CC BY
6
УДК 519.86
А. К. Скиба
Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук
Постановка и исследование динамических задач в модели разработки газового месторождения
Рассматривается непрерывная агрегированная динамическая модель разработки газового месторождения. Ставятся, решаются и исследуются две математические задачи. Одна является прямой задачей оптимального управления с фиксированным временем и со свободным правым концом. Другая - обратная задача. При фиксированном оптимальном управлении осуществляется поиск горизонтов планирования. Предлагается алгоритм численного поиска всех горизонтов планирования.
Задачи подвергаются всестороннему анализу. Основным математическим аппаратом является принцип максимума Понтрягина. Используется теорема существования и дифференцируемости неявной функции.
Ключевые слова: агрегированная модель газового месторождения, прикладная задача оптимального управления со свободным правым концом и фиксированным временем, прямая и обратная задачи, максимизация накопленной прибыли.
A. K. Skiba
Federal Research Center «Computer Science and Control» of Russian Academy of Sciences
Formulation and study of dynamic problems in the gas field development model
We consider continuous aggregated dynamic model for gas field algorithm development. Two mathematical problems are posed, solved and investigated. One of them is a direct fixed time optimal control problem with a free right end. The other one is the inverse problem. For a fixed optimal control, planning horizons are searched. We propose an algorithm for the numerical search of all planning horizons.
The problems are subjected to comprehensive analysis. The main mathematical apparatus is the Pontryagin maximum principle. The implicit function existence and differentiability theorem is used.
Key words: aggregated model of a gas field, applied optimal control problem with free right end and fixed time, direct and inverse problem, maximization of accumulated profit.
Введение
В настоящее время Россия находится в стадии экономического подъема. Значительный народнохозяйственный рост обеспечивается многочисленными факторами. К ним можно отнести:
• огромную территорию Российской Федерации, большая часть которой располагается в умеренном поясе;
• наличие значительных сельскохозяйственных угодий, обеспечивающих продовольственную безопасность страны;
Скиба А. К., 2022
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2022
• наличие значительных трудовых ресурсов, которые обеспечиваются за счет населения страны и излишка рабочих рук в соседних с Россией государствах;
• запасы произведенного капитала в стране (здания, машины, оборудование, инфраструктура, городские земли);
• сильный научно-технический потенциал;
• высокий уровень образования;
• большие запасы полезных ископаемых и др.
К полезным ископаемым относятся минеральные и органические образования в земной коры. Химический состав и физические свойства полезных ископаемых позволяют эффективно использовать их в сфере материального и нематериального производства. По агрегатному состоянию полезные ископаемые находятся в твёрдой, жидкой или газообразной фазе.
В разных уголках нашей планеты, начиная с момента образования Земли, сформировались различные полезные ископаемые, которые составляют природные богатства стран мира. Такое формирование наблюдается и в Российской Федерации. В ней имеется огромное множество мест, где находятся существенные скопления полезных ископаемых. Наличие значительного количества полезных ископаемых подтверждено геологоразведочными работами и их извлечением из недр Земли. Можно с большой уверенностью утверждать, что в недрах России содержится практически вся таблица Менделеева.
В ряду всех российских полезных ископаемых особое место занимает природный газ [1, 2]. Природный газ является ценным минералом, и он относится к невозобновляе-мым ресурсам. Данное полезное ископаемое, представляющее собой смесь газообразных углеводородов природного происхождения, состоит главным образом из метана и примесей других ал капов.
Природный газ может существовать в виде газовых залежей, находящихся в пластах некоторых горных пород. Помимо залежей газа в недрах планеты, интересно упомянуть, что углеводороды встречаются и в космосе. В частности, метан является третьим по распространенности газом во Вселенной после водорода и гелия. В форме метанового льда он входит в структуру планет и других космических тел. Однако такие образования не относят к залежам природного газа и при настоящем уровне развития технологий не могут быть извлечены.
