ПОСТРОЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО АНАЛОГА ЦЕНТРИРОВАННОЙ ВОЛНЫ РИМАНА В НЕСТАЦИОНАРНЫХ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ТРЁХМЕРНЫХ И ЗЭНТРОПИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95+533.6 DOI 10.24147/2222-8772.2021.1.81-95

ПОСТРОЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО АНАЛОГА ЦЕНТРИРОВАННОЙ ВОЛНЫ РИМАНА В НЕСТАЦИОНАРНЫХ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ТРЁХМЕРНЫХ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ

С.Л. Дерябин1

профессор, д.ф.-м.н., e-mail: SDeryabin@usurt.ru

А.В. Мезенцев1 доцент, к.ф.-м.н., e-mail: AMezentsev@usurt.ru А.С. Кирьянова2

м.н.с., e-mail: kiryanova@imach.uran.ru

Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), Екатеринбург,

Россия

2ФГБУН «Институт машиноведения Уральского отделения Российской академии наук» (ИМАШ УрО РАН), Екатеринбург, Россия

1

Аннотация. Течения газа, примыкающие к вакууму, рассматривались ранее [1-5]. Также исследовались математические модели мелкой воды [67]. Подробный обзор полученных результатов можно найти в [1-3]. Среди задач об истечении газа в вакуум выделяется задача о распаде специального разрыва. Впервые эту задачу решил Риман для плоско-симметричных течений. Пусть справа от непроницаемой поверхности х = 0 находится покоящийся газ, а слева — вакуум. В момент времени £ = 0 непроницаемая стенка х = 0 мгновенно разрушается и начинается истечение газа в вакуум. Эта задача называется задачей о распаде специального разрыва. Введя в системе уравнений газовой динамики автомодельную переменную у = |, Риман нашёл точное решение [8], которое получило название центрированной волны Римана. В дальнейшем попытки построения многомерных течений с использованием автомодельной переменной успеха не имели. В данной работе с помощью введения нестационарных автомодельных переменных будет построено решение задачи о распаде специального разрыва в физическом пространстве.

Ключевые слова: политропный газ, вакуум, сила тяжести, система уравнений газовой динамики, граница газ-вакуум, задача о распаде специального разрыва, центрированная волна, начально-краевая задача, звуковая характеристика.

1. Постановка задачи

Будут рассматриваться трёхмерные изэнтропические течения политропного

7-1

газа со следующими искомыми газодинамическими параметрами: с = р 2 — скорость звука газа; U = {u1,u2,w} — вектор скорости газа; t,x,y,z — независимые переменные. Здесь: р — плотность газа; 7>1 — показатель политропы газа.

Пусть в момент t = 0 вертикальная непроницаемая стенка Г отделяет идеальный политропный покоящийся газ от вакуума. В задаче предполагается, что на газ действует сила тяжести. Будет предполагаться, что в начальный момент времени t = 0 на стенке Г функция с|г > 0, то есть имеет место разрыв плотности газа.

В момент t = 0 непроницаемая стенка Г мгновенно разрушается и начинается истечение газа в вакуум. В результате распада разрыва возникает волна разрежения, отделённая от области покоящегося газа поверхностью Г12, являющейся звуковой характеристикой этих течений, на ней имеет место слабый разрыв. С другой стороны волна разрежения примыкает к вакууму через свободную границу Г02.

В данной работе будут строиться законы движения: свободной поверхности Г02, звуковой характеристики Г12 волны разрежения.

Система уравнений, описывающая изэнтропические течения идеального по-литропного газа в форме Громека-Ламба в условиях действия силы тяжести, имеет вид [6]:

ct + U ■ grade + 1-1 с ■ divU = 0,

(1.1)

Ut + rotU x U + 2gradU2 + ^с ■ grade = F,

где F = {0,0, — g}, g — ускорение свободного падения.

Если в системе (1.1) положить u1 = u2 = w = 0, то первые три уравнения

2

выполняются тождественно, а в четвёртом уравнении получим ccz = —д.

Интегрируя полученное уравнение, имеем с = c°(z) = \Jс0о — (7 — 1)gz — распределение скорости звука покоящегося газа. Здесь с00 — скорость звука покоящегося газа при z = 0.

