Построение бесконечного семейства классов частичных монотонных функций многозначной логики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 519.716

ПОСТРОЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОГО СЕМЕЙСТВА КЛАССОВ ЧАСТИЧНЫХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ

О. С. Дудакова1

Рассматриваются частичные функции k-значной логики, монотонные относительно произвольного частично упорядоченного множества с наименьшим и наибольшим элементами, отличного от решетки. Показано, что семейство замкнутых классов частичных монотонных функций, содержащих предполный в Pk класс всех всюду определенных монотонных функций, бесконечно.

Ключевые слова: функции k-значной логики, частичные функции, классы монотонных функций.

Partial functions of the k-valued logic monotone with respect to an arbitrary partly ordered set with the least and largest elements and distinct from a lattice are considered. It is shown that the set of closed classes of partial monotone functions containing a precomplete in Pk class of everywhere determined monotone function is infinite.

Key words: functions of k-valued logic, partial functions, monotone clones.

Известно, что множество всех замкнутых классов в частичной k-значной логике имеет мощность континуума при всех k ^ 2. Поэтому представляет интерес задача об описании отдельных фрагментов решетки замкнутых классов в частичной k-значной логике. Описание замкнутых классов в частичной двузначной логике, содержащих множество P2 всех булевых функций или какой-нибудь из предполных классов в P2, получено в работах [1, 2]. Подобные результаты установлены для предполных классов функций k-значной логики (см., например, [3, гл. 20]). Однако для предполных классов функций, монотонных относительно частичного порядка, не являющегося решеткой, окончательный результат не получен.

Настоящая работа представляет собой подробное изложение результатов работы [4]. Рассматриваются классы частичных функций, монотонных относительно частично упорядоченного множества из шести элементов — наибольшего и наименьшего элементов и двух пар несравнимых элементов. Установлено, что существует бесконечное число классов частичных функций, содержащих предпол-ный класс всюду определенных монотонных функций. Показано, что этот результат можно обобщить на случай произвольного частично упорядоченного множества с наименьшим и наибольшим элементами, отличного от решетки. Аналогичный результат получен в 2018 г. В. Б. Алексеевым [5, 6]. Отметим, что основной результат настоящей работы непосредственно следует из результатов работы [4] и получен независимо от работ [5, 6].

Пусть P = (Ek, — произвольное частично упорядоченное множество с наименьшим и наибольшим элементами. Через P* обозначим семейство всех частичных функций на P, т.е. множество отображений Un^i{f | / : Pn ^ (PU {*})}. Областью определения (D(f )) функции / (xi,... ,xn) € Pfc будем называть множество всех наборов из Pn, на которых значение / отлично от *. Пусть F и G — замкнутые классы в P*, F С G, через I(F,G) будем обозначать семейство всех замкнутых подклассов класса G, содержащих F. Через Mp обозначим класс всюду определенных монотонных функций на P (из существования наименьшего и наибольшего элементов в P следует, что Mp — предполный класс в Pk, см. [3]). Через M* будем обозначать множество всех частичных функций, монотонных на области определения. Через MP* будем обозначать множество всех частичных функций из M*, доопределяемых до функций из Mp. Легко видеть, что M* и M* — замкнутые классы в P* и выполняются соотношения Mp С M* С M*.

Обозначим чрез E частично упорядоченное множество {0,а,а',в,в', 1} с наименьшим элементом 0, наибольшим элементом 1 и двумя парами несравнимых элементов а, а' и в, в', для которых а, а' < в, в'. Известно (см. [3]), что для произвольного частично упорядоченного множества P с

1 Дудакова Ольга Сергеевна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: olga.dudakova@gmail.com.

наименьшим и наибольшим элементами число замкнутых классов в интервале 1(Мр, Мр) конечно.

В настоящей работе доказывается, что число классов в интервале I(М|,М|) бесконечно. В качестве следствия устанавливается, что для произвольного частично упорядоченного множества Р с наименьшим и наибольшим элементами, которое не является решеткой, число классов в интервале I(Мр,Мр) бесконечно.

Пусть / (ж1,...,жп) € М|. Пятерку наборов а, а', 6,6', с назовем квадратом для / в Еп, если выполняются неравенства с, сс' < с < Ь, Ь' и значения / на этих наборах задаются следующим образом: /(а) = а, /(а') = а', /(6) = в, /(6') = в', /(с) = *. Из монотонности функции / следует, что наборы а и а' несравнимы и наборы Ь и 6' несравнимы.

Отметим, что понятие квадрата является частным случаем понятия зигзага из работы [7]. Отсюда следует

Утверждение. Пусть /(х1,..., жп) € М|. Тогда / € М| в том и только в том случае, когда в Еп нет квадрата для /.

