Построение аналитико-численных моделей распределенных информационных систем с невысоким уровнем сетевого трафика Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 004.7 DOI: 10.17213/0321-2653-2015-2-23-29

ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИКО-ЧИСЛЕННЫХ МОДЕЛЕЙ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ С НЕВЫСОКИМ

УРОВНЕМ СЕТЕВОГО ТРАФИКА

BUILDING ANALYTICAL AND NUMERICAL MODELS OF DISTRIBUTED INFORMATION SYSTEMS WITH A LOW LEVEL OF NETWORK TRAFFIC

© 2015 г. В.Н. Ковалевский, С.П. Воробьёв

Ковалевский Владимир Николаевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Информационные и измерительные системы и технологии», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. Тел. (8635)-255-240. E-mail: don-server@mail. га

Воробьёв Сергей Петрович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Информационные и измерительные системы и технологии», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: vsp1999@yandex.ru

Kovalevsky Vladimir Nikolaevch - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Information and measuring systems and technologies», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. Ph. (8635)-255-240. E-mail: don-server@mail.ru

Vorobyov Sergey Petrovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Information and measuring systems and technologies», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: vsp1999@yandex.ru

Представлена математическая формулировка аналитико-численных моделей распределенных информационных систем на базе облачных технологий с многоточечной топологией типа «звезда» с невысоким уровнем сетевого трафика при использовании конвейерной передачи и стартстопной передачи. Используется экспоненциальное распределение времени отработки (формирования) сообщения в источниках, времени занятости каналов при передаче блока прямых и ответных сообщений, времени обслуживания сообщения в устройстве. Определяются характеристики непрерывного марковского процесса, которым представлено функционирование ВС. Получено пространство состояний с учетом заданных ограничений, определена инфинитезимальная матрица переходных интенсивностей.

Ключевые слова: аналитико-численная модель; трафик; марковский процесс; система массового обслуживания; пространство состояний.

The article presents the mathematical formulation of analytical and numerical models of distributed information systems based on cloud technology with multipoint topology type star with a low level of network traffic when using pipelining and start-stop transmission. Using an exponential distribution of time practicing (formation) of the message in the source, time of employment channels during transmission of the block of direct and response messages, maintenance messages in the device. Defines the characteristics of a continuous Markov process, which presents the functioning of the armed forces. The resulting state space with constraints, defined infinitesimal matrix of transition intensities.

Keywords: analytical-numerical model; traffic; Markov process; queueing system; the state space.

Сложность распределенных информационных систем в настоящее время резко возрастает в связи с интенсивным внедрением новых парадигм и технологий, таких как облачные вычисления, виртуализация, центры обработки данных и др. Это приводит к кардинальному изменению архитектурных решений построения вычислительных сетей (ВС) и модернизации концепции использования сетевого оборудования и сетевых сервисов.

Наибольшую популярность завоевали облачные вычисления и облачные системы хранения данных [1 - 4] как удобный способ передачи информации и предоставления функциональных средств в сети Internet, поскольку они позволяют сократить расходы и решить проблему масштабирования, достигнув необходимых показателей доступности, производительности, безопасности и защиты данных. Cloud Computing - фактически это средство создания и хранения контента, а

также стратегия, которая определяет правила использования контента. Существует множество облачных решений, в каждом из которых предлагается свой набор средств, функций и возможностей. Облачные службы и функциональные средства для обработки и хранения данных объединяются в разных комбинациях для предоставления ПО как услуги (SaaS), платформы как услуги (PaaS) и инфраструктуры как услуги (IaaS) при создании общедоступных и частных облачных решений. Сетевая инфраструктура строится на базе технологий 40GbE и 100GbE для распределительных и магистральных каналов, а также более распространенных 10GbE и 1GbE при широком использовании виртуальных частных сетей (VPN). Различные уровни хранения данных обеспечиваются сверхпроизводительными твердотельными накопителями и производительными жесткими дисками большой емкости. Функции управления хранением включают защиту данных (обеспечение высокой доступности, резервное копирование и средства восстановления после аварий), а также процедуры оптимизации использованного пространства (сжатие, дедупликация и динамическое распределение). К программным средствам относятся облачные продукты формирования гипертекста (например, OpenStack) и связанные инструменты управления. Примерами гипервизоров виртуальных машин и инфраструктур виртуальных ПК являются Citrix/Xen, KVM, Microsoft Hyper-V, Oracle и VMware ESX/vSphere. Комбинируя использование облачных ресурсов, можно создавать продукты для решения любой проблемы и удовлетворения любой потребности пользователей.

