CC BY
48
УДК 519.65, 519.633
Б01 10.21685/2072-3040-2017-1-7
И. В. Бойков, В. А. Рязанцев
ПОСТРОЕНИЕ АДАПТИВНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Задача распространения теплового поля занимает одно из центральных мест в целом ряде проблем физики и техники. Уравнения теплопроводности находят применение во многих областях физики и техники, среди которых можно, в частности, назвать геофизику, термодинамику, теорию диффузии и т.д. Несмотря на внешнюю простоту этих уравнений, их решения сложные и неоднородные по своим свойствам, часто вовсе не допускают аналитического представления, а процесс их решения оказывается весьма трудоемким. В связи с этим актуальной является разработка достаточно простых методов аппроксимации тепловых полей и решения соответствующих параболических уравнений, позволяющих наилучшим образом использовать возможности современной вычислительной техники. Наиболее привлекательными с этой точки зрения являются разностные методы благодаря их простоте и эффективности.
Материалы и методы. Проводимое в настоящей статье построение явных разностных схем решения одномерного уравнения теплопроводности основывается на принадлежности тепловых полей функциональным классам специального вида, обозначенным как РГуа р, М, М1, а). Для этих классов в более
ранней работе авторов были построены локальные сплайны, оптимальным по точности образом аппроксимирующие принадлежащие этим классам функции. Узлы этих локальных сплайнов используются в данной работе в качестве узлов неравномерных сеток узлов при построении адаптивных разностных схем решения уравнения теплопроводности.
Результаты. Приведен краткий обзор более ранних результатов, касающихся классов Рг у а р, М, М1, а), включающих в себя тепловые поля, а также построения локальных сплайнов, оптимальным по точности образом аппроксимирующих функции этого класса. На основе этих результатов подробно описано построение и применение адаптивных разностных схем приближенного решения уравнения теплопроводности. На конкретных примерах проведено сравнение аппроксимаций тепловых полей локальными сплайнами на равномерной и адаптивной сетках узлов, а также решения уравнения теплопроводности на упомянутых сетках узлов. Полученные результаты подтвердили эффективность построенных схем.
Выводы. Авторами предложены устойчивые разностные схемы, обеспечивающие лучшую аппроксимацию тепловых полей при существенно меньших затратах вычислительных ресурсов. Результаты работы могут использоваться при численном моделировании широкого круга задач теплоразведки.
Ключевые слова: оптимальная по точности аппроксимация, функциональный класс, тепловые поля, параболические уравнения, адаптивные разностные схемы.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 16-01-00594.
I. V. Boykov, V. A. Ryazantsev
CONSTRUCTION OF ADAPTIVE DIFFERENCE SCHEMES FOR SOLVING HEAT CONDUCTION EQUATIONS
Abstract.
Background. The problem of heat field propagation holds a central position in a wide range of physical and mathematical problems. Heat conduction equations have many applications in different branches of physics and engineering such as, for instance, geophysics, thermodynamics, diffusion theory etc. In spite of external simplicity of these equations, their solutions have complicated and non-uniform properties, often admit no analytical representation, and the solution process often turns to be labor-consuming. In this context, it is topical to develop quite simple methods of approximation of heat fields and solving the corresponding parabolic equations, enabling the most effective application of modern computing facilities. From this point of view the difference methods are of special interest for researchers.
Methods and materials. Represented in this paper, the development of explicit difference schemes for solving a one-dimensional heat equation is based on the belonging of heat fields to special functional classes, which are denoted by Pr ,y,a (D, M, M1, a) .In an earlier paper, the authors constructed local splines for
these classes. The said splines approximate the functions from these classes with optimal precision. The nodes of these local splines are used in the present paper as the nodes of non-uniform mesh in the construction of adaptive difference schemes for solving heat conduction equations.
