CC BY
22
3. Каляев И.А., Гайдук Л.Р., Капустин С.Г. Распределенные системы планирования действий коллективов роботов. М.: Янус-К, 2002.
4. Лоскутов А.Б., Еремин О.И. Многоцелевая оптимизация компенсации реактивной мощности в электрических сетях // Промышленная энергетика. 2006. № 6. С. 39-41.
5. Rudenko О., Schoenaner М. A Steady Performance Stopping Criterion for Pareto-based Evolutionary Algorithms / Centre de Math'ematiques Appli-
qu'ecs. Ecole Polytechnique, France.
6. Калннболотский Ю.М., Хруставка О.Б. Модификации генетических алгоритмов // Электроника и связь. 2008. № 5. с. 39-41.
7. Zitzler Е-, Thiele L. Mullobjective Optimiza-tionUsing Evolutionary Algorithms — A Comparative Case Study. Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1998. P. 292-301.
8. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации и принятия решений: Учеб. пособие. СПб.: Лань, 2001.
УДК 62-50
В.К. Пономарев, А.И. Панферов, Н.М. Поленов
ПОСТРОЕНИЕ АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ОБРАБОТКИ НАВИГАЦИОННОЙ ИНФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ОБНОВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ
Внедрение технологии зональной навигации, при которой воздушное судно может перемешаться по произвольно проложенному маршруту, предполагает использование различных радиотехнических наземных навигационных средств и определение координат в географической координатной системе. Для повышения точности и надежности навигационных определений используют комплексную обработку измерений с привлечением информации, получаемой от автономных датчиков. Интегрированный навигационный комплекс обычно проектируют на основе фильтра Калмана, который предполагает знание априорных данных о статистических характеристиках ошибок в измерителях. Однако уровень ошибок радиотехнических навигационных средств существен но зависит от условий распространения радиосигналов и геометрического фактора. Следует принимать во внимание и изменение состава навигационных средств при движении по маршруту. Преодолеть возникающие трудности можно, если использовать адаптивные методы фильтрации. Известные адаптивные ал-горитмы достаточно сложны и не всегда дают нужный эффект [1].
В данной статье рассматривается идея построения достаточно простого, но эффективного адаптивного алгоритма, основанного на анализе спектральных свойств сигнала невязки или обновляемой последовательности |2,3|.
Путь решения задачи. Пусть в общем случае уравнение автономных средств навигации задано в форме
x(t)=Fx(t)+Gv(t), (I)
где x(t) — вектор состояния системы; F и G — матрицы состояния системы и входных воздействий соответственно; w(t) — вектор гауссовских
белых шумов с характеристиками A/[w(r)j = 0, A/[W(f),w(T)] = <25(/-x).
Уравнение корректирующей системы запишем в виде
z(t) =h(x,t) +5</), (2)
где %(t) — вектор гауссовских шумов измерения с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией М[^(г),4(т)]= Rd(r-x);
h(x,t) — векторная функция, отражающая преобразование оцениваемого вектора x(t) в базис корректирующей системы.
Измерительной системе, описываемой уравнениями (1) и (2), соответствует уравнение обобщенного фильтра Калмана
i{t) = fx{t)+K[z{t)-h{i,t)]-
4
Математическое моделирование: методы, алгоритмы, технологии
Р=РР + РРТ + СОв7 - Р
1
В задачах синтеза адаптивных алгоритмов обычно рассматривают только установившийся режим фильтрации. Тогда для априорно заданных значений Я — Яа и О = 0а будем иметь
Ка = Ро
-411 *
дк Удх
Р„= 0.
(4)
Известно, что в расчетных условиях обновляемый процесс (сигнал невязки) у(г) = 2-Л(х,/)
является белым шумом, в то время как при отклонении реальных характеристик шумов измерителей относительно расчетных обнаруживается корреляционная связь между его отдельными точками. Это приводит к деформации спектральной характеристики обновляемого процесса. Для определения характера изменения спектра невязки вначале получено выражение для его корреляционных функций, которое имеет вил [4]
С(/-т)=С(л) =
в И
хы(!)г+я(11).
(5)
От корреляционных функций нетрудно перейти к энергетическим спектрам обновляемых процессов:
5(о))=|У(;оо)/».