Пусть / € М|; а, а', Ь, Ь', с — квадрат для функции /. Последовательность наборов а0,..., ан+1, где к ^ 1 и все наборы различны, назовем нижним путем в квадрате, если выполняются следующие условия: 1) а0 = а, = а'; 2) а и сравнимы для всех г = 0,... ,к; 3) /(а^) = * для всех

г = 1,..., к; 4) с < Ь, Ь' для всех г = 1,..., к. Аналогично определяется понятие верхнего пути в квадрате а, а', Ь, Ь', с для функции / € М|: это последовательность различных наборов Ь0,..., Ьн+ь к ^ 1, для которых выполняются следующие условия: 1) Ьо = Ь, Ьн+1 = Ь'; 2) Ь и Ь^+1 сравнимы для всех г = 0,..., к; 3) /(Ь^) = * для всех г = 1,..., к; 4) Ь^ > а, а' для всех г = 1,..., к. Число к будем называть длиной пути.

Определим следующие семейства функций:

Р» = {/ € М| | для / нет квадратов или ни в каком квадрате для / нет нижнего пути};

Рн = {/ € М| | в любом квадрате для /, в котором есть нижний путь,

длина любого нижнего пути в этом квадрате не меньше к}, к ^ 1;

= {/ € М| | для / нет квадратов или ни в каком квадрате для / нет верхнего пути};

Сн = {/ € М| | в любом квадрате для /, в котором есть верхний путь,

длина любого верхнего пути в этом квадрате не меньше к}, к ^ 1.

Из определений следует, что выполняются включения:

М| с С ... С Рк+1 С Рк С ... с р = М|,

М| С С ... с Ск+1 С Ск С ... с С1 = М|. _

Лемма 1. Пусть /(жь ... ,жп) = /о(/1(^1,... , жп), . . . , /"т(ж1, . . . , Жп)), где /о, /1,..., /т € М|. Пусть для / есть квадрат в Еп и нижний (верхний) путь длины к в этом квадрате, к ^ 1. Тогда либо для одной из функций /1,..., /т есть квадрат в Еп и нижний (соответственно верхний) путь длины к в этом квадрате, либо для /0 есть квадрат в Ет и нижний (соответственно верхний) путь длины I в этом квадрате, где I ^ к.

Доказательство. Пусть а, а',Ь, Ь',с — квадрат для функции / в Еп, и пусть а, а1,..., ан, а' — нижний путь в этом квадрате, к ^ 1.

Рассмотрим отображение £ : Еп ^ (Е и {*})т, задаваемое набором функций (/1,..., /т). Обозначим наборы £(а),£(а'),£(Ь),£(Ь') через е,С, а!, а!' соответственно. Из определения квадрата для / следует, что /0(в) = а, /0(С) = а', /0(аТ) = в, /0(аО = в', откуда получаем в, <?,(]!, а!' € Ет. Из этих же соотношений в силу монотонности функций /о, /1,..., /т следует, что б и с несравнимы, а! и а!' несравнимы и ! < а!, а!'.

Обозначим наборы £(а1),..., £(ан) через с1,...,! соответственно. Из определения пути в квадрате и монотонности отображения £ следует, что са € Ет, са < а!, а!' для всех г и каждые два соседних набора последовательности с!,...,!;либо совпадают, либо сравнимы. Поэтому из последовательности 01,...,! можно выбрать подпоследовательность ,..., а, где 1 ^ I ^ к, так, что все наборы этой подпоследовательности различны и отличны от ! и любые два соседних набора последовательности а^,..., с, с сравнимы.

Предположим, что существует такой набор с € Ет, что ! < с < а! а!'. Тогда в силу монотонности функции /0 выполняется /0(а) = *. А значит, а, !,а!, а°, с — квадрат для функции /0 в Ет и а, ё^,..., а, с — нижний путь длины I в этом квадрате.

Пусть теперь такого набора а нет. Нетрудно показать, что в этом случае для некоторого в € {1,...,т} будет выполнено {/«(а), /Да')} = {а,а'}, {/«(Ь), /ДЬ')} = {в,в'}. Отсюда в силу монотонности функции / получаем /(с) = *. Таким образом, пятерка наборов а, а', Ь, Ь',с в — квадрат для функции /. Далее, из проведенных выше рассуждений следует, что /Дец) = * для всех г = 1,..., к, а значит, а, С1,..., , а' — нижний путь для / в этом квадрате.

Для случая верхнего пути в квадрате все рассуждения аналогичны. Лемма доказана.

