CC BY
435
Т
20 4 0 60 80 100 Е
. З.
Перспективным направлением является разработка приборов с третьим -управляющим шириной барьера электродом, т.е. резонансно-^ннельным транзи-.
БИБЛИОГРЛФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Brown E.R., Somer T.C., Goodhue W.D., Parker W.D. Millimeter Band Oscillations Based on Resonant Tunneling in Double Barrier Diode at Room Temperature // Appl. Phys. Lett. 1987.
- V. 50. - № 2. - P. 83-95.
2. Демиховский В.Я., Вугальтер ГА. Физика квантовых низкоразмерных структур. - М.:
, 2000.
3. Ц. На. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. - М.: Мир, 1982.
Иващенко Сергей Николаевич
Технологический институт Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» . .
E-mail: taurus6129@yandex.ru.
347928, Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: +79515032853; 8863371940.
Ivashenko Sergey Nikolaevitch
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: taurus6129@yandex.ru.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +79515032853, +7863371940.
УДК 537.87
ИЗ. Гамолина
ПОСТАНОВКА ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ С НЕПЛОСКИМ ВОЛНОВЫМ ФРОНТОМ НА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Сформулирована граничная задача рассеяния электромагнитной волны с цилиндрическим волновым фронтом на бесконечной цилиндрической поверхности. Приведены уравнения в интегральной и дифференциальной форме.
; ; .
I.E. Gamolina
PROBLEM OF SCATTERING ELECTROMAGNETIC WAVE WITH NONPLANE WAVE FRONT FROM THE CYLINDER SURFACE FORMULATION
In given work the boundary problem of scattering electromagnetic wave with cylinder wave front is formulated. The infinity cylinder is used as the scattering surface. The equations in differential and integral forms are presented.
Maxwell equations; electromagnetic wave; direct scattering problem.
В настоящее время все больший интерес вызывают теоретические проблемы исследования взаимодействия электромагнитных (ЭМ) полей, имеющих неплоский фронт волны. Решение прямых и, в особенности, обратных задач рассеяния имеет прикладное значение в радиолокации, развитии стелс-технологий [1], ближ-.
хорошо изучено для случая плоских волн. Получение численных решений для большого пласта задач прикладной электродинамики, построение математических моделей рассеяния ЭМ-волн с искривленным фронтом становится возможным благодаря мощным современным вычислительным комплексам, развитию эффективных методов и параллельных алгоритмов решения сеточных уравнений [2]. О некоторых подходах к решению задач рассеяния волн с искривленным фронтом указано в работе [3].
, - -( ), -вают вкупе с материальными уравнениями поведение полей в пространственно. ,
, -
.
Рассмотрим в общем виде постановку прямой задачи рассеяния монохроматической ЭМ-волны. Пусть в линейной однородной изотропной среде (У0) с параметрами £а, расположен рассеивающий объект (V1), ограниченный поверхностью S . К поверхности S предъявляется требование существования однозначной и непрерывной нормали в каждой точке. На рассеивающую поверхность падает ЭМ волна заданной поляризации, направление распространения которой в
сферической системе координат (ССК) задается углами (0пад, ^ПаД).
Так как падающее ЭМ-поле является монохроматическим, а среда V0 - линейной, рассеяние поля происходит на частоте падающего поля ю и от мгновенных значений полей можно перейти к комплексным амплитудам. Обозначим комплексные амплитуды векторов напряженностей падающего поля E0, H0 .
Требуется определить комплексные амплитуды напряженностей рассеянного поля E1, H1 и полного полей E, H в любой точке пространства V0, удовлетворяющих уравнениям Максвелла, условиям излучения и граничным условиям.
.
На поверхности раздела двух сред выполняется условие непрерывности касательных составляющих полей
, , (1)
- -
области Vq, Ё, Н - комплексные амплитуды векторов напряженностей полного ЭМ-поля в области V, индексом т обозначена касательная составляющая вектора.
Полное поле в области У0 представляет собой сумму рассеянного и падающего полей: Е = Е0 + Б*, Н = Н0 + Щ.
В большинстве случаев поле внутри рассеивающего объекта не представляет интереса, поэтому используют импедансные граничные условия.