Главным образом природный газ используется для обеспечения отопления, производства электроэнергии и для бытовых нужд населения. В России около 50% поставок приходится на энергетические компании и коммунальное хозяйство. Кроме этого, природный газ находит применение в качестве топлива для транспортных средств, сырья при производстве пластмасс и других органических веществ.
Методы добычи газообразных углеводородов схожи с добычей нефти - газ извлекают из недр с помощью скважин. Для того чтобы пластовое давление залежи падало постепенно, скважины размещают равномерно по всей территории месторождения. Такой метод также препятствует возникновению перетоков газа между областями месторождения и преждевременному обводнению залежи.
Наша страна имеет возможность добывать природный газ в значительных объемах в течение достаточно длительного времени, обеспечивая не только внутренний рынок, но и внешних потребителей, гарантируя им долгосрочные устойчивые объемы поставок этого важного продукта. Однако места добычи и поставок потребителям природного газа находятся на достаточно больших расстояниях, превышающих иногда тысячи километров. В большинстве случаях для доставки газа потребителям используется газопровод, который ограничивает пропускную способность поставляемого продукта. Данное ограничение существенно, и его необходимо учитывать при добыче природного газа из залежей [3].
В этой связи возникают математические задачи, которые представляют научный интерес и базируются на соответствующих моделях. Ряд задач уже решен и нашел свое практическое применение, другие задачи ожидают своего анализа. В отделе математических методов регионального программирования ФИЦ ИУ РАН ведутся исследовательские работы по математическому моделированию эксплуатации нефтяных и газовых месторождений [4-6]. Рассматриваемые модели подвергались различным модификациям и всестороннему изучению. На этих моделях ставились и решались разнообразные оптимизационные задачи. В отделе также изучались динамические модели, которые в дальнейшем применялись для численных расчетов при решении многих практических задач.
Среди всех оптимизационных задач, поставленных и решенных, нам бы хотелось выделить две из них: задача максимизации накопленной добычи для группы газовых месторождений с ограничением на пропускную способность газопровод [3] и задача максимизации длины их общей «полки» [7]. Для их решения применялся принцип максимума Понтрягина в форме Эрроу [8].
Первая из приведенных задач имеет экономическое содержание, как максимизация совокупного дохода для группы газовых месторождений. Можно поставить и другие оптимизационные задачи с экономическим содержанием. К ним относится минимизация затрат и максимизация прибыли.
1. Построение модели, постановка и решение прямой математической
Рассматривается динамическая модель разработки газового месторождения с взаимо-влияющими скважинами [5-7]. Вводятся следующие обозначения: Т - горизонт планирования; I _ текущее время (0 > £ > Т); Q(t) - текущая добыча газа;
д(Ь) - средний дебит добывающих скважин в момент ¿;
(р - начальный средний дебит добывающих скважин;
п(1) .......... количество скважин, вводимых в строй в единицу времени;
п(1) _ максимальные возможности по вводу в строй новых скважин; N (¿) - действующий фонд добывающих скваж ин в момент ¿; N 0 - начальный фонд добывающих скважин; V(¿) - извлекаемый запас газа, оставшийся в залежи в момент ^ V0 - начальный извлекаемый запас газа; 5 - коэффициент дисконтирования; с - продажная цена природного газа; к - стоимость строительства одной скважины.
Между переменными мы устанавливаем зависимости, представленные в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
задачи
ж = п(г),
о0
* = - ^ о = -мт (г),
У(1) = -Я(1) = -д(1)М (I),
(1)
(2)
(3)
при ограничении
0 < п(г) < п(г),
(4)
с начальными условиями
V0 > 0, д0 > 0,
(5)
N0 = 0. (7)
В описании дифференциального уравнения (2) мы вводим дополнительное обозначение:
а = д0/У0. (8)
Дополнительно мы делаем следующие предположения:
• в любой момент £ газовое месторождение покрывается равномерной сеткой добывающих скважин;
• управление динамическим процессом разработки месторождения осуществляется за счет ввода новых скважин п(Ь) с учетом ограничения (4);
• бурение скважины и ввод ее в разработку месторождения происходят в один и тот же момент времени.