Results. The paper briefly reviews the earlier results concerning the functional classes Prya(D,M, M1, a) including heat fields, and also constructing the local
splines that approximate the functions from these classes with optimal precision. On the basis of these results the authors have described the construction and application of adaptive difference schemes for approximate solution of heat conduction equations id detail. Considering concrete examples the researches have compared approximations of heat fields by local splines with uniform and adaptive meshes and also the solution of the heat equation on the mentioned meshes. The obtained results justify the efficiency of the presented schemes.
Conclusions. The authors suggest several stable difference schemes providing better approximation of heat fields under substantively smaller application of computing resources. The results of this paper could be used for numerical simulations of a wide range of temperature measurement problems.
Keywords: approximation with optimal precision, functional class, heat fields, parabolic equations, adaptive difference schemes.
Введение
В статье вводится функциональный класс, включающий в себя решение одномерного уравнения теплопроводности. Для этого класса строятся оптимальные по точности методы аппроксимации. В качестве алгоритма аппроксимации берутся локальные сплайны. Узлы этих сплайнов далее используются в качестве узлов неравномерных сеток, лежащих в основе построения адаптивных явных разностных схем решения уравнения теплопроводности. По сравнению со стандартными разностными схемами предлагаемые схемы являются устойчивыми при любом исходном соотношении шагов и позволя-
ют добиться лучшей аппроксимации теплового поля (примерно на порядок) при существенно меньшем объеме вычислений.
К. И. Бабенко [1-3] неоднократно отмечал необходимость построения вычислительных схем решения уравнений математической физики, аэродинамики, газовой динамики, в которых приближенное решение ищется в экстремальном подпространстве, осуществляющем наилучшее приближение функционального пространства, которому принадлежат точные решения исходных уравнений. Показано [2], что такой подход позволяет значительно увеличить точность вычислительных схем при одновременном сокращении времени вычислений и уменьшении памяти.
В данной работе такой подход применяется к построению адаптивных разностных схем решения задач теплопроводности с одной пространственной переменной. Для этого выделен класс функций, которому принадлежат решения уравнений теплопроводности с одной пространственной переменной и построены оптимальные методы аппроксимации функций, принадлежащих этому классу. Аппаратом, осуществляющим оптимальные приближения, являются локальные сплайны. Взяв узлы этих сплайнов в качестве узлов разностных схем, авторы получили адаптивный разностный метод решения уравнений теплопроводности с одной пространственной переменной.
Отметим, что построению разностных схем с переменным шагом посвящено большое число работ, в которых предложены и обоснованы различные алгоритмы [4-8].
Статья построена следующим образом. В разделе 1 приведены определения, используемые в работе. В разделе 2 строится локальный сплайн, являющийся эффективным алгоритмом аппроксимации функционального класса РГу а(0,М,М1,а), введенного в разделе 2. В разделе 3 строятся адаптивные разностные схемы приближенного решения параболических уравнений.
В работе [9] введен класс функций Рг у а (О,М, а).
Определение 1.1. Пусть 0АВТ ={(х, Г): А < х < В <^,0 < Г < Т) .
ций и (^, х), определенных и непрерывных вместе с производными до г -го порядка в области Оа ВТ и удовлетворяющих следующим условиям:
1. Классы функций
Функциональным классом РГ у а(д в Т,М,М1, а) назовем множество фу]
нк-
k-г
дku а~ M • k!
dxk < >/2]!
<
-, k = г +1,г + 2,..., te[0,T]\{0},
dku ak • M • k!
dtk < tk-Y
<
, k = 1,2,..., te[0,T]\{0},
|u(t1,x) -u(t2,x)| <M1 |t1 -12|a, 0 < t1 < t2 <T,
где a > 0, 0 <y< 1, 0 <y< 1.
