CC BY
2138
EARTH SCIENCES / <<Ш1ШМУМ~^©УГМак>>#91Ш,2(0]9
1. Лотов А. В. Введение в экономическо-мате-матическое моделирование. М., 1984.
2. Дубров А. М. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. М., 2001.
3. Макаров В. Л. Экономическое моделирование и его роль в тории и практике // Экономика и математические методы. 1990. Т. 26, вып. 1.
4. Акимов А.А., Галиаскарова Г.Р., Идрисов Р.Г. Электронное учебное пособие "Математическое моделирование и программирование"// В сбор-
нике: Российские инициативные разработки (Инициатива. Предприимчивость. Смекалка) Научное издание. Saint-Louis, Missouri, USA, 2017. С. 53.
5. Акимов А.А., Галиаскарова Г.Р., Идрисов Р.Г. Электронное учебное пособие "информационные технологии в решении экономических задач" //В сборнике: Российские инициативные разработки (Инициатива. Предприимчивость. Смекалка) Научное издание. Saint-Louis, Missouri, USA, 2017. С. 52.
УДК 53
Тагирова Р. А.
Студент
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
DOI: 10.24411/2520-6990-2019-10222
ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ АНПА И ЕГО АНАЛИЗ
Tagirova R. A.
student, Moscow State University
DESIGN OF AN ASYMPTOTIC OBSERVER FOR AUV AND ANALYSIS
Аннотация
В статье исследуется модель автономного подводного аппарата с 6 степенями свободы, для которого поставлена задача восстановления неизвестных входных данных для построения управления. Для решения этой задачи был построен асимптотический наблюдатель в боковой и поперечной плоскостях. Проведено численное исследование сходимости построенных оценок к актуальным данным, показано, что наблюдатель позволяет избавиться от неопределенности во входных данных.
Abstract
The article develops the design of asymptotic observer for a 6-DOF Autonomous Underwater Vehicle (A UV) to reconstruct of the unknown input for a control. Asymptotic observer is designed in lateral and vertical plane. Shown that the resulting estimation vector designed by asymptotic observer is able to reconstruct input data.
Ключевые слова:АНПА, асимптотический наблюдатель, подводные системы, нелинейные системы, наблюдаемость
Key words:A UV, asymptotic observer, marine systems, non-linear systems, observability
В настоящее время АНПА (автономный необитаемый подводный аппарат, англ. autonomous underwater vehicle — AUV) становится все более и более популярным, поскольку они могут работать и исследовать на экстремальных глубинах, в то же время являются недорогой альтернативой для выполнения наблюдательных миссий, подводных поисков, осмотра трубопровода.
Целью данной работы является построение оценки полного вектора состояния по измеряемым данным. В качестве основного подхода был выбран асимптотический наблюдатель, который был построен для поперечной и вертикальной плоскостей.
Математическая модель. Для построения математической модели автономного подводного аппарата рассмотрим его динамическое нелинейное уравнение, которое можно получить из уравнения Ньютона-Эйлера для твердого тела в жидкости, и оно будет выглядеть следующим образом [5]:
Mv + C(v)v + D(v)v + g(ri)=8 (1)
где v - вектор линейных и угловых скоростей [и, V, w, р, q, r]T, ц - вектор положения аппарата по
отношению к земле в фиксированных координатах. На рис. 1 представлены системы координат, в которых движется объект. Подводный аппарат имеет 6 степеней свободы, поэтому ее положение в любой момент времени может быть выражено 6 кооорди-натами - х, у, г, ф, в, *ф. М - матрица инерции для твердого тела и добавленной массы; С (и) - корио-лисова и центростремительная матрица для твердого тела и добавленной массы; О(и) - гидродинамическая матрица демпфирования; д(ф - вектор силы тяжести и плавучести; 5 - входной вектор управления, описывающий силы и моменты усилий с подвижными частями АНПА по данным о внешнем виде.
Также, в модели установлены нулевые начальные условия, продольная скорость поддерживается на заданном значении 1м/с.
Формализация задачи. Имеется математическая модель:
(х = Ах + Ви { у = Сх
<<ШУШетиМ~^©У©Ма1>#9(113)),2Ш9 / EARTH sciences
39
Необходимо построить наблюдатель, при котором х ^ х при Ь ^ и оценка по измеряемым данным удовлетворяет уравнению: х = Ах + Ви + Ь(у — Сх), где Ь такая матрица, что собственные числа матрицы (А — ЪС) совпадают с собственными числами матрицы (А — ЪС)Т. При этом матрица ¿должна не просто обеспечить асимптотическую устойчивость, но также не ухудшить переходный процесс при использовании наблюдателя по отношению к использованию обратной связи по измеряемым переменным.
