CC BY
6
10. Причины износа и требования замены крановых колес. Ремонт крановых колес в Москве и Санкт-Петербурге. [Электронный ресурс] URL: https://ogmeh.ru/tekhnicheskava-informatsiYa/stati/iznos-i-zamena-kranovix-koles (дата обращения: 04.12.2022).
Сладкова Любовь Александровна, д-р техн. наук, профессор, rich.cat2012@yandex.ru, Россия, Москва, Российский университет транспорта,
Тимофеева Инна Вячеславовна, аспирант, voda.inna@smail.com, Россия, Москва, Российский университет транспорта
ON THE QUESTION OF MODELING THE OPERATIONAL RISKS OF THE MECHANISMS OF MOVEMENT OF TOWER CRANES
L.A. Sladkova, I.V. Timofeeva
The most common reasons for the loss of efficiency of the mechanisms of movement of tower cranes that occur during their operation, the relevance of modeling the risks associated with the operation of these mechanisms for making management decisions and further developing measures to prevent them are considered.
Key words: modeling, operational risks, mechanism of movement, tower crane.
Sladkova Liubov Aleksandrovna, doctor of technical sciences, professor, rich.cat2012@yandex.ru, Russia, Moscow, Russian University of Transport,
Timofeeva Inna Viacheslavovna, postgraduate, voda.inna@gmail.com, Russia, Moscow, Russian University of Transport
УДК.539.3
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-12-633-639
ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПРОНИКАНИЯ В ПЛОТНЫЕ СРЕДЫ УПРУГОДЕФОРМИРУЕМОГО НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
В.В. Аверин, О.В. Боницкая, А.С. Пустовгар
Рассматривается постановка и решение задачи о проникании в плотные среды упруго-деформируемого неоднородного стержня переменного сечения. Сила сопротивления прониканию задается квадратичной зависимостью от скорости проникания. В предположении, что при ударном взаимодействии в стержне возникают волны продольных деформаций, с помощью уравнений Лагранжа второго рода сформирована система уравнений относительно глубины проникания стержня и деформаций в любом его поперечном сечении. Система решается численным методом.
Ключевые слова: проникание, неоднородный стержень, обобщенные координаты, переменное сечение, упругие деформации, волновые эффекты.
Процесс удара и проникания тел в вязкопластическую среду исследовались во многих работах. В основном эти работы посвящены изучению проникания недеформируемых ударников (индентеров). Достаточно полный обзор работ по моделированию взаимодействия среды и твердого тела представлен в монографиях [1-4]. Моделирование процессов проникания тел вращения в упругопластические и грунтовые среды представляет сложную задачу, для эффективного решения которой требуется совместное применение как экспериментальных, так и теоретических методов. Среди теоретических методов исследования движения тел в средах широкое распространение получили приближенные модели локального взаимодействия, предложенные ранее в задачах аэродинамики, в соответствии с которыми каждый элемент поверхности взаимодействует со средой независимо от других участков тела. Таким образом, нормальное напряжение на поверхности контакта зависит только от ориентации тела относительно направления скорости невозмущенного потока среды и не зависит от формы тела, расположенного перед этим элементом [5] .При этом в качестве соотношений для напряжений, действующих на поверхности контакта тела и среды, наиболее часто используется квадратичная модель взаимодействия, содержащая динамическую составляющую, зависящую от квадрата скорости перемещения, линейный по скорости член, обусловленный наличием внутреннего трения, и константу, характеризующую прочность среды [1]. Для конкретных сред значения коэффициентов квадратичной модели берутся либо из решения модельных задач [1, 4, 6, 7], либо определяются экспериментально [8, 9].
В основном, в работах по изучению движения тел вращения в плотных средах, таких как грунт и металл, важным допущением является предположение об отсутствии его деформаций, что накладывае-тограничения, как на прочность среды, так и на режим движения, при котором тело не деформируется. Такой подход вполне оправдан, если нас интересуют интегральные характеристики процесса, такие как глубина и продолжительность проникания, поскольку установлено, что влияние упругих деформаций на эти параметры не превышает 5% [10].