Задача 1. О максимизации накопленной прибыли с учетом коэффициента дисконтирования для одного газового месторождения
Для системы дифференциальных уравнений (1) - (3) с начальными условиями (5) - (7) и фиксированного интервала времени [0,Т] необходимо шйти функцию п(Ъ), удовлетворяющую ограничению (4); и соответствующую этой функции траекторию (д(Ь), N(1;)), которая доставляет максимальное значение функционалу
[ №(1) - кп(г)] ехр[-ЭД <И. (9)
0
Правый конец оптимальной траектории (д(Ь), N(1)) считаем свободным. Функция п(Ь) в двойном, неравенстве (4) является постоянной величиной равной значению п > 0. В этом случае двойное неравенство (4) представится в следующей форме:
0 < п(г) < п, п > 0. (10)
Обратим внимание на взаимосвязь дифференциальных уравнений (2) и (3). Действительно, фазовые переменные д(Ь) и V(Ь) линейно зависят друг от друга при любых допустимых управлениях, т.е. д(Ь) = аУ(Ь). Поэтому в дальнейшем при исследованиях достаточно ограничиться только двумя фазовыми переменными д(Ь) и N(Ь). К управляющим параметрам относится только одна переменная п(Ь).
В описании накопленной прибыли (9) был включен коэффициент дисконтирования 5, позволяющий соизмерять доходы и затраты, производимые в различные моменты времени. Сформулируем и докажем следующую теорему.
Теорема 1. Оптимальное управление п(Ъ) в задаче максимизации накопленной прибыли на фиксированном, временном промежутке [0, Т] существует и единственно. Оптимальное управление п(1) при дополнительном ограничении
сд0[1 - ехр(-5Т)]/5 > к (11)
принимает, следующий, вид:
~(,)=[ П приЛ е Т е (0,т),
= \ 0 приЛ е (т,Т]. ^
Доказательство. Рассматриваемая задача 1 является задачей оптимального управления со свободным правым концом и фиксированным временем. Существование оптимального управления следует из теоремы, приведённой в монографии [9, §4.2]. Доказательство единственности мы приведем в конце доказательства теоремы 1.
Для решения этой задачи мы используем принцип максимума Понтрягина в классической формулировке [10,11]. Введем сопряженные переменные ф(Ь) и ^(Ь), относящиеся к фазовым переменным д(Ь) и N(Ь) соответственно. Согласно принципу максимума Понтрягина выпишем гамильтониан
Н(д, М, п, ф, ф) = сдИ — кп — фадИ + п. (13)
В каждый момент £ £ [0, Т] управление п(Ь) на оптимальной траектории максимизирует гамильтониан
Н(д(1),М($,п®,т,<рт = тах Н(д(1),М(1),п,ф(1),^(1)). (14)
п6[0,п]
Из (13) и (14) вытекает:
{п при (¿>(Ь) > к,
0 при ^(Ь) < к, (15)
0 < п(Ь) < п при ^(Ь) = к.
Сопряженные уравнения представятся в виде
дН
ф = 5ф — — = 5ф — сИ + фаИ, (16)
дН
Ч> = ^ — = — сд + фад. (17)
На правых концах сопряженных переменных ф(Ь) и ^(Ь) выполняются условия трансверсальности:
ф(Т) = <р(Т) = 0. (18)
Пусть в момент Ь £ [0, Т] выполняется неравенство с < аф(ъ), тогда из (16) и положительности ф(1) следует дальнейшее возрастание сопряженной переменной ф(Ь). Условия трансверсальности (18) нарушаются. Значит, с > аф(Ь) при всех £ £ [0,Т].
