Построение графиков обратных тригонометрических функций в курсе алгебры и начал анализа в общеобразовательной школе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 373.1.02

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА ВОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ

© 2012 Камаева С.Ц.

Дагестанский государственный педагогическийуниверситет

На конкретных примерах показывается, как в ходе изучения темы «Графики обратных функций» в общеобразовательных учреждениях составляется обратная функция по отношению к данной, а затем строятся их графики

Using the specific examples the author of the article shows the way, in the course of the studying of “The graphs of inverse functions” topic the inverse function in relation to the given one is composed, and then their graphics are built.

Ключевые слова: функция, график, монотонность, обратные тригонометрические функции, главные значения.

Keywords: function, graph, monotony, inverse trigonometric functions, main values.

Обратные функции

Еслиуравнение у=^), определяю-щие у как функцию от x, можно решить относительно x, причем так, что каждому значению у будет соответство-вать одно определенное значение x, то получится уравнение x=q)(y), определяющее x как функцию от у. Это вторая функция x=q(y) называется обратной по отношению к первой у=^), а первая -обратной по отношению ко второй . Такие функции называются взаимно обратными. Например, функция у =3x -1

У + 1 а

и х =---- являются взаимно обратными

функциями. Также взаимно обратны функции у = 2х и х=10д2у.

Функции у=^) и x=q)(y) имеют одно и тоже графическое изображение. Однако тождественность графиков взаимно обратных функций не должна заслонять различия между структурами этих функций . Например , из двух взаимно обратных функций у = 2х и х=1од2у

первая является показательной , а вторая - логарифмической . Из двух взаимно обратных функций у _ хз и х=3^Упервая является рациональной , а вторая -

иррациональной.

Если записать обратную функцию x=q(y) в виде у=^(к), т.е обозначим аргумент как обычно буквой x, а функцию - буквой у, то получим y=ц}(x).

Функции у=^) и также называются взаимно обратными, так как обозначения не играют роли при изучении функциональных зависимос-тей.

Например у=81пт и v=sinu выражают одну и ту же функцио-нальную зависимость.

Таким образом, взаимно обратными функциями являются как пара функций у — 2х И х=1од2у так и пара функций

У _ 2х и У=1од2 х

Как известно, графики функций у=^) и x=q)(y) тождественны. Однако графики взаимно обратных функций У=М и x=q(y) уже, вообще говоря, не тождественны. Покажем, что один из графиков двух взаимно обратных функций у=^) и y=ф(x) является зеркальным отражением другого в биссектрисе первого и третьего координатных углов.

Действительно, каждой точке ^Ь) графика функции у=^) соответствует

точка (Ь,а) принадлежащая графику функции у=ф(х). Но точки (а,Ь) и (Ь,а) таковы, что одна из них является зеркальным отражением другой в биссектрисе первого и третьего координатных углов. Поэтому графики, например, функций у = 2х и У=1од2х располагаются симметрично относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, как на рисунке 1.

Рис. 1

В дальнейшем будем считать взаимно обратными функциями две функции у=/(х) и х=у(у), связанные между собой выше изложенным образом. Поясним это на примерах:

Пример 1. Найти функцию, обратную функции У=1д* (х>0)

з

Решение. Находим х в зависимости от

X

у; — = 1оу ; х=5- Юу.

' 5

Теперь заменим в последнем

равенстве х на у , а у на х и получим.

У= 5-10 Это и есть функция,

X

обратная данной у=19~ (* °)

Пример 2. Найти функцию, обратную функции у=2х+1.

Решение. Сначала находим х в зависимости от у: имеем х=.У-1 . Теперь

2

заменим в этом равенстве х на у , а у на х , получим у=х~1 . Это и есть обратная 2

функция по отношению к функции у=2х+1.

Пример 3. Найти функцию, обратную функции^=5^*^ > о)

Решение. Сначала находим x в зависимости от у : ^=^- ^5 . Заменим в этом равенстве х на у и у на х , получим \gx4gy 7^5;

I

/£У = 1ДХ ■ = 1о^, (х>0) . Это и есть

^5

обратная функция по отношению к функции у=5

Пример 4. Определить функцию, обратную функции у _

Решение. Сначала найдем х в зависимости от у . Прологарифмируем обе части равенства по основанию 2, получим ^ = * . Из этого равенства

яг—1

имеем %1од2У ~ 1°ЗгУ = х ’

х(1од2у — 1) = 1од2у > х=_!£Зту_ Теперь

в последнем равенстве заменяем х на у , а у на х; получим у= 1од2х , область

существования этих функции ^^<2) U

Пример 5. у= к-1. Найти обратную

функцию.

Решение. Сначала находим х в зависимости от у . Имеем 2у-3ух=х-1 ; 2у+1=х(Зу+1) ; х=7;м-1. Теперь заменим х 2 7+1

на у , а у на х , получим у=2х+1 . В

Здч1

области существования (-оо<х<-1) и ( -

з

^ < х < оо ) это и будет обратной а

функцией по отношению К у=Х-1 .

2

Пример 6. Найти функцию обратную функции у= x2-2x+4.