Решения широкого класса параболических уравнений принадлежат этому классу функций. В частности, этому классу принадлежат решения задачи Коши
ды(¿, х) _ д ы(^х) (1)
й дх2
ы(0, х) _ ыо(х) (2)
для уравнения теплопроводности, определенного в области В _{(х,I): х <<*>, 0 < t Известно [10], что решение этой задачи
определяется формулой
1 (?) (х—?)2 ы^,х) _Г ?, t > о. (3)
л/2^ J ^/t
—^
Пусть функция ыо (?) имеет ограниченные производные до г -го по-
u0k}(x)
< M , k = 0, r .
рядка, удовлетворяющие неравенству sup
xeR
Последовательно дифференцируя выражение (3) по переменным t и x при 0 < t < T , A < x < B, убеждаемся [9], что решение задачи Коши (1), (2)
принадлежит классу функций Pr,у,а (Da,b,T,M,Mi,a) при a = 2, у = 0, а/2, M1 = 4M /Vrc .
а = i
2. Оптимальная аппроксимация класса функций Рг у,а
((, л,в, М, Мъ а)
Построим, следуя [9], локальные сплайны, являющиеся оптимальным по точности методом аппроксимации функций из класса
Рг,у,а (ВТ,А,В,М,МЪа).
Для простоты обозначений положим А _ 0, В _ 1, Т _ 1, а _ 2. Обозначим через О0 множество точек х), удовлетворяющих неравенствам
|0 < х < 1,0 < t < 2 *} . Через О к обозначим множество точек, удовлетворяю-
{2^—1 2^ ]
0 < х < 1,—— < t <—гг- >. Каждую область О и покроем
2 * 2 * \
прямоугольниками Дк , у которых длина ребер, параллельных оси ОХ , равна \ , к _ 0,1,...,N — 1. Положим
, а* , *1/2 (а ^1/2 2к/2 к , 2 * , \ =-тт^гI - I , к = 1,2,...,N — 1.
2^' k (rcaN)1^ I e J 2N/2 '
Тогда Af7 =
vk, vf+i; tk, tk+i ], i = 0,1,..., nk, nk =[l/hk ], k = 0, N,
vf = ihk, i = 0, nk + 1, t0 = 0, tk = 2k _1/ 2N, k = 0, N +1.
Пусть /^)е С[а,Ь]. Обозначим через Ь5(/,[а,Ь]) интерполяционный
полином, построенный по 5 узлам, расположенным в сегменте [а,Ь].
В качестве узлов интерполяции можно взять равноотстоящие точки, а также узлы ортогональных многочленов, линейно отображенных с сегмента [-1,1]
на [а,Ь]. В случае, когда необходимо построить непрерывное приближение, достаточно воспользоваться приемом, описанным в [11, 12].
Пусть / х) е С (О), О = [а,Ь;с,й ]. Через (/, О) обозначим интерполяционный полином, действующий по формуле
(/, О) = ^ (Ьхя (/,[с, й ]),[а, Ь])),
т.е. вначале оператор Ь действует на функцию /(^,х) в сегменте [с,й] по переменной х, а затем оператор действует на функцию Ьх3(/,[с,й]) по переменной t в сегменте [а,Ь].
В каждой области Дк, к = 0,1,„.,^ -1, функцию и ^, х) будем аппроксимировать интерполяционным полиномом (и, Дк), где 5 = [а^] + 1.
Сплайн, составленный из полиномов (и, Дк), обозначим через 5(t, х).
Точность аппроксимации локальным сплайном 5(t, х) функции и ^, х) оценивается [12, 13 ] следующим образом:
2
н / ч о/ чи С 1п N
\\и (,х) - 5 ^,х)1 С ,
где С - постоянная; X5 - константа Лебега.
Отметим, что постоянная С имеет весьма громоздкий вид. Взяв в качестве узлов интерполяции образы узлов полиномов Чебы-шева первого рода, отображенных с сегмента [-1,1] на соответствующие сегменты, окончательно имеем
II ц С X2 N
\\и (t, х) - 5(t, х)|С < -~ам~.