Далее волна разрежения строится для значений z из интервала

р2

0 ^ г ^ 7-^00—. (1.2)

Конфигурация течения в окрестности непроницаемой стенки z = 0 и верхней границы газ-вакуум рассматриваться не будут.

Как и в работе [5], пусть линия L задаётся параметрически

Ж = фl(0, У = Ф2 (£).

Или в векторной форме r = r(£).

Делается переход от декартовых координат х,у,г к новым ортогональным криволинейным координатам £по следующим формулам:

х = ф1(С) + mlЮ, У = ф2(0 + ), г = г .

Или в векторной форме И. = г(£) + г]п(£).

Тогда система уравнений (1.1) для данной криволинейной системы координат имеет вид [5]:

ct + cv u + c^v + c^ w + 1-1 с(щ + + wz + ^fu) = 0, ut + щu + -¡^щь + uzw - v2 + :—¡ccv = 0, vt + Vv u + -Щ v^v + vzw + ^ uv + ^-j j^CCt = 0,

(1.3)

+ ыщп + ¿^ЩУ + + —Хссх = -д.

Здесь и,ь,т — проекции вектора скорости газа на координатные оси г],£,г соответственно. В этой системе координат переменная г сохраняется, и поэтому в качестве неизвестной функции сохраняется третья координата вектора скорости газа • .

Закон движения характеристики Г12 (г/ = щ(Ьг)) определяется из решения дифференциальной задачи [6]

Vot = c°(z)^i + + Vi, Vo(0¿, z) = 0. (1.4)

Здесь НО = |r? |[1 -km(tz)].

Задача по теореме Ковалевской имеет единственное аналитическое решение. Представим это решение в виде ряда по степеням t

í k

í]oit^ = Vok (С, z) ^. (1.5)

k=0 '

Из уравнения (1.4) и начальных условий имеем

щоа, Z) = 0, roid, Z) = c0(z). Продифференцируем по t уравнение (1.4), получим

2H2C0(Z) 2

0 VozVotz + VotVoz - Ш0)3 Щ Vott = c0(z)- 2

-y/1 + (H°)2 fioa + Voz

)2

Отсюда Щ2(С, = 0, поскольку г)оог = щоц = 0.

Дальнейшее построение коэффициентов ряда (1.5) приводит к Лемма 1.1. Коэффициенты ряда (1.5) с чётными номерами равны нулю, то есть щ2к = 0.

Лемма доказывается индукцией по к. База индукции следует из структуры начальных коэффициентов ряда (1.5). Далее после индуктивного предположения следующее дифференцирование уравнения (1.4) приводит к нулевой правой части соответствующего коэффициента.

Единственное аналитическое решение задачи (1.4) позволяет записать начальные данные на характеристике Г12:

«|Г12 = 0, и|г12 = 0, Игх2 = 0, с|г12 = c°(z). (1.6)

В системе (1.3) сделаем следующую замену переменных:

t = t , £ = £', z = z , у = ^

Тогда производные пересчитаются по формулам:

д 1 д д д у д д д д д

d'q t' ду} dt dt' t' ду} д£'' dz dz''

В дальнейшем штрих опускается.

В результате такой замены вместо системы (1.3) после преобразований получается система:

(и - у)су + J--Jс(иу + t[ct + |i2с€v + w+

+¥ c( Щ ^ +^ +1i «)] = o,

(u - у)иу + ССу + t(ut + Щщv + uzw - Щ V2) = 0, (1.7)

(U - y)Vy + t(Vt + Щ VtV + VzW + ffUV + Щ ССс) = 0,

(и — у)ту + + 7Ш):V + ^т + ф^ссг) = —дЬ. В новых переменных Н2 = |г?|(1 — к(^)Ьу), линия Г! : у = где

Уо^, С, г) = с0(г) + г)3 + ... + Локг)+ ...

аналитическая функция.

Тогда условия (1.6) перепишутся в виде

и^о^) = У^уо^^) = ы1У=У0 (¿¿л = 0 С^уо^,^) = С0(г). (1.8)

2. Построение волны разрежения

Построим формальное решение задачи (1.7)-(1.8) в виде ряда по степеням t.