Рассматриваем всевозможные сопряженные переменные ф(Ь) и ^(Ь). Среди функций ф(Ь) и ^(Ь) выделяем сопряженные переменные, удовлетворяющие условиям трансверсальности (18). Из (16) видно, что при отрицательном значении ф(Ь) вытекает невыполнение условия трансверсальности (18). Следовательно, сопряженная переменная ф(Ь), соответствующая оптимальной траектории, неотрицательна. Если И(Т) = 0, то ф(Ь) = 0 при г £ [0,Т].
Если выполнено условие на оптимальной траектории И(Т) > 0, то справедливо двойное неравенство 0 < ф(Ь) < с/а при Ь £ [0, Т) и ф(Т) = 0. Докажем, что сопряженная переменная ^(Ь) положительна. Умножаем левую и правую части сопряженного уравнения (16) на д и после несложных преобразований с учетом (2) получаем
б,
-^[фд] = 5фд — сдИ. (19)
Умножаем обе части дифференциального уравнения (19) на ехр(—51) и после несложных математических операций интегрируем обе части полученного равенства от £ до Т. Учитывая условия трансверсальности (18), приходим к соотношению
ф(Ь)д(Ь) ехр(—5Ь) = с £ д(9)К(в) ехр(—5в) йв. (20)
В силу положительности д(Ь) и N(Т), непрерывности и неотрицательности N(Ь) вытекает, что интеграл в правой части равенства (20) положителен. Отсюда положительна сопряженная переменная ф(Ь) при Ь £ [0, Т) и ф(Т) = 0. Если N(Т) = 0, то из (20) вытекает
ф(Ь) = 0 при Ь € [0,Т]. Принимая во внимание (2), преобразуем (19). В результате получаем следующее дифференциальное уравнение:
й с с5
[(ф _ _)д ехр(_51)] = — д ехр(_51). (21)
М а а
С учетом условия трансверсальности (18) интегрируем обе части полученного соотношения (21) от ¿до Т:
с с с5 Г^
[- _ ШШ) ехр(_5г) = -д(Т) ехр(_5Т) + — д(в) ехр(_5в) йв. (22)
а а а
Правая часть равенства (22) положительна. Значит, ф(Ь) < ^.
С сопряженным уравнением (17) проделаем те же операции, что и с уравнением (16). После всех преобразований решение сопряженного уравнения (17) представится в виде интегрального выражения:
= ! [с _ аф(в)]д(в) ехр[_£(0 _ Ь)] йв. (23)
Отсюда следует, что сопряженная переменная ^(Ь) положительна на полуинтервале £ € [0, Т). Умножаем обе части сопряженного уравнения (16) на д, и после преобразований с помощью (2) получаем
й
— [афд _ сд] = 5афд. (24)
Продифференцируем по ¿ обе части сопряженного уравнения (17) и, подставив в полученное выражение (24), приходим к следующему дифференциальному уравнению второго порядка:
ф _ 5ф = а5фд. (25)
Умножаем обе части дифференциального уравнения (25) на ехр(_5Ь) и после преобразований с учетом (2), (17) и (18) проинтегрируем от ¿до Т полученный результат:
ф(Ь) = ф(Т) ехр[_5(Т _ ¿)] _ 5а ^ ф(в)д(в) ехр[_£(0 _ Ь)] йв =
= _сд(Т) ехр[_5(Т _ ¿)] _ 5а ^ ф(в)д(в) ехр[_£(0 _ Ь)] йв.
Отсюда следует, что сопряженная переменная ^(Ь) строго убывает.
Рассмотрим случай N(Т) = 0 тогда <р(0) < к, ф(£) = 0 и д(1) = д° при всех ¿ € [0,Т]. Из (23) вытекает следующее нестрогое неравенство:
сд0[1 _ ехр(_5Т)]/5 < к. (26)
В противном случае при N(Т) > 0 выполняются соотношения (11) и (12). Переходим к доказательству единственности оптимальных управлений.