Приведем пример, иллюстрирующий эффективность аппроксимации функций из класса РГуа(0^-а,т,М,М1,а) описанными выше сплайнами. В качестве модельной возьмем функцию
е 4t
и(х,t) =—=-, х0 < t
Vt
и(х,t) = 0, -~< х<~, t = 0.
Замечание. Эта функция имеет разрыв второго рода в точке (0,0) и входит в класс функций РГуа(ОА-Ат ,М,М1, а) в области О-аат \ В(0, 6),
где 5(0, г) - круг радиуса г с центром в начале координат. Несмотря на разрыв второго рода, в точке (0,0) описанные в данном разделе сплайны эффективно аппроксимируют функцию и(х, *) в области Бд-а.т \ 5(0,9) при любом 6> 0.
Для вычислительного эксперимента положим -0,5 < х < 0,5 и 0 < * < 0,5. В каждом прямоугольнике разбиения области Б вводится
равномерная сетка из п2 узлов, на которых строится интерполяционный полином Лагранжа. Погрешность аппроксимации рассчитывается как максимальное значение модуля разности точных и приближенных значений аппроксимируемой функции в области Бд -д т \ 5(0,9).
В предположении о том, что число узлов интерполяции в каждом прямоугольнике разбиения области равняется квадрату числа слоев разбиения области Бд -д т , были получены результаты численного
моделирования, приведенные в табл. 1.
Таблица 1
№ Число слоев по * Значение 9 Число разбиений Б „абс •Травном „абс •^адапт „отн •Травном „отн •^адапт
равном. адапт.
1 5 0.01 1985 1984 1,78 0,059 17,77% 0,59%
2 5 0.001 1985 1984 21,9 9,56 69,25% 30,5%
3 6 0.001 4038 4032 19,26 1,86 60,9% 5,87%
4 8 0.0001 16264 16256 81,41 15,92 81,41% 15,92%
5 9 0.0001 32706 32704 78,44 1,21 78,44% 1,21%
6 10 0.0001 32740 32736 75,44 0,066 75,44% 0,066%
7 10 10-5 130950 130944 291,37 96,57 92,14% 30,53%
8 11 10-5 131010 131008 288,23 33,45 91,15% 10,58%
9 12 10-5 131052 131040 285,06 1,17 90,15% 0,37%
10 14 10-6 524258 524256 962,31 85,05 96,23% 8,51%
11 15 10-6 524280 524272 959,03 2,28 95,9% 0,23%
3. Адаптивные разностные схемы решения параболических уравнений
В этом разделе на примере решения задачи Коши (1), (2) разностным методом иллюстрируется метод построения адаптивных сеток с переменным шагом для решения параболических уравнений. В основу построения адаптивных сеток положены конструкции локальных сплайнов, описанных в предыдущем разделе.
Обозначим через д т прямоугольную область, в которой нужно
найти приближенное решение задачи Коши (1), (2):
Б-ААт ={(х, 0: -А < х < А, 0 < * < Т}.
Начальные значения зададим на сетке узлов х^к = - А + кк, к = 0, N , к = 2А/N . Область д т разбивается на конечное число областей:
®к ={(*, х): < * < *к+1, -А < х < А}, к = 0, Ь -1, (4)
где Ь - число слоев по переменной ', а значения 'к определяются формулами
'о = °, ^+1 = к + 2к т(0),
т(0) - начальный шаг по переменной '.
Замечание 1. В целях упрощения выкладок здесь и далее предполагается, что область В_аат разбивается на неравномерные множества В^
только по переменной ', в то время как сетка узлов по переменной х (при ' = 0) является равномерной. В то же время согласно методам построения оптимальных сплайнов следует осуществить также неравномерное разбиение каждой из областей В^ по переменной х. Так как приводимый ниже пример иллюстрирует эффективность метода даже при неравномерном разбиении области только по одной переменной, то для простоты описания алгоритма ограничиваемся этим построением.
