CC BY
167
Наука к Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 08. С. 140-170.
Б01: 10.7463/0815.0786155
Представлена в редакцию: Исправлена:
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 531.36, 517.977
Постановка задачи управления фронтом Парето и ее решение в анализе и синтезе
оптимальных систем
1 *
Романова И. К. '
06.06.2015 23.06.2015
тат2003@уагц1ех:п1
:МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
В рамках теории и практики многокритериальной оптимизации применительно к проблеме нахождения парето - оптимальных вариантов формулируется задача активного совместного участия разработчиков систем и (или) лиц, принимающих решения (ЛПР) в управлении фронтом Парето. Отмечается, что такая постановка задачи отличается от традиционно принятого подхода, основанного на анализе уже существующих решений. Показаны возможности влияния на характеристики фронта Парето в рамках задачи параметрического синтеза двухконтурных систем управления движением летательных аппаратов. Рассматриваются парные критерии в классе прямых критериев качества, а также в классе интегральных критериев. Определена структура рангов Парето и их зависимость от свойств регулятора. Отмечены конкретные физические параметры ЛА, изменения которых в рамках проектирования новых систем позволяют добиться наилучших эффектов по общем улучшению компромиссных решений. Получены аналитические зависимости, позволяющие оценить пределы возможного улучшения показателей качества.
Ключевые слова: многокритериальная оптимизация, Парето - оптимальные решения, фронт Парето, ранги Парето, прямые и интегральные критерии качества, синтез систем управления, летательные аппараты
1. Введение
Задача многокритериальной оптимизации (МКО) предполагает обращение к задачам исследования операций в том случае, когда критерии независимы и задано направление улучшения значений критериев. Как теоретическая дисциплина она основана на аксиомах выбора решения и следствиях этих аксиом. В формулировке задачи предполагается наличие двух пространств: решений и критериев На практике задачи выбора решений в научных, технических, экономических, социальных, областях как правило, предполагают наличие нескольких или даже многих альтернатив. Именно является взаимная противоречивость отдельных критериев является основной проблемой в МКО.
За последние десятилетия в теории и практике решения задач МКО достигнуты значительные успехи. Одним из важнейших направлений исследований является получение так называемых парето - оптимальных вариантов. Первое из положений, а именно, аксиома Парето, состоит в том, что если оценка одного из двух вариантов не хуже оценки второго варианта по всем компонентам, причем, по крайней мере, по одной из них - строго лучше, то первый вариант предпочтительнее второго, т.е.
х", х" е X, кг (х") < кг (х"), I = 1,.. т
Зк е {1,2,...,т} : Нк(х") < Нк(х") = х" ^ х"' (1)
где > X - бинарное отношение предпочтения определённое на X, лица, принимающего решение (ЛИР); причем, если X' > хХ" , то из пары вариантов X', X" ЛПР выберет первый вариант и не выберет второй. Второе базовое положение теории Парето -оптимальных систем, это аксиома исключения, предполагающая, что вариант, не выбираемый в какой-либо паре, не должен оказаться среди выбранных и из исходного множества возможных вариантов, т.е.
х, х" е X, х ^ х" = х" € С(X)
где С (X) - множество выбираемых вариантов.
При выполнения аксиомы Парето и аксиомы исключения для любого множества
выбираемых вариантов С(Х) имеет место включение С (X) с Р^ (X) . Здесь РФ(Х) -
*
множество Парето - оптимальных вариантов, состоящих из точек х , таких что
X X) = {х
Р^(Х) =1х е X
не существуетх е X такого,что
Л,. (х) < Л,. (х*), I = 1,... ,т, И(х) * И(х*)} .
Это утверждение составляет суть фундаментального принципа многокритериального выбора, а именно, принципа Эджворта - Парето.
В данной статье объектом исследований является граница (фронт) Парето, используемая для представления Парето - оптимальных вариантов.
Граница Парето Р(X) включает в себя точки х , удовлетворяющие условиям
Р(Л) = {х е X : {х'е X : х'< х,х'* х} = 0}.
Наиболее наглядно фронт Парето (компромиссная кривая) представляется для случая двух взаимно противоречивых критериев (рис.1) [1].
Рис. 1. Фронт Парето для двухкритериальной задачи (критерии I! и 12); а -параметр, учитывающий
отношение важности критериев.
2. Способы описания фронта Парето
Формальное описание видов фронта Парето хорошо разработано в экономических приложениях. В них часто для границы (фронта) Парето используют понятие кривых безразличия, т.е. совокупности точек на координатной плоскости, каждая из которых является потребительским набором, обеспечивающим потребителю одинаковый уровень удовлетворения его потребностей (одинаковую полезность).
У кривых безразличия имеется ряд свойств. Кривая безразличия стандартного вида является непрерывной функцией, а не набором дискретных точек. Для любого заданного уровня полезности может быть проведена своя кривая безразличия, отражающая различные комбинации двух товаров, обеспечивающих потребителю одинаковый уровень удовлетворения. Кривые безразличия описывающие поведение одного потребителя никогда не пересекаются. Кривые безразличия имеют отрицательный наклон, причем наклон кривой безразличия уменьшается при движении вправо, они вогнуты по отношению к началу координат (рис.2).
Форма кривых безразличия в нестандартной форме и их наклон в данной точке определяется исключительно потребительскими предпочтениями. Выделяют товары — совершенные заменители, товары — совершенные дополнители, нежелательные и нейтральные товары.
Помимо качественных оценок, для кривых безразличия вводятся количественные оценки.
Рис.2. Зона замещения (субституции)
Переходя от точки А к точке В, потребитель сокращает потребление блага Y на AY и наращивает потребление товара X на АХ, но общий уровень удовлетворения потребителя (совокупная полезность) остается неизменным. Зона замещения (субституции) — участок кривой безразличия, на котором возможна эффективная замена одного блага другим. Предельная норма замещения — количество одного блага, от которого потребитель готов отказаться, чтобы получить дополнительную единицу другого блага. Предельная норма замещения всегда отрицательная величина, рассчитывается следующим образом:
MRSxy
где MRS — предельная норма замещения; QX— количество товара X; QY— количество товара Y. Абсолютная величина наклона кривой безразличия равна предельной норме замещения.
В технических приложениях используется, как правило, более широкое понятие фронта (границы) Парето. В [12] показано существование 4 видов границ Парето (см. рис.3), а именно, выпуклый, вогнутый (невыпуклый), выпукло-вогнутый фронт (также невыпуклый), разрывный.
