Построение фундаментального решения уравнений статики изотропных пластин средней толщины Текст научной статьи по специальности «Математика»

-□ □-

Тривимiрнi рiвняння теори пружностi приведет до двовимiрних шляхом розкладання шуканих функцш в ряди Фур'е за полтомами Лежандра вгдносно товщинног координати. Побудовано фундаментальне ршення отриманих рiвнянь з використанням узагальненог теори. Проведено нисельн дослидження, як демонструють зако-номiрностi поведтки компонент напружено-де-формованого стану пластин в залежностi вид пружних констант iзотропного матерiалу

Клюновi слова: уточнена теорiя, iзотропнi пластини, рiвняння статики, силовi ди, специальна G-функцiя

□-□

Трехмерные уравнения теории упругости приведены к двумерным путем разложения искомых функций в ряды Фурье по полиномам Лежандра относительно толщинной координаты. Построено фундаментальное решение полу-ненных уравнений с использованием обобщенной теории. Проведены нисленные исследования, которые демонстрируют закономерности поведения компонент напряженно-деформированного состояния пластин в зависимости от упругих констант изотропного материала

Клюневыеслова:уточненная теория, изотропные пластины, уравнения статики, силовые воздействия, специальная G-функция -□ □-

1. Введение

В современной технике широко используются инженерные сооружения из тонкостенных конструктивных элементов, подверженных значительным силовым воздействиям. Дополнительные трудности при расчете тонкостенных элементов конструкций вносит сосредоточенный характер силовых воздействий.

В работе для сведения трехмерной задачи для изотропн ных пластин к двумерной используется метод разложения искомых функций в ряды по полиномам Лежандра от нормальной координаты. Этот подход позволяет учесть поперечные касательные и нормальные напряжения. На основе полученных с помощью этого подхода уравнений для изотропных пластин разработана методика расчета их напряженно-деформированного состояния (НДС) при действии сосредоточенных силовых воздействий.

2. Анализ литературных данных и постановка проблемы

Разработке методов построения фундаментальных решений (решений, соответствующих сосредоточенным воздействиям) уравнений теории упругих тонких пластин и оболочек посвящено большое количество публикаций. Постановки задач, методы их решения и ряд конкретных результатов содержатся в монографиях и научных статьях С. А. Амбарцумяна [1], А. Л. Гольденвейзера [2],

©

УДК 539.3

|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.47232|

ПОСТРОЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СТАТИКИ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ

И . П . Боков

Аспирант* E-mail: bokov.dev@gmail.com Е. А. Стрельникова

Доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник** E-mail: elena15@gmx.com *Кафедра прикладной математики и математического моделирования*** **Отдел прочности и оптимизации конструкций*** ***Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАНУ ул. Пожарского, 2/10, г. Харьков, Украина, 61046

W. Flügge [3], S. Lukasiewicz [4], а также в ряде обзоров В. М. Даревского [5], Ю. П. Жигалко [6] и других.

Из анализа этих работ можно сделать вывод, что существует два подхода к построению фундаментальных решений уравнений тонких упругих пластин и оболочек.

Первый из них заключается в исследовании сингулярных решений однородных дифференциальных уравнений, соответствующих конкретному сосредоточенному воздействию.

Такой подход успешно применяли для сферической оболочки А. Л. Гольденвейзер [7], пологих сферических и цилиндрических оболочек И. Н. Векуа [8], E. Reissner [9], а затем для пологих оболочек двоякой кривизны -Н. А. Киль [10], R. Ganowicz [11], A. Jahanshahi [12].

Существенным недостатком такого подхода является то, что для определения сингулярного решения, соответствующего конкретному сосредоточенному воздействию, необходимо удовлетворить системе геометрических и статических условий в окрестности особой точки. Иногда, особенно для несферических оболочек, это приводит к ошибочным результатам или же к решениям, содержащим лишние регулярные решения.

Второй подход приводит к решению дифференциальных уравнений с правыми частями в виде дельта-функции Дирака. При этом применяются разнообразные методы построения фундаментальных решений. Наиболее типичные из них - методы интегральных преобразований Фурье - развиты в работах П. М. Ве-

личко, Ю. А. Шевлякова, В. К. Хижняка, В. П. Шевченко [13-15], S. Lukasiewicz [16], J. Sanders [17], J. Simmonds [18].

Все эти методы были разработаны для изучения характера особенностей компонент напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек или исследования прочности пластин и оболочек при локальных нагрузках.