Для того чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (, хк), применяется приведенный ниже четырехточечный шаблон (рис. 1).
Рис. 1. Используемый в алгоритме разностный шаблон
^ 2 и
Разностные аппроксимации производных Ц^, выглядят следую-
dt
щим образом:
Эх'
ди (t7, xk)
ui+1,k " uj,k
Э' т
Э2^ (, ^) ^ у_1 _ + иу,к+1 дх2 ^2 '
где иу,к = и (( , Ук ).
В результате получена следующая разностная аппроксимация исходного уравнения теплопроводности:
иу +1, к иу, к = иу, к _1 _ 2иу, к + иу, к+1
т И2 '
Значение и у+1 к неизвестной сеточной функции на слое у +1 выражается через значения этой функции на слое у по следующей явной формуле:
Ч+1, к
h2
uj, к +7J (uj, к-1 + uj, к+1
h
(5)
Опираясь на описанный в разделе 2 алгоритм оптимальной по точности аппроксимации класса РГ у а((М,Мц,а) локальными сплайнами, зафиксируем соотношение шагов т = т(у) и к = к (у) разностной сетки следующим образом:
x(j +1) = 2т(j), h(j +1) = 2h(j), j = 0,i -1.
(6)
Расчетная формула, Определяющая используемую в методе явную разностную схему, имеет вид
0+1, к
'i-21-Л h2(0)
w ^(0) /
uj,к + 2 Т^Г(uj,к- 1 + uj,к+1 ^ h2(0) ^ ^
(7)
Пример неравномерной разностной сетки узлов, служащей базой для вышеописанного адаптивного метода, показан на рис. 2.
Рис. 2. Сетка узлов, используемая при построении адаптивного разностного метода
Предполагается, что пространственная ось направлена слева направо, а ось времени направлена снизу вверх. Ставится задача расчета значений теплового поля в прямоугольной области, которая на рис. 2 отмечена жирной линией. Для решения указанной задачи необходимо тем или иным способом определить значения сеточной функции иу к на множестве узлов вне отмеченного прямоугольника. Таким образом, вычисления в описываемом методе проводятся на сетке трапециевидной формы.
Заметим, что при переходе от предыдущего слоя по переменной * к последующему число узлов сетки уменьшается в соответствии с правилом: если текущему слою принадлежат N значений иук, то на следующем слое оказы-
N
вается уже
-1 значений. Кроме того, в предположении, что на слое
у Ф 0 по переменной * решение известно в интервале [-В, В], то на слое у > 0 значения будут вычислены в интервале
[- B + Sjh (0), B-Sjh(0)]
где
у
= 2 2к = 2у _ 1. (8)
к=0
Вычислительный эксперимент показывает, что при неудачном выборе параметра N, фиксирующего начальное число N +1 узлов на сегменте [_В, В], описанный способ построения разностной сетки в общем случае не приводит к нужному результату; в частности, сетка может оказаться несимметричной относительно прямой х = 0 , либо на отдельных слоях могут появиться системы неравноотстоящих узлов. Поэтому при реализации рассматриваемого численного метода целесообразно использовать следующий подход.
Построение сетки начинается с задания числа Ь слоев по ' и числа N(L) узлов на последнем слое у = Ь по той же переменной. Тогда начальные значения параметров т = т(0) и И = И(0) определяются формулами
т(0) = ^, И(0) = 21_МИ(Ь), И(Ь) = (9)
Яь N (Ь)
где ' = '* - значение, соответствующее последнему расчетному слою по переменной '. Тогда граница сегмента [_В,В] рассчитывается по следующей формуле:
В = А + ЯЬИ(0). (10)
Заметим, что применение описанной выше методики расчета теплового поля предполагает задание значений поля при ' = 0 также и на интервале [_В, В] з [_А, А]. Доопределить функцию и0(х) на множестве хе [_В,В] \ [_А, А] можно одним из следующих способов:
- принять и(х) = 0 при х = [_В,_А) и (А,В];
Ги(_А), если хе [_В, А),
- принять и(х) = <
[и(А), если хе (А,В];
- воспользоваться линейной аппроксимацией, экспоненциальной аппроксимацией и др.