Задача (1) может быть инвертирована так, что для пары решений х', х" бинарное отношение предпочтения определённое на X, лица, принимающего решение (ЛПР) запишется в виде
х',х" е X,кг(х') > кг(х"), I = 1,..т
Зк е {1,2,...,т} : Нк(х') > Нк(х") = х' ^ х"• (2)
В этом случае можно сказать, что выпуклые границы искривлены в строну лучших решений, а вогнутые - в обратную сторону. Невыпуклые границы не полностью выпуклы и включают вогнутые участки. Границы также могут быть не непрерывными, что означает наличие областей вдоль фронта, в которых просто не может быть решений. Локально-оптимальные по Парето фронты в пространстве соответствуют случаю, когда для определенной точки, не принадлежащей глобальной границе Парето, известно, что она доминирует все точки в некоторой окрестности.
Многообразие точек в пространстве параметров, которое отображается через математическую модель или прототип (процесс, объект или субъект) на пространство параметров, не всегда исключается из рассмотрения с оставлением только точек фронта Парето. Иногда полезным бывает выполнить дополнительные анализы всех имеющихся решений. Для этого вводится понятие рангов Парето (см. рис. 4, ранги 1, 3 и 5 представляют выпуклые фронты, ранги 2 и 4 - смешанные, т.е. выпукло-вогнутые).
Рис.4. Ранги Парето для двух критериев J1 и J2 , соответствующие определению эффективности (2).
Важное практическое применение рангов отражено в работе [2], где показана связь между рангами Парето и функционированием механизма ранжирования пограничных средств по охране участков границ. Определение рангов лежит в основе одного из классов метода МКО, а именно, ранжирования агентов популяции. В частности, простым алгоритмом является метод Non-Dominated Sorting (недоминируемой сортировки) [12].
Одной из характеристик фронта является его разреженность (см. рис.5). Разреженность для критерия В выше, чем для критерия А, поскольку A1+A2 < B1+B2. Отметим, что рассматривается основное определение оптимума (1).
Рис.5. Разреженность фронта Парето по (1). Для технических решений кривая фронта Парето часто является непрерывной и замена ее компромиссной ломаной связана с ограниченностью количества проведенных
экспериментов [3]. Предположив, что на рис. 5 представлена компромиссная ломаная, отметим величину уступок по точкам А и В. Для этого рассмотрим отношение В2/В1 и А1/А2. Очевидно, при переходе от области В к области А улучшение по критерию 1 приводит к все большим ухудшениям (уступкам) по критерию 2 и наоборот. Переходя в пределе к непрерывной компромиссной кривой, отметим, что введение производной ё12/ё11 может выступить оценкой соотношения компромиссов.
Отметим, что описание фронта тесно связано с понятием оптимального решения. Один из вариантов поиска компромисса представлен на рис. 6. [13]
Рис. 6. Определение оптимального решения по Кэли- Смородински: I - идеальная точка, d - предельно допустимая точка, Р - фронт Парето, 8 - область допустимых решений, К- оптимальное решение.
Одним из подходов к обработке данных, составляющих фронт Парето является решение задачи минимизации функции свертки критериев
Ф(^, Ь2) = тт^Х^Л)
где к1,к2 - оптимальные по Парето критерии, |а1,а2}- весовые коэффициенты; -исходные критерии. Пример использования приводится в [3]
Математическое описание фронта при отыскании согласованного оптимума (сильного оптимума Парето) опирается на следующие соотношения [4]. Справедливо условие касания поверхностей уровня Ь1(х)=Ъ1, И2(х)=Ъ2, порождающее соответствующую систему линейных уравнений относительно переменных X. Градиенты в точках соприкосновения задаются формулами
кх (х) = -Х^хъАЪ^ (х). (3)
Векторное уравнение (3) равносильно п скалярным алгебраическим уравнениям
ЭМх) . = п .
дх ■ дх]
(4)
Уравнения (4), вообще говоря, определяют кривую в пространстве параметров:
х1 = хп =9п (/) .
Если участок этой кривой, на котором X > 0, принадлежит множеству допустимых параметров X, то он принадлежит и парето - множеству Е.
Эти же соотношения получаются при использовании свертки критериев по формуле Л-2^2, и нахождении минимума функции свертки Ъ0.
дк
0 _
дхг
= 0;
дк
0 _
дх
= 0;
или
0;
дк1 дк2 // -+ / -
дх дхг
/Щ +/дк1 = о.
дх, дх.
(5)
2
Система (5) включает в себя линейные по отношению к Х1, Х2 уравнения с параметрами (х1зх2) (функции ЗМ(х)/й*}) и может решаться нестандартным образом в том случае, если определитель системы нулевой:
А
дк дк
дх1 дх2 дк, дк2 дк, дк2
дк2 дк2 дх дх дх дх
дх1 дх
В работе [4] были расширены условия для целевых функций, обладающих свойствами контрмонотонности и предложен алгоритм аналитических расчетов.
Предположим, что необходимо исследовать взаимозависимость критериев при изменении только одного параметра. Тогда имеем
dh (х) dh2 (х)
-= —/-
dh
или
1//
dx dx dh1
Тогда имеется прямая в плоскости критериев. Очевидно, это тривиальный случай, соответствующий задаче свертки критериев. Более перспективным оказывается анализ производных критериев.
3. Обзор литературы по проблемам анализа фронта Парето.
В статье (4) подробно рассматривался обзор статей по определению фронта Парето. В контексте данной работы проследим, как анализируются свойства фронта Парето.
Во-первых можно выделить ряд работ, в которых дается математическое описание фронта. В [4] подробно рассмотрена топология задачи определения фронта Парето и приведены математические соотношения.
<
<
0
В [14] раскрывается сущность метода HyperBox Exploration (HBE), и приводится геометрическая интерпретация гипербоксов. В соответствии с определением сильного оптимума Парето важной характеристикой являются градиенты. Также показано применение нормальных векторов в характеристиках фронта Парето. Для угловых характеристик фронта в соответствии с рис. 7
Рис.7. Применение нормальных и тангенциальных векторов в описании фронта Парето.
Справедливо следующее выражение для тангенса угла наклона и величины г:
tg(a) - ± tg(a) - , r = IMl
fa (Z)L' fa (Z)L ,
Если рассмотреть изменение фронта Парето, происходящее вследствие изменения параметров системы, т.е. приращения x + ad , тогда соотношение улучшения-ухудшения
записывается в виде trade-off rate (скорости...)
, = lim f (x+ad) - f(x)
" a^o- f. (x + ad) - fj (x)
Для аппроксимации Ajy « ftj- (z) можно использовать соотношение
f (z)l
ftor (z) --r - JaV
f" (z) - r - L (z)L'
где индекс tor -'Tor - trade-off rate".
В [14] помимо общего обзора приводится аппроксимация фронта с помощью симплекса. Однако важно отметить, что рекомендаций по улучшению фронта не дается. Подробное описание применения trade-off rate дается в работах [15], [16].