7"
дИ „ ,,,т , . дИ\ дИ
дИ
дх
зил
дх
где И-'(усо) — частотная характеристика системы
-1
И/(усо) =
усо/ -
(7)
(Ы) г1 р — /?„ , где Р. — единственное поло-
\дх)
жительно определенное решение алгебраического уравнения Риккати
/7>в + РаГг + СО, Ст -
а Рх — решение алгебраического уравнения Риккати
+ Каяк1 + сов1 =0.
Если принять во внимание, что
(8)
Пт Ж(у'о)) = ш-»о
дх
НтИ^уш^О,
ш->0
то для спектра (6) получим при о> -> 0
(9)
у ' дх
к,
ди
дх
х( 'дИ<Г
дх
-КаЯ
•V1
+ /г,
(Ю)
„дх,
апри со->оо 5(со)=/?.
Разделить спектр на две компоненты можно с помощью низкочастотного и высокочастотного фильтров, на вход которых подается сигнал невязки. Частоты среза для фильтров устанавливаются в результате анализа графиков деформации энергетического спектра при отличии реальных характеристик шумов измерителей от априорно заданных.
Функциональная схема адаптивного фильтра, основанного на спектральном анализе сигнала невязки в фильтре Калмана, приведена на рис. 1. В схеме ФВЧ и ФНЧ1 — фильтры высоких и низких частот, разделяющие сигнал невязки
Блок вычисления коэффициентов фильтрации
ФНЧ2
m
_ VB4 V вч
X
Рис. 1. Функциональная схема адаптивного фильтра
на частотные компоненты, а фильтры ФНЧ2 иФНЧЗ используются в качестве осредняющих при получении оценок А и С?.
При выборе и формировании структур фильтров ФНЧ2 и ФНЧЗ можно воспользоваться классическими алгоритмами статической обработки, использовать метод осреднения в скользящем окне выборки или простейшие динамические фильтры. Критерием здесь является время получения достоверных оценок определяемых дисперсий и уровень остаточной флуктуацион-ной составляющей. Полученные оценки дисперсий далее используются для перенастройки коэффициентов фильтра Калмана.
Пример синтеза адаптивного фильтра. Математическая модель ошибок изолированного канала автономных навигационных систем в ряде случаев может быть представлена в виде системы уравнений второго порядка
(11)
ш
где хх, х2 — ошибки определения координаты
и скорости ее изменения; а = \/Т; Т — время корреляции ошибок навигационной системы;
— порождающий белый шум с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией A/[Ç(/)Ç(T)] = gô(/-T).
Для выбранной модели (11) сформируем функцию наблюдения
z = x,+v(/)) (12)
где v{t) — белый шум корректирующего измерителя с характеристиками A/[v(/)] = 0, Л/[v(/)v(t)J = = гб(/-т).
Уравнения фильтра Калманадля измерительной системы, описываемой уравнениями (11) и (12), примут вид
^ = х2 + *,(г(г)-*,(/));
^=-0*2+ *,(/)). (13)
Оптимальные коэффициенты Af, и К2для установившегося состояния и априорно заданных rawqa вычисляются по формулам
К2=\ (14)
г г
'а 'а
где Р1, и Рп — элементы матрицы ковариаций Ра Для принятой модели измерительной системы
4-
Математическое моделирование: методы, алгоритмы, технологии.
алгебраическое уравнение Риккати имеет аналитическое решение:
Рп=а
7 г
° „2 о
(15) о
Р ---1И
47 ~—~
2rfl *
2 2 I
(16)
Матрица Рх, являющаяся решением уравнения (8) и отражающая ковариацию сигнала невязки в реальных условиях, имеет следующие элементы:
12 .
О 00 —
М2 -
K,K2r{K2-aKx)+K,g _ 2аК2-1К{{К2-а(а+Кх)У
v=
K22r-2Pn"K2 + g 2 а
(17)
гдеgи г — действительные интенсивности шумов модели (11) и измерений (12).
Для рассматриваемого примера матрица частотных характеристик фильтра будет иметь вид
=
(18)
jw + a
1
(у'со+ а)(у'о)+ Kt)~ К2 (j(a+a)(j<o+ А",)- К2
-К,
_/(о +
(у<о + a)(ja> + К,)- К2 (У<о+а)(у'(о + А",) - А"2
Подставляя формальные зависимости (17) и (18) в выражение (6), определяем спектральную плотность сигнала невязки:
(19)
где ^ = +
5 = (со2+/Г,2)(а)2+а2)+/Г22-2/Г, (лгАГ, — со2).
