Научная статья на тему 'Построение дедуктивных выводов в базах знаний, представленных в виде логических уравнений с дискретными переменными'

Построение дедуктивных выводов в базах знаний, представленных в виде логических уравнений с дискретными переменными Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
110
25
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ситников Дмитрий Эдуардович, Ситникова Полина Эдуардовна

Рассматриваются методы дедуктивного логического вывода в базах знаний, представленных логическими уравнениями. Исследуются вопросы взаимного влияния значений признаков, связи между которыми описываются уравнениями. Анализируется логическая зависимость между двумя или более заданными признаками. Методы выявления таких зависимостей базируются на исключении нескольких переменных с помощью квантора общности.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Constructing deductive inferences in knowledge bases that are represented in the form of logical equations with discrete variables

There have been considered tasks of construction of deductive derivation in knowledge bases that are represented by logical equations containing finite predicates being used for solving logical tasks of object recognition. A method for finding the strength of the link between discrete informational features has been considered. Various kinds of influence of a substitution operation for a feature variable on the initial logical equation have been described. A recursive definition of a set of logical equations that allows effective elimination of variables by the application of the operation “ has been given, the original formula size does not increase because of specific properties of this operation.

Текст научной работы на тему «Построение дедуктивных выводов в базах знаний, представленных в виде логических уравнений с дискретными переменными»

УДК 519.757

ПОСТРОЕНИЕ ДЕДУКТИВНЫХ ВЫВОДОВ В БАЗАХ ЗНАНИЙ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ В ВИДЕ ЛОГИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДИСКРЕТНЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

СИТНИКОВ Д.Э., СИТНИКОВА п.э.__________

Рассматриваются методы дедуктивного логического вывода в базах знаний, представленных логическими уравнениями. Исследуются вопросы взаимного влияния значений признаков, связи между которыми описываются уравнениями. Анализируется логическая зависимость между двумя или более заданными признаками. Методы выявления таких зависимостей базируются на исключении нескольких переменных с помощью квантора общности.

При формализации информации об объектах и процессах в базах знаний часто приходится иметь дело с дискретными информационными признаками, такими, как пол, семейное положение, уровень материальной обеспеченности (низкий, средний, высокий) и др. В тех случаях, когда такая информация имеет достаточно сложную логическую структуру, для ее формального представления используются различные методы и модели дискретной математики, в том числе логические уравнения с булевыми переменными. Так, логические методы распознавания образов предполагают составление и решение логических уравнений с переменными, принимающими значения 1 и 0 в зависимости от того, имеет ли данный объект определенное свойство или нет. Решение таких уравнений позволяет либо идентифицировать объект по имеющимся наборам значений признаковых переменных, либо установить неизвестные свойства заданного объекта [1]. Естественным обобщением уравнений булевой алгебры являются уравнения алгебры конечных предикатов [2], дающие возможность оперировать с произвольными признаковыми переменными, определенными на конечных множествах. Использо -вание таких уравнений для построения логических выводов в базах знаний позволяет расширить возможности логических методов распознавания объектов

[3].

При исследовании взаимного влияния дискретных признаков большое значение имеет определение тесноты связи между логическими переменными, представляющими данные признаки. По-видимому, формальную связь между признаками можно считать тем сильнее, чем меньше наборов значений этих переменных удовлетворяют уравнению. При этом, если любые их наборы удовлетворяют исходному уравнению, можно считать, что никакой связи между данными переменными не существует. Возникают следующие вопросы:

1. Каким образом конкретные значения данного признака, подставленные в логическое уравнение, повлияют на связи между остальными признаками?

2. Насколько сильна логическая зависимость между двумя (или более) заданными признаками?

Для получения ответа на первый вопрос представляется естественным выделить те предикаты (и соответственно уравнения), которые при подстановке определенного значения признака преобразуются в предикаты, дающие более сильную связь между переменными, а также такие предикаты, подстановка в которые данного значения ведет к ослаблению логической связи между признаками.

Пусть предикат P зависит от переменных x,y,...,z . Определим оператор подстановки a(P) (а принадлежит области определения переменной x), действующий на предикат P , следующим образом:

a(P(x, y,..., z) = P(a, y,..., z).