Из приведенного краткого обзора видно, что для разработки методов решения граничных задач теории пластин и оболочек наиболее приемлемым является метод двумерного интегрального преобразования Фурье. Теория применения преобразования Фурье для решения уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами изложена в работах В. С. Владимирова [19], Л. Шварца [20], Р. Эдвардса [21]. Этот метод позволяет свести систему разрешающих дифференциальных уравнений статики пологих пластин и оболочек к системе алгебраических уравнений. После этого обратное преобразование Фурье восстанавливает фундаментальное решение. Методика обращения фундаментального решения существенным образом зависит от вида рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, поэтому в данной работе важное место отводится разработке методов обращения интегральных трансформант.

Таким образом, приведенные примеры иллюстрируют высокую эффективность методов фундаментальных решений для определения локального НДС тонких упругих пластин и оболочек с концентраторами напряжений.

Метод разложений по толщинной координате с использованием полиномов Лежандра предложен в 1955 г. И. Н. Векуа [22]. Здесь проекционным способом получены дифференциальные уравнения равновесия (движения) призматических оболочек переменной толщины относительно моментов компонент напряжений. На основе закона Гука для изотропного тела путем умножения соответствующих равенств на полиномы Лежандра и интегрирования по толщинной координате составлены соотношения, связывающие моменты компонент напряжений. Дана формулировка граничных и начальных условий. Предложенный в [22] метод распространяется затем на тонкие пологие оболочки переменной толщины [13]. Более подробно рассмотрены случаи нулевого (N=0) и первого (N=1) приближений. Изучены вопросы существования и единственности решений граничных задач. Для первого приближения изложен способ построения общих решений уравнений равновесия пластин, цилиндрической и сферической оболочек [23].

Несколько позже (в 1959 г.) П. Чикала опубликована работа [24], в которой метод разложения компонент напряжений и перемещений в ряды по полиномам Ле-жандра используется для составления уравнений равновесия оболочек вращения. При этом система дифференциальных уравнений, связывающая коэффициенты разложений компонент напряжений, получена из вариационного принципа возможных перемещений. Вторая группа уравнений, устанавливающая связь между коэффициентами разложений компонент напряжений и деформаций, выведена при помощи интегрирования по толщине соотношений закона Гука.

Для построения уравнений равновесия изотропных пластин В. В. Понятовским [25] используется метод (предложенный ранее Е. Рейсснером для случая линейного распределения напряжений по толщине пла-

стины), согласно которому тангенциальные компоненты напряжений представляются в виде рядов по полиномам Лежандра от толщинной координаты, а поперечные компоненты напряжений определяются из уравнений равновесия путем интегрирования их по нормальной координате с учетом граничных условий на лицевых плоскостях. После этого используется вариационный принцип Кастильяно. Из вариационного уравнения следуют уравнения совместимости и соответствующие граничные условия. Предложенный в [25] метод применяется для вывода уравнений равновесия анизотропных [26] и тран-сверсально-изотропных [27] пластин. Здесь же указывается способ интегрирования полученных уравнений.

Классическая теория Кирхгофа-Лява удовлетворительно описывает НДС сравнительно тонких изотропных пластин, но не учитывает явления, обусловленные сдвигами и обжатием. С другой стороны, решение задач теории упругости в трехмерной постановке приводит к значительным математическим трудностям. Поэтому вопрос построения уточненных теорий тесно связан с проблемой приведения трехмерных задач к двумерным.

Таким образом, исследование на базе уточненных теорий НДС изотропных пластин при действии сосредоточенных силовых воздействий является актуальным научно-технической задачей.

3. Цель и задачи исследования

Целью данного исследования является развитие уточненной теории пластин, использующей метод И. Н. Векуа разложения неизвестных функций по полиномам Лежандра от поперечной координаты, применительно к задачам определения НДС изотропных пластин при действии сосредоточенных силовых воздействий.

Достижение поставленной цели предусматривает:

- приведение трехмерных уравнений теории упругости к двумерным путем разложения искомых функций в ряды Фурье по полиномам Лежандра относительно толщинной координаты;

- построение фундаментальных решений полученных уравнений;

- исследование влияния упругих параметров на НДС пластины.

В работе использован метод аппроксимации перемещений, напряжений и деформаций рядами Фурье по полиномам Лежандра от поперечной координаты для вывода двумерных уравнений теории упругости для изотропных пластин. Фундаментальное решение полученных уравнений найдено с помощью двумерного интегрального преобразования Фурье и методики обращения, построенной с помощью специальной G-функции.