При проектировании архитектуры облачных распределенных информационных систем необходимо решать ряд сложных и неординарных задач, посвященных выбору оптимальной вычислительной инфра-стуктуры, размещению ресурсов и сервисов, обеспечению непрерывной доступности и высокой надежности и т.д. Основным инструментом для анализа процессов (протоколов обмена) в вычислительных сетях информационных систем являются вероятностные модели, которые на концептуальном уровне представляются как системы и сети массового обслуживания [5 - 7]. Для разработки этих моделей применяются методы вложенных цепей Маркова, экспоненциальных сетей, основная особенность которых состоит в том, что не удается получить выражения для характеристик в замкнутой окончательной форме, а для их нахождения необходимо выполнить некоторую алгоритмическую последовательность действий. Поэтому рассматриваемые далее модели относятся к классу аналитико-численных моделей. Они описывают функционирование вычислительных сетей для распределенных информационных систем, представляющих многоточечное соединение типа «звезда». На характеристики этих ВС непосредственным образом влияет интенсивность (уровень) сетевого трафика (объём информации, передаваемой по линиям связи сети за

определённый период времени), которая также определяет способы передачи сообщений между узлами сети. Поэтому протоколы обмена распределенных ИС моделируются условно для трех уровней этого трафика: низком, невысоком (среднем) и высоком.

В линиях связи ВС распределенной системы с низким сетевым трафиком практически отсутствуют потери (искажения) передаваемых сообщений из-за несущественной загрузки линий связи и их узловых промежуточных накопителей (очередей). Поэтому вероятность потери сообщений низка и ею можно пренебречь. Указанные признаки позволяют не использовать в протоколе обмена квитирование и повторные передачи сообщений, но не исключают процедуры предварительного обмена.

Влияние среднего уровня сетевого трафика на передачу сообщений можно характеризовать такими, например, качественными признаками, как наличие в ЛС нечастых потерь и искажений передаваемых сообщений; вероятность их возникновения невысока и имеет постоянную величину. Поэтому аналитико-численная модель должна учитывать случайные воздействия сетевого трафика, а также все процедуры, связанные c транспортировкой сообщений: предварительный обмен, квитирование; повторные передачи; организацию тайм-аутов.

Для высокого уровня трафика, изменяющегося в широком диапазоне, характерно наличие большого количества потерь и искажений данных, а следовательно, повторных передач. Поэтому протоколы обмена включают процедуру сегментирования транспортируемых по линиям связи больших массивов информации и адаптацию длины передаваемых сегментов в зависимости от текущего уровня сетевого трафика.

В протоколе обмена в вычислительных сетях распределенных ИС также предусматривается реализация различных типов передач сообщений между узлами: стартстопная SW (send-and-wait) и конвейерная SS (send-and- send). При стартстопной передаче отправка каждого сообщения сопровождается блокировкой работы узла-отправителя до прихода подтверждающей квитанции на данное сообщение. При конвейерной передаче узлу-отправителю разрешается отправка целого блока из нескольких сообщений до прихода групповой подтверждающей квитанции. Максимальное число сообщений, которое можно передать без подтверждения приема, называют шириной внутреннего окна Wwnt. Этот параметр протокола обмена может варьироваться от 1 (передача SW) до Wnech (передача SS), где Wnech - ширина внешнего окна (максимальная длина буферных накопителей каналов и узлов вычислительной сети распределенной ИС). Далее будут рассмотрены аналитико-численные модели ВС с невысоким уровнем сетевого трафика для конвейерной и стартстопной типов передач сообщений.

Аналитико-численная модель с конвейерной передачей сообщений

Разработка модели осуществляется в предположении об экспоненциальном распределении времени отработки (формирования) сообщения в источниках, времени занятости каналов при передаче блока прямых либо ответных сообщений, времени обслуживания сообщения в устройстве. Данное предположение является традиционным и часто используемым в аналитическом моделировании [5, 8 - 10]. С учетом этого функционирование ВС распределенной ИС и ее протокола обмена можно описать концептуальной моделью, представляющей собой замкнутую экспоненциальную сеть массового обслуживания. Данная сеть включает следующие элементы: группу из т источников сообщений с накопителями (узлы-отправители); обслуживающее устройство с т системными накопителями (серверный узел),); группы из т каналов (линий связи) емкостью Wwntl с очередями в источниках и

обслуживающем устройстве. Емкость накопителей источников и системных накопителей определяется шириной внешнего окна Wwnehl (I = 1, т). Максимальная длина очередей каналов в источниках и устройстве

также равна Ww

wneh¡

QU_1

QU_2

HL_

QU_m

Система

P1

W wneh

snis_1 W wneh1 snis_2 snis_m

..................................................................................7К............................ w f rwneh.