Общая схема доказательства единственности состоит в следующем. Преобразовываем формулу (23) для определения сопряженной переменной ^(Ь) и устанавливаем зависимость 1^(т). Доказываем строгое убывание функции ^(т). Убеждаемся, что ^(т = 0) > к и 1^(т = Т) = 0. Следовательно, уравнение ^(т) = к имеет та отрезке [0, Т] одно решение, что приводит нас к единственности оптимальных траекторий.
Для дальнейшего упрощения вида формул мы надчеркивание у параметра п опускаем. Пусть решение задачи 1 описывается формулой (12). В этом случае с учетом (1), (2), (6) и (7) общий фонд добывающих скважин и дебит скважин изменяются следующим образом:
N(t) = { nt ПР Mte [0, Т £ (0,Т(27) \ пт при t £ (т,Т};
ят q0 exp[-omt2/2] при t£ [0, т], т £ (0,Т), . ,
q( ) X q° exp[ап(т2/2 - ir)] при t £ (т, Т]. 1Q)
Представим в формуле (23) сопряженную переменную ^(Ь) при г<К Тв виде разности двух интегралов:
<р&)= [ сд(9)ехр[—5 (9 — Ь)]б9 — а[ ф(9)д(9) вхр[—5 (9 — Щй9 = С1(г) — в^). (29) С учетом (1), (2), (7) и (12) преобразуем функцию С\(1):
Ога)= Г сд(9)ехр[—5(9 — Ь)]б9 = Сд(^ г {1 — ехр[—(апт + 5)(Т — Ш. (30)
апт + о
С учетом (27), (28) ит<í<T преобразуем соотношение (20):
ФШI) = {1 — ехр[—(апт + 5)(Т — *)]}.
апт + о
Отсюда при т < Ь < 9 < Т получаем
ф(9)д(9)вхр[—5(9 — *)] = С(1(^пт {1 — вхр[—(апт + 6)(Т — *)]} вхр[—(апт + 5)(9 — *)]. (31)
апт + о
Используя предыдущее соотношение, преобразуем функцию С2(Ь) из (29):
вЖ) = а Г ф(9)д(9)вхр[—5(9 — 1)](19 = {1 — вхр[—(апт + 5)(Т — *)]} —
(апт + д)2
сд(1 )апт
(Т - t)exp[-(anT + 5)(Т - t)]. (32)
апт + о
С учетом (30) и последнего выражения (32) для G2(t) перепишем функцию (29):
V(t) - {1 - ехр[-(апт + 5)(Т - i)]} - /^TL i1 - ехр[-(аш + 5)(Т - *)]}+
апт + о (апт + о)2
+ cg{t}anT(т - г)ехр[-(апт + 5)(Т - t)]. (33)
апт + о
-
<р(т) - ед0е-ап-2/2{-[1 - е-(апт+)(т-т)] + (Т - т)е-(ап^+&)(т-)}. (34)
(апт \ &) а,гпт \ &
Продифференцируем функцию ш(т):
< о апт */2< Л - е-(апт+6)(т-т) апт (Т - т) (апт+6)(т тЬ
ш' - -ааптд0е-апт /2{5-,-—5-+---е-(апт+d)(1 -тП+
( ап \ )2 а п \
0 апт2/2< (ап)2т(Т - т)е-(апг+&)(т-т) , +6)(т т)
+cg е- /2{--—-—Ц--——--\ апт(Т - т)е-(апт+д)(1 -т)-
( ап \ )2
т[ап(Т - т)]2р-(апг+щт-Г) + ап(Т - т)е-(ап+)(т-^ апт р-(апг+б)(т-г)_
с ^ ^^ г с ^
ап \ ап \ а п \
26ап\1 - е-(апт+г)(т-г)] ^ е-(апт+6)(т-т) 5ап(Т - т)е-(апт+&)(т—) , ч [ ] + -( ^ ' , -}. (35)
(апт + 5)3 апт + 5 (апт + 5)2
Докажем, что (р'т < 0 при т € \0,Т]. Все члены математического выражения разбиваем на три непересекающиеся группы. Каждую группу мы отделяем фигурными скобками с положительным множителем. Дополнительно введем обозначения функций 1\(т), 12(т) и