Решение задач взаимодействия деформируемых конструктивных элементов со средами, как правило, реализуется численными методами [4,11]. Особый интерес представляет оценка деформаций, возникающих в поперечных сеченияхупруго деформируемого стержня, моделирующего систему из под-нородных участков, расположенных вдоль его продольной оси. В предположении, что деформация каждого участка постоянна по его длине, было получено решение задачи о проникании такого стержня в грунт [12] , которое хорошо согласуется с известными результатами экспериментальных исследований [8]. Наиболее точной, по мнению авторов, является модель упруго деформируемого стержня, учитывающая волновые эффекты, сопровождающие процесс удара и последующего проникания стержня вплотные среды.
Пусть упругий неоднородный стержень длиной l, имеющий форму тела вращения и переменную по длине площадь поперечного сечения S(x), в момент времени t=0 встречает плоскость полупространства с более высокой плотностью .Стержень имеет форму тела вращения с цилиндрическим участком диаметром dmax=ámid и передним, носовым, участком с диаметром й(х)<йтц, заканчивающимся, в общем случае, плоским передним срезом диаметром d0. Переменная площадь поперечного сечения обусловлена как внешней конфигурацией стержня, так и наличие внутренних проточек, соосных с продольной осью стержня. Таким образом, модуль Юнга E(x), плотность р(х) и площадь поперечного сечения S(x) стержня являются кусочно-непрерывными функциями, имеющими конечное число разрывов первого рода. Скорость встречи Vo перпендикулярна плоскости полупространства и совпадает с продольной осью стержня. Начало системы координат совместим со свободным торцом стержня и направим ось ОХ вдоль его продольной оси в направлении скорости движения.
В постановке, получившей широкое распространение, модуль силы сопротивления прониканию можно представить в виде квадратичной зависимости от скорости перемещения контактирующего со средой сечения стержня [1]:
F = Smid (ko + ¿Á + k2ú2c) , >0 С1)
где ^(^-перемещения точек контакта (х=1) стержня со средой, k0,k1, к2-постоянные коэффициенты, зависящие от физико-механических параметров среды и формы головной части стержня, Smid-площадь миде-лева сечения стержня. Дифференцирование по переменной t обозначено точкой. Учитываются только продольные деформации стержня.
Пусть ú(x, t) -перемещения сечений стержня в направлении оси ОХ. Всилу сделанных допущений, зависимость перемещений по длине стержня представляется выражением:
рх
ú(х, t) = úo(t) + Jo е(£,t)d£, (2)
где ^(^-перемещения сечения х=0, е(хД)-продольные деформации стержня. Перемещения сечения, контактирующего со средой, найдем из (2), полагая x=l.
А
úc (t) = ú(l, t) = úo(t) + Jo e(£, t )dC,
откуда
d
úo(t) = úc (t) -Jo S(4, t)d£. (3)
Из выражений (3) и (2) следует:
fi
ú( х, t) = úc (t) -J e(g, t )d£. (4)
Пусть деформации стержня в любой момент времени t являются собственными функциями решения волнового уравнения, удовлетворяющего однородным граничным условиям, то есть
e( х, t) = Мх0 = £ - (t )sin , (5)
8х k=1 l
где Xk=(2k-1)n/2.
Тогда
ú (х, t) = uc (t) -£ Á cos Лкх • (б)
k=1 Ák l
В этом случае обеспечивается выполнение граничных условий:
s(o, t) = o, ú(l, t) = úc (t). (7)
Для решения задачи проникания упругого стержня в грунт воспользуемся уравнениями Ла-гранжа второго рода. В качестве обобщенных координат принимаем úc(t) и sk(t), (k=1,2,...,N). Поле скоростей стержня определяется из (6) формулой
V(х,t) = 8ú = úc(t)-É-ÁcosÁk х, (8)
8t k=1 Ák l
а поле деформаций-зависимостью (5).
Найдем кинетическую энергию стержня.
