CC BY
22
Рис. 4. Полученный результат, выполнено 0 шагов по времени
Рис. 5. Полученный результат, выполнено 1650 шагов по времени
Рис. 6. Полученный результат, выполнено 2450 шагов по времени
Пока провести подобные расчёты в трехмерном случае не позволяет вычислительная мощность используемого ПК, так как для трехмерного случая мы пока рассматривали сетки не более чем 30 х 30 х 30 ячееек. А этого мало, чтобы получить хороший результат.
В дальнейшем планируется использовать нерегулярную разностную сетку, в таком случае нам не потребуется как-либо преобразовывать профиль высот.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ливеровский Д. И., Шевырёв С. П. Метод Давыдова для случая несжимаемой невязкой тяжёлой жидкости на регулярной сетке // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2011. Вып. 13. С. 161-164.
2. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М. : Мир, 1975. -392 с.
УДК 533.6.011
Р. И. Ливеровский, С. П. Шевырев
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТКЕ МЕТОДОМ ДАВЫДОВА
В данной статье рассматривается моделирование движения идеального сжимаемого газа около абсолютно твердого тела при помощи метода Давыдова, обобщенного на случай нерегулярной четырехгранной сетки для трехмерного пространства. Использование такой сетки позволяет производить расчеты течения около тел произвольной формы.
Основная идея метода Давыдова (метода крупных частиц) [1] состоит в расщеплении по физическим процессам исходной нестационарной системы уравнений Эйлера, записанной в форме законов сохранения. Среда здесь моделируется системой из крупных частиц, каждая из которых занимает в данный момент времени некоторую ячейку эйлеровой сетки. Стационарное решение задачи, если оно существует, получается в результате установления, поэтому весь процесс вычислений состоит из многократного повторения шагов по времени. Рассмотрим движение идеального сжимаемого газа. В качестве исходных возьмем дифференциальные уравнения Эйлера в дивергентном виде (уравнения неразрывности, импульса, энергии) и уравнение состояния:
' др дри Эру Зри)
дг дх ду дг '
дри дри2 дриу дрии др
дг дх ду дг дх '
дру дриу дру2 друи др
дг дх ду дг ду '
дри дрии друи дри)2 др
дг дх ду дг дг '
дрЕ дриЕ друЕ дриЕ дри дру дри ^
дг
дх
ду
дг
дх ду
дг
р = (к — 1) р ( Е —
и2 + у2 + и2' 2
Здесь г х, у, г - независимые переменные, р - плотность, и,у,и- компо-
х у г Е
энергия единицы массы газа, к - отношение удельных теплоемкостей. Вид данной системы одинаков как для размерных, так и для безразмерных величин.
Рассмотрим расчетную область, покрытую нерегулярной четырехгранной сеткой (рис. 1). Сверху и снизу области находится твердая непроницаемая стенка с выпуклым телом. Поток газа набегает слева и уходит через правую границу области. В случае однородного потока газа в начальный момент времени во все ячейки расчетной области помещаются некоторые начальные значения для газодинамических параметров потока:
рг = ро, иг = ио, уг = уо, иг = ио, Ег =
1 1
к(к — 1)М2 + 2,
где Моо - число Маха па бесконечности.
z
Рис. 1. Расчетная область покрытая нерегулярной четырехгранной сеткой
На левой границе происходит «подпитка» набегающего на тело потока, поэтому значения компонент вектора скорости берутся
n n n
U = U0, V = V0, W = W0.
На правой, a так же на фронтальной и тыльной границах ставятся условия:
un = un vn = vn wn = wn
fictive ^border > fictive border fictive border >
которые являются неотражающими граничными условиями на искусственных, не существующих в реальности границах. Необходимо, чтобы сильные возмущения не отражались от этих границ, а гладко уходили на бесконечность. На теле, а так же на нижней и верхней границах области выполняются граничные условия для скорости, условия непротекания: нормальная к телу и к нижней и верхней границе компонента вектора скорости равна нулю, для этого в фиктивные ячейки помещаются такие значения и V ш, чтобы
U fictive(norm) U border (norm)'
Результаты расчетов отображаются с помощью изолиний в сечении трехмерной области плоскостью, параллельной плоскости xOz (рис. 2), для сравнения с двухмерным случем. При расчетах значения всех газодинамических параметров относятся к центрам ячеек сетки, необходимо вычислить значения в вершинах сетки. Значения параметров в вершинах вычисляются как среднее арифметическое значений в четырехгранниках, которым принадлежит данная вершина. Далее необходимо вычислить координаты всех точек пересечения ребер четырехгранников сетки с плоскостью сечения. Значения газодинамических параметров в этих точках вычисляются как линейная интерполяция между значениями в
вершинах ребра, которому эта точка пересечения принадлежит. Таким образом в результате получается набор точек, принадлежащих плоскости сечения, со своими координатами и соответствующими значениями газодинамических параметров. По этим точкам, используя триангуляцию Делоне, строится новый набор треугольников (рис. 3). Таким образом, переходим к задаче, которая решалась при построении изолиний для двумерного случая [2]. Качество полученной треугольной сетки невысокое (большинство треугольников не являются правильными или близкими к правильным), так как сетка тесно связана с исходной четырехгранной сеткой.
Рис. 2. Сечение Рис. 3. Триангуляция сечения
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М. : Наука. 1982. -392 с.
2. Ливеровский Р. ИШевырев С. П. Численное моделирование плоских задач сверхзвуковой газовой динамики на треугольной сетке // Вестн. РУДН. Сер. Математика. Информатика. Физика. 2014. № 4. С. 23—32.
УДК 539.3
O.A. Мыльцина, М. Ю. Сурова
ДИНАМИКА ПЛАСТИНКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИМПУЛЬСНЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ И СИЛОВЫХ НАГРУЗОК
Для функции прогиба изотропной прямоугольной пластинки, находящейся в условиях конвективного теплообмена и подвергающейся кратковременному воздействию сосредоточенной силы и температуры, получено аналитическое решение, на основании которого проводится количественный анализ влияния геометрических параметров на термоупругое динамическое поведение пластинки.
