Постобработка СЗМ-изображений решением обратных задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0868-5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2014, том 24, № 2, c. 86-92

- СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ПРИБОРОВ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МЕТОДИК - —

УДК 681.2-5

© М. А. Михайлов, В. В. Манойлов

ПОСТОБРАБОТКА СЗМ-ИЗОБРАЖЕНИЙ РЕШЕНИЕМ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ

В статье анализируются факторы, вносящие искажения при проведении исследования топологии поверхности при использовании сканирующего зондового микроскопа, и предлагаются методы устранения их влияния в процессе постобработки изображений. Особое внимание уделяется решению прямой и обратной задач при исследованиях параметров системы автоматического регулирования сканера и его аппаратной функции.

Кл. сл.: СЗМ, решение обратной задачи, аппаратная функция, пьезосканер

ВВЕДЕНИЕ

При проведении исследований топологии поверхности с использованием сканирующих зондо-вых микроскопов могут возникать различные по физической природе и форме явления, искажающие топологию поверхности. В данной работе проводится исследование различных факторов, вносящих искажения, и указываются способы их устранения.

Проблему влияния искажений можно решить несколькими путями.

1. Изменять конструкцию отдельных узлов сканирующего зондового микроскопа, повышая точность измерений, и минимизировать влияние помех аппаратными средствами.

2. Производить обработку измерительного сигнала, повышая соотношение сигнал—шум.

Первый путь решения проблемы связан с дорогостоящей научно-исследовательской работой и большими затратами на производство новых узлов. Второй метод позволяет с меньшими затратами улучшить результаты измерений на существующем оборудовании. Обработку сигналов можно производить при помощи аналоговых методов и соответствующих устройств. Альтернативой аналоговым методам являются цифровые методы обработки сигналов. Цифровые методы обладают более богатым разнообразием алгоритмов и возможностей. Кроме того, цифровые методы позволяют производить обработку не только в процессе измерения, но и после эксперимента — постобработка. Цифровые методы также обладают возможностью простого изменения параметров алгоритма обработки сигналов и самого алгоритма автоматического управления сканером при малых

временных и материальных затратах по сравнению с аналоговыми методами. При использовании аналоговых методов обработки сигналов изменение параметров алгоритмов управления и алгоритмов обработки сигналов сопряжено с изменением принципиальной электрической схемы. С помощью цифровых методов возможно проще добиться более высокой точности по причине отсутствия влияния таких факторов, как температурный дрейф и других внешних шумов.

1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -

0.S -........>■■■■

не -........>—

0.4 -........

0.2

Iii-1-

а

б

Рис. 1. Искажение треугольной структуры. а — искаженный сигнал, б — исходный сигнал

Задача работы была сформулирована следующим образом.

1. Оценить (по возможности, количественно) искажения в результате решения прямой задачи в управлении сканером с учетом действия шумов и помех.

2. Наметить пути и разработать алгоритмы решения обратной задачи, в том числе с учетом параметров шумов и помех.

3. Разработать программное обеспечение для решения обратной задачи.

4. Провести количественную оценку результатов решения обратной задачи с помощью разработанных алгоритмов и программ.

При анализе помех и результатов обработки сигналов мы будем использовать критерий — близость формы сигнала по значениям невязки

8( х) = g (х) - w( х),

где 3(х) — величина невязки; g (х) — измененный сигнал; w( х) — изначальный сигнал.

Анализ искажения будет проводиться в два этапа:

1) выявить основные эффекты, вносящие искажения, и описать математически эти искажения, т. е. решить прямую задачу;

2) решить математически обратную задачу, из чего получим алгоритм обработки изображения.

Разберем основные эффекты, вносящие искажения. Рассмотрим все эффекты на примере двухмерного случая — профилей поверхностей, получаемых при проходе зонда.

ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ

Туннельный эффект описывается формулой (1)

2ир(х) = 10ке[ 2 ^(х), (1)

где гЩ](х) — искаженный профиль поверхности; /0 — опорный ток; к — коэффициент соответствия тока и расстояния; , — работа выхода материала зонда и исследуемого образца; z(x) — исходный профиль поверхности [1].

Рис. 3. Модель туннельного эффекта.

Используемые элементы пакета моделирования: "Add", "Gain", "Math Function", "Product", "In", "Out", "Constant", "Scope", "Subsystem")

Данный эффект проявляется на плавно возрастающем профиле, например треугольной формы. Искаженный сигнал представлен на верхнем графике (рис. 1, а), а изначальный сигнал на нижнем (рис. 1, б). Моделирование произведено с помощью программного пакета Ма1ЬаЬ Simulink.

Модель, на которой были получены сигналы рис. 1, изображена на рис. 2 и 3 [2].