4-П

f (t,C,Z,y) = Y, fn (C,Z,y) -:, f = iv,U,V,w}. (2.1)

П!

n=0

В системе (1.4) положим Ь = 0, получим уравнения для определения нулевых коэффициентов ряда (2.1)

(2.2)

(uo - у) Coy + 1-1Couoy = 0, (uo - у)щу + CCoy = 0, (uo - y)Voy = 0, (uo - y)woy = 0.

Из третьего и четвёртого уравнений системы (2.2) имеем

Voy = 0, woy = 0,

и, следовательно,

Vo = Voo(í, z), wo = woo(C, z). Учитывая условия (1.8), получим

vo = 0, wo = 0.

Если в первых двух уравнениях системы (2.2) определитель перед производными по у не равен нулю, то с учётом (1.8) получается фоновое течение uo = o = 0, o = o( ). Предполагая в дальнейшем, что определитель равен нулю, получаем

(uo - У)2 = c2o

или

uo - у = ± Co.

Учитывая условия (1.8), имеем

uo - у = - co. (2.3)

Продифференцируем соотношение (2.3) по у, будем иметь

щу = - Coy + 1.

Используя полученные соотношения, запишем второе уравнение системы (2.2) в виде

1 9 7 +1

°oy = 7Т~, 2а =--.

у 2 а 7 - 1

Интегрируя, имеем

со = —У + c°o(í, z).

Определяя произвольную функцию , z) с помощью условий (1.8), получим нулевые коэффициенты ряда (2.1):

со(£ ,*, у) = ¿ (У + ^ °(z)),

(2.4)

uo(Cу) = (у - c0(z)),

o( , , ) = 0,

wo(£у) =

Для дальнейшего построения коэффициентов ряда (2.1) потребуются следующие формулы:

cog = Щц = = woa = 0,

Coz = ^ c°o (z), Uoz = - ^ c^ Voz = Woz = 0, (25)

7-1 2A ()

Coy = i-! , Uoy = , Voy = Woy = 0,

#2^ = H* = |r? |, §0 = -k(0.

Для удобства дальнейшего исследования преобразуем систему (1.7). Второе уравнение системы умножим на и прибавим к первому уравнению, после преобразований получим эквивалентную систему:

(и - у + с)(су + 1—1 Uy) + t Ct + -1-ve? + wc^ + 1—1 с(jjfи + V

^ , ^^ , 2 н2 ^ 1 Н2

+1 К + -щVU£ + - ^V2) (и - у)иу + фССу + t(ut + ¿+ wuz - ^v2) = 0, (2.6)

(U - y)vy + t(Vt + ^+ WVZ + ^WW + ф ±CCz) = 0, (u - y)wy + t(wt + ¿+ wwz + ■1 ccz) = -gt.

Систему (2.6) продифференцируем по t, положим t = 0, с учётом (2.3), (2.5), получим

^11)(«1 + С1) + С1 + 1 «1 - -1 fccoMo = 0,

Г, = 0

(2.7)

-Co«1y + 1 CoC1y + С1 + «1 = 0 V1 - CoV1y = 0,

w1 — Со Ы!у + ф С0С0Х = —д.

После подстановки выражения для с0 в третье уравнение системы (2.7) будет иметь

[у + co(z)^ V1y - 2av1 = 0.

Проинтегрировав уравнение, получим

VI = у + с0(^ .

Учитывая (1.5), имеем = 0. Следовательно,

М£,*:,У) = 0.

После преобразований четвёртое уравнение системы (2.6) будет иметь вид

2 4 2

[У +-7)}Ы1У — = 2ад + —-- [у +--с0(г)}с0(х).

7 — 1 72 — 1 7 — 1

Выпишем решение третьего уравнения системы (2.6) в квадратурах

• = [У+ ^2~1С0(г)]2а(т1 о(С, г) +

+ ¡(ад + ф) 4(*)[У + ^М]) + ^(г)]-2«-^). Вычисляя интеграл, имеем

•1 = ы1о(С, %)[у + фгС0(г)Г - ^4(г)[у + фцС0(г)] - д.