Ряд работ [12,13,17,18,19] посвящен исследованию фронта Парето в условиях неопределенностей. В частности, в [12] рассматривается влияние шумов на форму границы Парето. В [2о] рассматривается задача нелинейной фильтрации в системах с неопределенностью в рамках оптимальности по Парето. В [17] выделяется проблема неопределенностей и робастности решения. В [5] рассматривается широкий круг проблем управления, но особенно важно описание подходов к оценке чувствительности систем, хотя впрямую Парето не рассматривается. В [21] рассматриваются изменения фронта Парето в рамках анализов чувствительности МКО. В [22] рассматриваются проблемы построения Парето для полных и несовершенных моделей, в т.ч. в стохастической постановке.
Проблемы нахождения оптимальных решений в условиях ограничений на параметры и критерии рассматриваются в [17,23]. Ограничения могут носить интегральный характер [23]. В [6] решается задача поиска оптимума в условиях неполноты данных и построены поверхности нечеткого вывода для каждого из имеющихся критериев. В [24] показаны необходимые и достаточные условия оптимума Парето в условиях ограничений специальной структуры.
В ряде работ [3],[4] показано получение Парето-оптимальных решений по результатам обработки экспериментальных данных. В [25] показана возможности аппроксимации фронта Парето путем интерполяций для ряда точек Парето.
Интерес представляют практические применения анализов Парето-оптимума, например в [26] даны приложения Парето-анализов к гибридным механическим системам. В [27] приводятся разные виды областей Парето для прикладной задачи. В [2] проводится прикладной анализ выбора Парето-оптимальных вариантов в пространстве «качество -надежность - затраты»
Одним из подходов является преобразование пространств параметров и критериев. Так, в [17] отмечается важность масштабирования при построении границ и показано преобразование пространства критериев. В [7] показаны графики модифицированных функционалов технических приложений.
Работы по поиску Парето-оптимальных решений рассматриваются в рамках хорошо разработанной на сегодняшний день теории дифференциальных игр [24,28]. Так, в [29] задача рассматривается в рамках теории дифференциальных игр и стохастической постановке, т.е. рассматривается стохастические Парето-оптимальные стратегии. В [30] вводится специальная переменная - вектор скаляризации и представлены аналитические зависимости для задачи дифференциальных игр. В [31] рассматривается усложненная задача дифференциальных игр для мультиагентных систем. В [32] предлагается метод нахождения компромиссных решений для группы критериев в виде
о
к
Выбор вариантов может быть осуществлен и при неявном задании функций полезности. Обзор соответствующих интерактивных (диалоговых) методов решения многокритериальных задач выбора вариантов приводится дан в 7, где также приводится более общая задача развития методов жесткой оптимизации.
Методы, ориентированные на применение весовых коэффициентов, приводятся, например, в [8], где отмечена реализация разработанных поисковых процедур нелинейного программирования в пространстве весовых коэффициентов сверток Джоффриона. В [33] приводятся классификация решения по Парето и вводится весовой параметр 0, для этого случая рассматриваются необходимые и достаточные условия Парето-оптимума.
Геометрическая интерпретация для более сложного случая 3 критериев приводится в [17], где рассматривается 3-мерная граница фронта Парето. Стратегия визуализации предложена в [34]. В [9] также дается геометрическая интерпретация для случая 3 критериев с использованием угла между тремя ненулевыми векторами на плоскости, рассчитанными через соответствующие градиенты.
Из обзорных работ следует отметить [10], где приводятся основные определения Парето- оптимума и [11], посвященной общим вопросам МКО.
Итак, работы подразделяются на исследование в условиях неопределённости, в стохастической постановке, при наличии ограничений, связывается анализ Парето и анализ чувствительности. Рассматривается топология в 2 и 3 мерном случае, современные приложения направлены на мультиагентные системы, на группы игроков в дифференциальных играх. Приводятся необходимые и достаточные условия нахождения Парето решений. Показаны технологии обработки экспериментальных данных и задачи интерполяции.
Однако задачи активного управления фронтом во всех рассмотренных работах не ставится.
Аналитические зависимости прямых критериев от параметров системы для модели в виде передаточной функции приведены в [4]. В качестве критериев используются перерегулирование:
Без ограничений общности в качестве параметров рассматриваются собственная частота Юи и коэффициент демпфирования Выполняя дифференцирование (6) и (7) по указанным параметрам, получим
4. Методика активного управления фронтом по критериям
переходного процесса
(6)
и время нарастания:
да — ж —£л / V £ Г2
= , V = лА—С ;
дС V
д^,
1 (ж — агсБт V)
V
д/
1
дС
1 +
С
V V У
(ж — arcsinv)
Отметим, что собственная частота входит лишь в один из критериев, а именно время нарастания /г. Поэтому будем исследовать только одну пару производных. Получим из (8):
да
дТ
— ж — Сж/ V —е
V
— же
-£ж / V
1+
V
V V У
(ж — arcsinv)
V
1 +
V
V V У
(ж — arcsinv)
График функции / рассчитанной по (9), приведен на рис 8.
Ж) Т " (9)
Рис. 8. График зависимости функции f от коэффициента демпфирования рассчитанной по формуле (9).
1
2
Аппроксимация данного графика приводит к следующей зависимости
/ = 0.02/С2 -0.46/С + 0.54. (10)
Совместное использование формул (9) и (10) использовано при построении графиков на рис.9.
Как следует из рис. 9, изменение собственной частоты (постоянной времени) обратно пропорционально влияет на наклон фронта Парето, т.е. чем меньше постоянная времени, тем фронт будет круче, т.е. через изменение постоянной времени можно управлять наклоном фронта.
Собственно зависимость критерия перерегулирования от времени нарастания может быть рассчитана следующим образом. Выделим функцию, зависящую от демпфирования в обоих критериях. Тогда имеем:
* = я (СУ-С = §^);
1Г = ТУ(С) = Ту( ~ИС))).
Отсюда для данного коэффициента демпфирования, а, значит, для данного перерегулирования время нарастания прямо пропорционально постоянной времени. Это означает, что уменьшение постоянной времени приводит и к смещению фронта Парето влево и к увеличению его наклона. Результаты расчета, подтверждающие этот вывод, показаны на рис.10.
Рис.10. Влияние постоянной времени на зависимость фронта Парето в критериях «время нарастания ^» -«перерегулирование с»; стрелкой показано направление увеличения коэффициента демпфирования
замкнутой системы.
5. Методика активного управления фронтом по критериям переходного процесса для двухконтурной системы управления
На практике важны механизмы, которые позволят изменить демпфирование и постоянную времени (собственную частоту) замкнутой системы. Пример двухконтурной системы был рассмотрен в статье.
Модель представляется в виде системы дифференциальных уравнений.
dЮ7 7/7 7 Ч
— + апаг + аиа + аикрМ (и — кдусю2 — ка) = 0;
dю * *
— + ап©г + а12а = —а13крми;
*
а11 = а11 — кдускрм а13;
*_ (11)
а12 — а12 — к1крм а13;
*
а13 — к рм а13; к1 = кдлу а42У / Я.