T =1 jp(x)V2dQ , (9)
2 Q
где S-объем стержня. С учетом того, что dQ=S(x)dx и формулы (9), получим
1 rl 1 rl N S Y
T = - j p(x)S (x)V 2dx = -j p(x)S (x)(úc (t) cos A -)2 dx. (10)
2 2 k=1 Ak l Потенциальная энергия-энергия деформации стержня определяется известной формулой:
U =1 j E(x)s 2 (y, t)dQ = 1 jl E(x)S(x)(¿ sk (t) sin Ak -)2dx. (11)
2 Q 20 k=1 l
Лагранжиан L = T — U. В него не входит работа обобщенных сил, зависящих от скорости. Уравнения Лагранжа
d_ dt
fdL ^
Kdqj J
dL = Q,; (j = 0,..., N) (12)
dq
Здесь q0=úc, q¡=s¡, q2=e2,...,qÑ=eÑ. Обобщенные силы Qj определяются соотношениями, полученными в [13]:
Qj =~Smid (ko + kú + k2ú2) p-. (13)
qj
ТогдаQo =-S(ko + kúc + k2ú]\ Qi = Q2 = - = Qñ = 0,если úc>0; и Qo = Qx = ...Qñ = 0, если úc < 0.
Далее найдем
Ñ * x
dL
dÜc
dL dT
dsk dsk
dL dU
Qsk dsk
j0 P(x)S(x)(uc — Y Á cosÁk Y)dY
k=1 ^k l
■c k=
N
j0l p( y)s (x)(uc—Y cos л y )(--rcos xky
0 i=1л l ák l
)dx.
l N x x QL
j E(x)S(x)YYs (t)sin Ái — sin Ák -jdx; q— = 0.
После подстановки в уравнения Лагранжа (12) получим систему уравнений движения упруго деформируемого стержня.
ücj0P(x)S(x)dx — Y Лj0p(x)S(x)cosÁk^Y¡dx = —Smid(ka + kpc + kU} k=1 Ák l
l l Y N s.¡2 x x (14)
— Üc Л ^°p( x)S (x)cos Akjdx + p( x)S (x)cos Лу cos Akjdx =
N l x x
= — YSi j0 E (x)S (x)cos Áj—eos A^—dx,
i=1 l 1 k = 1,2,... N.
Введем pm и Em-средние значения функций p(x)) и E(x) на отрезке [0,l]:
1 W 1 W
pm = j j0 p(X)dX, Em = j j0 E(Y)dx. (15)
Обозначим:
üc = wcl, g = Y, a = , l \pm
c = k0 c = k1 c = k2
c0 = ~¡7, c1 =-, c2 =-
E pma pm
„г V0 a W = -°, t=— t . a l
Система (14) получит безразмерный вид:
1 N -" 1 w"Jур(№с - ZfJ0 cosf ^ = + CiwC + c2wC2} k=1 fk
1 N -" 1
- WC i0 Vp ^ C0S fkd + Z ff J0 Vp C0s f C0s =
i=1 fifk
(17)
k = ¿I... N
где
Z -i(t )i01 v, sin f sin ,
Vp(i>=p<i)p, (i)=ff® (18)
PmSmid EmSmid
В системе (16) штрихом обозначено дифференцирование по безразмерному параметру т. Сформулируем начальные условия для переменных, входящих в систему (16). При т=0:
-k(0) = 0, -k(0) = 0, wc (0) = 0, wC(0) = W, (k=1,2,...N). (19)
В частном случае проникания в грунт абсолютно жесткого стержня, полагаем в системе (16) f=0 и отбрасываем вторые уравнения, соответствующие обобщенным координатам -k. Приходим к дифференциальному уравнению
aw""=-(C0 + cwC + C2 wf^ (20)
где с = J1 v(£)d£ — относительная масса стержня переменного сечения. Уравнение (19) допускает аналитическое решениев виде двух табличных интегралов: для наибольшей глубины проникания
w = -cJ0_П<*П 2 , (21)
c max \ш 2 '
JW "0 + "Л + "тП
и для продолжительности проникания
т = -С_dn__ . (22)
max 2
W "0 + "Л + "пП
Формулы (21) и (22) использовались в дальнейшем для тестирования полученного решения. Для решения системы уравнений (17), удовлетворяющей начальным условиям (19), используется численный метод интегрирования нормальной системы дифференциальных уравнений. С этой целью система (17) с помощью обратной матрицы разрешается относительно производных второго порядка w", -k",(k = 1,2,.,N)и приводится к нормальной системе (2N+2) уравнений, крешению которойприме-
няется стандартная программа метода Рунге-Кутты. Продолжительность вычислений (длительность проникания) определяется условием
w" (т) = 0. (23)
При ур(ф=ув(ф=1 система уравнений (17) описывает проникание однородного упруго деформируемого стержня постоянного кругового сечения S=Smid. Решение данной задачи на примере проникании цилиндрического стального стержня с плоским передним срезом в бетонную плиту дано в работе [14]. Установлено хорошее совпадение с результатами экспериментальных данных [15].