Импедансные граничные условия Леонтовича часто применяют при неплоских поверхностях раздела сред, эти условия позволяют не рассматривать ЭМ-поле внутри и учитывать влияние параметров рассеивающего тела на поле вне его [4].
Пусть комплексная функция 7 = г(р) (р Е 5 ) описывает поверхностное сопротивление (импеданс) рассеивателя, тогда импедансные граничные условия для комплексных амплитуд на поверхности Б имеют вид
где П - орт внешней относительно области, в которой определяются векторы, нормали к поверхности Б. Используя теорему эквивалентности [п, Е] = |м, [Н, п] = |э,
Существенным ограничением на применение импедансных граничных условий является следующее: поле, падающее на поверхность 5, должно иметь одинаковую на этой поверхности амплитуду [4].
В случае идеально проводящей граничной области должно выполняться условие
Интегральные соотношения для полей получим на основе леммы Лоренца, применимой в случае замкнутой поверхности 5.
Лемма устанавливает соотношения между двумя решениями уравнений Максвелла, изменяющихся во времени по одному и тому же гармоническому закону, но различным образом распределенных в пространстве, и имеет вид
ного источника, ^ - объем, ограничивающий вспомогательную замкнутую поверхность 5, внутри которой расположена поверхность 5 (рис. 1). Искомыми являются поля Н = Н(р), Е = Е(р) в области У0.
[п,Е] =г[п, [Н,п]],
(2)
(За)
ИЛИ
(З )
Рис. 1. Пояснения к лемме Лоренца
Другой подход к постановке задачи основан на численном решении уравнений Максвелла в дифференциальной форме и получаемых из них уравнений .
Запишем первые два уравнения Максвелла в дифференциальной форме для комплексных амплитуд векторов напряженностей поля в случае линейной изотропной среды
гоШ = шёаЕ + |эс, гс^Е = — шц.аН — |мс, (5)
где |э(м)с - объемная плотность стороннего электрического (магнитного) тока.
, ( ), однородные уравнения Гельмгольца
,
М2Е + к2Е = 0. (6)
Часто для нахождения полей используют векторный электрический (магнит) ,
.
Поля связаны с векторными потенциалами следующими соотношениями:
Е = —1а>1ЛаАэ + —т^гас!сПуАэ — гс^Ам, (7а)
Ш£а
Н = —шёа Ам + —— егас!сНуАм + rotAэ. (76)
ШЦа
.
Пусть рассеивающая поверхность Б представляет собой идеально проводящий круговой цилиндр, имеющий высоту к » Я, где Я - длина падающей
- , .
координат (ЦСК) (г, р, г), как показано на рис. 2.
На цилиндр падает монохроматическая ЭМ-волна Е-поляризации по нормали к образующей цилиндра, направление падения задается углом (рпад . Будем полагать, что зависимость полей от координаты 2 отсутствует, следовательно, поставленную задачу можно считать двумерной.
Граничное условие согласно (За) примет вид Ех = 0, Е^ = 0.
Получим интегральные соотношения для полей на основе (4). В качестве вспомогательного источника рассмотрим синфазную нить электрического тока с единичной амплитудой и длиной Ь >> Я. Ток изменяется с частотой ш. Нить имеет координаты (г0, ф0) области К0 и параллельна оси г ЦСК (рис. 2).
Вспомогательную поверхность выберем как круговой цилиндр радиусом р с , .
Комплексную амплитуду объемной плотности токов для нити зададим как
)в = 1г“5(г - Г0)6(<р - <Ро), )в = °.
Комплексная амплитуда электрического векторного потенциала Аэв, возбуждаемого таким вспомогательным источником, имеет вид [4]
дэв — Л А А ——У® е-Щ<р-<Ро) |/п(^го)^п(^г)<г =2 г0, (8)
л а/ш1П=—со ) 1 п \ rr2ri \ '
41 Уп(кг)Щ(кг0),г <г0,
гДе 1п(х), Щ(х) - функции Бесселя и Ганкеля второго рода; (г, ф, 2) - точка наблюдения, 1г - единичный орт, направленный вдоль оси г ЦСК.