Теорема 1. Семейства функций и С, к = 1, 2,... , ж, являются замкнутыми классами

в Р*-

Доказательство. Каждое из множеств и С, к = 1, 2,..., ж, содержит все селекторные функции в™(ж1,...,жп) = жг, п ^ 1. Поэтому утверждение теоремы следует из леммы 1. Теорема доказана.

Пусть /(ж1, ..., жп) — функция из М*, такая, что наборы в ее области определения образуют квадрат и нижний (верхний) путь в квадрате длины к, к ^ 1, причем этот квадрат — единственный квадрат для /, нижний (соответственно верхний) путь в квадрате также единственный, на всех остальных наборах / принимает значение *. Такую функцию / назовем примитивной функцией нижнего (соответственно верхнего) типа порядка к.

{2, если к = 1;

п, если к = 2п — 1, п ^ 2;

п + 1, если к = 2п, п ^ 1.

Лемма 2. Для любого к ^ 1 существует примитивная функция нижнего (верхнего) типа порядка к от ^(к) переменных.

Доказательство. Докажем утверждение для функций нижнего типа, для функций верхнего типа все рассуждения аналогичны. Рассмотрим отдельно несколько случаев.

1) к = 1. Определим функцию /(ж1,ж2) следующим образом: положим /(а, а) = а, /(а', а') = а', /(1,в) = в, /(в, 1) = в', /(0, 0) = 0, на остальных наборах / принимает значение *. Легко

видеть, что / € М*, наборы (а, а), (а',а'), (1,в), (в, 1), (в, в) образуют квадрат для / в а последовательность (а, а), (0, 0), (а',а') — нижний путь длины 1 в этом квадрате. Других квадратов для / нет и других путей в этом квадрате также нет. Таким образом, / — примитивная функция нижнего типа порядка 1.

2) к нечетно, к = 2п — 1, п ^ 2. Определим функцию /(ж1,... ,жп). В качестве ) возьмем следующие наборы из : а = (а,..., а), а' = (а',..., а'), Ь = (1, в,..., в), Ь' = (в, 1, в,..., в), с = (в,..., в), а2г-1 = (а',..., а', 0, а,..., а) для г = 1,..., п, а2г = (а',..., а', а,..., а) для г = 1,..., п — 1 (в наборе а2г-1 г-я компонента равна 0, компоненты с меньшими номерами равны а', остальные равны а, в наборе а2г первые г компонент равны а', остальные равны а). Далее положим /(а) = а, /(а') = а', / (Ь) = в, /(Ь') = в', / (а) = 0 для всех г = 1,..., 2п — 1, на остальных наборах / принимает значение *. Из определения функции / следует, что / € М*, а, а', Ь, Ь', с — квадрат для / в последовательность наборов а, а1,... ,а2п-1, а' — путь длины 2п — 1 = к в этом квадрате. Нетрудно показать, что других квадратов для / нет и других путей в имеющемся квадрате нет. Таким образом, / — примитивная функция нижнего типа порядка к.

3) к четно, к = 2п, п ^ 1. Определим функцию /(ж1,...,жга+1). В качестве ) возьмем следующие наборы из £га+1: а = (а,..., а), а' = (а',..., а', 0, а'), Ь = (в,..., в), Ь' = (в,..., в, в', в), с = (в,..., в, а, в), а2г-1 = (а',..., а', 0, а,..., а) для г = 1,..., п, а2г = (а',..., а', а,..., а) для г = 1,..., п — 1, а2П = (а',..., а', а', в) (в наборе а2г-1 г-я компонента равна 0, компоненты с меньшими номерами равны а', остальные равны а, в наборе а2г, г = п, первые г компонент равны а', остальные равны а). Далее положим /(а) = а, /(а') = а', /(Ь) = в, /(Ь') = в', / (а) = 0 для всех г = 1,..., 2п—1, /(а2П) = а', на остальных наборах / принимает значение *. Как и в предыдущем случае, нетрудно показать, что / — примитивная функция нижнего типа порядка к. Лемма доказана.

Следствие. Для любого к ^ 1 при любом г ^ ^(к) существует примитивная функция нижнего (верхнего) типа порядка к от г переменных.

Доказательство. Пусть к ^ 1 и г > ^(к). Пусть /(ж1,..., ж^(^)) — примитивная функция нижнего типа порядка к. Определим функцию ^(ж1 ,...,жг) следующим образом: ^(д) состоит из всех наборов из Ег вида (рь ... 0,..., 0), где (рь ... ) € £(/), и д(рь ... 0,..., 0) =

/(р1,... ) для каждого набора из ^(д). Легко видеть, что д — примитивная функция нижнего типа порядка к. Для функций верхнего типа все рассуждения аналогичны. Утверждение доказано.

