основных показателей качества совместного обслуживания заявок, а затем найти их численные значения построив и решив систему уравнений статистического равновесия.
Показатели обслуживания заявок на передачу трафика реального времени Основными показателями качества обслуживания заявок на получение сервисов реального времени будет доля отказов в выделении канального ресурса, определяемая как доля заявок соответствующего потока, для которых используемый на сети механизм управления допуском отказал в занятии необходимого объема канального ресурса, л, и я>
її. -
її2 =
, I p(iri2’d),
{(^,/2,i/)eS|/+6]>v}
£ p(ivi2,d).
| ( t, ,/2 ,d)eS\i+b2 > v}
В рассматриваемой модели различаются три причины потери макропакетов:
• потери макропакетов из-за отсутствия свободного ресурса линии и занятости всех мест ожидания,
• потери макроиакетов, вытесненных из обслуживания поступившей приоритетной заявкой на передачу трафика речевого сообщения или поступившей приоритетной заявкой на обслуживание трафика широкополосного соединения для передачи видео и потерянных из-за занятости всех Ь имеющихся мест ожидания,
• потери макропакетов из-за неудачного завершения времени ожидания.
Обозначим соответствующие доли потерянных макропакетов как л*, я), ли- Отдельные составляющие доли потерянных макропакетов определяются из следующих формальных построений [1,2].
I I
(/,,/,,¿/-5)65\1+с! = у+£ I
л =------- X р(1г12,с1)хЛ](1+с]+Ь]-у-1;)+
ЛА/ \^'г'2,(1)е8 1 у+1^,<'+Ь,^у} ‘
\
+ X /?(|'1,/2,</)хЛ2(|-к/+62—V—¿)
{(¡1,12,с1)е51 у+ЫМ+Ь,<у} " ” у
7Ге)=—— I /?(/, ,/2 ,с/)(/ + с/ — V).
^ ЛА {(/|,/'2,^)б5|/+^>у}
После того, как найдены все составляющие доли потерянных пакетов, можно дать определение для общей доли потерянных макропакетов л^. Для этого достаточно сложить полученные выражения для отдельных составляющих данной характеристики. Получаем = тгь+Щ+тг,,,. Из приведенного соотношения следует, что доля л), макропакетов, успешно доставленных по назначению, находится как величина, дополнительная к л,/. Отсюда получаем такое соотношение я* = 1-Ль-Щ-п^.
Среднее число /и, канальных единиц линии, занятых передачей макропакетов, определяется как соответствующее среднее значение
т = X р(1г12,с])(]+ I р(»|,12,</)(у-/).
{(/,,/, ,£/)е5|/+^<у} {(/, )е5|/+</>у}
Среднее число т„. мест ожидания, занятых макропакетами, определяется как соответствующее среднее значение
т(0 = £ р(й, ¡2, £/)(/ + ^ - V).
{(^¿,,£/)е5|/+г/>у}
Среднее время 7/, доставки макропакета (среднее время нахождения макропакета в ожидании и на передаче) в соответствии с формулой Литтла определяется как отношение
т +т
Заключение. Полученные формальные выражения для показателей обслуживания заявок на выделение канального ресурса от абонентов, требующих установления голосового соединения, или требующих установления широкополосного соединения для передачи видео, или получающих данные сети Интернет, выражены через значения стационарных вероятностей p(ii,i>,d)- Таким образом, для оценки этих показателей достаточно построить и решить стандартными методами систему уравнений статистического равновесия, связывающие значения p(it,i2,d)-
Литература
1. Ross K.W. Multiservice loss models for broadband telecommunication networks. - London: Springer, 1995.
2. Степанов C.H. Основы телетрафика мультисервисных сетей - М.: Эко-Трендз, 2010.
3. Stepanov S.N. Fundamentals of teletraffic multiservice networks - М.: Eko-Trendz, 2010.
CONSTRUCTION AND ANALYSIS OF MODELS ON THE LINES OF TRAFFIC CONCENTRATION Do Xuan Thu, Moscow Technical University Of Communications And Informatics
Abstract
The model of concurrent servicing of real time traffic and batch arrival data traffic with possibility of waiting is constructed and studied. Real time traffic has absolute priority in occupying of channel resource. The model's main performance measures are defined.
Key words: Multiservice models, real time traffic, batch arrival data traffic