4. Материалы и методы исследований влияния упругих параметров на компоненты НДС изотропной пластины

4. 1. Основные соотношения и математическая формулировка задачи

Рассматривается изотропная пластина толщины 2Ь в прямоугольной декартовой системе координат х, у, z.

Пусть на пластину действует сосредоточенная сила F, приложенная в начале координат (особой точке).

Сосредоточенную силу можно представлять как некоторую абстракцию (конечную по величине силу), действующую на малый участок поверхности [28].

При решении задач о действии сосредоточенных сил искомое НДС считаем локальным, т. е. не распространяющимся до линии внешнего контура пластины. Поэтому пластину считаем бесконечной и предполагаем, что искомые компоненты НДС стремятся к нулю на бесконечности. Справедливость данного предположения проверяется после решения задачи.

Математическая формулировка задачи содержит полную систему уравнений теории упругости без учёта граничных условий на краях реальной пластины. Система уравнений равновесия изотропных пластин на базе теории С. П. Тимошенко, описывающая НДС при изгибе, состоит из [29]:

• геометрических соотношений

e = h ^ e = h 1 h Эх , ^ h

9w„

dYx

Эу Эх

exZo --12=y x+~дХт, (x ^ у );

• соотношений закона Гука

Mx = D(exi + veyi), My = D (eyi + veri),

H = —De^, Qx =л|ехго -Sf

где D =

2 ~xy1

2h2 E 3 1 -v2

►y),

, Л =

5hG

• уравнений равновесия dMx ЭН _ _ ЭМу

-x +--Qx + mx = 0 -

Эх Эу Эу

9Qx ЭQy

x +-y + qz = 0.

- Q + m = 0,

Эх у

Эх Эу

mx (х- у)=^тх8 (х у), ту (х- у)=^Ч8 (х у), qz (х,у)=h2a!s(x,y),

где mx,my,qZ = const, 8(х,у) - двумерная дельта-функция Дирака [19].

4. 2. Изложение метода исследования

Подставив геометрические соотношения (1) в соот-

ношения упругости (2) и перейдя в безразмерную си-

стему координат х1 = х/Ь, x2=y/h, x3=z/h, получим:

M1 = Do

9Y 1 9Y2

+ v—iA Эх1 Эх

M2 = Do

H =VDo 2 0

Q2 = Л0

Y2

2

9Y 1 +dY2

Эх2 Эх1

dw01

dx2 J'

dY 2 +VdY1 Эх2 Эх1

Q1 =Л0

Yr

dw0 Эх1

n D 2 1 5G

где D0 = ——г =--5-, Л0 =-.

0 Eh2 31 -v2 0 3E

Безразмерные изгибающие и крутящий моменты определены в отношении к величине ЕЬ2, а перерезывающие силы - в отношении к величине ЕЬ.

Переходя к безразмерным координатам, получим

ЭМ1 ЭН _ _ ЭМ2 ЭН

--+ т4 = 0, —^ + ---Ц2 + т2 = 0,

Эх1 Эх2 Эх2 Эх1

9Q. 9Q2 —^ + —^ + q3 = 0, Эх1 Эх2

(6)

(1)

(2)

(3)

Чтобы найти фундаментальное решение системы (1)-(3), компоненты вектора объёмной силы в формулах (3) следует взять в виде

(4)

(5)

где т1 = т15(х1,х2), т2 = т2§(х1,х2), q3 = q3S(x1,x2).

Решив указанную систему, получаем трансформанты обобщенных перемещений:

Y1 =

1

m* -12 +3 (1 + v)m1-^42-+

D0P4 1 j 1p2(p2 + 2,5)

2п

a3£1 m2 1Л

D0P4 D0 p4 1 j 2p2(p2 + 2,5)

Y 2 =

1

2n

.ml Mi-3 (1

D0 p4 1

m Щ+3(1 +v)m2—2—12-+

D0 p4 ' 2p2(p2 + 2,5) D0P4

+ vim.

I1I2

P2(P2 + 2,5)

mii^L - mlik++

D0 p4 D0 p4 D0 p4 Л0 p2

(7)

где р2 = £,2 + £,2; £,2) - координаты точки в пространстве трансформант.

Применим преобразование Фурье к уравнениям закона Гука (5):

М1 = (^1? 1 + у 2), М 2 = -Do (£2? 2 + 1), Н = ^^ (^2?1 + 2 ), Й2 =Л0 (?2). (8)

Подставим ранее полученные трансформанты обобщенных перемещений (7) в трансформанты изгибающих моментов, крутящего момента и перерезывающих сил (8):

М 1 =--1

1 2п

m* + 2m*_i11__a* + m*.