Формулы (6), (7) могут послужить основой для альтернативной разностной схемы, позволяющей определять значения неизвестной функции и (', х) непосредственно в заданном прямоугольнике. Соответствующая разностная сетка узлов выглядит так, как показано на рис. 3.
Значения и ук рассчитываются в следующей последовательности. Первыми фиксируются значения и0к . Далее вычисляются граничные значения иу0, UjN. Сделать это, в частности, можно посредством приближенного вычисления по одной из квадратурных формул, предназначенных для вычисления интеграла
№ 1 (41), 2017 Физико-математические науки. Математика
" _ (х_^)2
(х,t) = —f ^4t (11)
Рис. 3. Сетка узлов адаптивной разностной схемы для прямоугольной области
Отметим, что непосредственное вычисление значений функции и (', х) в каждой точке ('у,хк) требует не менее N умножений и N обращений
_(х_£)2
к подпрограмме для вычисления функции е 4' в точках , хк, \\. Для сравнения: вычисление по разностной схеме каждого значения и ('у, хк) требует три умножения и два деления. Поэтому расчет тепловых полей по квадратурным формулам неэффективен.
Замечание 2. В случае, если решение рассматриваемой задачи не может быть выписано в явном виде, для определения граничных значений иу0, UjN
могут быть использованы методы, описанные в работе [14].
Чтобы успешно построить разностную сетку узлов, нужно зафиксировать число узлов на слое у = 0 при помощи формулы
N (0) = 2Ь_1 N (Ь) + 2.
Так как удвоение шагов т и И на каждом временном слое нецелесообразно (прежде всего вследствие проблем, проявляющихся при попытке найти решение уравнения при достаточно больших значениях ' ), то практически более эффективным является удвоение шагов после каждых ^ слоев по переменной ' . Пример разностной сетки, построенной с увеличением шагов через три слоя по переменной ' , изображен на рис. 4.
Успешное применение изложенных адаптивных разностных схем, как правило, предполагает известным начальное условие в достаточно большом числе узлов, что приводит к значительному увеличению вычислительной работы. С этой проблемой можно бороться, если функцию и( х,0) продолжить
на область [_В,В] з [_А, А] нулем. В силу формулы (5) если все иу к_1, иу к , иу к+1 являются нулевыми, то нулевыми будут и значения иу+1 к. Следовательно, имеет смысл вычислять только те значения иу+1 к, для которых хотя бы одно значение иу к+1, иу к, иу к_1 не равно нулю. Пример соответствующей сетки расчетных узлов показан на рис. 5.
Рис. 4. Пример разностной сетки в случае удвоения шагов через каждые три слоя по переменной *
Рис. 5. Пример разностной схемы для случая продолжения функции и(х,0) нулем
Приведем численный пример расчета значений теплового поля в области Б-а а т . Зафиксируем А = 20 . Кроме того, примем число N(0) узлов на
нулевом слое по переменной * (соответствующем начальному условию) равным 2-104. Начальное условие ^(х) на интервале хе[-А,А] задано фор-
мулой
1 144-5х2-12 х 5 (х-5)2
и0( х) =-]= е 28 +— е
0 35л/7 3
При численной реализации алгоритма функция х) продолжается нулем на множество хе[-В,-А)\(А,В], где В принимается равным 103. Точное решение задачи определяется формулой
144+108*-5 х2 -12 х ( х-5)2
1 е 28+20* 5 е 41+4
и (х, *) =---.--1----
35 х/7 + 5? 3 Т^+Г ' Результаты расчетов представлены в табл. 2.