Используя условия (1.8), найдём •ю(£,г). Положим • = 0 и у = с0(г), получим

2

[2ас0(г)Гы1о(£, г) = --- с0 (г) <»(г) + д.

(1 - 1)

В силу условий (1.2)

[2 ас0(г)]2аЫ1о(С, г) = 0,

и

, г) = 0.

Окончательно имеем

•1 = -с0(г)[у+ фпс0(г)] - д, (2.8)

Из первого уравнения системы (2.7) получаем

(7 + 5)(Т - 1) , - 1 7 - п

—К^+гТи1 + ЬТТ)С1 -~к(0 Соио =0.

Из данного соотношения, с учётом (2.4), находим и1

и = -+ (^+5—1+Г)к(0(У + ^(г))(у - с0(г))

или

и1 = -(—)-2+5)с1 + (^Ш+п)кШУ + ТЛС0(г))[(у + ^(г)) - 2ас0(г)]. Продифференцируем соотношение по

и- = - (7 -^^+5)^ + Ь2^^^ + - ^^

Тогда второе уравнение системы (2.7) перепишется в виде

(У + ф^Ы)-фц(1 + )С1У + ^(1 - )С1+

+т5$&Т>к(0Й(У + ТПс0Ш2(у + фпс0(г)) - 2ас0(г)])+ + 51к(0(У + ^(ШУ + фпс0(*)) - 2ас0(г)]) = 0.

После преобразований получим

(У + ¿т с0^))^ — асл

1

$$ Шу + Д ^))[(7 — 5)(у + Д + 8ас0(г)}).

Проинтегрировав уравнение, получим

при 7 = 3 7 = 3

С1 = С10(е, г)(у + ^+ №(У + ^Т#(*))2 +

+^ )(У + А с0^

при 7 = 3

С1 = сю(е, г)(у + с0) — т6ВДв + с0(^))2 + 4ВД(у + с0(г)) 1п(у + с0(г)),

при 7 = 33

С1 = С10(е, г)(у + 3с0(г))2 + 3к($(у + 3с0(г))21п(у + 3с0(г)) — 64к(£)(у + 3с0(г)).

Определяя произвольную функцию с10(^,г) с помощью условий (1.8), окончательно имеем

при 7 = 3 7 = 3

С1 = — к(С)с0(г) ^с0(г) + (2ас0(г))-(у + ^

7-1

+к(0(у + Д <?(*))2 + (^и кк )(У + А с0^

при 7 = 3

С1 = к(0 [(2с0(г) — т 1п(2с0(г)))(у + с0(г)) — ^(у + с0(г))2+ +т(у + с0(г))1п(у + с0(г))] ,

5

при 7 = 3

С1 = № (—[3 1п(4с0(г)) — ^}(у + 3с0(г))2+ + 3(у + 3с0(г))21п(у + 3с0(г)) — £(у + 3с0(г))) .

Систему (2.6) продифференцируем п раз по ¿, положим Ь = 0, с учётом (2.3), (2.5) получим

(ип + сп) + псп + 1-1 пип = Ры(£, г, у),

— С0Ппу + ^С0Спу + Сп + (п + )Мп = (2 9)

С0^ — Ьп = ^3п(С,^,у), — ™п = ^4п(С, У).

Здесь функции Р1га, Р2п, Р3п, Р4п — известным образом зависящие от уже найденных коэффициентов ряда (2.1).

Подставляя с^ в третье и четвёртое уравнения системы (2.9), имеем

(У + ^^(г))ъПу - 2аьп = 2аР3п(£, г, у),

)ипу

т—1С°(г))ыПу

Интегрируя эти уравнения, получим

(У + :^21с0(г))ыПу - 2аып = 2аР4п(£, г, у).