Передаточная функция от входа - отклонения органов управления 5В к выходу (нормальному ускорению wу или нормальной перегрузке пу) может быть представлена в виде
V*
тт^у _ Т!/Пу _ Т/ Л а
*Чзам - ё^8взам - а42У ~*Г~2 7 , (12)
Т 8 + 2С Т 8 + 1
где коэффициент демпфирования рассчитывается по формуле
с -
(а *ц + а42) 2д/(а*па42 + а*12) '
(13)
(14)
_ 42
а постоянная времени по формуле
* 1
Т -
** (а иа42 + а 12)
Таким образом, исследование системы (11) - (12) может быть проведено с использованием общих формул (6) - (9).
Динамические коэффициенты в (11) - (12) для двухконтурной задачи имеют вполне конкретный физический смысл, а именно:
мма м5в р+уа
а —---—' а —--—' а —---— ■ а —
11 т ' 12 т ' 13 т ' 42
т 12 7" 13 Т" 42 Т^ '
/, /, /, шУ
ж ж ж
где М - производная аэродинамического момента тангажа по угловой скорости тангажа,
Ма - производная аэродинамического момента тангажа по углу атаки, М5гв - производная
аэродинамического момента тангажа по отклонению руля высоты, Р -сила тяги, у а -производная подъемной силы по углу атаки, ш - масса, У - скорость, 12 - момент инерции. Таким образом, а11 отражает собственное демпфирование системы, а а *п- управляемое
демпфирования, а12 и а*2 - характеризуют собственную и управляемую статическую
устойчивость объекта, а13- эффективность управления рулями высоты.
Основное влияние на управление осуществляется за счет изменения коэффициентов датчиков угловых скоростей кдус и датчиков линейных ускорений кдлу, установленных в обратных связях по соответствующим контурам.
Вначале рассматривается влияние коэффициента усиления датчика угловых скоростей (внутреннего контура). Расчет критериев перерегулирования а и времени нарастания ^ рассчитывается по формулам (6) и (7) с учетом (13) и (14). Далее рассчитываются производные
* * дС, дд да
11
(а иа42 + 2а 12 — а 42)крма13
дк
Дус
да 11 дк дус
* * 3/2
4(а иа42 + а 12)
и
дт дк.
лгр** *
дТ да 11
а42 крм а13
да 11 дкд 2(а па42 + а 12)
3/2
'дус 11 дус
Отсюда с учетом выражений для производных (8) имеем
* * * 2 да _ да д£ _ 2ж(а па^ + 2а 12 — а 42)крмаи —^/1—С2.
дк
дус
дС дк
Дус
* * 2 3/2 (4а 12 — (а 11 — а42) )
(15)
Ыт _ Ыт дС, Ыт дТ
дкдус ~~д£дк„,„ ~дТЖ~
дус
к ал о
рм 13
* * 3 / 2
2(а иа42 + а 12)
Дус
* * 2 (а па42 + 2а 12 — а 42)
* * 2
2л (а иа42 + а 12 )у
1 +
V
(ж — агсвту)
V * у
+ а^(ж — агс81иу)
V
Прямой расчет по формулам (15) возможен только численно, однако, воспользовавшись аппроксимирующей формулой (10), получим
да
дХ„
0.02/С*2 — 0.46/С" + 0.54 0.02 — 0.46С + 0.54С
*2
гр* гр* ^*2
Результат расчетов для пары критериев качества приведен на рис. 11.
(16)
Рис. 11. Влияние изменения коэффициентов усиления датчиков угловых скоростей кдус и датчиков линейных ускорений кту на положение фронта Парето: выделены линии одинаковых коэффициентов кдус.
Из анализа графика рис.11 следует, что увеличение модуля коэффициента усиления датчика угловых скоростей приводит к сжатию фронта Парето по перерегулированию и вытягиванию по времени переходного процесса. Наклон фронта Парето при этом изменяется несильно. График рис.11 может быть перестроен в рис.12.
Судя по рис.12, увеличение модуля коэффициента усиления датчика линейных ускорений вызывает смещение фронта Парето влево с одновременным увеличением угла наклона фронта, т.е. чувствительность его возрастает.
Набор решений по модели также может быть рассмотрен с точки зрения рангов по определению (1). В данном случае выпуклые границы искривлены в строну худших решений, а вогнутые - в лучшую сторону. Каждый из отдельных рангов соответствует в рассмотренной в [4] модели вариации коэффициента датчика линейных ускорений при разных значения коэффициента усиления датчика угловых скоростей, причем если последний коэффициент будет по модулю ограничен снизу, придется переходить на следующий ранг Парето (рис.13)
Рис. 12. Влияние изменения коэффициентов усиления датчиков угловых скоростей кдус и датчиков линейных ускорений кдлу на положение фронта Парето: выделены линии одинаковых коэффициентов кдау.
Рис. 13. Набор рангов Парето для критериев времени нарастания и перерегулирования: отмечены ранги 1-5.
В статье [4] было показано, что наилучший результат, т.е. ранг 1, может быть получен путем объединения максимального по модулю коэффициента кдлу (вертикальная часть) и кдус (горизонтальная часть). Влияние отдельных коэффициентов для наилучшего ранга представлено на объединенном рис.14.
Рис.14. Влияние вариаций динамических коэффициентов на положение фронта Парето.
Из рис.14 следует, что наибольший эффект оказывает изменение а13 эффективности управления рулями высоты, что вполне объяснимо. Влияние коэффициентов а11 и скорости V незначительно.
6. Методика активного управления фронтом по интегральным
критериям
Рассмотрим факторы, которые влияют на фронт Парето при использовании интегральных критериев.
Система (11) представляется в пространстве состояний
х (г ) = Л(г ) х(г ) + Б(г )и (г ), х(г0) = х0.
Для заданного закона управления
и (г) = Х¥~1БТ (г )К (г) х(г) = — П(г) х(г )р(г) = 1БТ (г) К (г)
и замкнутой системы имеем
х (г) = [Л(г) — Б(г) )]х(г) = Лох(г).