Таблица 2
T L У N / ,J v равн У N / ,J v адапт s р сравн р °адапт
0,1 25 5-105 3,8-105 [13, 2] 1,2-10-4 2,36-10-5
0,2 50 106 7,58-105 [26, 2] 1,95-Ю-4 3,98-10-5
0,3 75 1,49-106 1,13-106 [38, 2] 2,42-10-4 5,49-10-5
0,4 100 1,99-106 1,5-106 [50, 2] 2,71-Ю-4 6,54-10-5
0,5 125 2,48-106 1,87-106 [62, 2] 2,88-Ю-4 7,75-10-5
0,6 160 3,17-106 2,45-106 [87, 2] 2,66-10-4 8,110-5
0,7 170 3,37-106 2,57-106 [85, 2] 3Д6-10-4 9,84-10-5
0,8 180 3,57-106 2,66-106 [89, 2] 3,67-Ю-4 1,2-10-4
0,9 190 3,76-106 2,78-106 [93, 2] 4Д5-10-4 1,4-10-5
1,0 200 3,96-106 2,91-106 [97, 2] 4,56-Ю-4 1,58-10-5
Здесь использованы следующие обозначения: Ь - общее количество слоев разностной схемы по переменной '; ^ ^авн - суммарное число узлов
равномерной разностной схемы; ^ ^дапт - суммарное число узлов адаптивной разностной схемы; 5 = [/, т] - вектор, задающий структуру адаптивной сетки узлов: шаги увеличиваются в т раз через каждые I слоев сетки по переменной '; £равн - погрешность решения задачи (1), (2) разностным методом на равномерной сетке узлов; еадапт - погрешность решения задачи (1),
(2) разностным методом на адаптивной сетке узлов.
Приведенный пример иллюстрирует эффективность изложенного алгоритма.
Библиографический список
1. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. - Москва ; Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2002. - 848 с.
2. Бабенко, К. И. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики / Н. Н. Анучина, К. И. Бабенко, С. К. Годунов, Н. А. Дмитриев. - М. : Наука, 1979. - 296 с.
3. Бабенко, К. И. О некоторых задачах теории приближений и численного анализа / К. И. Бабенко // Успехи математических наук. - 1985. - Т. 40, № 1. - С. 3-28.
4. Разностные схемы на нерегулярных сетках / А. А. Самарский, А. В. Колдоба, Ю. А. Повещенко, В. Ф. Тишкин, А. П. Фаворский. - Минск : Критерий, 1996. -273 с.
5. Ильин, В. П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений / В. П. Ильин. - Новосибирск : Изд-во Инст. математики, 2000. - 345 с.
6. Вабищевич, П. Н. Разностные схемы на локально сгущающихся сетках / П. Н. Вабищевич, Г. И. Шишкин // Дифференциальные уравнения. - 1995. - Т. 31, № 7. - С. 1179-1183.
7. Жуков, В. Т. Об одном направлении в конструировании разностных схем / В. Т. Жуков, Л. Г. Страховская, Р. П. Федоренко, О. Б. Феодоритова. // Вычислительная математика и математическая физика. - 2002. - Т. 42, № 2. - С. 222-234.
8. Бахвалов, Н. С. Об автоматическом конструировании сетки интегрирования при решении краевых задач с пограничным слоем / Н. С. Бахвалов. // Вычисли-
тельная математика и математическая физика. - 1999. - Т. 39, № 8. - С. 12901295.
9. Бойков, И. В. Оптимальные методы аппроксимации тепловых полей / И. В. Бойков, Н. П. Кривулин, В. А. Рязанцев. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 4 (28). -С. 5-16.
10. Петровский, И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И. Г. Петровский. - М. : ГИФМЛ, 1961. - 400 с.
11. Бойков, И . В . Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплайнами / И. В. Бойков // Вычислительная математика и математическая физика. - 1998. - Т. 38, № 1. - С. 25-33.