уп =[у+ фт1С0(г)]2ап[упо(£, г)+ 2 а/ Р3п(£, г, у)[у + ^с0 (г)]—2ап—1 % •п = [у + —Г1с0(г)]2ап[шп0(£,, %) + 2а / Р4п(£, г, у)[у + ——^0(г)]—2ап—1с

Из первого уравнения системы (2.9) находим ип и ипу

(2п+4)~/+2п-4 ^ , 2^+2

и<а

у2П+4)^!+2П-4 + 2^+2 Р

(п1+п+4)(^-1) Ьп + П-/+П+4 Р 1п, (2п+4)-/+2п—4 ^ . 2у+2

_ У2'П+4П + 2'П-4 | 2^+2 р

и"-у (пу+п+4)(-/—1) Ьпу + П1+П+4Г1пу .

Подставляя ип и ипу во второе уравнение системы (2.9), после преобразований имеем

2г г -Пг = (р + 2(-у+1) г Р 2(п(1+1)+2) Р \

2^0^пу п^п 2(п+1)(1+1) \Р2п + п(1+1)+4Ь0Р1пу п(^+1)+4 Р 1п) '

Подставляя 0 окончательно, получаем

2

[у+--- ср] сПу -апсп = РП(С ,г, у). (2.10)

- 1

Здесь Р V пЛ = (п1+п+4) (Р + 2(^+1) г Р 2(п(1+1)+2) Р \

Здесь Р44 ,*, у) = 4(п+1) + п(1+1)+4С0РЫу - пЬ+1)+4 Р1п) .

Тогда решение (2.10) запишется в виде

Сп = [У+ [с^, *) + ¡РП(С, у)[у+ ^(гУг^Чу

Произвольные функции сга0(£, г), уп0(£, г), ып0(^, г) определяются из условий (1.5). Для этого в ряды (2.1) положим V = • = 0, с= с0(г) у = у0(Ь, г), в результате имеем

с0(г) = с(1 ,£,г, ^,£, г)), 0 = у(1 ,С,г, У0(1,£, г)), 0 = •( , , , 0( , , )).

Дифференцируя эти соотношения по , подставляя = 0, получим алгебраические уравнения для определения сга0(£, г), Ук0(£, г), , г), имеющие вид:

[2ас0(г)]апсП0(С, = , г),

[2ас0(г)]2апуП0(£, г) = Q2n(^, г), (2.11)

[2ас0(г)]2ап тП0(С, г) = Qзn(C, *).

Здесь Q1n(£, г), Q2п(C, г), Я3п(С,г) — функции, известным образом зависящие от с0(г), к(0.

Так как с0(г) = 0, 2а = 0, то функции сп0(£, г), уп0(^, г), и>п0(£, г) определяются единственным образом.

Таким образом, построено в виде ряда (2.1) формальное решение задачи (1.7)-(1.8).

Построение волны разрежения в пространстве независимых переменных Ь, с, г

Для доказательства сходимости ряда (2.1) решение задачи о распаде специального разрыва построим в пространстве, где в системе (1.3) за независимые переменные берутся Ь,с,£, г, а за неизвестные функции — г/,и,у,ы. То есть переменные у и с меняются ролями [2]. Якобиан преобразования 7 = ус. В результате такой замены вместо системы (1.1) получается система:

щ = и — — щу — Г}2 ы + 3-1 с[ис + Г]с( — + ^ + —■ — — щус—

—Щ wc},

'Пс(щ + -щщи + и, ы — V2) + (и — щ — — щу — щт)ис+

+ Ас =0,

7-1 '

Г]с( щ + — у^у + Ухы + —■ иу) + (и — Г]г — Щ ЩУ — Щ ы) ус—

— Фг Щ-Ъ = 0

'1с(щ + ^ЩУ + + (и — щ — —0ЩУ — щы)тс— фсщ = —д щ

(2.12)

Щ Щ — — Щ 7-1 -2'

1 1 ^ -2'

Для полученной системы (2.12) начальные данные (1.6) на характеристике Г12 перепишутся в виде

м|Г12 = 0, ^г12 = 0, ы|г12 =0, г?|Г12 = г). (2.13)

Течение в области между Г12 и Г02 будем строить как решение системы (2.12) с данными на характеристике Г12 (2.13). Поскольку Г12 — характеристика кратности один, то для получения единственного локально-аналитического решения необходимо задать одно дополнительное условие. Этим условием в пространстве переменных , , , служит [2] соотношение

'П(0,с,С, г) = 0. (2.14)

Теорема 2.1 Существует ¿т такое, что при 0 ^ Ь ^ ¿т в некоторой окрестности Г12 существует единственное локально-аналитическое решение задачи (2.12)—(214) о распаде специального разрыва.