Ш1 4 2/ 2 , о r4 43 4 2 4

p p (p + 2,5) p p

-2m.

2p2(p2 + 2,5)

* 12 * 12 * 112 p p p

M 2 =--

2 2n

13

2

+ 2m*_

2 4 2 2/ 2

-2m*-HH

p2(p2 + 2,5)

,1? 12

-as

^ 2^^ +m1v ^- +m2v 4

p (p + 2,5) p p p

+ m*M. p4 +m1 P4

11212

н= -—

2n

(1 -vim*11212+m

11

1 4 p4

1p2(p2 + 2,5)

-(1 -v) a3 ^ +(1 -v) —

7 p4 7 p4

11112

11112

113

11212

2p2(p2 + 2,5) 2p2(p2 + 2,5) 1p2(p2 + 2,5)

12 • 1112

1=^

1p2(p2 + 2,5) 2p2(p2 + 2,5)

q*

2n p2 '

3

й,=25

Обозначим

52

5,5,

2Р2(Р2 + 2,5)

У(р2 + 2,5)

2п р2

-Ч^. (9)

Ф, (5,, 5, ) = ^ Ф2 (5,, 5, ) =

ф & ^2 )=рЦ^,

Ф, (5,,^2 ) =

52

Фб (5,, 52 )=%

Р2(Р2 + 2,5)

2

, Ф5 (5,, 52 )=

Ф7 (5„52 Ь^, Ф8 (51, 52 )= р^+25),

Ф9 (5„ 52 ) =

Необходимо теперь обратить соотношения (11). Сначала найдём оригиналы функций (10) с использованием интегрального преобразования Фурье [30]

Г1 р (5,,52 )] = f(xl,X2 ) =

1^(5,5 ЧВД.

1

2п____

Получим

Ф,(Х2,Х,) =

Ф 2(Х2,Х,) =-

Ф 3(Х2,Х,) =

х2(эх42 + х2) 2(х, + х2)2 , х,(зх2 + х2)

2(х2 + х2)2 '

2(Х2+Х2)

Со^Д^х, + х2 ) -

■ „'( 2'+ 2 N.2;) + х2 ),

2(Х1 + Х2)

Ф 4(Х2,Х,) =

зх,

2(Х2+Х2)

СоД^^х? + х2 ) -

- X22((32X_+-2X)2)G1^V1^,/X2^2 ), 2(Х1 + Х2)

Ф5(Х2,Х,) =

Х2(Х2 Х2) (Х2+Х2)2 ,

Ф7(Х2,Х,) =-

2x2 + х2 '

(10)

Фб(Х2,Х,) = 21п 2 4Х2 + x2, Ф 8(Х2,Х,) =

1 'соо ^л/Т^л/ХГ+Х!")+Ф4 Сц^ТХЧХ2")

Ф 9(Х2,Х,) + х2 ),

(13)

Тогда изгибающие моменты, крутящий момент и перерезывающие силы в пространстве трансформант запишутся так

м, = - ¿[ЧФ, (5,, 5,)+2т;Фз (5,, 5,)-„3Ф, (5,,5,)+

+т2Ф, (5,, 52) - 2т2Фз (5,, 52)+т2 уФ, (5„ 5,) -

- Я3 (52, 51)+ т* ^Ф2 (52, 51)], м, = - ¿[ц*, (52,5,)+2тА (5, ,52)-

-Я3Ф6 (52, 51) + т1Ф2 (52, 51) - 2т1*Ф3 (52, 51) +

+т^Ф, (51, 52 ) - яЗУФ6 (51, 52 ) + т2УФ2 (51, 52 )], н = ^^[(1 -V) т1Ф2 (5,, 52 ) + т*Ф4 (52,5, )--(1 -V) я3Ф7 (5,, 52 )+(1 -^т'Ф, (52,5, )--т2Ф3 (52, 51) + т2Ф4 (51,52 )-т*Ф3 (51,52 )],

¿1 = м [т*Ф8 (52,5,)-т^ (5,, 52)]-^ Ф5 (5,, 52),

й,=[т2Ф 8 (5,, 52)-т;Ф9 (5,, 52 )]-^ Ф5 (52,5, ) . (11)

(12)

где Gn,v(rz) - специальная G-функция [31].