Назовем оператор подстановки ограничивающим, если выполняется условие

P(a,y,..., z) ^ P(x,y,..., z) (1)

для всех x,y,...,z .

Назовем оператор подстановки распространяющим, если выполняется условие

P(a,y,...,z) ^ P(x,y,...,z) (2)

для всех x,y,...,z .

Назовем оператор подстановки смещающим, если не выполняется ни одно из условий (1) и (2).

Ограничивающие операторы усиливают логическую связь между дискретными признаками, распространяющие операторы подстановки ослабляют такую связь, смещающие трансформируют связь между признаками произвольным образом.

Представим предикат P следующим образом:

P(x,y,...,z) = xaiPi(y,..,z) v xa2P2(y,...,z) V ... v xanPn(y,...,z).

Тогда

ai(P) = Pi(y,..,z) = xaiPi_(y,..,z) v xa2Pl(y,...,z) v... v xanPl( y,.., z).

Очевидно, что оператор ai (P) будет ограничивающим, если Pi ^ Pt V/ = 1,2,...,n .

Оператор a i (P) будет распространяющим, если Pi ^ Pt V/ = 1,2,...,n . И, наконец, оператор ai(P) будет смещающим, если не выполняются эти условия.

Рассмотрим примеры действия оператора подстановки ai на предикат P(x, y), где переменные x, y и z имеют области определения {ab a 2},

\bi, и {ci, c 2} соответственно.

Пусть

P = xaiybizci v xa2ybizc2 V xa2ybizci.

РИ, 1999, № 4

131

Тогда

a1(P) = ybl zC = (xai v xa2)& yb zC =

= xaybl zCl v xa2yblzCl.

Предикат P содержит кроме тех дизъюнктов, что и предикат ai(P), еще один xa2yblzC1, т.е. оператор aj является ограничивающим для предиката P . В терминах введенных определений, в данном примере

P = ybjz°x, а P2 = ybj z°2 v ybjzCj и, очевидно, Pj ^ P2 •

Рассмотрим теперь предикат

P = xa1 yb1 zC1 V xa1 yb1 zC2 V xa2yb1 zC1. ,

a1(P) = ybjzC1 v ybjzC2 = (xxa1 v xa2)&

&(ybjzC1 vybjzC2) = xajybjzC1 vxa2ybjzC2 V V xa2yb1 zC1 V xa2yb1 zC2.

Оператор aj для этого предиката, очевидно, является распространяющим. В данном примере

b Cl bl C2 7-j bl C2 T-J T-J

Pj = y 1 z 1 V y 1 z 2 , а P2 = y 1 z 2 , Т.е. PJ ^ P2 .

Если же предикат P имеет вид

a1 b1 C1 a1 b2 C2 P = x 1 y 1 z 1 V x 1 y 2 z 2

a2 b1 C2 , то V x 2 y 1 z 2 , то

a1(P) = yb1 zC1 v ybz°2 = (xa1 v xa2)&

&(yb1 zC1 v yb z°2) = xa1 yb zC1 v xa1 yb2z°2 V

v xa2yb1 zC1 v xa2yb2z°2,

т.е. оператор a1 является смещающим.

Для получения ответа на второй вопрос необходимо исключить из исходного уравнения с помощью квантора существования все переменные, кроме рассматриваемых, и исследовать полученное в результате уравнение с меньшим числом переменных, описывающее все допустимые наборы значений исследуемых признаков. В работе [3] рассмотрен достаточно широкий класс предикатов, для которого можно указать эффективный алгоритм исключения переменных без увеличения размера первоначальной формулы. В [3] были рассмотрены следующие свойства квантора существования:

1. 3xxa = 1.

2. 3x(P(x) v Q(x)) = 3xP(x) v 3xQ(x).

3. 3x(P(x)&Q(y) = 3xP(x)&Q(y).

4. 3y(P(x) ^ Q(y)) = P(x) ^ 3yQ(y).

5. 3y(P(x) ^ Q(y)) = P(x) ^ 3yQ(y).

6. Предположим, Pi (x)& Pj{x) = 0, і Ф j,i, j = 1,2,..., k, тогда:

3y((Pi(x) ^ Q1(y)) & (P2(x) ^ Q2(y)) &...