CAN_1 передачи CAN_2 CANm

w w ' 'Wtlt j

1

I ' 4 I I '

IQ. _1 h IQ _2 h IQ. m

P 2 Pm

"1 X2

is_ _1 is. 2 is_ _m

w wneh

nis _1 nis_2 nis _m

í-l u

w r fwneh

w

T Will

Источники

Исходными данными для конструирования модели являются: число источников сообщений - т; стационарный закон (распределения времени отработки сообщения в 1-м источнике ^ ^) = 1 - е, где XI = ^интенсивность отработки прямого сообщения в 1-м источнике, tor - среднее время отработки прямого сообщения в 1-м источнике с учетом времени, затрачиваемого на анализ блока заголовка и ответного сообщения, поступивших во время этого процесса; нестационарный закон распределения времени занятости 1-го канала при передаче

блока прямых сообщений ^) = 1 - е Л1 , где У) = Слръ)-1- среднее время занятости 1-го канала при передаче блока из У прямых сообщений; нестационарный закон распределения времени занятости при передаче блока ответных сообщений

Ftos(t) = 1 - e-«', где 7Д (Z) = (лГ Г1 - среднее

время занятости l-го канала при передаче блока из Z ответных сообщений; длины файла, прямого и ответного сообщений, передаваемых в l-м канале -Lf, Lps, LO; быстродействие l-го канала - С; среднее время, затрачиваемое на предварительный обмен при передаче прямого и ответного сообщений в l-м канале (включает время передачи блоков заголовка и подтверждения, время анализа блока заголовка) -

Т ps TOS w

tpol, tpo ; среднее время ожидания подтверждающей

квитанции на переданные ранее прямое и ответное сообщения (включает время анализа прямого (ответного) сообщения на достоверность и время передачи квитанции) - tpkkSl, t^ ; стационарный закон распределения времени обслуживания прямого сообщения от

l-го источника Bl (t) = 1 - elt, где ц-1 - среднее время обслуживания прямого сообщения от l-го источника с учетом времени, затрачиваемого для анализа блоков заголовка и прямых сообщений, поступающих во время этого процесса; глубина запроса (ширина внешнего окна) для l-го источника - Wwneh¡ ; ширина внутреннего окна для l-го источника, определяемого размером группы передаваемых сообщений l-м источником Wwnti; вероятность битовой ошибки в l-м

канале - pb¡ . Процесс транспортировки по каналу включает предварительный обмен, передачу блока сообщений, получение положительной (отрицательной) групповой квитанции. При получении отрицательной квитанции инициализируются повторные передачи соответствующего блока, которые выполняются до тех пор, пока не будет получена положительная квитанция. Предварительный обмен при повторных передачах не предусматривается. Необходимо отметить, что вероятность потери (искажения) блоков заголовка и подтверждения, реализующих предвари-

Учитывая экспоненциальный

характер распределения всех указанных выше временных задержек в данной модели, ее можно достаточно полно реализовать на базе марковских непрерывных процессов с дискретным пространством состояний (рисунок).

Г Система обслуживания

Сеть массового обслуживания распределенной системы

тельный обмен, а также подтверждающей квитанции, низки из-за малой длины этих служебных сообщений. Поэтому их повторные передачи не рассматриваются.

Число неуспешных передач блока сообщений у можно описать дискретным геометрическим законом распределения Р(у = г) = р(1 - р)г, где р - вероятность успешного завершения события (0< р <1); г -число неуспешных завершений события.

Математическое ожидание случайного числа у имеет вид М (у) = (1 - Р) / Р.

Тогда получим:

тР*

Тр (X) = 7Р* + (—!—Y + 7Р/)(Мр (у) +1);

С, (2) = Т™ + + )(М? (у) +1),

где Y, 2 - текущее количество прямых (ответных) сообщений в группе (блоке). Математическое ожидание числа неуспешных передач блока из прямых либо ответных сообщений для !-го канала определяется следующим образом:

M p (у) =

Poh

1" P'oh

M0s (у) =

Poh,

1 - P'h

где Р'ащ = 1 - (1 - Р^)Т ^^ - вероятность искажения

блока из прямых сообщений в !-м канале;

РоЦ = 1 - (1 - Р ) 1 - вероятность искажения блока

из ответных сообщений в 1-м канале.