Решение обратной задачи сводится к выводу из формулы (1) исходного профиля поверхности г (х) :

г( х) =

1п( гпр( х))

1о к

А-А 2

(2)

ФОРМА ЗОНДА

микроскопе или силовое взаимодействие в атом-но-силовом микроскопе. С математической точки зрения это означает, что функции, описывающие форму зонда и поверхности, имеют больше одного решения. Начиная с этой точки в случае парабо-лоидальной формы зонда информация о поверхности получается не кончиком зонда, а его гранью. При этом искажения имеют форму функции зонда со знаком минус.

Таким образом, форму зонда можно получить, сканируя эталонную ступенчатую структуру, отфильтровав другие шумы, или получив изображения зонда в электронном микроскопе с заведомо более высокой точностью. Зная функцию или таблицу, задающие форму зонда, можно отфильтровывать искажения, вносимые этим эффектом, находя большие перепады высот, сравнивать профиль грани с формой зонда и вычитать при необходимости.

Данный эффект промоделирован на рис. 5 и 6.

Так как зонд не является идеально тонким стержнем, а имеет форму конуса или параболоида, то форма зонда накладывает погрешность на получаемый профиль поверхности (рис. 4) [1]. Этот эффект возникает из-за взаимодействия между зондом и поверхностью помимо кончика зонда другими его поверхностями. Например, туннели-рование электронов в сканирующем туннельном

о се

0.04

0.02

и

Изображение

Направление сканирования

Рис. 4. Типовые искажение, вносимые формой зонда. а — профили зонда и рельефа, б — изображения

0.1

0.08 о.ое

0.04 0.02 О

0 08 1

0 06

0 02 п

_ _ _1_ _1_ _ _1_

0 1 2 3 4 5 6 7

б

Рис. 6. Искажения, вносимые формой зонда. а — исходный сигнал; б — искажение зондом треугольной формы; в — искажение зондом параболоид-ной формы

Рис. 5. Модель искажений, вносимых формой зонда

2

а

б

а

в

АППАРАТНАЯ ФУНКЦИЯ СКАНЕРА

Аппаратная функция сканера описывается уравнением

т К =-«, - К( ^ - ги ({^

(3)

где ^ — смещения от положения равновесия сканера с образцом; т8, а8, к — эффективная масса, коэффициент трения и жесткость колебательной системы сканера с образцом; Щ() — управляющее напряжение, приложенное к пьезоэлементу сканера; у — чувствительность пьезосканера [3].

Зная частоту резонанса сканера (вычисляется из АЧХ сканера) и паспортные данные (масса) можно решить уравнение. Таким образом, решение данного уравнения будет являться решением прямой задачи.

Данный эффект промоделирован (прямая задача) [2] на рис. 7 и 8.

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОФИЛЯ

Сигнал реакции сканера можно представить в виде математической свертки импульсной характеристики сканера и входного сигнала — исследуемой поверхности, которая является уравнением Фредгольма 1-го рода:

£ (х) = Ц х) • w( х),

§(х) = | Щх,ю^(ю)дю

(4)

(5)

Рис. 7. Модель искажений, вносимых переходной функцией сканера

Н(ю) = | h(х)е1юхдх

Ж(ю) = | w(х)е1юхдх,

(6)

(7)

где Н (ю) — фурье-образ ядра уравнения (импульсной характеристики), Ж (ю) — фурье-образ исходного профиля, то

где w(x) — истинный профиль поверхности; к(х) — ядро уравнения (импульсная характеристика); § (х) — искаженный профиль поверхности.

По теореме Бореля, фурье-образ свертки двух функций равен произведению их фурье-образов. Т. е. если

Рис. 8. Искажения, вносимые переходной функцией сканера.

а — исходный профиль поверхности вида I I_ .

б — искаженный

0.35

0.25

< 0.2

Импульсная характеристика сканера

0.15

0.05

0 20 40 60 80 100 120 140 160 Время, с

Рис. 9. Импульсная характеристика сканера ^х)

и

а

-t

G(a) = — J H(a)W(®)eiaxdx,

(8)

G(a) = J g(x)eiaxdx.

(9)

w( x) = J

G(a)

-(

H (a)

xda.

(10)

+cu

w( x) = J

H (-a)G(a) | H(a)|2 +aa2p '

x da,

(11)

сти функции на краях. Уменьшить этот эффект получается при помощи добавления нулевых точек с двух сторон (расширения) [5, с. 252].

где G(a) — фурье-образ искаженного профиля.

Данное свойство дает возможность косвенного вычисления математической свертки и в дальнейшем решить обратную задачу.

Зная форму переходной характеристики сканера, подбираем подходящий полином z-функции, описывающий известную переходную характеристику. Далее получаем импульсную характеристику сканера (рис. 9) и ее фурье-образ, как в уравнении (6).