Если ввести безразмерные величины S(a)) = S((o)ra \ 7-rra \ g = gga\ то последнее
выражение можно переписать в виде
(20)
Значит, коэффициенты фильтрации можно вычислить по формулам
Здесь /1' = [АГ1(ю2+а2-аА'2)](^7-п-аА:1) +
+(aK{-K2+<J)(rraK2-PZ)-В' = (со2 + К? )(со2 + я2 ) + Kl - 2 (оАГ, - со2) га, K}rr-2PZ
где
роо _ " | "д-^П2 .
Г"--2К, '
р* _ К\ К2ГГа( К2 - аК\ + /21)
12 2аКг-2К{[К2-а{а+К{))'
На рис. 2 представлены графики спектральной плотности сигнала невязки, построенные по выражению (20) с учетом (21) для различных
значений ¿»и Т при а = 0,1, га — 20,£о = 0,1. Графики показывают, что изменения интенсивности шума# приводят к изменению только низкочастотной составляющей спектра невязки, в то время как отклонение значения интенсивности
5 4.5 4 3.5 о 3
О.
5 2.5
а
й 2 1.5 1
0.5 0
\ : : :
Ч. ' i
:
• Л • I
\J [\.4\ ; [
A j
У ! /i L_
3 i -•/—-!•......
i i i i i J . : i
0.1 0.2 0,3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Omega .rad/s
Рис. 2. Деформация спектральной плотности сигнала невязки фильтра Калмана при отличии реальных характеристик шумов от априорно заданных
/_ 7-1; 2- J = l; 7-5; 3- £ = 1; г-0,2: 4- g= 5; 7 = 1; 5— £=0,2; 7-I
100
300
400
100
200
300
400
500
Л с
Рис. 3. Динамика оценки интенсивности шума корректирующего измерителя
Рис. 4. СКО оценки переменной х, в адаптивном фильтре
шума корректирующей системы изменяегтоль-ко его высокочастотную часть.
При формировании структуры адаптивного фильтра в модельном примере в качестве фильтров ФВЧ иФНЧ1 использовались однополюсные фильтры с частотой среза 1с"1 и 0,02 с"1 соответственно, а в качестве осредняюших фил ь-тровФНЧ2 иФНЧЗ —динамические двухполюсные фильтры с частотой среза 0,1 с-' и 0,01 с-1 соответственно.
Работоспособность адаптивного алгоритма подтверждена в процессе математического моделирования задачи комплексной обработки сигналов измерителей. На рис. 3 приведен график оценки интенсивности шума корректирующего измерителя, которая превышает априорную величину в десять раз. Программой моделирования предусматривалось скачкообразное увеличение интенсивности шума на 100-й секунде работы фильтра после его входа в установившейся режим. Как следует из представленного графика, блокоценки интенсивности шумовадаптив-ного фильтра обеспечивает достаточную для практики точность оценки реальной интенсивности шума корректирующего измерителя.
На рис. 4 представлен результат статической обработки ошибки оценки переменной дг, (в виде СКО), который был получен в процессе модельного эксперимента. Сравнение установившегося значения СКО с расчетным, которое для оптимального фильтра составляет величину 5,12, показывает, что характеристики адаптивного фильтра в условиях изменчивости реальных шумов практически совпадают с характеристиками оптимального фильтра (различия по СКО не превышают 5 %).
Конечно, продемонстрированный подход к задаче построения адаптивного фильтра дает эффективный результат только в случае существенного различия спектров ошибок комплек-сируемых измерителей, что, впрочем, на практике встречается очень часто.
Исследование на модельных примерах показало, что время на получение оценки интенсивности шума автономных измерителей системы оказывается достаточно большим, что приводит к выводу о целесообразности используемого подхода только для оценки интенсивности шума корректирующего измерителя.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кузовков Н.Г., Салычев О.С. Инерииальная навигация и оптимальная фильтрация. М.: Машиностроение, 1982. 216 с.
2 Ьабуров В.И., Нономаренко Б.В. Принципы интегрированной бортовой авионики. СПб.: Аген-ство РДК-Принт, 2005. 448 с.
3 Пономарев В.К., Панферов А.И. Об исполь-
зовании спектрального подхода к синтезу адаптивных систем комплексной обработки навигационной информации // Изв. вузов. Приборостроение. 1987. Т. XXX, № 10.
4. Евланов Л.П., Константинов В.М. Система и ее случайные параметры. М.: Наука, 1976.