Для определения характеристик непрерывного марковского процесса £(0, которым представлено функционирование ВС, необходимо: сформировать

полное пространство состояний Е = |е,, i = 1, р|; получить пространство состояний Е*=|(Е*, i = 1, р0)| с

учетом заданных ограничений; определить инфините-зимальную матрицу переходных интенсивностей

Q * *. Полное пространство состояний Е для рас-

EiEj

сматриваемой экспоненциальной сети массового обслуживания состоит из множества р векторов, т.е.

Е = {Е, (Н, 1,...., Н, 1,...., Н

, т >

-3, 1 -3, т ; ,4, 1 1 Ч m), , =1, Р } где

-1,1 - количество сообщений, находящихся в накопителе 1-го источника в момент времени /; ,2, 1 - количество прямых сообщений в очереди 1-го канала в момент времени /; ,3, 1 - количество прямых сообщений, находящихся в 1-м системном накопителе обслуживающего устройства в момент времени /; ,4, 1 - количество ответных сообщений в очереди 1-го канала в момент времени Л Например: Е] (0,....,0; 0,....,0; 0,....,0; 0,....,0; 0,....,0), Е2 (0,....,0; 0,....,0; 0,....,0; 0,....,1),...., Е1 (0,....,2; 1,....,0; 2,....,1; 2,....,1;), ,....,

Ep (W

wnety >---->

W

wnehm

W h W h

wnefy > > wnehm

Размерность полного пространства состояния определяется как р = (Пи (^кпещ + 1))а, где а = 4 -

количество этапов прохождения сообщения в сети (отработка, передача и обслуживание прямого сообщения, передача ответного сообщения).

Для получения ограниченного пространства состояний Е* = (Е,, = 1, р0) необходимо при просмотре множества векторов состояний Еь Е2, Ез ,..., Ер исключить те вектора состояний, которые не удовлетворяют условию +,2,1 +,3,1 + ,4,1 = ^^¡пе^ , 1 = 1,т .

Данное ограничение обусловлено наличием в моделируемом протоколе обмена ВС распределенной ИС механизма внешнего окна. Графическое представление всего полученного пространства состояний Е* = (Е,, = 1, р0) затруднено в связи с огромным

Т-*

количеством этих состояний, так как вектор Е, имеет

большое число компонент. Преодолеть эту проблему позволяет использование алгоритмического подхода к

формированию инфинитезимальной матрицы Q * *.

EiEj

Для ее получения следует рассмотреть состояния сети

*

в моменты времени t и t + Д, причем состояние Ei

*

соответствует моменту t, а Е}- - моменту t + Дt; выделить события, приводящие к переходам сети из со**

стояния Ei в состояние Е}-; качественно и формально

определить условия этих переходов, т.е. условия завершения событий с учетом того, что за промежуток времени Дt может произойти только одно событие;

вычислить интенсивности переходов Q * *. Элемен-

EiEj

ты инфинитезимальной матрицы || Q * * || находятся

EiEj

-ч следующим образом:

ß, j, i * U

1,1

ро

о ** =<! £Рг, 1,' =

17 Л г = ,

Г * 1

0, в остальных случаях,

где р, 1 - интенсивность переходов из состояния

*

Е, (,1 ,1 ,----, ,1,т ; ,2,1 ,----, ,2,т ; ¡3,1 ,----, ,3,т ; ,4,1 ,----, ,4,т)

в состояние Е* (/4,1 ,...., 11,т ; 12,1 ,.., 12,т ; 13,1 ,.., 1з,т ;

]4} 14,т).

Перечисленные выше этапы формирования матрицы || 0 * * || позволяют исключить не только процедуры ручного построения графа состояний, но и системы алгебраических уравнений, а самое главное -обеспечивают алгоритмизацию как определения элементов 0 * *, так и вычисления вектора стационар-Е,Е1

W

ehl

W h • W и W и )

• • • > wnehm wnety >----> wneh. '

hm

ного распределения вероятностей (СРВ).