Ыт):
Ж _ саптд°е-а^2/2{-61 - ^^^) -^(Т е-(ап^+6)(т-^)+(Т-т)е-(*пт+)(т-т)}+
(аап'т \ &) а.'пт \ &
0 -апт2/2сап(Т - т)е-(апт+*)(т-т) 5ап(Т - т)е-(апт+г)(т-т) 26ап\1 - е-(»^г+ё)(т-т)] ^ апт + 5 (апт + 5)2 (апт + 5)3
(ап)2т (Т - Т)е+*)(т - \ + „ р-*пт г\апг(Т-т)^ _ {апт +»(т-т) _
/ | г\2 } + ^ { | г 1}&
(апт + о)2 апт + д
_ саптд0е-апт2/2Ь(т) + сд0е-апт2/2Ь(т) + сд0е-<™т2/2-(апт+ё)(т-г) 1з(т). (36)
Функция 1з(т) отрицательна, т.к. она содержит только отрицательные члены. Покажем, что функции 1\(т) и 12(т) отрицательны при т € \0,Т]. Действительно:
т (т) _ Л - е-(аПТ+6)(т-Т) ап(Т - т) {апт+ё){т-г) +(Т_ т)р-(апт+ё)(т-т) _ 11(Т) ° (апт + 5)2 апт + 5 6 +(Т )&
5 е-(»пт+&)(т-т)
_ - -р-^- \ е(апт+6)т-т) - 1 - (апт + 5)(Т - г)] < 0;
( ап \ )2
1 _ ап(Т - т)е-(»пг+б)(т-г) ^ §ап(Т - т)е-(апт+6)(т-т) 25ап\1 - е-(»пт+б)(т-т)]
апт + 5 (апт + 5)2 (апт + 5)3
(ап)2т(Т - т)р-(апт+&)(т-т) 25ае-(апт+&)(т-т) , ч
- (ап) (±( )е ^ 2- _ - ^-...-\е(апг+6)(т-г) - 1 - ( апт + 5)(Т - г)] < 0.
(апт + о)2 (апт + о)3
Значит, функция ^(т) строго убывает на отрезке \0,Т]. Убеждаемся, что ^(т _ 0) > к и 1^(т _ Т) _ 0. Поэтому уравнение <^(т) _ к имеет единственное решение т > 0.
тимальные управления. Единственность и теорема 1 доказаны.
2. Постановка и исследование обратной оптимизационной задачи
В предыдущем параграфе мы доказали, что при дополнительном условии (11) оптимальное управление имеет вид (12). Это означает ограничение на сопряженную переменную <р(0) > к. Было доказано, что ^(Ь) - строго убывающая функция и <^(Т) _ 0. В момент =
гой режим. В этот момент ^(Ь _ т) _ к. Сопряженная переменная ^(Ь), учитывая свойства переменных (27) и (28), преобразуется и далее она рассматривается как функция ^(т). Доказывается, что построенная функция ^(т) строго убывает. При этом выполняются два соотношения: ^(т _ 0) > к и ^(т _ Т) _ 0. Следовательно, существует единственное решение уравнения ^(т) _ к. Значит, единственными являются не только оптимальное управление (12), но и соответствующие ей фазовые переменные (27) и (28).
Поставленная задача 1 состоит в максимизации накопленной прибыли (9) на интер-\0, Т]
Т
Действительно, иногда трудно аргументированно объяснить, почему мы выбрали это, а не другое значение рассматриваемого параметра. В то же время числовые значения других
вышеупомянутых параметров модели имеют более четкую аргументацию. Они определяются исходя из технологических, экономических и других причин, связанных с изучением конкретного месторождения.