В статье [1] показано, что можно рассмотреть Парето - оптимальное решение для двух интегралов: интеграл от фазовых координат
J (u) = 1J [xT (t)Ox(t)]dt,
2 JL - v ^ , (17)
2 tn
и интеграл от затрат на управление:
J = 1J [uT (t )*¥u(t (18)
2 to
Численное моделирование процессов управления при разных значениях динамического коэффициента a13, которые входят в матрицу свойств управления B показало, что с увеличением по модулю этого коэффициента происходит смещение фронта к началу координат, т.е. благоприятно сказывается на управлении (см. рис.15)
Для снижения вычислительных затрат на многократное моделирование была решена задача аппроксимации зависимостей рис.15. Расчеты в пакете MATLAB с использованием функций fit, fittype и fitoptions показали, что с достоверностью 95% зависимости для критериев (17) и (18) могут быть представлены в виде:
Jx = Wx (1/ ai3)2 + bbx (1/ ai3) + ^ ^ / ф) + acx (1 / au)2 + Ъсх (1 / a
13) + Ccx ,(19)
Ju = \a>au (1/ a,3)2 + bau (1/ aD) + Cau ](1 / ф)2 +
[аЬи(1 / а13)2 + Ъъи(1/ а13) + сЬи](1 / V) + аСи(1 / а,.,)2 + Ъси (1 / аи ) + сСи' (20)
где ф - текущее значение масштабного фактора весовой матрицы Ф, который позволяет перераспределить важность критериев отклонения координат и дополнительных затрат на управление. Из совместного рассмотрения (19) и (20) поучается зависимость критерия Ju от критерия Jx:
Рис. 15. Влияние изменения динамического коэффициента а13 на положения фронта Парето.
Ju =7Т^ (Л2 — 2 JxCx + (Сх )2)+
(Ъх )
Ъ
Ь
+ с
а
(Ъх )
2
J„ +
2х
2а с Ъ
и х | и (Ъх)2 Ъх
Jx +
а (с )2 Ъ с
и \ х / _ и х
(Ъх )2
Ъ
+ с
(21)
После дифференцирования по параметру §=1/ф (19) и (20) получается выражение для наклона фронта Парето:
^^ = / <их = /
= {2ки (1/ ^13)2 + Ъаи (1/ ^13) + саи ^ +
\аЪи (1/ а13)2 + ЪЪи (1/ а13) + сЪи ] /[аЪх (1/ а13)2 + ЪЪх (1/ а13) + сЪ
(22)
%и\ "13/ 1 иЪи\ ' "13/ 1 ^Ъ^^^^Ъ^' "13/ 1 иЪх\ ' "13/ 1 Ъх, Результаты расчетов по (22) для полученных в результате применений функций аппроксимации конкретных коэффициентов рассматриваемой модели показаны на рис. 16.
Рис.16. Влияние динамического коэффициента а13 эффективности органов управления на изменение зависимости наклона фронта Парето от масштабного фактора ф.
Обращает на себя внимание наличие точки равновесия, где влияния коэффициента а13 нет. Через изменение а13 наклон фронта парето меняется, но не так существенно, как при изменении фактора ф. Аналогичные расчеты были проведены и для других коэффициентов (рис.17).
Рис.17. Влияние динамического коэффициента а12 статической устройчивости объекта и динамического коэффициента а11 собственного демпфирования объекта на изменение зависимости наклона фронта Парето
от масштабного фактора ф.
Выводы
Сформулирована задача активного управления фронтом Парето. Рассмотрены три вида критериев качества. Во-первых, изучено влияние коэффициентов демпфирования и постоянной времени замкнутой системы вида колебательного звена. Показано, что изменение собственной частоты (постоянной времени) обратно пропорционально влияет на наклон фронта Парето, т.е. чем меньше постоянная времени, тем фронт будет круче и будет наблюдаться смещение фронта Парето влево.
Во-вторых, фронт Парето исследуется применительно к практической задаче синтеза двухконтурной системы. Увеличение коэффициента усиления датчика угловых скоростей по модулю приводит к сжатию фронта Парето по перерегулированию и вытягиванию по времени переходного процесса. При увеличении по модулю коэффициента усиления датчика линейных ускорений происходит смещение фронта Парето влево с одновременным увеличением угла наклона фронта, т.е. чувствительность фронта возрастает. Отмечается, что наиболее сильное влияние на изменение фронта Парето оказывает изменение динамического коэффициента a13.
Выявлена структура рангов Парето и показано, что каждый из отдельных рангов соответствует вариации коэффициента датчика линейных ускорений при разных значения коэффициента усиления датчика угловых скоростей, причем если последний коэффициент будет по модулю ограничен снизу, придется переходить на следующий ранг Парето.
При использовании интегральных критериев изменения фронта Парето можно добиться, изменяя также коэффициенты демпфирования и статической устойчивости системы. Для сложных зависимостей интегральных критериев получены аппроксимирующие зависимости и отмечена полезность применения такого подхода, для проведения более обширного круга исследований без дополнительного моделирования.
Список литературы
1. Романова И.К. Об одном подходе к определению весовых коэффициентов метода пространства состояний // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 4. С. 105-129. DOI: 10.7463/0415.0763768
2. Пьянков А.А. Методический подход к многокритериальной оценке вариантов развития базовых и критических технологий // Материалы Восьмой Всероссийской научно-практической конференции «Перспективные системы и задачи управления». Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2013. С. 44-50. Режим доступа: http://rirpc.ru/wp-content/uploads/2014/11/CHast 1-8-2013.pdf (дата обращения 01.07.2015).
3. Бородулин А.С., Малышева Г.В. , Романова И.К. Оптимизация реологических свойств связующих, используемых при формовании изделий из стеклопластиков методом вакуумной инфузии // Клеи. Герметики. Технологии. 2015. № 3. С. 40-44.
4. Романова И.К. Применение аналитических методов к исследованию парето-оптимальных систем управления // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 4. С. 238-266. DOI: 10.7463/0414.0704897
5. Бобцов А.А., Никифоров В.О., Пыркин А.А., Слита О.В., Ушаков А.В. Методы адаптивного и робастного управления нелинейными объектами в приборостроении: учеб. пособие для вузов. СПб: НИУ ИТМО, 2013. 277c.
6. Заргарян Ю.А., Косенко О.В., Васильев И.А. Численный метод нахождения парето-оптимального решения в условиях неполноты исходных данных // Известия ЮФУ. Технические науки. 2013. Вып. 2 (139). С.137-144.
7. Семенова А.В., Чирков Д.В., Лютов А.Е. Целевые функционалы при оптимизации рабочего колеса поворотно-лопастной гидротурбины // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. 2014. № 3 (202). C. 97-106.
8. Черноруцкий И.Г. Петербургская научная школа жесткой оптимизации (история и обзор основных научных результатов) // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление. 2013. № 5 (181). С. 29-38.
9. Ногин В.Д., Прасолов А.В. Многокритериальная оценка оптимальной величины импортной пошлины // Труды ин-та Системного Анализа РАН. 2013. Т. 63, вып. 2. С. 34-44.
10. Лотов А.В., Поспелова И.И. Многокритериальные задачи принятия решений. М.: МАКС Пресс, 2008. 197 с.
11. Карпенко А.П. Современные алгоритмы поисковой оптимизации. Алгоритмы, вдохновленные природой : учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. 446 с.