Применяя формулу обращения для двумерного интегрального преобразования Фурье (12) к трансформантам внутренних силовых факторов (11) и учитывая выражения (13), запишем выражения для М1, М2, Н, Ць в пространстве оригиналов

м, =

1 2п

х,(х2 + зх') * т* _ 1-+ 2т*

2 , „2 ч 0,1

2(х,+х2)

1 2(х2+х2)2

) - ^(^Дад^Х, )} +

2(Х1 + Х2) I

+Чз "к1п"

-2т*

+ Х2 1x2 -х2 I * х,(х: + 3x2) 1 1 21-т, 1 2

2 4 х, + х, I 2(х: + х')

2(х,+х,)

Со^Тз^х/Х^Х2")+

х2(3х2 - Х2) с ( Щ /-!—-,Л + _1 V х2(3х2 +Х2)

" 2(Х2+ х')2 С,,2^2,^Х1 + Х,)| + т'

+ч3 V-,- 1п

^ Х2+Х2 + 1x2 - X, 4 х, + Х,

, х, (зх: + х' )

______т^———1-—

2" 2 4x5 + х,| 1 2(х, + х,)2

М, = -— 2 2п

х,(зх1 + х, ) * I х,

+ 2т' ^ 2(х2 +х2)Со1 Х

2 2(х, + х,)2

х^тз^ТХ^2)+Х2(3:Х2 2Х:) с^^дад^Х;)}+

2(Х1 + Х2) I

+ч3 -к1п

-2т,

тУХ' + Х2 + 1 х' -х' 1т* х,(зх2 + х') 2 4 х, + х,1 2(х, + х,)2

-Со^Д^х? + х,) -

2 , „2\ Х1(Х1 Зх2)

Сх

2(х2 + х,^01^"^^'^' 2(х2 + х,)2 ,,2

(лД5>/х2 + Х2 )}+ m1v + 32Х,2) +q3VХ 2(Х1 + Х2)

Х1 ,1п

2 , 1x2 - Х2 I т%,х2(х2 + Зх,)

4 х, + х,

-т V-

2(х, + х,)2

х

х

х

х

Н = -

2л(х12 + х2) -(1 + т**

21 Х1 + Х2)

Х2 (3-1 Х2 )

,2 , 2\

12 ( Дб^хХ

+ (1 -V)-(1 -V)т2Х1 (3Х1 -Х2) -

1 ;43 2 1 ' 2 2(х2 + х2)

+ т2 fX1G0:

lGoJ (725 Тх2"

01=25

+ХМг GlJ )}-х

х2 + х2 V 'х2 + х2

х ^д/зХ^л/хх2 + х2

q3 х1(х2 - х2)

02=25

{С0.0 (л/^ТХчХ2)+х

х ^ (^Д^х? + х2)} - т** -Х+Ху GlJ (Дб^/х? + х2)

q3 х2 (Х1 - -2) "XX (х42+-2)

(14)

Видим, что полученные выражения для моментов имеют сингулярности в виде логарифмической особенности. Выражения для перерезывающих сил имеют ту же особенность, что и G-функция. Полученные решения могут быть в дальнейшем использованы как ядра интегральных представлений в задачах о равновесии пластин, ослабленных дефектами типа трещин и тонких включений.

5. Результаты исследований влияния упругих параметров на НДС пластины с использованием разработанной методики

Для исследования особенностей НДС изотропных пластин при сосредоточенных силовых воздействиях положим: т* = т2 = q3 = 1.

Результаты расчетов представлены в безразмерной декартовой системе координат х1, х2.

Численные исследования были проведены для следующих материалов пластин: золото и железо. Коэффициенты Пуассона (V) для данных материалов равны: 0,42 и 0,28 соответственно [32].

На рис. 1-3 представлены графики изменения обобщенных моментов М1, М2, Н вдоль оси абсцисс (х2=0). На данных графиках видно, что при уменьшении коэффициента Пуассона значения обобщенных моментов увеличиваются.

М 10!

1

/ / /

Рис. 1. Изгибающий момент М1: 1 — материал золото; 2 — материал железо

109

2 \\ 4 6 8 10 2 14

1 / 2

Рис. 2. Изгибающий момент М2: 1 — материал золото; 2 — материал железо

Рис. 3. Крутящий момент Н: 1 — материал золото; 2 — материал железо

1

х

На рис. 4, 5 представлены графики обобщенных сил 0ь О соответственно. Данные графики демонстрируют независимость обобщенных сил 01, 02 от упругих констант.

10

1 ">

/

Рис. 4. Перерезывающая сила Q1: 1 — материал золото; 2 — материал железо

<?2

10'

1Д /

Рис. 5. Перерезывающая сила Q2: 1 — материал золото; 2 — материал железо

Данные исследования позволили аналитически исследовать характер поведения внутренних силовых величин в зависимости от упругих постоянных различных материалов и исследовать характер особенностей моментов и перерезывающих сил при сосредоточенных воздействиях.