В работе [12] исследовалась следующая ситуация. Два газовых месторождения участвуют в конкурсе на право первым начать свою разработку. Поражение в конкурсе приводит к нежелательным последствиям и значительным материальным и финансовым потерям. Основным критерием выбора является минимум себестоимости. При расчете себестоимости учитывается прогнозная добыча газа в течение заданного количества лет Т. Данная информация берется для каждого месторождения из проекта разработки. Было показано, что в некоторых случаях при одних значениях горизонта планирования Т в конкурсе побеждает первое месторождение, а при других - второе месторождение. Возникает конфликтная ситуация с соответствующими последствиями. Поэтому нам необходимо обратить больше внимания на горизонт планирования Т.
Основное решение задачи максимизации прибыли формулируется в виде теоремы 1. Переформулируем теорему 1 следующим образом.
Теорема 1'. В задаче 1 с фиксированным временем Т оптимальное управление (12) и соответствующие фазовые переменные (27) и (28) однозначно определяются параметром
внутри отрезка [0,Т]. Пащметр т определяется из решения уравнения (р(т) = к, где функция (р(т) задается равенством (34).
Сформулируем обратную задачу.
все значения Т > т, при которых управление (12) будет оптимальным для задачи 1. Необходимо также ответить на вопрос о существовании искомых решений.
Заметим, что любая оптимальная пара (т,Т), где 0 < т < Т, однозначно определяет оптимальное управление (12). Дальнейший анализ показывает, что для фиксированного значения т таких горизонтов планирования Т может быть не более двух. Воспользуемся равенством (34) и условием <^(т) = к, фиксируем оптимальный параметр т и будем искать значение Т из следующего уравнения:
Р(Т) = с40 е-апт 2/2{~,-[1— е-(.*пт+ЩТ-г)] + ^^_ (Т — Т)е-(апг+)(Т-Г)} = к_ (37)
(апт + о)2 апт + Ь
Введем обозначение и вычислим
* = 4 аПТ0+5)2 еапт 2 /2. (38)
с д0д
Введем вспомогательную функцию
¡(Т) = 1 — е-(апт+6)(Т-т) + апт (апт + 5)(Т — т) е-(апт+)(Т-т)/5. (39)
Исследуем функцию /(Т) при условии Т > т. Заметим, что от величины т до значения Т2 = т + апр рассматриваемая функция возрастает. В точке Т2 она достигает своего максимального значения и далее падает. В этих точках функция принимает следующие значения:
„, . „ . , апт + 5. апт + 5 , апт + 5. апт . 5 .
/(т) = 0; /(Т2) = 1 — ехр(--) +---ехр(--) = 1 + — ехр(—1--);
апт о апт о апт
¡(ж) = 1.
Такое же последнее значение функция принимает при Т\ = т +--^—< Т2, т. е.
апт (апт )
Рис. 1. График вспомогательной функции /(Т) при фиксированном значении т > 0
На рис. 1 изображен график вспомогательной функции /(Т) при фиксированном значении т > 0. Схематично на нем выделены три области.
Если > /(Т2), то для рассматриваемого значения т не существует оптимального горизонта планирования Т. Это означает, что не существует пары (т,Т), относящейся к оптимальному управлению.
Если = /(Т2), то имеется единственный период планирования Т = Т2, при котором
( , Т2 )
Если € ( /(Т\), /(Т2)), то имеются два периода планирования Т[ и Т2 , при которых согласно теореме 1' пары (т,Т[) и (т,Т2) однозначно определяют свое оптимальное управление. При этом Т[ € (Г\,Т2) и Т2 € (Т2, те).
Если 8 € (0, /(Т\)), то существует единственный горизонт планирования Т' € (т,Т\), при котором пара (т, Т') однозначно определяет единственное оптимальное управление.