Для однородного стержня переменной площади поперечного сечения параметры
vp(£) = ve ю = v(£) = f^. (24)
mid
Предложенный метод расчета внедрения в плотные среды упруго деформируемого стержня был апробирован на результатах экспериментальных исследованиях [8], в которых измерялась глубина проникания U"max в песчаный грунт стальных снарядов диаметром d=0.511 дюймов и длиной 1=5.11 дюймов в зависимости от начальной скорости стрельбы. Коэффициенты квадратичного закона силы сопротивления прониканию определялись по результатам экспериментальных данных о глубине проникания снаряда, которые сопоставлялись с известными аналитическими решениями данной задачи. Так, для снаряда с плоским передним срезом, массой m=0,0803 кг и начальной скорости проникания У0=б74м/с экспериментально полученным коэффициентам квадратичной зависимости
- — = аУ2 + /У + у, dt
где У - скорость центра масс снаряда, а=2,5м-1, р=23с1. у=550мс~2 соответствуют значения безразмерных параметров (16):
my
mP
ma
0 2 г» 7 1 О 2 о
a PmSmid aPmSmid PmSmid
Снаряд ударник состоял из двух участков. Первый участок, не контактирующий с грунтом, имел кольцевое сечение в связи с наличием соосной со снарядом полостью длиной x0=3.169 дюйма и внутренним диаметром dl=0,404 дюйма. Второй участок имел круговое поперечное сечение S=Smid=кd2/4. Следовательно: ¿¿1=х0/1=0,62, ¿¿2=1, Em=El=E2=210 ГПа, р„1=р1=р2=7850 кг/м3. Тогда щ>(ф = №(Ф = 0,375 на отрезке [0,^], и ц/р(ф = щ(ф = 1 на отрезке [¿¿¿]. Расчеты проводились для количества членов разложения в представлении (5) N=60.
При скорости соударения У0 =674 м/с расчетное значение глубины проникания истах=1,406 м. На рис.1 представлен график относительного перемещения переднего среза 1с=Ыс/1 стержня в зависимости от безразмерного времени т.
1x10
1.5x10
Рис. 1. Перемещение контактного сечения Юс
Глубина проникания в эксперименте [8] составляет 1,370 м. Расхождение результатов не превышает 4%, что подтверждает корректность предложенной математической модели исследуемого процесса.
На рис.2 представлен график изменения скорости переднего среза стержня 11 (т) в зависимости от безразмерного параметра т, а на рис.З-графики изменения контактных деформаций (<=<2) и деформаций в сечении (<=<1) на начальном этапе проникания (т<10).
О.Мт
0.11202 0.08404
0.05606
0.0280К-
1x10
400
800
1.2x10 1.6x10
2x10
Рис. 2. Скорость 11 в процессе проникания
4x10
2x10
-2x10
ГЦ ,......
0 1 г. 4-? б-.,,: ! В. "-.■
к
0 10 Рис.3. Деформации в контакте (сплошная линия) и в сечении (пунктирная линия)
На начальном этапе ударного взаимодействия(т<2) величина контактной деформации ешах(&)=-0,0032, а в сечении ^=<5наибольшая деформация Smax(<l)=-0.0040. Продолжительность проникания (=36 мс. В эксперименте [8] измерение продолжительности внедрения не производилось.
637
Изменение скорости wc (т) проникания и деформаций -max(T) во времени происходит ступенчато, что свойственно волновым процессам, сопровождающим ударное взаимодействие стержня с плотной средой.