Векторы напряженности вспомогательного поля определим из соотношений (7а), (5). Учитывая, что Ам = 0, получим:
Е = -шр.аАг, Е = Е% = 0,
I ЯТ?в I ЯРв
Я в _ 1 исг тт в _ _ 1 исг тт в _ л
У = _ , //г = . . , ^7 = О,
г Ц/ кгд(р V ИГд(кг)’ 2 ’
где \¥ = 1207г0м— характеристическое сопротивление свободного пространства Следовательно, при г < г0 получим:
е = е=-. итн^) , (9)
щ = ^-«.пе-^-^итнКкго), сю)
е — т((р—(рп’)тт2п.....лд1п(кг) 2.,п=-со е
(4) , :
| (-Е,Н„ + Е'Н„) йї + | (-ЕН + Е'Н„) ії
(Е(го, щХ (г0, ф0) є V, 10, (г0, щ) є V.
С учетом выражений (9), (11), граничного условия (За), и рассматривая двумерный случай (опуская рассмотрение зависимости по переменной 2), получим:
2п оо
( £ е-іп^-ч>0)]п^кр-)н1{_кг0)Нч> +
-к]Л/
4
О 71 = - 00
+
д] п(кг)
п=—00
2?Г оо
д(кг)
Ег рсі<р
г=р
4 і
О 71 = — 00
{
е2(г0, щ),(П), щ) є V, о, (г0, щ) є V.
(12)
,
. н Е (5),
качестве неизвестного можно рассматривать поле Ег = Е0г + Е1г.
Выражение (12) может быть применено к случаям различного фронта па.
.5
О
Рис. 3
Если падающая волна имеет цилиндрический фронт, поверхность равных фаз имеет центр кривизны, удаленный от начала выбранной системы координат, на расстояние Я (рис. З), то ток на цилиндре, являющийся источником рассеянного , , -линдра и поверхности равных фаз. Поэтому применение импедансных граничных условий становится возможным только в случае дискретизации: разбиения поверхности 5 на малые участки, в пределах которых амплитуду поля можно счи-.
В рамках данной геометрии задачи рассмотрим возможность построения математической модели для случая рассеяния ЭМ-волны Е-поляризации на цилиндрической импедансной поверхности.
В области У0 первичное поле имеет г компоненту, отличную от нуля: Еог = Еог (г,р), следовательно, вторичное поле также имеет только г-компоненту Е1г = Е1г(г,ф), удовлетворяющую однородному уравнению Гельмгольца (6):
Д± Е12 + к2Е12 = 0. (14)
Разобьем поверхность 5 радиально на М участков шириной Дф, таких, что МДф = 2па, на каждом элементарном участке должно выполняться граничное условие (2):
-Iz
ZH±(p — (Е0г Z^0(p)
2Г * т т
или с учетом того, что —— = Ш^аНф, получим граничные условия сле-
дг
:
Е+
iz дЕ iz
«Да дг
— -(Е і iz dEoz) (C°Z + шмв Зг 3
(15)
Таким образом, необходимо найти решение краевой задачи третьего рода (со смешанными граничными условиями), включающей уравнение (14), граничное условие (15) и условия излучения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК:
1. Лагарьков AM., Погосян М.А. Фундаментальные проблемы стелс-технологий // Вестник российской академии наук. - 2003.- Т. 73, № 9.
2. Сух иное AM. Двумерные схемы расщеплен ия и некоторые их приложения. - М.: МАКС Пресс, 2005. - 408 с.
3. . . -
// . .
- 2009. - № 8 (97). - С. 240-241.
4. . . . - .: ,
2000. - 558 с.
Гамолина Ирина Эдуардовна
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» . .
E-mail: iegam@rambler.ru.
347928, Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 88634371606.
Gamolina Irina Eduardovna
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: iegam@rambler.ru.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634371606.
УДК 517.958:550.3 + 27.41.77
А.С. Черепанцев
РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ЭВОЛЮЦИИ ДВУМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ УПРУГИХ БЛОКОВ
Представленная работа имеет целью развитие исследований по построению дискретной механической блоковой модели, в которой взаимодействие элементов определяет возникновение самоорганизованного критического состояния. Показано, что критическое состояние в двумерной системе возникает при обязательном выполнении условия равенст-