12. Luke S. Essentials of Metaheuristics. A Set of Undergraduate Lecture Notes. Second Edition (Online Version 2.1). Department of Computer Science, George Mason University, October 2014. 255 р. Available at: http://cs.gmu.edu/~sean/book/metaheuristics , accessed 01.07.2015.
13. Engwerda J. LQ Dynamic Optimization and Differential Games. John Wiley & Sons Ltd, 2005. 511 p.
14. Haanpaa T. Approximation Method for Computationally Expensive Nonconvex Multiobjective Optimization Problems. University of Jyvaskyla, 2012. 188 р. Available at: https://jyx.iyu.fi/dspace/handle/123456789/40501 , accessed 01.07.2015.
15. Eskelinen P., Miettinen K. Trade-off analysis approach for interactive nonlinear multiobjective optimization // OR Spectrum. 2012. Vol. 34, no. 4. P. 803-816. DOI: 10.1007/s00291-011 -0266-z
16. Miettinen K., Ruiz F., Wierzbicki A.P. Introduction to Multiobjective Optimization: Interactive Approaches // In: Multiobjective Optimization: Interactive and Evolutionary Approach-
es / ed. by J. Branke, K. Deb, K. Miettinen, R. Slowin'ski. Springer Berlin Heidelberg, 2008. P. 27-57. DOI: 10.1007/978-3-540-88908-3 2
17. Multiobjective Optimization: Interactive and Evolutionary Approaches / ed. by J. Branke, K. Deb, K. Miettinen, R. Slowin'ski. Springer Berlin Heidelberg, 2008. 481 p. DOI: 10.1007/978-3-540-88908-3
18. Hendriks M., Geilen M., Basten T. Pareto Analysis with Uncertainty: ESR-2011-01. Eindhoven University of Technology, 2011. 8 p. Available at: http://www.es.ele.tue.nl/esreports/esr-2011-01.pdf , accessed 01.07.2015.
19. Mahmoud Samadi, Ali Barootiha, Mohsen Rahmani, Ali Taherkhani. Pareto Optimal Robust Feedback Linearization Control of a Nonlinear System with Parametric Uncertainties // Journal of Basic and Applied Scientific Research. 2013. Vol. 3, is. 1s. P. 91-95.
20. Abbaszadeh M., Marquez H.J. Robust H-Filtering for Lipschitz Nonlinear Systems via Multiobjective Optimization // Journal of Signal and Information Processing. 2010. Vol. 1, no. 1. P. 24-34. DOI: 10.4236/jsip.2010.11003
21. Calandra R., Peters J., Deisenrothy M.P. Pareto Front Modeling for Sensitivity Analysis in Multi-Objective Bayesian Optimization. NIPS Workshop on Bayesian Optimization, 2014. 5 p. Available at: http://www.ias.tu-darmstadt.de/uploads/Publications/Calandra-NIPS2015-bayesopt.pdf , accessed 01.07.2015.
22. Castillo F., Kordon A., Smits G., Christenson B., Dickerson D. Pareto Front Genetic Programming Parameter Selection Based on Design of Experiments and Industrial Data // GECCO 2006: Proceedings of the 8th annual conference on Genetic and evolutionary computation. Vol. 2. ACM, USA, 2006. P. 1613-1620. DOI: 10.1145/1143997.1144264
23. Kumar A., Vladimirsky A. An efficient method for multiobjective optimal control and optimal control subject to integral constraints // Journal of Computational Mathematics.2010. Vol. 28, no. 4. P. 517-551. DQI:10.4208/icm.1003-m0015
24. Reddy P.V., Engwerda J.C. Necessary and Sufficient Conditions for Pareto Optimal Solutions of Cooperative Differential Games // IEEE Transactions on Automatic Control. 2014. Vol. 59, no. 9. P. 2536-2543. DOI: 10.1109/TAC.2014.2305933
25. Hartikainen M., Miettinen K., Wiecek M.M. PAINT: Pareto front interpolation for nonlinear multiobjective optimization // Computational Optimization and Applications. 2012. Vol. 52, is. 3. P. 845-867. DOI: 10.1007/s10589-011-9441-z
26. Azhmyakov V., Gil GarcHa A.E. On Optimization Techniques for a Class of Hybrid Mechanical Systems // In: Applications of Nonlinear Control / ed. by M. Altinay. InTech, 2012. P. 147-162. DOI: 10.5772/36077
27. Moen H.J.F., Hovland H. Spanning the Pareto Front of a Counter Radar Detection Problem // GECCO '11 Proceedings of the 13 th annual conference on Genetic and evolutionary computation. ACM, USA, 2011. P. 1835-1842. DOI: 10.1145/2001576.2001822
28. Advances in Dynamic Games. Theory, Applications, and Numerical Methods for Differential and Stochastic Games / ed. by M. Breton, K. Szajowski. Springer Science+Business Media, LLC, 2011. 612 p. DOI:10.1007/978-0-8176-8089-3
29. Hiroaki Mukaidani, Hua Xu. Pareto Optimal Strategy for Stochastic Weakly Coupled Large Scale Systems with State Dependent System Noise // IEEE Transactions on Automatic Control. 2009. Vol. 54, no. 9. P. 2244-2250. DOI: 10.1109/TAC.2009.2026854
30. Bonnel H., Ngoc Sang Pham. Nonsmooth Optimization Over the (Weakly or Properly) Pare-to Set of a Linear-Quadratic Multi-Objective Control Problem: Explicit Optimality Conditions // Journal of Industrial and Management Optimization. 2011. Vol. 7, no. 4. P. 789-809. DOI: 10.3934/jimo.2011.7.789
31. Wei Lin. Differential Games for Multi-Agent Systems under Distributed Information: Ph.D. diss. University of Central Florida, 2013. 127 p.
32. Rehna Nalakath, Nandakumar M.P. Determination of Compromise Solutions for Linear Steady State Regulator with Vector Valued Performance Index // International Journal of Scientific and Research Publications. 2013. Vol. 3, is. 11. P. 1-5.
33. BonnelH. Post-Pareto Analysis for Multiobjective Parabolic Control Systems // Annals of the Academy of Romanian Scientists. Series on Mathematics and its Applications. 2013. Vol. 5, no. 1-2. P. 13-34.
34. Kurasova O., Petkus T., Filatovas E. Visualization of Pareto Front Points when Solving Multi-objective Optimization Problems // Information Technology and Control. 2013. Vol. 42, no.4. P. 353-361. DOI: http://dx.doi.org/10.5755/j01.itc.42.4.3209
Science and Education of the Bauman MSTU, 2015, no. 08, pp. 140-170.