Выводы. Предложена постановка задачи о внедрении по нормали к полуплоскости с более плотной средой упругого неоднородного стержня переменного сечения, имеющего форму тела вращения. Сила сопротивления внедрению задается квадратичным по скорости проникания законом. Полученное решение позволяет исследовать процесс изменения во времени продольных деформаций в любом поперечном сечении стержня.
Список литературы
1. Сагомонян А.Я. Проникание. М.: Изд-во МГУ, 1974. 299 с.
2. Баженов В.Г., Котов В.Л. Математическое моделирование нестационарных процессов удара и проникания ассиметричных тел и идентификация свойств грунтовых сред. М.: Физматлит, 2011. 208 с.
3. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Ballistic impact: Recent advances in analytical modeling of plate penetration dynamics - A review // Appl. Mech. Reviews. 2005. V. 58. P. 355-371.
4. Фомин В.М., Гулидов А.И., Сапожников Г.Ф. и др. Высокоскоростное взаимодействие тел. Новосибирск: Изд-во СО Ран, 1999. 600 с.
5. Теория оптимальных аэродинамических форм: Сб. статей. / Под ред. А. Миеле. М.: Мир, 1969. 508 с.
6. Григорян С.С. Приближённое решение задачи о проникании тела в грунт // Изв. РАН. Механика жидкости и газа, 1993. N4. С. 18-24.
7. Котов В.Л., Баландин В.В., Линник Е.Ю., Баландин В.В. О применимости модели локального взаимодействия для определения сил сопротивления внедрению сферы в нелинейно-сжимаемый грунт // Вычисл. мех.сплош. сред.2012.Т.5, №4. С. 123-131.
8. Аллен У., Мэйсфилд Э., Моррисон Г., Динамика проникания снаряда в песок // Механика: Сб. пер. 1957. N6. С. 125-137.
9. Forrestal M.J., Altman B.S., Cargile J.D., Hanchak S.J. Anempiricalequationforpenetra-tiondepthofogival-noseprojectilesintoconcretetargets // Int. J. Impact.Engn. 1994. V. 15. № 5. P. 395-405.
10. Баженов В.Г., Брагов А.М., Котов В.Л., Кочетков А.В. Исследование удара и проникания тел вращения в мягкий грунт // Прикладная математика и механика.2003. Т.67, Вып. 4. С. 686-697.
11. Цветкова Е.В. Исследование удара и проникания деформируемых цилиндрических тел в мягкие грунты. Межвуз. сб. «Проблемы прочности и пластичности», вып. 65.Изд. ННГУ. Н. Новгород. 2003. С.112-119.
12. Аверин В.В., Желтков В.И. Проникание упругого n-ступенчатого стержня в грунт // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2018. Вып. 11. Часть 2. С. 178-189.
13. Лурье А.И. Аналитическая механика.М.: Изд-во Физматлит. 1961. 824 с.
14. Аверин В.В. Волновые процессы в упруго деформируемом стержне при проникании в плотные среды // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2022. Вып. 3. С. 391-396.
15. Коняев А.А., Толкачев В.Ф., Платова Т.М. Экспериментальная проверка закономерностей разрушения бетонных и железобетонных плит при ударе // ПМТФ. 2015. Т. 56, №6. С. 111-118.
Аверин Валерий Владимирович, канд. техн. наук, доцент, olga_bonitskay@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Боницкая Ольга Владимировна, канд. физ-мат.. наук, доцент, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Пустовгар Александр Сергеевич, канд. техн. наук, доцент, Россия, Тула, Тульский государственный университет
FORMULATION AND SOLUTION OF THE PROBLEM OF PENETRATION INTO DENSE MEDIA OF AN ELASTICALLY DEFORMABLEINHOMOGENEOUS ROD OF VARIABLE CROSS-SECTION
У.У. Averin, O.V. Branitskaya, A.S. Pustovgar
The formulation and solution of the problem ofpenetration into dense media of an elasti"ally deform-able inhomogeneous rod of variable "ross-se"tion is "onsidered. The strength of the penetration resistan"e is given by the quadrati" dependen"e on the penetration rate. Assuming that waves of longitudinal deformations arise in the rod during the impa"t intera"tion, a system of equations with respe"t to the penetration depth of the rod and deformations in any of its "ross-se"tions is formed using Lagrange equations of the se"ond kind. The system is solved numeri"ally.