& (Pk (x) ^ Qk (y))) = (P1 (x) ^ ш (y)) &

& (P2(x) ^ 3yQ2(y)) &... & (Pk(x) ^ 3yQk(y)).

7. Если тождество Pt (x) = 0 не выполняется для любого і = 1,2,...,k и Pi (x)& Pj (x) = 0 для і * j, j, j = 1,2,..., k , тогда:

3x((P(x) ^ Q1(y)) & (P2(x) ^ Q2(y)) &...

& (Pk(x) ^ QkСФД = Q1(y) v Q2(y) v...v Qk(y). (3)

Перечисленные выше свойства позволяют сформулировать правила построения класса Д x конечных предикатов, определенных на множестве переменных {x, y,.., z}. Подмножество Дx множества Е определено следующим образом:

1. Все “узнавания” xa, xb,..., xC (a, b,..., c — символы из области определения переменной x) принадлежат A x .

2. Все предикаты, не зависящие от переменной x, принадлежат Д x.

3. Если предикаты P1 и P2 принадлежат Д x, то предикат P = P1 v P2 принадлежит Д x .

4. Если предикат P1 принадлежит Д x, а предикат P2 не зависит от x, то предикат P = P1& P2 принадлежит Д x.

5. Если предикат P1 не зависит от x, а предикат P2 принадлежит Д x, то предикат P = P1 ^ P2 принадлежит Д x.

6. Пусть предикаты PbP2,...,Pk не зависят от x;

P & Pj = 0 для і Ф j,і, j = 1,2,..,k предикаты

Q1,Q2,...,Qk принадлежат Дx; тогда

P = (P ^ Q1) & (P2 ^ Q2) & . .& (Pk ^ Qk)

принадлежит Д x.

7. Если предикаты P1,P2,...,Pk зависят только от x, Pi & Pj = 0 для і ф j,і, j = 1,2,...,k ; для любого і = 1,2,...,k тождество Pt = 0 не верно; предикаты Q1, Q2,..., Qk не зависят от x; тогда предикат P = (P1 ^ Q1) & (P2 ^ Q2)& ...& (Pk ^ Qk) принадлежит Д x.

Исключение переменных с помощью квантора существования дает нам те наборы значений исследуемых признаков, для которых существует хотя бы один допустимый набор значений остальных признаков. Если же мы хотим получить те наборы значений исследуемых признаков, которые удовлетворяют уравнению независимо от того, какие значения принимают остальные признаки, переменные следует исключать с помощью квантора общности.

132

РИ, 1999, № 4

Применение квантора общности имеет те же вычис -лительные трудности, что и применение квантора существования, описанное в [3]. Для того чтобы избежать экспоненциального увеличения размера формулы в логическом уравнении, воспользуемся следующими свойствами квантора общности.

1. ^xxa = 0.

2. Vx(P(x) & Q (x)) = VxP(x) & VxQ (x).

3. Vx(P(x)vQ(y) = VxP(x)vQ(y).

4. Vy(P(x) & Q(y)) = P(x) & VyQ(y).

5. Предположим,

Pi (x) & Pj (x) = 0, i Ф j,i, j = 1,2,...,k ,

тогда:

Vy((Pi(x) & Qi(y)) v (P2(x) & Q2(y)) v... v (Pk(x) & Qk(y))) = (Pi(x)& VyQi(y)) v (4)

v (P2 (x) & VyQ2 (y)) v... v (Pk (x)& VyQk (y)).

6. Если тождество Pi (x) = 0 не выполняется для

любого i = 1,2,...,k и Pi (x)& Pj (x) = 0 для

i Ф j, j, j = 1,2,..., k, тогда:

Vx((Pi (x) & Qi (y)) v (P2 (x) & Q2 (y)) v...

V (Pk (x) & Qk (y))) = Qi (y) & Q2 (y) &... & Qk (y). (5)

Фигурирующие в свойствах 5, 6 предикаты Pi (x) можно интерпретировать как гипотезы о возможных значениях признака x . При этом предикаты Pi (x) задают непересекающиеся области для значений данного признака.