Аналогично уравнению (6) запишем фурье-образ искаженного профиля

Тогда, решая обратную задачу методом преобразования Фурье (или инверсной фильтрации), искомый профиль поверхности можно записать в виде интегрального уравнения, исходя из уравнений (6)-(9):

Рассмотрим поведение спектров. При |®|^0, G(&) стремится к некому константному значению "белого шума", а Н(б>) ^ 0. Это означает, что решение методом преобразования Фурье — неустойчиво и сингулярно. [4, с. 87] При воздействии внешних шумов с некоторой дисперсией на систему неустойчивость решения повышается, т. к. каждому элементу § соответствует не единственный элемент w [5, с. 26] Для устранения неустойчивости можно использовать метод преобразования Фурье с регуляризацией Тихонова. Решение уравнения имеет вид

где а > 0 — параметр регуляризации, а р > 0 — порядок регуляризации. При правильном выборе параметров w(х) получается достаточно близким к исходному профилю. [6] На основании вышеизложенных выводов нами было разработано программное обеспечение в среде программирования Ма^аЬ. Результаты моделирования представлены на рис. 10-12.

При решении данной задачи мы столкнулись с эффектом Гиббса (рис. 12) — "звоны", или ложные волны. Это связано с разрывом непрерывно-

0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

Исходный сигнал

0

Время,с

Рис. 10. Исходный профиль поверхности вида

0.25

0.2 0.15

0.1

0

-0 05 i

5 10

Время, с

Рис. 11. Восстановленный сигнал профиля (р = 1, а = 1 Е-9, без расширения по краям)

Невязка с ностанонпенным сигналом

Время, с

Рис. 12. Невязка исходного сигнала с восстановленным (рис. 11)

e

ВЫВОДЫ

Выявлены параметры математических моделей следующих трех факторов, вносящих искажения в СЗМ-изображения:

1) влияние туннельного эффекта;

2) форма зонда;

3) аппаратная функция системы управления сканером.

Использование этих математических моделей и моделей стандартных воздействий (ступень, треугольник, прямоугольник и т. п.) позволило численно оценить параметры искажений, вносимых рассмотренными факторами, т. е. результаты решений прямых задач. Устранение рассмотренных искажений было выполнено путем решения обратных задач методом Тихонова с различными параметрами регуляризации. Устранение искажения с помощью предложенных алгоритмов предполагается реализовать в программном обеспечении постобработки изображений, полученных методом сканирующей зондовой микроскопии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Миронов В.Л. Основы сканирующей зондовой микроскопии. Нижний Новгород : Российская академия наук. Институт физики микроструктур, 2004. 110 с.

2. Манойлов В.В., Михайлов М.А. Оценка параметров цифрового управления в зондовом микроскопе "Nano educator" на основе физико-математической модели // Научное приборостроение. 2012. Т 23, № 2. C. 98-104.

3. Голубок А.О., Пинаев А.Л., Чивилихин Д.С. и др. Динамическая силовая литография на тонких металлических пленках в сканирующем зондовом микроскопе с пьезорезонансным датчиком локального взаимодействия // Научное приборостроение. 2011. Т 21, № 1. C. 31-43.

4. Сизиков В.С. Обратные прикладные задачи и MatLab: Учебное пособие. СПб.: Изд-во Лань, 2011. 256 с.

5. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов: О редукции к идеальному прибору в физике и технике. М.: Сов. радио, 1979. 272 с.

6. Сизиков В.С., Кривых А.В. Восстановление непрерывных спектров адаптивным способом вычислительных экспериментов с регуляризацией // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2013. № 3 (85).

7. Binnig G., Rohrer H. Scanning tunneling microscopy // Helv. Phys. Acta. 1982. Vol. 55, nu. 6. P. 726-735.

НИУИТМО, г. Санкт-Петербург (Михайлов М.А.)

Институт аналитического приборостроения РАН, г. Санкт-Петербург (Манойлов В.В.)

Контакты: Манойлов Владимир Владимирович, manoilov_vv@mail.ru

Материал поступил в редакцию: 14.03.2014

POST-PROCESSING OF SPM-IMAGES BY THE CALCULATION OF INVERSE TASKS

M. A. Mikhaylov1, V. V. Manoylov2

lITMO University, Saint-Petersburg, RF

2Institute for Analytical Instrumentation ofRAS, Saint-Petersburg, RF

The article analyzes the factors that introduce distortions on surface topology investigating using a scanning probe microscope and suggests methods to eliminate their influence on post-processing images. Furthermore the answer to direct and inverse problems on investigating automatic control system parameters and scanner hardware functions is generally examined.

Keywords: SPM, calculation of inverse tasks, hardware function, piezo-scanner

REFERENСES

1. Binnig G., Rohrer H. Scanning tunneling microscopy. Helv. Phys. Acta., 1982, vol. 55, nu. 6, pp. 726-735.

Contacts: Manoylov Vladimir Vladimirovich, manoilov_vv@mail.ru

Article arrived in edition: 14.03.2014

HÂYHHQE nPHEQPQCTPQEHHE, 2014, tom 24, № 2