В табл. 1 представлены все события, переводя* *

щие сеть из состояния Ei в состояние Е, условия их

свершения и соответствующие интенсивности переходов. Классическим методом нахождения стационарного распределения вероятностей для однородного марковского процесса с непрерывным временем является решение системы линейных уравнений (ЛУ):

*а=о, (1)

Р о

совместно с условием нормировки ^ п i = 1, где

i=1

Таблица 1

События и качественное описание условий Формальное представление условий Интенсивности переходов

1. Отработка прямого сообщения в 1-м источнике 31 : о < -1, 1< Wwnehl, ]' 1, 1 = -1, 1 - 1, ] 1 = 1 2, 1 + 1, -з, 1=] 3, 1, - 4, 1=]4, 1 ; V.?: -1, 5= ]1, „ 1 2, л = ]2, „ -3, я = ]3, я, 1 4, я = ] 4, „ 5 = 1,т ; 5 Ф 1

2. Успешная передача по 1-му каналу блока прямых сообщений: 2.1. Отсутствие на другом конце канала ответных сообщений, содержимое очереди полных сообщений меньше либо равно ширине внутреннего окна 3l : 1 4, l = 0, 0 < 1 2, 1 < Wwntl , - 1, 1 = ] 1, 1, ] 2, 1 = 0, ] 3, 1 = 13, 1 + 1 2, и 1 4, 1 = ] 4, (, V.?: -1, ?= ] 1, ?, ¿2, 5 = ] 2, 5, - 3, 5 = ] 3, 5, - 4, 5 = ] 4, 5, ? = 1, т 5 Ф 1 <

2.2. Отсутствие на другом конце канала ответных сообщений, содержимое очереди прямых сообщений больше ширины внутреннего окна 3 1 : -4,1 = ° Wwntl < -2,1 < , 1 1, 1 = ] 1, и } 2, 1 = 1 2, 1 - Wwщ, } 3, 1 = ¿3, 1 + , 1 4, 1 = ] 4, 1; Vs: ¿1,5= ]' 1, 5, 1 2, 5 = ]'2, 5, 1 3, 5 = ] 3, 5, 1 4, 5 = ] 4, 5, 5 = 1,т ; 5 Ф 1 <

2.3. Наличие ответных сообщений на другом конце 1-го канала, содержимое очереди прямых сообщений меньше либо равно ширине внутреннего окна 31:1 4, 1 > о, 0 < 1 2, 1 < Wwntl, 1 1, 1 = ] 1, и ] 2, 1 = 0 ] 3, 1 = 1 3, 1 + 1 2, Ь 1 4, 1 = ] 4, 1 ; Vs: 1 1, 5 = ]' 1, 5, 1 2, 5 = ]'2, 5 , 1 3, 5 = ] 3, 5, 1 4, 5 = ] 4, 5, 5 = 1,т ; 5 Ф 1 лТ 2

2.4. Наличие ответных сообщений на другом конце 1-го канала, содержимое очереди прямых сообщений больше ширины внутреннего окна 31: 1 4, 1 > ° №„„,, < 1 2, 1 < Wwnehl , 1 1, 1 = ] 1, Ь ] 2, 1 = 1 2, 1 - ^ , ] 3, 1 = 1 3, 1 + ^ , 1 4, 1 = ] 4, 1 ; Vs: 1 1, 5 = ] 1, 5, 1 2, 5 = ] 2, 5, 1 3, 5 = ] 3, 5, 1 4, 5 = ] 4, 5, 5 = 1,т ; 5 Ф 1 лТ 2

3. Обслуживание прямого сообщения от 1-го источника 31 : 0 < 1 3, 1 < ^^ , 1 1, 1 = ] 1, 1, ] 2, 1 = 1 2, 1, ] 3, 1 = 1 3, 1 -1, ]4, 1 = г'4, 1 + 1; Vs: 11,5 = ]1, 5, 1 2, 5 = ]2, 5, 1 3, 5 = ] 3, 5, 1 4, 5 = ] 4, 5, 5 = 1,т ; 5 Ф 1 1 — т

4. Успешная передача по 1-му каналу блока ответных сообщений: 4.1 Отсутствие прямых сообщений на другом конце 1-го канала 31 : 12, 1 = ^ 0 < 1 4, 1 <WWneh¡, ] 1, 1 = 1 1, 1 + 1 4, Ь 1 2, 1 = ] 2, Ь 1 3, 1 =] 3, l, ] 4, 1 = 0; Vs: 1 1, 5 = ]' 1, 5, 1 2, 5 = ] 2, 5, 1 3, 5 = ] 3, 5, 1 4, 5 = ] 4, 5, 5 = 1,т ; 5 Ф 1 л7