DOI: 10.7463/0815.0786155
Received: Revised:
06.06.2015 23.06.2015
Science^Education
of the Bauman MSTU
I SS N 1994-0408 © Bauman Moscow State Technical Unversity
Statement of Problem of Pareto Frontier Management and Its Solution in the Analysis and Synthesis of Optimal Systems
I.K. Romanova
1,*
maiti20Q3@yand]exju 1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: multi-criteria optimization, Pareto - optimal solutions, the front Pareto, Pareto rank, direct
and integral quality criteria, synthesis of control systems, aircraft
The article research concerns the multi-criteria optimization (MCO), which assumes that operation quality criteria of the system are independent and specifies a way to improve values of these criteria. Mutual contradiction of some criteria is a major problem in MCO. One of the most important areas of research is to obtain the so-called Pareto - optimal options.
The subject of research is Pareto front, also called the Pareto frontier. The article discusses front classifications by its geometric representation for the case of two-criterion task. It presents a mathematical description of the front characteristics using the gradients and their projections. A review of current domestic and foreign literature has revealed that the aim of works in constructing the Pareto frontier is to conduct research in conditions of uncertainty, in the stochastic statement, with no restrictions. A topology both in two- and in three-dimensional case is under consideration. The targets of modern applications are multi-agent systems and groups of players in differential games. However, all considered works have no task to provide an active management of the front.
The objective of this article is to discuss the research problem the Pareto frontier in a new production, namely, with the active co-developers of the systems and (or) the decision makers (DM) in the management of the Pareto frontier. It notes that such formulation differs from the traditionally accepted approach based on the analysis of already existing solutions.
The article discusses three ways to describe a quality of the object management system. The first way is to use the direct quality criteria for the model of a closed system as the vibra-tional level of the General form. The second one is to study a specific two-loop system of an aircraft control using the angular velocity and normal acceleration loops. The third is the use of the integrated quality criteria. In all three cases, the selected criteria are mutually contradictory and it is possible to use them for description in the Pareto frontier terms. Techniques for the active influence on the Pareto frontier have allowed us to define parameters not only of the system regulators, but the control object itself, which permit changing the front position. The article analyses the impact of these parameters on the angles of the front, calculated, using the second derivative
of the criterion, by the first dJ2/dJ1. It notes that derivatives may act as an assessment of the balance of compromises.
The work reveals that for a General form model the change in natural frequency (time constant) has inversely proportional impact on the tilt of Pareto frontier, i.e. the smaller the time constant, the steeper is front, i.e. it is possible to control the front tilt through changing the time constant. Thus, reducing the time constant leads to the left-hand shift of the Pareto frontier. As to the two-loop system, it shows that the increasing gain module of the angular velocity sensor causes compression of the Pareto frontier in overshoot and stretching time of the transition process. Here, a tilt of the Pareto frontier slightly changes. The increasing module of the sensor linear acceleration gain causes the left-hand shift of the Pareto frontier with simultaneously increasing angle of the front tilt, i.e. its sensitivity increases. The computations of the corresponding Pareto ranks showed that for two-loop system, each of the individual ranks corresponds to the variation of the coefficient of linear acceleration sensor at different gain values of the angular velocity sensor, and if the latter is modulo limited from below, it is necessary to move to the next Pare-to rank. Found that the change of dynamic coefficient related to the efficiency of the elevator control has the greatest effect. Using the integral criteria gives the same effect. The influence of other factors on the Pareto frontier is insignificant for direct quality indicators. It is, however, far more effective for the integral criteria. For the latter, as noted, there is an equilibrium point on the graph of the derivatives. Taking into consideration the rather complex functions of integral parameters, the article presents the approximating dependences obtained and notes the usefulness of applying this approach to more extensive scope of research without additional modeling.
Thus, the article offers a new formulation as applied to the study of the Pareto frontier, namely, active control of the front by changing the parameters of the controllers and the object properties and shows a particular implementation of the synthesis of control systems for air-crafts.
References
1. Romanova I.K. About One Approach to Determine the Weights of the State Space Method. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2015, no. 4, pp. 105-129. DOI: 10.7463/0415.0763768 (in Russian).
2. Pyankov A.A.The methodical approach to the estimation by several criteria of variants of development of base and critical technologies. Materialy Vos'moi Vserossiiskoi nauchno-prakticheskoi konferentsii "Perspektivnye sistemy i zadachi upravleniya" [Proceedings of the Eighth All-Russian scientific-practical conference "Future systems and management tasks"]. Taganrog, TTI SFU Publ., 2013, pp. 44-50. Available at: http://rirpc.ru/wp-content/uploads/2014/11/CHast 1-8-2013.pdf , accessed 01.07.2015. (in Russian).
3. Borodulin A.S., Malysheva G.V., Romanova I.K. Optimization of the rheological properties of binders used in molding products made of fiberglass by vacuum infusion. Klei. Germetiki. Tekhnologii = Adhesives. Sealants, 2015, no. 3, pp. 40-44. (in Russian).
4. Romanova I.K. The application of analytical methods to the study of Pareto - optimal control systems. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2014, no. 4, pp. 238-266. DOI: 10.7463/0414.0704897 (in Russian).
5. Bobtsov A.A., Nikiforov V.O., Pyrkin A.A., Slita O.V., Ushakov A.V. Metody adaptivnogo i robastnogo upravleniya nelineinymi ob"ektami vpriborostroenii [Methods of adaptive and robust control of nonlinear objects in instrument]. St. Petersburg, ITMO Publ., 2013. 277 p. (in Russian).
6. Zargarjan U.A., Kosenko O.V., Vasilyev L.A. A numerical method of Pareto-optimal decision searching under conditions of the basic data uncertainty. Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki = Izvestiya SFedU. Engineering Sciences, 2013, no. 2 (139), pp.137-144. (in Russian).
7. Semenova A.V., Chirkov D.V., Lyutov A.E. Objective functionals for optimization of Kaplan runner blade shape. Nauchno-tekhnicheskie vedomosti SPbGPU = St. Petersburg State Polytechnical University Journal, 2014, no. 3 (202), pp. 97-106. (in Russian).
8. Chernorutskiy I.G. St. Petersburg scientific school of stiff optimization (history and review of main scientific results). Nauchno-tekhnicheskie vedomosti SPbGPU. Informatika. Telekommunikatsii. Upravlenie = St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Computer Science. Telecommunications and Control Systems, 2013, no. 5 (181), pp. 29-38. (in Russian).
9. Nogin V.D., Prasolov A.V. Multicriteria Evaluation of the Optimal Amount of the Import Duty. Trudy Instituta Sistemnogo Analiza RAN = Proc. of Institute of Systems Analysis of Russian Academy of Sciences, 2013, vol. 63, no. 2, pp. 34-44. (in Russian).
10. Lotov A.V., Pospelova I.I. Mnogokriterial'nye zadachiprinyatiya resheniy [Multicriteria decision making problems]. Moscow, MAKS Press, 2008. 197 p. (in Russian).