12. Бойков, И. В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2007. - 236 с.
13. Boykov, I. V. Optimal approximation and Kolmogorov widths estimates for certain singular classes related to equations of mathematical physics / И. В. Бойков // URL: arXiv.math 1303.0416
14. Бойков, И. В. О приближенном методе восстановления потенциальных полей / И. В. Бойков, М. В. Кравченко, В. И. Крючко // Известия РАН, Физика Земли. -2010. - Т. 46, № 4. - С. 67-77.
References
1. Babenko K. I. Osnovy chislennogo analiza [Foundations of numerical analysis]. Moscow; Izhevsk: Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika, 2002, 848 p.
2. Babenko K. I., Anuchina N. N., Godunov S. K., Dmitriev N. A. Teoreticheskie osnovy i konstruirovanie chislennykh algoritmov zadach matematicheskoy fiziki [Theoretical foundations and construction of numerical algorithms for problems of mathematical physics]. Moscow: Nauka, 1979, 296 p.
3. Babenko K. I. UspeкЫ matematicheskikh nauk [Progress of mathematical sciences]. 1985, vol. 40, no. 1, pp. 3-28.
4. Samarskiy A. A., Koldoba A. V., Poveshchenko Yu. A., Tishkin V. F., Favorskiy A. P. Raznostnye skhemy na neregulyarnykh setkakh [Difference schemes on irregular meshes]. Minsk: Kriteriy, 1996, 273 p.
5. Il'in V. P. Metody konechnykh raznostey i konechnykh ob"emov dlya ellipticheskikh uravneniy [Methods of finite differences and finite volumes for elliptical equations]. Novosibirsk: Izd-vo Inst. matematiki, 2000, 345 p.
6. Vabishchevich P. N., Shishkin G. I. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 1995, vol. 31, no. 7, pp. 1179-1183.
7. Zhukov V. T., Strakhovskaya L. G., Fedorenko R. P., Feodoritova O. B. Vychisli-tel'naya matematika i matematicheskaya fizika [Calculus mathematics and mathematical physics]. 2002, vol. 42, no. 2, pp. 222-234.
8. Bakhvalov N. S. Vychislitel'naya matematika i matematicheskaya fizika [Calculus mathematics and mathematical physics]. 1999, vol. 39, no. 8, pp. 1290-1295.
9. Boykov I. V., Krivulin N. P., Ryazantsev V. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zave-deniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2013, no. 4 (28), pp. 5-16.
10. Petrovskiy I. G. Lektsii ob uravneniyakh s chastnymi proizvodnymi [Lectures on equations with partial derivatives]. Moscow: GIFML, 1961, 400 p.
11. Boykov I. V. Vychislitel'naya matematika i matematicheskaya fizika [Calculus mathematics and mathematical physics]. 1998, vol. 38, no. 1, pp. 25-33.
12. Boykov I. V. Optimal'nye metody priblizheniya funktsiy i vychisleniya integralov [Optimal methods of function approximation and integral calculation]. Penza: Izd-vo PGU, 2007, 236 p.
13. Boykov I. V. Optimal approximation and Kolmogorov widths estimates for certain singular classes related to equations of mathematical physics. Available at: arXiv.math
1303.0416
14. Boykov I. V., Kravchenko M. V., Kryuchko V. I. Izvestiya RAN, Fizika Zemli [Proceedings of RAS, Physics of the Earth]. 2010, vol. 46, no. 4, pp. 67-77.
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 519.65, 519.633 Бойков, И. В.
Построение адаптивных разностных схем решения уравнения теплопроводности / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. -№ 1 (41). - С. 68-81. БОТ 10.21685/2072-3040-2017-1-7
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: boikov@pnzgu.ru
Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Рязанцев Владимир Андреевич
кандидат технических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Ryazantsev Vladimir Andreevich Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