Доказательство теоремы состоит, как и в [1], в сведении, к теореме о существовании единственного аналитического решения у характеристической задачи Коши стандартного вида [10].

Теорема 2.2. Краевая задача (1.8), (1.9) эквивалентна начально-краевой задаче (2.12)-(2.14).

Доказательство.

Разложим решение задачи (2.12)-(2.14) в ряд по степеням t:

(И

Ф = Чт^^ z)— , q = {Г] ,u,v,w}. (2.15)

т!

т=0

В системе (3.2) положим t = 0 и с учётом (2.14) получим уравнения для определения нулевых коэффициентов ряда (2.15):

щ =Uo + У^СЩс,

2 u0c J-1, U0c V0c = 0,

UqcWQC = 0. Преобразуя уравнения, получаем

2

Щс = WQC = 0, Ul0c

1-1

Интегрируя с учётом (2.13), имеем

щ = 2ас--с0(г), и0 =-(с - (?(г)), ь0 = ы0 = 0.

7 - 1 7 - 1

Систему (2.12) продифференцируем по ¿, положим Ь = 0 с учётом (2.14) и найденных коэффициентов ряда, получим

Г]2 = Щ + сщ с,

си1с - аи1 = 0,

сю1с - 2аь1 = 0,

сы1С - 2аы1 = 2ад + ^^ с.

Интегрируя систему с учётом (3.13), имеем

2с°(г)

'42 = 0, щ = Ь1 = 0, Ы1 = --— с- д.

2 1 1 1 ( - 1)

Систему (2.12) продифференцируем т раз по ¿, положим Ь = 0 с учётом (2.14) и найденных коэффициентов ряда (2,15), получим

Т]т+1 = ит + ~^~—Гситс + С1т(C, ^ г) ,

сите - атит = С2т(С, г), сьтс - 2атут = С3т(с, С, г), сытс - 2атыт = С4т(с, С, г).

Здесь Стт(с, г), С2ш(с, £, г), С-3т(с, С, г), С4т(с, г) — функции, известным образом зависящие от уже найденных коэффициентов ряда (2.15).

Интегрируя систему, имеем

иш(с,£, г) = саш(щш(£, г) + / С2ш(с,^, г)с-аш-Чс), Уш( с,£, г) = с2"ш(^ш (£, г) + / ^3ш( с,£, г) с-2аш-Чс), ыш(с,£, г) = с2аш(т0ш(С, г) + / с,£, г)с-2аш-Чс).

Произвольные функции и0ш(£, г), у0ш(^, г), т0ш(^, г) однозначно определяются из условий (2.13).

На основании теоремы 2.1 можно утверждать, что в виде сходящегося ряда (2.15) единственным образом построено решение начально-краевой задачи (2.12)-(2.14).

Полученное решение имеет вид

и = щ(г, с) + и2(г, с)2 + ... + «2ш(С, с)тЩ\ + ...,

г] = щ(г, ф + , z, с)ш + ... + Шш+1(^, z, с) (2ш+1), +

4-2 , . ч 4-2т

■ 2 + ... +«2ш(£^ с) V = У3 (С с) | + ... + У2ш+1(С с) (2^+1) + ..., т = т^г, ф + т(£,г, с)3 + ... +^2ш+т(С,*, с) (2^+1), +

(2.16)

В первом соотношении системы (2.16) вместо у введём у = 4, получим

2 2 ш

У = , С)+ ??3(С^ ¿А + ... + Щш+1(^с)—-—— + ... (2.17)

3! (2т + 1)!

Продифференцируем соотношение (2.17) по с, положим ¿ = 0, будем иметь

ус(0, С, г, с) = Щс(х, с) = 2а = 0.