4.2. Отсутствие прямых сообщений на другом конце 1-го канала, содержимое очереди ответных сообщений больше ширины внутреннего окна 3 1 :1 2, 1 =0, Wwntl < 1 4, 1 < Wwnehl , ] 1, 1 = 1 1, 1 + ^ , 1 2, 1 = ] 2, l, 1 3, 1 = ] 3, Ь ] 4, 1 = 1 4, 1 - ^ ; Vs: 1 1, 5 = ] 1, 5, 1 2, 5 = ] 2, 5, 1 3, 5 = ] 3, 5, 1 4, 5 = ] 4, 5, 5 = 1,т ; 5 Ф 1 л7

4.3. Наличие прямых сообщений на другом конце 1-го канала, содержимое очереди ответных сообщений больше ширины внутреннего окна 31: 1 2, 1 > 0, 0 < 1 4, 1 <Wwntl, ] 1, 1 = 1 1, 1 + 1 4, Ь 1 2, 1 = ] 2, Ь 1 3, 1 =] 3, Ь ] 4, 1 = 0; Vs: 1 1, 5 = ]' 1, 5, 1 2, 5 = ] 2, 5, 1 3, 5 = ] 3, 5, 1 4, 5 = ] 4, 5, 5 = 1,т ; 5 Ф 1 лТ 2

4.4. Наличие прямых сообщений на другом конце 1-го канала, содержимое очереди ответных сообщений больше ширины внутреннего окна 3 1: г'2,1 > ^ Wwntl < 14, 1 < Wwnehl , ] 1, 1 = 1 1, 1 + ^ , 1 2, 1 = ] 2, Ь 1 3, 1 = ] 3, l, ] 4, 1 = 1 4, 1 - Wwntl ; Vs: 1 1, 5 = ] 1, 5, 1 2, 5 = ] 2, 5, 1 3, 5 = ] 3, 5, 1 4, 5 = ] 4, 5, 5 = 1,ОТ ; 5 Ф 1 лТ 2

5. В сети событий не произошло Vs: 1 1, 5 = ]' 1, 5, 1 2, 5 = ]'2, 5, 1 3, 5 = ] 3, 5, 1 4, 5 = ] 4, 5, 5 = 1,т ; 5 Ф 1 Р0 Г=1 ГФ]

п = {п ,...., п ,..., лро } - вектор стационарного распределения вероятностей; п - вероятность того, что

система в произвольный момент времени t находится

*

в состоянии Е1 .

Для решения данной системы линейных уравнений целесообразно использовать итерационные методы: простой итерации, Гаусса - Зайделя и др. Это связано с тем, что размерность р0 матрицы Q может быть достаточно велика, поэтому применение точных методов в этих случаях будет затруднено.

Матричная форма представления метода простой итерации для системы уравнений A^X = B, где А -матрица коэффициентов при неизвестных, X - столбец неизвестных.

Матрица B свободных членов имеет вид: Xn+l = X"A'+ C, где А' - преобразованная матрица А, n - номер итерации.

В алгебраической форме для системы линейных

N _

уравнений Xj = ^ xia', + c,, i = 1, N, этот метод запи-

i=1

N

сывается как x' + =У x"aJi + c, , где xn - значение

J 1 J>' J J

i=1

j-й компоненты СРВ после n-й итерация. Окончательно СРВ находится как предел последовательности

x, = lim xП, j = 1, N.

Для применения итерационного метода необходимо уравнение (1) привести к виду ХА' = Х. Поэтому выполним следующие операции: % = %Q + % ,

%n+l =%n (Q +1).

Таким образом, перед использованием метода простой итерации необходимо диагональные элементы матрицы Q просуммировать с соответствующими элементами единичной матрицы I. Полученный вектор стационарного распределения вероятностей п позволяет определить следующие характеристики рассматриваемой экспоненциальной сети массового

Таблица 2

События и качественное описание условий Формальное представление условий Интенсивности переходов

1. Отработка прямого сообщения в 1-м источнике 3l : 0 < »1, i <Wwnehl, J 1, l = i 1, l - 1 J 2, l = i 2, l + 1 i 3, l = J 3, h i 4, l = J 4, l ; Vs: i 1, s= J 1,s, i 2, s = J 2,s, i 3, s = J 3,s, i 4, s = J 4,s, s = 1, m ; s Ф l

2. Успешная передача по 1-му каналу прямого сообщения: 2.1. Отсутствие на другом конце 1-го канала ответных сообщений 3 l : i 4, l = 0, 0 < i 2, l < Wwnehl , i 1, l = J 1, l, J 2, l = i 2, l - 1, J 3, l = i 3, l + 1 i 4, l = J 4, h Vs: i 1, s= J 1,s, i 2, s = J 2,s, i 3, s = J 3,s, i 4, s = J 4,s, s = 1,m ; s ^ l лГ