Решение. Сначала установим

2

промежутки МОНОТОННОСТИ У= x -2x+1+3=(x-1)2+3 . Отсюда ясно, что на интервале (-^,1] функция многотонно убывает, а на [1, да) функция многотонно возрастает; на каждом из этих интервалов существует обратная функция.

Теперь выразим x в зависимости от у . Имеем (х-1)2 = у_3 ; х-1=±уутГз ;

х=1-1_ и, _ з- В последних равенствах

заменим x на y, а у на x ; получим

у=1±л/^з(х> 3)-

Ответ: У=1-Л,^Гз и y=l+V—3.

Пример 7. Найти функцию обратную функции у=гс ч2 Y _ s;nl х

Решение, у=C0S2X — sin2x = cos 2х Отсюда 2x=arCCOSy, x=-arccosy. Теперь заменим x на у, а у на х, получим: У=1 cos х(-1<х<1) . Это и есть функция

2

обратная данной.

Графики обратных тригонометрических функций

После того, как установлена связь между графиками взаимно обратных функций, построения графиков обратных тригонометрических функ-ций для учащихся не представляет труда.

График функций y=arcsin х при -1<x<1 будет зеркальным отражением в биссектрисе первого и третьего координатных углов графика функции

. Ж К , Л ч

y=sm х при -—< х < — (рис. 2.)

На рисунке 3 изображен график функции у агс.ч/пх: когдах= 1 .у = -: когда

х=0 , у=0; когда х=-1, ; у = — 7

График функции у=агссо8х при -1 <х< 1 убывает от л до 0 , изображен на рисунке 4.

График функции y=arctgx изображен

на рисунке 5. Когда х=0, то и у=0. Когда

% —^ —ее, то у ____Е. Когда % —о;,, то

■■ - 2 "

Рис. 3.

Рис. 4.

График функции y=arcctgx, выглядит как на рисунке 6. Когда х=0, то ,, _

' 2

Когда л -щ, то у -> н. Когда Я' —* +(">'• ТОу —* О-

Замечание. Кроме перечисленных выше четырех функций рассматриваются еще две обратные тригонометричес-кие функции: y=arccosecx и у=а^всх. Эти функции при решении задач, уравнений и неравенств встречаются значительно реже, поэтому мы ограничились функциями arcsinx, arccosx, arctgx, ак^х.

Графики многозначных обратных тригонометрических функций

В п.2 изображены графики однозначных обратных тригонометриических функций в главных промежутках монотонности (рис.3, рис. 4, рис.5, рис.6).

Значение обратной функции в промежутке ее монотонности называется главным значением функции.

На рисунке 3 изображена главная ветвь функции y=arcsinx; на рисунке 4

изображена главная ветвь функции

y=arccosx; на рисунке 5 изображена главная ветвь функции y=arcctgx, на рисунке 6 изображена главная ветвь функции y=arcctgx.

Так как, для каждой тригонометрической функции промежутков монотонности бесконечно много, то на каждом промежутке существует обратная тригонометрическая функция, т.е.

обратные тригонометрические функции многозначные.

Для функции у = 5[п%1 [хьК.у £ [-1;!]) множество всех обратных функций обозначают y=arcsinx. Из множества

arcsinx выделяют главную ветвь, отвечающую изменению х между -1 и 1 каждому у из ^ к и|. эта функция

обозначается y=arcsinx. График этой (y=arcsinx) функции и изображен на рисунке 3.

Чтобы построить график многозначной функции y=arcsinx (рис. 7) надо график функции y=sinx симметрично отобразить относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, получим:

Рис.7

На рисунке 7 главное значение y=arcsinx выделено сплошной линией; от точки М|' ^ тг^ до точки N ^ ^

монотонно возрастает.

На рисунке 8 изображен график многозначной функции y=arccosx. Эта функция существует только при |^| < ^

Главное значение y=arccosx выделено на рисунке 8 сплошной линией: от точки до точки ТЧ |"2 - 0] она

монотонно убывает. Построен график

монотонной функции y=arccosx как график симметричный относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов графику функции y=cosx.

Рис. 8

2

Ж

п

'""" ' ч

0 ?

-ж Л Л * / 2 г

Функция y=arctgx - многозначна. Главное значение y=arctgx монотонно возрастает от п до £. и определена на ; ?

всей числовой оси, т.е. Остальные

значения у получаются из главного путем прибавления величины +кл

(к=±1, ±2,...)

График функции y=arcctgx изображен на рисунке 9.

Функция y=arcctgx многозначна и определена для всех хеЯ . Главное значение y=arcctgx монотонно убывает от к до0. Остальные значения а^^х получаются из главного значения путем прибавления величины ±кп

(,к = +1,+2,...).

График функции y=arcctgx изобра-женнарис. 10.

----------------------------------- Примечания

1. Алгебра и начала математического анализа: учебник для 10 кл. / Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачева М. В. и др. М. : Просвещение, 2008. 2. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. М. : Просвещение, 1986.

Статъя поступила вредакцию 11.01.2012 г.