Поскольку 2а = 0, то в теореме о существовании обратной функции существует значение ¿2 такое, что при 0 ^ Ь ^ ¿2 существует локально-аналитическая функция с = ф,у,£, г). Тогда решение задачи (2.12)-(2.14) можно переписать в виде

с = фy),

и = и(г, ^ ^ у) = щ(г, ф, y, ^ г)) + , ф, y, ^ г))2 + ... +Ч2ш(Сфz)) ^ + ...,

V = у(г, С, г, у) = , Ф, у, ^ г))| + ...+ (2.18)

+У2ш+1(Сфг))(£+1) + ...,

т = , ^ У) = , Ф, У, ^ г))* + т3(С, Ф, У, г))37 + ...

4-2т+1

2ш+

+т2 к+1(£фг))(£1) + ..

Так как при I > 0 якобиан преобразования 7 = хс = 0, то решение (2.18) удовлетворяют системе (1.7). Также оно удовлетворяет условиям (1.8). Покажем, что при ¿ = 0 нулевые коэффициенты рядов (2.15) и (2.1) совпадают.

В решении (2.18) положим Ь = 0, получим

= 0,

^=0 = 0, (2.19)

и^=0 = щ(г, с1=) = ^(с|4=0 - С0(г)),

У = гц(г, с^=0) = 2ас^0 - ^с0(г).

Из третьего соотношения (2.19) найдём с^^ и, подставляя её во второе соотношение (2.19), получим

Ф=0 = 2Ь (у + ф~1с0(г)),

и1=0 = (У - с0(г)), (2.20)

• ^=0 = 0.

Условия (2.20) совпадают с условиями (2.4).

В силу единственности построенных решений задачи (1.8), (1.9) и задачи (2.12)-(2.14). Получается, что решение (2.1) совпадает с решением (2.18). Теорема доказана.

Литература

1. Баутин С.П., Дерябин С.Л. Математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум. Новосибирск : Наука, 2005. 390 с.

2. Баутин С.П., Дерябин С.Л., Мезенцев А.В., Чуев Н.П. Начально-краевые задачи для моделирования движения сплошной среды с особенностями на свободной границе. Новосибирск : Наука, 2015. 191 с.

3. Дерябин С.Л., Мезенцев А.В. Численно-аналитическое моделирование газовых течений, примыкающих к вакууму в условиях действия сил тяготения и Кориолиса // Вычислительные технологии. 2010. Т. 15, № 5. C. 51-71.

4. Дерябин С.Л., Мезенцев А.В. Двумерная модель сжимаемой сплошной среды для описания волн жидкости // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математические науки. Информатика. 2014. № 7. С. 74-82.

5. Дерябин С.Л., Кирьянова А.С. Математическое моделирование при учёте силы тяжести течений жидкости, возникающих в результате разрушения плотины // Математические структуры и моделирование. Омск : Омский государственный университет, 2017. № 4(44). C. 73-85.

6. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.; Ижевск : Ин-т компьютерных исследований, 2003. 336 с.

7. Bautin S.P., Deryabin S.L. Sommer A.F., Khakimzyanov G.S., Shokina N. Yu. Use of analytic solutions in the statement of difference boundary conditions on movable shoreline // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modeling. 2011. V. 26, No. 4. P. 353-377.

8. Bautin S.P., Deryabin S.L. Two-dimensional solutions of the equations shallow-water theory in the neighbourhood of a shore line boundary // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2015. V. 79. Iss. 4. P. 358-366.

9. Риман Б. О распаде плоских волн конечной амплитуды // Сочинения. М.-Л. : ОГИЗ. 1948. С. 376-395.

10. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.-Л. : ГИТТЛ, 1950. 428 с.

11. Баутин С.П. Характеристическая задача Коши и её приложения в газовой динамике. Новосибирск : Наука, 2009. 368 с.