2.2. Наличие ответных сообщений на другом конце 1-го канала 3 l: i 4, l > 0, 0 < i 2, l < Wnhj , i 1, l = J 1, l, J 2, l = i 2, l - 1, J 3, l = i 3, l + 1 i 4, l = J 4, l ; Vs: i 1, s = J 1,s, i 2, s = J 2, s, i 3, s = J 3,s, i 4, s = J 4,s, s = 1,m ; s ^ l лт 2

3. Обслуживание прямого сообщения от 1-го источника 3 l : 0 < i 3, l < , i 1, l = J 1, fc J 2,l = i 2, l, J 3,l = i 3, l -1, J4, l = i 4, l + 1; Vs: i 1, s = J 1,s, i 2, s = J 2,s, i 3, s = J 3,s, i 4, s = J 4,s, s = 1,m ; s ^ l 1 —H-l m

4. Успешная передача по 1-му каналу ответного сообщения: 4.1. Отсутствие прямых сообщений на другом конце 1-го канала 31 : i 2, l = ^ 0 < i 4, l < WwИe/1, J 1, l = i 1,l + 1, i 2, l = J 2l i 3, l =J 3, l,J4, l = i4,1 -1; Vs: i 1, s = J 1,s, i 2, s = J 2,s, i 3, s = J 3,s, i 4, s = J 4,s, s = 1,m ; s ^ l лOs

4.2. Наличие прямых сообщений на другом конце 1-го канала, содержимое очереди ответных сообщений больше ширины внутреннего окна 31: i 2, l > ^ 0 < i 4, l < WwИe/1, J 1, l = i 1, l + 1, i 2, l = J 2, fc i 3, l =J 3, l, J4, l = i 4, l -1; Vs: i 1, s = J 1,s, i 2, s = J 2,s, i 3, s = J 3,s, i 4, s = J 4,s, s = 1,m ; s ^ l лГ 2

5. В сети событий не произошло Vs: i 1, s = J 1,s, i 2, s = J 2,s, i 3, s = J 3,s, i 4, s = J 4,s, s = 1,m ; s ^ l P0 "Z 4i,r r=i r*J

6. Во всех остальных случаях 0

обслуживания:

- закон распределения количества сообщений, хранящихся в накопителе l-го источника:

Wwneh Wwnehi —1 Wwnehl+1

Pz = Z ... Z ... Z ...

гЦ=° 1—1=° !U+1=°

Wwnehm

... Z лг . ;

i, 1>1> ->'1,l=z,...,ii,m .'2,1. -.'2,m ;'3,1. -.'3,m ;'4,1. -.'4,m

4,m J

- среднее число сообщений от l-го источника, находящихся в сети:

N =ZWzZ°;hlPlz (Wwnehi - z), l = 1m ;

- средняя интенсивность l-го источника

=Xi (1 - Pi z=°);

- среднее время ответа для l-го источника

Tow, = N /1,;

- вероятность пассивного состояния l-го источника

Pbl = р .

Pl - Pl ,z=0 ;

- среднее время передачи файла для l-го источника

Lf Lf Tf + (Х-1 + Tntw ) + Totw .

fl LPSX Ifs — 1 l l l

Аналитико-численная модель со стартстопной передачей сообщений

Данная модель вычислительной сети распределенной ИС со средним уровнем сетевого трафика разработана для тех же исходных данных и допущений, что и предыдущая модель. Основное ее отличие заключается в том, что она описывает стартстопную передачу сообщений (SW), когда VlWwnt = 1, и что

законы распределения F¡ps (t), F¡os (t) являются стационарными, т.е. каналы могут передать блок из одного сообщения (Y = Z = 1) только после получения квитанции.

Тогда временные характеристики tzpsn¡ (Y) и tJOni (Z) вычисляются следующим образом:

jps

7ps (Y) = 7ps + (-L- + 7ps )(M,ps (y) +1);

zan¡ v / po¡ v el pk¡ ¡

jos

11, (Z) = tos + j-+7pOS¡ )(M¡Os (y)+1).

Элементы инфинитезимальной матрицы и описание условий переходов сети отражены в табл. 2. Отличие содержания этой таблицы от табл. 1 заключается на этапах передачи прямых и ответных сообщений, а именно, изменение состояний очередей и накопителей в момент времени t + At происходит только на одно сообщение, содержимое очередей каналов варьируется от 0 до Wwhen и не разделяется на два подусло-вия (см. табл. 1). Это обусловлено тем, что ширина внутреннего окна Wwnt = 1.