Построение наблюдателей. Воспользуемся уже построенной в Simulink и МЛТЬЛБ моделью и функциями, выполненными в соответствии с [5], в которых указаны все необходимые нам матрицы и в которые будем вносить изменения, т.к. указанные матрицы для вектора состояния объединены с вектором управления 8.
Будем рассматривать упрощенную задачу управления боковым и продольным движениями. Разделим всю систему таким образом, чтобы построить наблюдатели именно в тех плоскостях, которые требуются. Система распадется на более простые, поэтому для синтеза управления можно будет использовать линейные модели, в которые входят не все компоненты вектора состояния. Вектор х состоит из 12 компонент, для построения управления
нам потребуются 9. Также отметим, что синтезирована обратная связь по состоянию в нескольких вариантах. Не все переменные состояния не измеряются (в каждом случае указано, какие переменные измеряются), поэтому в обратной связи нужно использовать оценки переменных состояния.
Рассмотрим поперечную плоскость. Строим асимптотический наблюдатель по измеряемым состояниям: боковой скорости у, крену <р и курсу В вектор х войдут также скорость крена и скорость рыскания. Для линеаризации уравнений динамики была использована функция linmod() из пакета MATLAB. Данная функция возвращает линейное приближение модели в SS форме, на вход подается название Simulink-модели, точка, в окрестности которой нужно произвести линеаризацию и управляющие силы. Для нахождения точки равновесия используется функция trim().
Для нахождения матрицы L1 воспользуемся функцией place. Путем подбора получим: L\ = place(A'[,C1[,[—0.1,—2.1,—3,—2.1,—2.5]), где в квадратных скобках указаны собственные числа матрицы L1. Напомним, что начальные условия в модели нулевые. Для проверки сходимости оценки возьмем начальными условиями на наблюдателе Щ= [3,7,1,-,-]
0 L 40 31
График х — х для поперечной плоскости
Как видим из графика, значения на наблюдателе и в векторе состояния сходятся за 5 тактов с некоторой погрешностью.
Проделаем аналогичную процедуру для измеряемых глубины г и дифферента в. В вектор х, помимо указанных измеряемых переменных, войдут
вертикальная скорость и скорость тангажа. При линеаризации проделана аналогичная процедура, для построения наблюдателя также использована функция place:
Lt2 = place (А\, С%, [—0.5, —1.5, —1, —0.7]) , где в квадратных скобках подобранные собственные числа.
40
EARTH SCIENCES /
График x — x для вертикальной плоскости
Как мы видим из графика, в этом случае оценка сходится к вектору состояний примерно за 5 тактов из начального состояния на наблюдателе: х0 = [3, — , —3, — ].
0 L '40 45 J
Подбор собственных чисел для векторов L1, L2 - трудоемкий процесс. При изменении одного из чисел, меняется фактически весь график, хотя некоторые переменные могут измениться незначительно. При подборе с помощью функции place основным условием "успешности" подобранных собственных чисел для матриц L1, L2 делался акцент на быстродействие, в целом же за функционалы, по которым выбирались матрицы, могли быть приняты колебательность или же перерегулирование.
Заключение. В работе была поставлена задача построения асимптотического наблюдателя и анализ его свойств. Эта задача актуальна в связи с тем, что построение оценки вектора состояния позволяет нам в дальнейшем построить управление для АНПА и далее работать над его улучшением. Большим преимуществом наблюдателя является то, что
можно его построить, используя не все 12 составляющих вектора состояния. Также при решении этой задачи были использованы встроенные функции MATLAB и Simulink, что значительно упростило моделирование.
Список литературы.
1. Ferial El-Hawary. The Ocean Engineering Handbook, The Electrical Engineering Handbook Series, 2001
2. Веремей Е. И., Сотникова М. В. Управление с прогнозирующими моделями. Учебное пособие СПбГУ ПМ-ПУ, 2014. С. 81-92.
3. Jan Petrich, Daniel J. Stilwell. Model simplification for AUV pitch-axis control design. The Bradley Department of Electrical and Computer Engineering, Virginia Polytechnic Institute and State University, Blacksburg, VA 24061
4. Vervoort J.H.A.M. Modeling and Control of an Unmanned Underwater Vehicle. Christchurch, New Zealand, November 2008 P.25-40
5. T.I. Fossen. Guidance and Control of Ocean Vehicles. Book: John Wiley and Sons Ltd. 1994 P.448-452