CONSTRUCTION OF A GRAVITATIONAL ANALOGUE OF A CENTERED RIEMANN WAVE IN NONSTATIONARY SELF-SIMILAR VARIABLES FOR THREE-DIMENSIONAL ISENTROPIC FLOWS

S.L. Deryabin1

Dr.Sc.(Phys.-Math.), Professor, e-mail: SDeryabin@usurt.ru A.V. Mezentsev1

Ph.D.(Phys.-Math.), Associate Professor, e-mail: AMezentsev@usurt.ru

A.S. Kiryanova2

Junior Scientist Researcher, e-mail: ASKiryanova@imach.uran.ru

1Ural State University of Railway Transport (USURT) 2Institute of Engineering Science, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences

Abstract. Gas flows adjacent to vacuum were considered earlier [1-5]. We also studied mathematical models of shallow water [6-7]. A detailed review of the results obtained can be found in [1-3]. Among the problems of gas outflow in vacuum, the problem of the decay of a special discontinuity is allocated. For the first time this problem was solved by Riemann for plane-symmetric currents. Let the gas at rest be to the right of the impenetrable surface x = 0, and vacuum to the left. In the moment time t = 0 the impenetrable wall x = 0 is instantaneously destroyed and gas outflow into vacuum begins. This task is called the problem of the decay of a special discontinuity. Introducing in the system of equations of gas dynamics the self-similar variable y = fracxt, Riemann found an exact solution [8], which was called a centered Riemann wave. Further attempts to construct multidimensional flows using the self-similar variable did not have had success. In this paper, by introducing nonstationary self-similar variables, we will construct a solution to the problem of the decay of a special discontinuity in physical space

Keywords: polytropic gas, vacuum, force of gravity, the gas dynamics equations, gas-vacuum boundary, initial-boundary value problem, Riemann problem, centered wave.

References

1. Bautin S.P. and Deryabin S.L. Matematicheskoe modelirovanie istecheniya ideal'nogo gaza v vakuum. Novosibirsk, Nauka Publ., 2005, 390 p. (in Russian)

2. Bautin S.P., Deryabin S.L., Mezentsev A.V., and Chuev N.P. Nachal'no-kraevye zadachi dlya modelirovaniya dvizheniya sploshnoi sredy s osobennostyami na svobodnoi gran-itse. Novosibirsk, Nauka Publ., 2015, 191 p. (in Russian)

3. Deryabin S.L. and Mezentsev A.V. Chislenno-analiticheskoe modelirovanie gazovykh techenii, primykayushchikh k vakuumu v usloviyakh deistviya sil tyagoteniya i Kori-olisa. Vychislitel'nye tekhnologii, 2010, vol. 15, no. 5, pp. 51-71. (in Russian)

4. Deryabin S.L. and Mezentsev A.V. Dvumernaya model' szhimaemoi sploshnoi sredy dlya opisaniya voln zhidkosti. Vestnik Tyumenskogo gosudarstvennogo universiteta, Fiziko-matematicheskie nauk. Informatika, 2014, no. 7, pp. 74-82. (in Russian)

5. Deryabin S.L. and Kir'yanova A.S. Matematicheskoe modelirovanie pri uchete sily tyazhesti techenii zhidkosti, voznikayushchikh v rezul'tate razrusheniya plotiny. Matematicheskie struktury i modelirovanie, Omsk, Omskii gosudarstvennyi universitet Publ., 2017, no. 4(44), pp. 73-85. (in Russian)

6. Ovsyannikov L.V. Lektsii po osnovam gazovoi dinamiki. Moscow, Izhevsk, In-t komp'yuternykh issledovanii Publ., 2003, 336 p. (in Russian)

7. Bautin S.P., Deryabin S.L. Sommer A.F., Khakimzyanov G.S., and Shokina N.Yu. Use of analytic solutions in the statement of difference boundary conditions on movable shoreline. Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modeling, 2011, vol. 26, no. 4, pp. 353-377.

8. Bautin S.P. and Deryabin S.L. Two-dimensional solutions of the equations shallow-water theory in the neighbourhood of a shore line boundary. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2015, vol. 79, iss. 4, pp. 358-366.

9. Riman B. O paspade ploskikh voln konechnoi amplitudy, Sochineniya. M.L., OGIZ Publ., 1948, pp. 376-395. (in Russian)

10. Rashevskii P.K. Kurs differentsial'noi geometrii. M.L., GITTL Publ., 1950, 428 p. (in Russian)

11. Bautin S.P. Kharakteristicheskaya zadacha Koshi i ee prilozheniya v gazovoi dinamike. Novosibirsk, Nauka Publ., 2009, 368 p. (in Russian)

Дата поступления в редакцию: 18.10.2020