Обозначим через Т/ замкнутый класс ^ П С/, г, ^ = 1, 2,..., ж. В этих обозначениях М* = Т/,

Fi = Ti1, Gi = T-i (i = 2, 3,... , то). Из определения классов следует, что имеют место включения:

(1) ME С T£;

(2) Tj С Tp для всех i, j,p, q € {1, 2,... , то}, таких, что одновременно выполняются неравенства p ^ i и q ^ j (считаем, что индекс то больше любого натурального числа).

Теорема 2. Все классы Tj при i, j = 1,..., то различны и отличны от класса M|.

Доказательство. Для каждого класса Tj, i, j = 1, 2,... , то, построим функцию xj, такую, что xj € Tp для тех и только тех p, q € {1,... , то}, для которых одновременно p ^ i и q ^ j. Такую функцию xj будем называть характеристической функцией класса Tj.

Пусть i ^ 1,i = то. Легко видеть, что любая примитивная функция нижнего (верхнего) типа порядка i является характеристической функцией класса T¿^ (соответственно T^). Далее, пусть f (х-,..., xm) — примитивная функция нижнего типа порядка i. Определим функцию ,..., xm): положим g(a) = f(а) для каждого набора а € D(f) и g(1,..., 1) = 1. Нетрудно показать, что g — характеристическая функция класса Ti1. Аналогичным образом строится характеристическая функция класса T-.

Пусть теперь i, j > 1, i, j = то. Положим k = max(^(i), ^(j)). Пусть f и g — примитивные функции нижнего и верхнего типа порядка i и j соответственно, зависящие от k переменных. Положим Dh = {(а-,..., afc, а) | (а-,..., afc) € D(f)} U {(bb..., bfc, а') | (bi,..., bfc) € D(g)}. Определим функцию h(x1,..., Xfc+1): для каждого набора (а1,..., , а) € Dh положим h(a1,..., , а) = f (а1,..., ), для каждого набора (b1,..., b^, а') € Dh положим h(b1,..., b^, а') = g(b1,..., b^), на остальных наборах из значение h считаем равным *. Нетрудно показать, что h — характеристическая функция класса Tj.

Для класса T^ определим характеристическую функцию f (x1,x2) таким образом: f (0,а) = а, f (а, 0) = а', f (в, в) = в, f (в', в') = в', на остальных наборах f принимает значение *. Заметим, что f € \ ME.

Проведенные рассуждения показывают, что все классы Tj при i, j = 1,..., то различны и включения (1), (2) строгие. Теорема доказана.

Полученные результаты обобщаются на случай произвольного частично упорядоченного множества с наименьшим и наибольшим элементами, не являющегося решеткой (решеткой называется частично упорядоченное множество P, такое, что для любых элементов а, b € P существуют 8ир(а, b) и т£(а, b)). Пусть P = (E^, — частично упорядоченное множество из k элементов с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1. Нетрудно показать, что P не является решеткой тогда и только тогда, когда в P найдутся две пары несравнимых элементов а, а' и в, в', такие, что а, а' — в, в' и не существует элемента y € P, для которого а, а' — 7 — в, в'. Далее, все предыдущие рассуждения можно провести для частичных функций из , монотонных относительно частичного порядка принимающих значения только из множества {0, а, а', в, в', 1}. Таким образом, основным результатом работы является следующая теорема, обобщающая теоремы 1 и 2.

Теорема 3. Пусть P — произвольное частично упорядоченное множество с наименьшим и наибольшим элементами, не являющееся 'решеткой. Тогда число классов в интервале I(Mpp, Mp) бесконечно.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект №18-01-00337 "Проблемы синтеза, сложности и надежности в теории управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фрейвалд Р.В. Критерий полноты для частичных функций алгебры логики и многозначных логик // Докл. АН СССР. 1966. 167, № 6. 1249-1250.

2. Алексеев В.Б., Вороненко А.А. О некоторых замкнутых классах в частичной двузначной логике // Дис-кретн. матем. 1994. 6, вып. 4. 58-79.

3. Lau D. Function algebras on finite sets: a basic course on many-valued logic and clone theory // Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer, 2006.

4. Дудакова О.С. О классах частичных монотонных функций шестизначной логики // Мат-лы XVIII Меж-дунар. конф. "Проблемы теоретической кибернетики" (Пенза, 19-23 июня 2017 г.). М.: МАКС Пресс, 2017. 78-81.