Свойства 1 — 4 очевидны. Докажем свойство 5. Предположим, что существует такое i, что Pi (x) = i.

Тогда Pi (x) = i для любого j ф i и равенство (4) превращается в тождество

Vy(Pi (x) & Qi (y)) = (Pi (x) & VyQi (y)).

Предположим, что для любого i = i,2,..., k Pi (x) = 0. Тогда формула (4) обращается в тождество 0 = 0.

Докажем свойство 6. Для предиката F(x), определенного на множестве значений {а,Ъ,..., с}, применение квантора общности сводится к следующему выражению:

VF(x) = F(a) & F(Ъ) &... & F(с).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Применим квантор Vy к левой части уравнения (5):

Pi (x) & Qi (y)) V (P2 (x) & Q2 (y)) V... V V (Pk (x) & Qk (y)).

При подстановке каждого из значений переменной x в левую часть уравнения (5) получаем один из

предикатов Qi (y )(i = i,2,..., k). Поскольку Pi (x) не равны тождественно 0 (i = i,2,..., k), то результирующее выражение будет содержать каждый из предикатов Qi (x), что и требовалось доказать.

Следует отметить, что при выполнении дополнительного условия

Ip (x)=i,

i=i

выражения

3x((Pi (x) ^ Qi (y)) & (P2 (x) ^ Q2 (y)) &...

&( Pk (x) ^ Qk (y)))

и

Vx((Pi (x) & Qi (y)) V (P2 (x) & Q2 (y)) V...

V (Pk (x)& Qk (y))),

стоящие в левой части (3) и (5), являются формулами, представляющими один и тот же предикат.

Рекурсивно определим класс конечных предикатов, исключение переменных из которых при помощи квантора общности V происходит без увеличения исходной формулы. Определим подмножество Д x множества 2 следующим образом:

1. Все “узнавания” xa, xb,..., xc , (a, b,..., с — символы из области определения переменной x) принадлежат A x.

2. Все предикаты, не зависящие от переменной x, принадлежат Д x.

3. Если предикаты Pi и P2 принадлежат Д x, то предикат P = Pi & P2 принадлежит Д x.

4. Если предикат Pi принадлежит Д x, а предикат P2 не зависит от x, то предикат P = Pi v P2 принадлежит A x.

5. Если предикат Pi не зависит от x, а предикат P2 принадлежит Д x, то предикат P = Pi & P2 принадлежит Д x.

6. Пусть предикаты Pi,P2,...,Pk не зависят от x, P & Pj = 0 для i ф j, i, j = i,2,..., k ; предикаты Qi, Q2,. .,Qk принадлежат Дx; тогда

P = (Pi& Qi) v (P2& Q2) v... v (Pk & Qk) принадлежит Д x.

7. Если предикаты Pi, P2,..., Pk зависят только от x, P & Pj = 0 для i ф j, i, j = i,2,..., k ; для любого i = i,2,..., k тождество p ^ 0 не верно; предикаты Qi,Q2,. .,Qk не зависят от x; тогда предикат P = (Pi &Qi)v(P2 &Q2)v...v(Pk &Qk) принадлежит A x.

РИ, 1999, № 4

133

Рассмотрим пример исключения переменных из логического уравнения с помощью квантора общности.

Пусть дан предикат

P( x, y, z, t, s) = tДxa yb v zc v sa )&(yc zb v sa )&

о / b c a\ + 2, b a b a, о / b c b\ (6)

&(s z Vs )Vt (x y Vs Vz )&(y z Vs ),

который, очевидно, принадлежит классам Ax, Дy, Д z и Д t

Исключим переменные x, y, z, t из выражения в правой части (6):

VxP(x,y, z,t,s) = tl(Vx(xayb) v zc v sa) & (yczb v sa) & & (sbzc v sa) v 12(Vx(xbya) v sb v za) & (ybzc v sb) =

= tl(zc v sa) & (yczb v sa) & (sbzc v sa) V v 12(sb v za) & (ybzc v sb).

После исключения переменной y уравнение выглядит следующим образом:

VxVyP(x, y, z, t, s) = t1(zc v sa)&(sa )& &(sbzc vsa) v12(sb vza)&(sb).