Вектор стационарного распределения вероятностей п = {п ,...., п ,..., лро } для рассматриваемой

экспоненциальной сети, а также характеристики мар-

ковского процесса определяются аналогично ранее описанной модели с конвейерной передачей сообщений.

Литература

1. Джордж Риз. Облачные вычисления. БХВ-Петербург, 2011. 280 с.

2. Chandrasekaran K. Essentials of Cloud Computing. Chapman and Hall. 407 p.

3. Barrie Sosinsky. Cloud Computing Bible. Wiley, 2011. 528 p.

4. Vivek Kale. Guide to Cloud Computing for Business and Technology Managers: From Distributed Computing to Cloudware Applications. Chapman and Hall/CRC, 2014 578 p.

5. Черноморов Г.А. Теория принятия решений: учеб. пособие. Новочеркасск: Ред. журн. «Изв. вузов. Электромеханика», 2005. 448 с.

6. Зуев В.А., Ковалевский В.Н., Черноморов Г.А. Программное моделирование систем : учеб. пособие / Новочерк. политехн. ин-т. Новочеркасск, 1992. 109 с.

7. Бернатович A.C. Многокритериальная оптимизация и анализ устойчивости в имитационном моделировании // Электронная техника. Экономика и системы управления. М. : ЦНИИ Электроника, вып. 2 (22). 1979. С. 81 - 99.

8. Акимов C.B. Методология создания имитационных моделей класса объектов // Имитационное моделирование. Теория и практика: материалы 1. Все-росс. конф. (ИММ0Д-2005), Т. 1. СПб. : ФГУП ЦНИИ ТС, 2005. С. 77 - 80.

9. Богоявленская О.Ю. Анализ случайного потока, генерируемого транспортным протоколом с обратной связью, в сети передачи данных // Автоматика и телемеханика. 2003. № 12. С. 60 - 69.

10. Вишневский В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. М.: Техносфера. 2003. 512 с.

References

1. Dzhordzh Riz. Oblachnye vychisleniya [Cloud computing]. BHV-Peterburg, 2011, 280 p.

2. Chandrasekaran K. Essentials of Cloud Computing. Chapman and Hall, 407 p.

3. Barrie Sosinsky. Cloud Computing Bible. Wiley, 2011, 528 p.

4. Vivek Kale. Guide to Cloud Computing for Business and Technology Managers: From Distributed Computing to Cloudware Applications. Chapman and Hall/CRC, 2014, 578 p.

5. Chernomorov G.A. Teoriya prinyatiya reshenij: ucheb. posobie - Novocherkassk. Red.zhurn [Decision Theory. Proc. manual]. Novocherkassk, Izv.vuzov. 'Elektromehanika, 2005, 448 p.

6. Zuev V.A., Kovalevskij V.N., Chernomorov G.A. Programmnoe modelirovanie system. Ucheb. posobie [Software systems modeling : proc. manual]. Novocherkassk, 1992, 109 p.

7. Bernatovich A.C. Mnogokriterial'naya optimizaciya i analiz ustojchivosti v imitacionnom modelirovanii [Multicriteria optimization and stability analysis in simulation modeling]. Elektronnaya tehnika. Ekonomika i sistemy upravleniya [Electronic technician. Economics and management system]. Moscow, CNII 'Elektronika, 1979, vol. 2 (22), pp. 81-99.

8. Akimov C.B. Metodologiya sozdaniya imitacionnyh modelej klassa ob'ektov [Methodology of creating simulation models feature class]. Imitacionnoe modelirovanie. Teoriya ipraktika. Mater. 1. Vse-ross. konf. (IMMOD-2005) [Simulation. Theory and practice. Mater. 1. All Ross. Conf. (IMM0D-2005)]. St.Petersburg, FGUP CNII TS, 2005, pp. 77-80.

9. Bogoyavlenskaya O.Yu. Analiz sluchajnogo potoka, generiruemogo transportnym protokolom s obratnoj svyaz'yu, v seti pereda-chi dannyh [Analysis of the random stream generated by the transport Protocol with feedback, data network]. Avtomatika i telemehanika, 2003, no. 12, pp. 60-69.

10. Vishnevskij V.M. Teoreticheskie osnovy proektirovaniya komp'yuternyh setej [Theoretical basis for the design of computer networks]. Moscow, Tehnosfera Publ., 2003, 512 p.

Поступила в редакцию 31 марта 2015 г.