Key words: penetration, inhomogeneous rod, generalized coordinates, variable cross-section, elastic deformations, wave effects.
Averin Valery Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, olga_bonitskay@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Bonitskaya Olga Vladimirovna, candidate of physical and mathematical sciences, docent, Russia, Tula, Tula State University,
Pustovgar Alexander Sergeevich, candidate of technical sciences, docent, Russia, Tula, Tula State
University
УДК 621.791.4:539.378.3
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-12-639-643
МОНИТОРИНГ ОСОБЕННОСТЕЙ ФОРМИРОВАНИЯ СОЕДИНЕНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ЛИСТОВЫХ ТИТАНОВЫХ СПЛАВОВ ДИФФУЗИОННОЙ СВАРКОЙ
В.Н. Гадалов, С.Н. Кутепов, В.Р. Петренко, А.А. Калинин
В статье представлены результаты анализа с оценкой особенностей формировании изделий из листовых тонкостенных конструкций из титановых сплавов с применением технологии диффузионной сварки.
Ключевые слова: формирование соединения, листовая тонкостенная конструкция, титановый сплав, диффузионная сварка, деформация, свароное давление, физический контакт, толщина обшивки, заполнитель, исходная структура, межфазная граница, структурно-неоднородный заполнитель.
В процессе изготовления тонкостенных изделий из титановых сплавов диффузионной сваркой возникает неоднородность в приложении внешних давлений при соединении обшивок с заполнителем и заданной температуре сварки. При этом использование высоких давлений, обеспечивающей гарантируемую реализацию процесса сварки, приводит к недопустимой деформации соединяемых элементов. При низких давлениях, ограничивающих устойчивость тонколистовых элементов, качество соединения во многих случаях оказывается неудовлетворительным и характеризуется нестабильностью механических характеристик.
Как известно, формирование диффузионного соединения основано на сближении ювенильных (свободных от окисления плёнок) поверхностей свариваемых деталей в вакууме при нагреве их несколько выше температуры рекристаллизации с приложением небольшого сжимающего усилия и взаимной диффузии на границе раздела соединяемых поверхностей.
Цель работы. Поскольку процесс диффузионной сварки протекает при низких давлениях, то при решении проблемы изготовления тонкостенных конструкций на одно из главных направлений выдвигаются задачи систематического изучения и анализа физико-химических процессов, протекающих при сварке и контролирующих взаимодействие свариваемых поверхностей с целью наиболее рационального построения и оптимизации технологического процесса диффузионной сварки.
Результаты и их обсуждение. Титановые сплавы характеризуются следующими свойствами, определяющими их свариваемость. В первую очередь, это способность титана растворять большое количество кислорода и, как следствие этого, с высокой скоростью очищать поверхность от окислов и понижать концентрацию кислорода в поверхностных слоях, а с другой - легко переходить в окисленное состояние даже в глубоком вакууме. При температурах Т = 500 °С на внешних и контактных поверхностях в вакууме 2,6 Па в процессе нагрева успевает образоваться не только окисные плёнки, но и хрупкие газонасыщенные слои («охрупченные» слои). С повышением температуры состав газовой фазы между свариваемыми поверхностями существенно отличается от состава в сварочной камере. По мере перемещения от краевой зоны сварки к центральной, парциальное давление кислорода падает. Если в краевой части свариваемых элементов имеются процессы окисления, сопровождающиеся ростом окисленного слоя, то в центральной части могут создаваться условия для очистки поверхности от окислов. Такое понижение давления обусловлено процессом «автовакуумирования» в результате взаимодействия поверхностей с остаточными газами. Возможность проникновения газа из камеры в контактный зазор определяется соотношением количества газа, поступающего в зону контакта за счёт диффузии и прореагировавшего с краевыми участками образцов в процессе окисления. В зависимости от размеров свариваемых элементов величины контактного зазора и допустимого краевого непровара расчётно-аналитическим методом может быть определена необходимая величина парционального давления кислорода в сварочной камере, при котором в зоне контакта при температуре сварки поверхности будут очищены от окисных плёнок.