11. Karpenko A.P. Sovremennye algoritmy poiskovoi optimizatsii. Algoritmy, vdokhnovlennye prirodoi [Modern algorithms of search engine optimization. Algorithms inspired by nature]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2014. 446 p. (in Russian).
12. Luke S. Essentials of Metaheuristics. A Set of Undergraduate Lecture Notes. Second Edition (Online Version 2.1). Department of Computer Science, George Mason University, October 2014. 255 p. Available at: http://cs.gmu.edu/~sean/book/metaheuristics , accessed 01.07.2015.
13. Engwerda J. LQ Dynamic Optimization and Differential Games. John Wiley & Sons Ltd, 2005. 511 p.
14. Haanpää T. Approximation Method for Computationally Expensive Nonconvex Multiobjective Optimization Problems. University of Jyväskylä Publ., 2012. 188 p. Available at: https://jyx.iyu.fi/dspace/handle/123456789/40501 , accessed 01.07.2015.
15. Eskelinen P., Miettinen K. Trade-off analysis approach for interactive nonlinear multiobjective optimization. OR Spectrum, 2012, vol. 34, no. 4, pp. 803-816. DOI: 10.1007/s00291-011 -0266-z
16. Miettinen K., Ruiz F., Wierzbicki A.P. Introduction to Multiobjective Optimization: Interactive Approaches. In: Branke J., Deb K., Miettinen K., Slowin'ski R., eds. Multiobjective Optimization: Interactive and Evolutionary Approaches. Springer Berlin Heidelberg, 2008, pp. 27-57. DOI: 10.1007/978-3-540-88908-3 2
17. Branke J., Deb K., Miettinen K., Slowin'ski R., eds. Multiobjective Optimization: Interactive and Evolutionary Approaches. Springer Berlin Heidelberg, 2008. 481 p. DOI: 10.1007/978-3-540-88908-3
18. Hendriks M., Geilen M., Basten T. Pareto Analysis with Uncertainty: ESR-2011-01. Eindhoven University of Technology, 2011. 8 p. Available at: http://www.es.ele.tue.nl/esreports/esr-2011-01.pdf , accessed 01.07.2015.
19. Mahmoud Samadi, Ali Barootiha, Mohsen Rahmani, Ali Taherkhani. Pareto Optimal Robust Feedback Linearization Control of a Nonlinear System with Parametric Uncertainties. Journal of Basic and Applied Scientific Research, 2013, vol. 3, is. 1s, pp. 91-95.
20. Abbaszadeh M., Marquez H.J. Robust H-Filtering for Lipschitz Nonlinear Systems via Multiobjective Optimization. Journal of Signal and Information Processing, 2010, vol. 1, no. 1, pp. 24-34. DOI: 10.4236/jsip.2010.11003
21. Calandra R., Peters J., Deisenrothy M.P. Pareto Front Modeling for Sensitivity Analysis in Multi-Objective Bayesian Optimization. NIPS Workshop on Bayesian Optimization, 2014. 5 р. Available at: http://www.ias.tu-darmstadt.de/uploads/Publications/Calandra-NIPS2015-bayesopt.pdf , accessed 01.07.2015.
22. Castillo F., Kordon A., Smits G., Christenson B., Dickerson D. Pareto Front Genetic Programming Parameter Selection Based on Design of Experiments and Industrial Data. GECCO 2006: Proceedings of the 8th annual conference on Genetic and evolutionary computation. Vol. 2. ACM, USA, 2006, pp. 1613-1620. DOI: 10.1145/1143997.1144264
23. Kumar A., Vladimirsky A. An efficient method for multiobjective optimal control and optimal control subject to integral constraints. Journal of Computational Mathematics, 2010, vol. 28, no. 4, pp. 517-551. DQI:10.4208/icm.1003-m0015
24. Reddy P.V., Engwerda J.C. Necessary and Sufficient Conditions for Pareto Optimal Solutions of Cooperative Differential Games. IEEE Transactions on Automatic Control, 2014, vol. 59, no. 9, pp. 2536-2543. DOI: 10.1109/TAC.2014.2305933
25. Hartikainen M., Miettinen K., Wiecek M.M. PAINT: Pareto front interpolation for nonlinear multiobjective optimization. Computational Optimization and Applications, 2012, vol. 52, is. 3, pp. 845-867. DOI: 10.1007/s10589-011-9441-z
26. Azhmyakov V., Gil GarcHa A.E. On Optimization Techniques for a Class of Hybrid Mechanical Systems. In: Altinay M., ed. Applications of Nonlinear Control. InTech, 2012, pp. 147-162. DOI: 10.5772/36077
27. Moen H.J.F., Hovland H. Spanning the Pareto Front of a Counter Radar Detection Problem. GECCO '11 Proceedings of the 13th annual conference on Genetic and evolutionary computation. ACM, USA, 2011, pp. 1835-1842. DOI: 10.1145/2001576.2001822
28. Breton M., Szajowski K., eds. Advances in Dynamic Games. Theory, Applications, and Numerical Methods for Differential and Stochastic Games. Springer Science+Business Media, LLC, 2011. 612 p. DOI: 10.1007/978-0-8176-8089-3
29. Hiroaki Mukaidani, Hua Xu. Pareto Optimal Strategy for Stochastic Weakly Coupled Large Scale Systems with State Dependent System Noise. IEEE Transactions on Automatic Control, 2009, vol. 54, no. 9, pp. 2244-2250. DOI: 10.1109/TAC.2009.2026854
30. Bonnel H., Ngoc Sang Pham. Nonsmooth Optimization Over the (Weakly or Properly) Pare-to Set of a Linear-Quadratic Multi-Objective Control Problem: Explicit Optimality Conditions. Journal of Industrial and Management Optimization, 2011, vol. 7, no. 4, pp. 789-809. DOI: 10.3934/jimo.2011.7.789
31. Wei Lin. Differential Games for Multi-Agent Systems under Distributed Information. Ph.D. dis. University of Central Florida, 2013. 127 p.
32. Rehna Nalakath, Nandakumar M.P. Determination of Compromise Solutions for Linear Steady State Regulator with Vector Valued Performance Index. International Journal of Scientific and Research Publications, 2013, vol. 3, is. 11, pp. 1-5.
33. Bonnel H. Post-Pareto Analysis for Multiobjective Parabolic Control Systems. Annals of the Academy of Romanian Scientists. Series on Mathematics and its Applications, 2013, vol. 5, no. 1-2, pp. 13-34.
34. Kurasova O., Petkus T., Filatovas E. Visualization of Pareto Front Points when Solving Multi-objective Optimization Problems. Information Technology and Control, 2013, vol. 42, no.4, pp. 353-361. DOI: 10.5755/j01.itc.42.4.3209