Разработанный метод позволяет проводить расчет обобщенных перерезывающих сил и изгибающих моментов для пластин, подверженных действию сосредоточенной силы, приложенной в начале координат. В отличие от исследований, проведенных другими авторами, здесь использованы уравнения равновесия изотропных пластин на базе теории С. П. Тимошенко, описывающей НДС при изгибе. Это дает возможность рассматривать оболочки и пластины, которые имеют толщину порядка 1/5 по отношению к характерному размеру.

Поскольку в реальности усилия, действующие на конструктивные элементы, всегда являются распределенными (возможно, по очень малым, но конечным областям), результаты, полученные в данном исследовании, носят предварительный характер.

Полученное фундаментальное решение даст возможность решать ряд новых задач изгиба пластин средней толщины. При наличии сосредоточенных дислокаций фундаментальные решения, являющиеся функциями Грина, являются основой для построения потенциальных представлений в виде интегралов от скачков смещений, распределенных с неизвестной плотностью. Такие интегральные представления могут быть использованы при решении задач об изгибе пластин с различного рода дефектами, вырезами и надрезами. Вследствие большой изношенности энергетического, нефтеперерабатывающего и химического оборудования в Украине в настоящий момент особо актуальными вопросами являются проблемы продления ресурса работающего оборудования, даже при наличии в нем микродефектов. Расчет на прочность таких элементов при использовании теории оболочек и пластин средней толщины при наличии разного рода дефектов с учетом полученных в работе фундаментальных решений будет способствовать корректировке сроков межремонтных периодов, очередности замены изношенного оборудования.

Практическое значение полученных результатов заключается в возможности использования разработанных методов решения задач при расчетах, связанных с проектированием и определением рабочих параметров тонкостенных элементов конструкций из изотропных материалов при действии сосредоточенных силовых воздействий. Результаты работы могут быть использованы в научно-исследовательских институтах, проектных организациях и других исследовательских учреждениях, связанных с расчетами тонкостенных элементов конструкций.

Продолжением данного исследования является построение фундаментального решения трансверсаль-но-изотропных пластин с использованием уточненных теорий.

7. Выводы

6. Обсуждение результатов, полученных с помощью данной методики

Как отмечалось выше, классическая теория Кирх-гофа-Лява удовлетворительно описывает НДС сравнительно тонких изотропных пластин, но не учитывает явления, обусловленные сдвигами и обжатием.

Построено фундаментальное решение уравнений статики изотропных пластин на базе обобщенной теории.

Достижение данной цели предусматривало сведение трехмерных уравнений теории упругости к двумерным путем разложения искомых функций в ряды Фурье по полиномам Лежандра относительно толщинной координаты. Данный подход позволил

учесть поперечные касательные и нормальные напряжения. Так как классическая теория Кирхгофа-Лява не учитывает этих напряжений, то исследование на базе уточненных теорий НДС изотропных пластин при действии сосредоточенных силовых воздействий является актуальной научно-технической задачей. Фундаментальное решение полученных уравнений найдено с помощью двумерного интегрального преобразования Фурье и методики обращения, построенной с помощью специальной G-функции.

Проведены численные исследования НДС изотропных пластин. Эти исследования позволили выявить

закономерности поведения компонент НДС в зависимости от упругих констант изотропного материала.

Полученное фундаментальное решение дает возможность решать ряд новых задач изгиба пластин средней толщины. При наличии сосредоточенных дислокаций фундаментальные решения, являющиеся функциями Грина, являются основой для построения потенциальных представлений в виде интегралов от скачков смещений, распределенных с неизвестной плотностью. Такие интегральные представления могут быть использованы при решении задач об изгибе пластин с различного рода дефектами, вырезами и надрезами.

Литература

1. Амбарцумян, С. А. Общая теория анизотропных оболочек [Текст] / С. А. Амбарцумян. - М.: Наука, 1974. - 446 с.

2. Гольденвейзер, А. Л. Исследование напряженного состояния сферической оболочки [Текст] / А. Л. Гольденвейзер // Прикладная математика и механика. - 1944. - Вып. 6. - С. 441-467.