Далее,

VxVyVzP(x,y,z,t,s) = tl(sa) & (sa) &

& (sa) v 12(sb) & (sb) = t1(sa) v 12(sb).

Таким образом, мы получаем следующую зависимость между переменными t и s :

Если переменная t принимает значение 1, то переменная s может принимать значение a , если же переменная t принимает значение 2, то s может принять только значение b •

УДК 681.322

КОНЦЕПЦИЯ ПОДДЕРЖКИ ИНФОРМАЦИОННЫХ РЕСУРСОВ СИСТЕМЫ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ ГИПЕРТЕКСТОВОГО УЧЕБНИКА

БЕЛОУС Н. В, ШИШИҐИНА В. С.

Излагается методика фундаментальной дисциплины как информационных ресурсов для системы дистанционного обучения. Примером является гипертекстовый учебник по математической логике. Описанный в статье продукт позволяет автоматизировать процесс обучения, может быть использован как модуль дистанционного обучения, а также как и автономный продукт на компакт-диске (локальный Web-сервер). Предлагаются способы создания подобных обучающих систем.

На современном этапе развития человечества, когда научно-технический прогресс движется гигантскими шагами и ведет к кардинальным переменам во всех сферах деятельности, очень важно каждому идти в ногу со временем, успевать своевременно попол-

Исключив же переменную t из полученного выражения, получим:

VxVyVzVtP( x, y, z, s, t) = (sa )(sb) = 0,

т.е. ни одно из значений переменной s не является независимым от значений переменной t.

Данное исследование показывает, что для довольно широкого класса конечных предикатов исключение признаковых переменных с помощью кванторов не приводит к увеличению длины исходной формулы, а лишь упрощает ее шаг за шагом. В результате можно получить более простую и ясную зависимость между дискретными информационными признаками в базе знаний.

Литература: 1. Горелик А. Л., Скрипкин В. А. Методы распознавания. М.: Высш. шк., 1984. 120 с. 2. Шабанов-Кушнаренко Ю. П. Теория интеллекта: математические средства. Харьков: Вища шк., 1984. 150 с. 3. Sitnikov D.E., D’cruz B, Sitnikova P.E. Extracting Salient Discrete Object Features Based On Composing And Manipulating Logical Equations //Вестник ХГПУ. Харьков. 1999. Вып. 51. С. 186-192.

Поступила в редколлегию 30.10.99

Рецензент: д-р техн. наук Шаронова Н.В.

Ситников Дмитрий Эдуардович, канд. техн. наук, доцент кафедры информационных технологий Харьковской государственной академии культуры. Научные интересы: логическая обработка данных. Адрес: Украина, Харьков, Бурсацкий chy^, 4, тел. 12-82-82

Ситникова Полина Эдуардовна, канд. техн. наук, доцент кафедры информационных технологий и документоведения Харьковского гуманитарного института “Народная украинская академия”. Научные интересы: логическая обработка данных. Адрес: Украина, Харьков, ул. Лермонтовская, 27, тел. 40-10-09 (4-50).

нять свои знания и приобретать новые. Даже студенты, находящиеся на начальном этапе обучения, через пять лет могут оказаться неконкурентоспособными, а те знания, которые они получили на первом или втором курсе, окажутся недопустимо устаревшими. Время не стоит на месте, вчера появились новые разработки, а сегодня уже требуются специалисты. Следить за новейшими разработками с помощью соответствующих литературных и справочных изданий неразумно, так как появятся они в лучшем случае через год. Единственным удачным решением в сложившейся ситуации является Интернет. В настоящий момент это актуально не только для молодежи, ведь чтобы быть конкурентоспособным, необходимо постоянно поддерживать и повышать свой уровень квалификации и, кроме того, уметь адаптироваться к непрерывно изменяющимся условиям, быстро переквалифицироваться. В конечном счете, именно от уровня квалифицированности и профессионализма сотрудников зависит успех в бизнесе и конкурентоспособность предприятия.

При таком положении дел для эффективного использования огромного потока информации не обойтись без переосмысливания концепции образования и профессиональной подготовки. Настало время для

134

РИ, 1999, № 4

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.