5. Алексеев В.Б. О числе замкнутых классов в частичной k-значной логике, содержащих класс монотонных функций // Тр. X Междунар. конф. "Дискретные модели в теории управляющих систем" (Москва и Подмосковье, 23-25 мая 2018 г.). М.: МАКС Пресс, 2018. 33-36.

6. Алексеев В.Б. О замкнутых классах в частичной k-значной логике, содержащих класс монотонных функций // Дискретн. матем. 2018. 30, вып. 2. 3-13.

7. TardosG. A not finitely generated maximal clone of monotone operations // Order. 1986. 3. 211-218.

Поступила в редакцию 20.06.2018

УДК 519.95

0 СЛОЖНОСТИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАЛОЙ СТЕПЕНИ

В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И КОЛЬЦАХ ВЫЧЕТОВ

С. Б. Гашков1, И. Б. Гашков2, А. Б. Фролов3

Доказано, что для произвольного многочлена f (x) G Zpn [X] степени d битовая сложность вычисления одного корня (если он есть) при фиксированном простом p и растущем n равна O(dM(nA(p))), где A(p) = [log2p], M(n) — битовая сложность умножения двоичных n-битных чисел. При известном разложении на простые множители данного числа n = mi ... mfc, mi = p"i, i = 1,..., k, фиксированном k, фиксированных простых pi,

1 = 1,..., k, и растущем n битовая сложность вычисления одного из решений сравнения f (x) = 0 mod n равна O(dM(A(n))). В частности, такая же оценка получается для извлечения одного корня любой заданной степени в кольце вычетов Zm. Как следствие получено, что битовая сложность вычисления целых корней многочлена f (x) равна Od(M(n)), если f (x) = adxd + ad-1xd-i + ... + a0, ai G Z, |ai| < 2n, i = 0,.. ., d.

Ключевые слова: полиномиальные уравнения в кольце целых чисел и в кольцах вычетов, битовая (булева) сложность.

It is proved that for an arbitrary polynomial f (x) G Zpn [X] of degree d the Boolean complexity of calculation of one its root (if it exists) equals O(dM(nA(p))) for fixed prime p and growing n, where A(p) = |"log2 p], M(n) is the Boolean complexity of multiplication of two binary n-bit numbers. Given the known decomposition of this number into prime factors n = mi ... m-fc, mi = p"i, i = 1,..., k, fixed k, fixed prime pi, i = 1,..., k, and growing n, the Boolean complexity of calculation of one of solutions to the comparison f (x) =0 mod n equals O(dM(A(n))). In particular, the same estimate is obtained for calculation of one root of any given degree in the residue ring Zm. As a corollary, we obtained that the Boolean complexity of calculation of integer roots of the polynomial f (x) is equal to Od(M(n)) if f (x) = adxd + ad-1xd-i + ... + a0, ai G Z, |ai| < 2n, i = 0,. .., d.

Key words: polynomial equations over ring of integer numbers and finite rings, Boolean complexity.

Введение. Алгоритмы решения уравнений в кольцах вычетов имеют приложения в кодировании и криптографии. Алгоритмы извлечения корней в полях вычетов по простому модулю были предложены в конце XIX — начале XX в. А. Тонелли и М. Чипполой (см., например, [1-3]). Впоследствии они неоднократно переоткрывались. Эти алгоритмы вероятностные, но в предположении справедливости некоторых теоретико-числовых гипотез алгоритм Тонелли имеет детерминированный вариант полиномиальной сложности (см., например, [4]). Если его нужно многократно применять в одном и том же поле (например, в схемах декодирования), то сложностью предварительных вычислений (однозначно определяемых этим полем) можно пренебречь (но их результаты использовать при построении схемы извлечения корня в данном поле) и упомянутые алгоритмы извлечения корня становятся детерминированными.

Для вероятностного алгоритма Чипполы имеет место оценка O(log2 p)M(log2 p) его битовой сложности, где M(n) — битовая сложность умножения двичных n-битных чисел.

Известно [5, 6], что M(n) = ^(n)n log n, где ^(n) — некоторая функция, растущая медленнее любой итерации логарифма. Для средних значений n лучше алгоритмы Шенхаге-Штрассена и Полларда. При малых n предпочтительнее методы Карацубы и Тоома (см., например, [1-3]).

1Гашков Сергей Борисович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sbgashkov@gmail.com.

2Гашков Игорь Борисович — канд. физ.-мат. наук, доцент Университета г. Карлстада, Швеция, e-mail: igor.gachkov@kau.se.

3 Фролов Александр Борисович — доктор техн. наук, проф. НИУ МЭИ, e-mail: abfrolov@gmail.com.