3. Flügge, W. Concentrated forces on shells [Text] / W. Flügge // Proceedings of Xlth Internat. Congress of Applied Mechanics. -Munich: Springer Verlag, 1966. - P. 270-276. doi:10.1007/978-3-662-29364-5_34

4. Lukasiewicz, S. A. Introduction of concentrated loads in plates and shells [Text] / S. A. Lukasiewicz // Progress in Aerospace Sciences. - 1976. - Vol. 17. - P. 109-146. doi:10.1016/0376-0421(76)90006-3

5. Даревский, В. М. Контактные задачи теории оболочек (действие локальных нагрузок на оболочки) [Текст] / В. М. Дарев-ский // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. - М.: Наука, 1966. - С. 927-933.

6. Жигалко, Ю. П. Расчет тонких упругих цилиндрических оболочек на локальные нагрузки (обзор литературы, метод и результате) [Текст] / Ю. П. Жигалко // Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань: Казан. ун-т, 1966. -Вып. 4. - С. 3-41.

7. Гольденвейзер, А. Л. К вопросу о расчете оболочек на сосредоточенные силы [Текст] / А. Л. Гольденвейзер // Прикладная математика и механика. - 1954. - Т. 8, № 2. - С. 181-186.

8. Векуа, И. Н. Вариационные принципы построения теории оболочек [Текст] / И. Н. Векуа. - Тбилиси: Тбилис. ун-т, 1970. -300 с.

9. Reissner, E. Reflections on the theory of elastic plates [Text] / E. Reissner // Applied Mechanics Reviews. - 1985. - Vol. 38, № 11. -P. 1453-1464. doi:10.1115/1.3143699

10. Киль, Н. А. О действии местных нагрузок на оболочки [Текст] / Н. А. Киль // Известия вузов. Строительство и архитектура. -1973. - № 3. - С. 43-46.

11. Ganowicz, R. On fundamental singularity in the theory of shallow cylindrical shells [Text] / R. Ganowicz // Arch. mech. Stosowanej. -1973. - Vol. 25, № 6. - P. 985-992.

12. Jahanshahi, A. Force Singularities of Shallow Cylindrical Shells [Text] / A. Jahanshahi // Journal of Applied Mechanics. - 1963. -Vol. 30, № 3. - P. 342-345. doi:10.1115/1.3636559

13. Величко, П. М. Деформация оболочек положительной кривизны при сосредоточенных воздействиях [Текст] / П. М. Величко, В. К. Хижняк, В. П. Шевченко // Концентрация напряжений. - Киев: Наук. думка, 1971. - Вып. 3. - С. 31.

14. Величко, П. М. Исследования местных напряжений в пластинках и оболочках при сосредоточенных нагрузках [Текст]: мат. докл. / П. М. Величко, В. К. Хижняк, В. П. Шевченко // III Всесоюз. съезд по теорет. и прикл. механике. - М.: АН СССР, 1968. - С. 67.

15. Величко, П. М. Местные напряжения в оболочках положительной, нулевой и отрицательной кривизны [Текст] / П. М. Величко, В. К. Хижняк, В. П. Шевченко // Тр. X Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. - Тбилиси: Изд-во Мицниереба, 1975. - Т. 1. - С. 31-41.

16. Lukasiewicz, S. Local loads in plates and shells [Text] / S. Lukasiewicz // Alpen aan den Rijn, Sijthoff and Noordhoff. - Warszawa: PWM, 1979. - 569 p. doi:10.1007/978-94-009-9541-3

17. Sanders, J. L. Singular Solutions to the Shallow Shell Equations [Text] / J. L. Sanders // Journal of Applied Mechanics. - 1970. -Vol. 37, № 2. - P. 361-366. doi:10.1115/1.3408514

18. Simmonds, J. G. The Fundamental Solution for a Shallow Shell With an Arbitrary Quadratic Midsurface [Text] / J. G. Simmonds, M. R. Bradley // Journal of Applied Mechanics. - 1976. - Vol. 43, № 2. - P. 286-290. doi:10.1115/1.3423825

19. Владимиров, В. С. Обобщенные функции в математической физике [Текст] / В. С. Владимиров. - М.: Наука, 1976. - 280 с.

20. Шварц, Л. Математические методы для физических наук [Текст] / Л. Шварц. - М.: Мир, 1965. - 412 с.

21. Эдвардс, Р. Функциональный анализ [Текст] / Р. Эдвардс. - М.: Мир, 1969. - 1071 с.

22. Векуа, И. Н. Об одном методе расчета призматических оболочек [Текст] / И. Н. Векуа // Тр. Тбилис. матем. ин-та. - 1955. -№ 21. - C. 191-253.

23. Векуа, И. Н. Теория тонких пологих оболочек переменной толщины [Текст] / И. Н. Векуа. - Тбилиси: Мецниереба, 1965. - 103 с.

