CC BY
8
УДК 621.922; 621.921.34
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ПОЛУЧЕНИЯ СМЕСИ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ
О.В. Соколова
В работе рассматривается математическое обоснование нового критерия оценки качества получаемой смеси для эффективно используемой единицы смесевой продукции, позволяющего учитывать функциональные отклонения всех смешиваемых компонентов с учётом доли каждого компонента в смеси.
Ключевые слова: производство смесей, детерминированное формирование однородности смеси, критерии оценки качества смесей, аппараты смешения, качество смесевой продукции.
Рассматривается задача получения из имеющихся смесей с заданными характеристиками новой смеси с новыми характеристиками. Математически задача решается методом линейного программирования [1,2] на примере трехкомпонентной смеси.
Решение задачи следует рассматривать применительно к классу смесительного оборудования, реализующего принципы детерминированного формирования однородности смесей. Технологически эти способы используются на конвейерных, роторных и бироторных смесительных модулях [3-10].
Ниже показаны основные условия и допущения при моделировании предлагаемой технологии.
Постановка задачи.
Имеется п смесей Л2...Лп весом «1,а2...ап соответственно, в которых содержится полезное вещество В. В смеси Л^ вещество В имеет массу Ь, (I = 1,...,п), Ь < аI. Обозначим
qj = - относительное содержание В в смеси Л.
Из указанных смесей составляется новая смесь Л , в которую входят части смесей Л1,Л2...Лп с весами р1,р2...рп, (рг- < аг-). В новой смеси Л вещество В имеет относительное содержание q, определяемое равенством
qlPl+...+qnPn = q(Pl+...+Рп). (1)
Поставим следующую задачу: при заданных значениях величин «1,...,ап; ql,...,qn;q найти веса р^,р^...рп смесей Л2...Лп, при которых смесь Л имеет наибольший вес.
Алгоритм решения задачи.
На математическом языке данная задача имеет такую формулировку: найти точку (р1, р2...рп) в п - мерном пространстве с координатами Ор\,..., рп переменных
р\,р2...рп, в которой функция
Р(рь- рп ) = Р1 + .. + РП
принимает максимальное значение в прямоугольном параллелепипеде области, определяемой условиями
0 < р1 < а1
... , (2)
0 < рп < ап 417
Известия ТулГУ. Технические науки. 2019. Вып. 3
при выполнении условия (1).
Уравнение (1) определяет прямоугольный параллелепипед. Этот параллелепипед пересекает плоскость (2), проходящую через начало координат (р1 = 0,...,pn = 0) по выпуклому многограннику D .
Решение поставленной задачи проведём методом динамического программирования. Найдём все вершины К^...,Km многоугольника D. Значение функции F наибольшим образом возрастает в направлении вектора
gradF =
ЭF ЭF
ЭР\ " 'ЭРп У
равнонаклоненного ко всем осям системы координат O(Pl...pП) .
Наибольшее значение функции F достигается в какой-то из вершин многоугольника и, то есть
тахF[D] = тах^(К1),...,Б(Кт)} . (3)
Поэтому, достаточно найти точки К1,...,Кт и по формуле (3) определить точку К1, в которой реализуется наибольшее значение функции F.
Решение задачи для трёх смесей.
Найдём max F для F = Р1 + Р2 + Р3 при ограничениях
(Ч1 - ФР1 + (Ч2 - Ч)Р2 + (Ч3 - Ч)Р3 = 0 = 0 < р < а1
(4)
(5)
0 < Р2 < а2
0 < Р3 < а3
Неравенства (5) задают прямоугольный параллелепипед ОАВСО1А1В1С1 (ри
сунок).
Графическое представление математической модели
Найдем точки пересечения плоскости (4) с ребрами этого прямоугольного параллелепипеда. Сразу отметим, что с рёбрами ОА,ОС,00 плоскость (3) пересекается
в начале координат 0(Р1 = 0, Р2 = 0, Р3 = 0). Для практического применения результатов математического моделирования следует рассмотреть два случая: 41 < 4 < 42 < 43 и
Ч1 < Ч2 < Ч < Ч3.
На основе разрабатываемой математической модели детерминированного формирования однородности смеси сыпучих материалов в дальнейшем будет предложен адаптированный количественный критерий оценки качества получаемых смесей, который позволит, не прибегая к дорогостоящим разрушающим испытаниям, контролиро-
418
вать качество смешения и обеспечивать высокую однородность смесевой продукции за счёт более стабильной работы дозирующих устройств аппарата смешения и усреднения.
Список литературы
1. Gerard Sierksma; Yori Zwols (2015). Linears and Integer Optimization: Theory and Practice, 2015.
2. Лунгу К.Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач. М.: Физматлит, 2005. 128 с.
3. Александровский А. А., Ахмадиев Ф.Г. Современное состояние и проблемы математического моделирования процесса смешения сыпучих материалов // Тезисы докладов к Всесоюзной конференции. Часть 2. Белгород, 1986. С. 83-84.
4. Макаров Ю.И. Аппараты для смешения сыпучих материалов. М.: Машиностроение, 1973. 216 с.
5. Евсеев А.В. Классификация нонмиксинговых смесевых продуктов и устройств // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2014. Вып. 3. С. 82-94.
6. Евсеев А.В. Математическая модель детерминированного формирования однородности смеси сыпучих материалов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2015. Вып. 11. Ч.1. С. 92 - 100.
7. Соколова О.В. Возможные конструкции смесительных модулей, реализующие способ детерминированного формирования однородности смесей // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2018. Вып.6. С.451-458.
8. Патент РФ №2271243. Способ смешения сыпучих компонентов и устройство для его реализации / А.Н. Лукаш, А.В. Евсеев, и др. Опубл. 10.03.06. Бюл. №7.
9. Podgornyj Yu. I., Martynova T. G., Skeeba V. Yu., Kosilov A. S., Chernysheva A. A., SkeebaP.Yu. Experimental determination of useful resistance value during pasta dough kneading // IOP Conf. Series: Earth and Environmental Science, 2017. Issue 87. Doi: 10.1088/1755-1315/87/8/082039.
10. Сокольчик П.Ю., Сташков С.И., Малимон М.В. Прогноз и управление качеством гетерогенных сыпучих смесей // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Химическая технология и биотехнология, Пермь, 2013. С. 64-83.
Соколова Ольга Вячеславовна, студент, olya20073@gmail. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет
FORMULATION OF THE PROBLEM OF MATHEMATICAL MODELING
OF THE PROCESS OF OBTAINING A MIXTURE OF BULK MATERIALS
O.V. Sokolova
The paper discusses the mathematical justification for the new criterion for assessing the quality of the mixture obtained for an effectively used unit of mixed production, which allows to take into account the functional deviations of all the mixed components, taking into account the proportion of each component in the mixture.
Key words: production of mixtures, deterministic formation of uniformity of the mixture, criteria for assessing the quality of mixtures, mixing apparatus, quality of mixed products.
Sokolova Olga Vyacheslavovna, student, olya200 73@gmail.com, Russia, Tula, Tula State University