24. Cicala, P. Sulla teoria elastica della plate sottile [Text] / P. Cicala // Gorn. Genio civile. - 1959. - Vol. 97, № 4. - P. 238-256.

.................................................................................................................................................................................................................................läT

25. Понятовский, В. В. К теории пластин средней толщины [Текст] / В. В. Понятовский // Прикладная математика и механика. - 1962. - Т. 26, № 2. - С. 335-341.

26. Понятовский, В. В. К теории изгиба анизотропных пластинок [Текст] / В. В. Понятовский [Текст] // Прикладная математика и механика. - 1964. - Т. 28, № 6. - С. 1033-1039.

27. Понятовский, В. В. Уточненная теория трансверсально - изотропных пластин [Текст] / В. В. Понятовский // Прикладная математика и механика. - 1967. - Т. 28, № 6. - С. 72-92.

28. Хан, Х. Теория упругости: Основы линейной теории и ее применения [Текст] / Х. Хан. - М.: Мир, 1988. - 344 с.

29. Пелех, Б. Л. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений [Текст] / Б. Л. Пелех, В. А. Лазь-ко. - К.: Наук. думка, 1982. - 296 с.

30. Снеддон, И. Преобразования Фурье [Текст] / И. Снеддон. - М.: Издательство иностранной литературы, 1955. - 668 с.

31. Хижняк, В. К. Смешанные задачи теории пластин и оболочек [Текст]: учебное пособие / В. К. Хижняк, В. П. Шевченко; ДонГУ. - Донецк: ДонГУ, 1980. - 128 с.

32. Дементьев, А. Д. Прикладные задачи теории упругости [Текст] / А. Д. Дементьев, Л. А. Назаров, Л. А. Назарова. - Новосибирск, 2002. - 224 с.

Одтею з основних причин виникнення вiд-мов клапатв е поломка пластин, яка призво-дить до порушення гх герметичностi. Частi змти технологiчних параметрiв виклика-ють вiбрацiйнi мехашчш коливання пласти-ни в перюд закриття клапана i призводять до його поломки. Iснуючiрiвнянняруху пластини прямоточних клапатв не дозволяють повт-стю оцтити гх працездаттсть в системi газлiфтног експлуатаци. В роботi зроблена спроба виведення рiвняння руху пластин прямоточних клапатв

Ключовi слова: поршневi компресори, пря-моточт клапани, коливання пластини, герме-тичтсть, пружтсть, жорсттсть, попутний

нафтовий газ, газлiфтна експлуатащя □-□

Одной из основных причин возникновения отказов клапанов является поломка пластин, которая приводит к нарушению их герметичности. Частые изменения технологических параметров вызывают вибрационные механические колебания пластины в период закрытия клапана и приводят к его поломке. Существующие уравнения движения пластины прямоточных клапанов не позволяют полностью оценить их работоспособность в системе газлифтной эксплуатации. В работе сделана попытка вывода уравнения движения пластин прямоточных клапанов

Ключевые слова: поршневые компрессоры, прямоточные клапаны, колебание пластины, герметичность, упругость, жесткость, попутный нефтяной газ, газлифтная эксплуатация

---□ □-

1. Введение

Как показывает многолетняя практика эксплуатации нефтегазопромысловых поршневых компрессоров в системе газлифтной эксплуатации нефтяных скважин, экономичность, безопасность, безотказность

УДК 622.691

|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.48234|

Ибрагим Абульфас о г л ы Габибов

Доктор технических наук, профессор НИИ «Геотехнологические проблемы нефти, газа и химия» пр. Азадлыг, 20, г. Баку, Азербайджан, AZ1010

E-mail: h.ibo@mail.ru Натик Сабир о г л ы Сеидахмедов

Заместитель директора Азербайджанский Государственный Научно-Исследовательский Институт по Охране Труда и Технике Безопасности ул. Табриза, 108, г. Баку, Азербайджан, ФAZ1000

E-mail: n.natiq.az@mail.ru

и герметичность работы клапанов резко снижается вследствие динамических процессов, т. е. частое изменение технологических параметров и физико-химического свойства попутного нефтяного газа в общей системе «добычи, сбора, подготовки и транспортировки газа» [1, 2].

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПЛАСТИН ПРЯМОТОЧНЫХ КЛАПАНОВПОРШНЕВЫХ КОМПРЕССОРОВ, РАБОТАЮЩИХ В СИСТЕМЕ ГАЗЛИФТНОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ НЕФТЯНЫХ СКВАЖИН

©