Таким образом, мы выделили области, в которых лежат оптимальные значения горизонтов планирования Т. На рис. 1 в плоскости (Т, у) прямая линия у = /(Т2) делит положительный квадрант на две части: одна часть содержит хотя бы одно оптимальное
Т Т
ет. Прямая линия у = является опорной прямой к графику гладкой функции /(Т) в
точке ее оптимума.
Продолжим исследование оптимальных решений задачи максимизации дисконтирован-
Т
ния (37):
<р(Т, т) = е-апг2/2{, Сд°6 [1 -е-(апг+6)(Т-г)] + (Т-т)еЧ^+^М} = ^ (40)
( апт + д)2 апт + Ь
В уравнении связи (40) переменные Тит расположены «вперемешку». Причем ника-
висимую переменную Т. Таким образом, функцию т = т(Т) нельзя выразить явно. Однако возникшая сложность не может являться большим препятствием для дальнейшего анализа, и эту функцию можно исследовать в таком неявном виде. В математической теории в наиболее общем виде формулируются достаточные условия однозначной разрешимости уравнения Р(Т, т) = 0 в некоторой локальной окрестности рассматриваемой точки Т0. В этой же окрестности решается вопрос о существовании производной /' (Т0) неявно заданной функции /(Т).
Данное описание результатов исследований в более детальной и точной математической формулировке лежит в основе теоремы о неявной функции, которая является одной из ключевых теорем математического анализа.
Теорема существования и дифференцируемое™ неявной функции. Пусть выполнены, условия:
• функция Р(Т, т) и ее частные производные РТ(Т, т) и Р^. (Т, т) непрерывны в некотором прямоугольнике с центром в точке (Т0, т0);
• в точке (Т0, т0) им, еет м ест о равенство Р (Т0, т0) = 0, в то время как частная производная Р[ (Т0, т0) = 0.
Тогда справедливы, следующие утверждения:
• уравнение Р(Т, т) = 0 определяет, единственную непрерывную и дифференцируемую функцию т = ¡(Т), которая в точке Т0 удовлетворяет равенству т0 = ¡(Т0);
• для, всех значений Т, лежащих в некоторой окрест,ност,и точки Т0, имеет место тождество Р(Т, ¡(Т)) = 0;
РТ(Т0, Т0)
Г(П) = —
Рт (Т0, Т0)'
Геометрически сформулированная выше теорема означает, что в окрестности точки (Т0,70) гладкая кривая Р(Т, т) = 0 представляет собой график непрерывной дифференцируемой функции т = /(Т).
Следует обратить внимание на важную роль, которую играют в математике теоремы существования и единственности. Многие теоретические и практические задачи начинаются с решения вопросов существования и единственности. Это отмечается в таких строгих математических дисциплинах, как математический анализ, дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, теория оптимизации и т. д.
Расширим непрерывным образом множество допустимых значений неявно заданной уравнением связи (40) функции с т > 0 на т > 0. Определим величину Т при т = 0. В данном случае мы можем явно выписать формулу для вычисления Т0:
= — — £). (41)
Заметим, что при Т > Т0 экономически оправдано разрабатывать рассматриваемое месторождение оптимальным способом, а при Т < Т0 любая допустимая стратегия разработки газового месторождения приводит к отрицательному значению прибыли, поэтому теряется смысл его разрабатывать.
Формулу (41) можно также получить другим способом из определения функционала (9),
множества всех управлений, описанных формулой (12), без использования сопряженной пе-
( )
Т Т
1(т) = / [ )—кп(Ъ)]ехр(—5£) М = / [сд(1)п1—кп]ехр(—51)сМ+пт / сд(Ь) ехр(—5Ь) (М =
Г ап-/- 2 гТ
= [сд0 ехр(--)пЪ — кп] ехр(—51) М + сд0п т ехр[апт(т/2 — 1) — 5¿] М. (42)
./0 2 Jт
( )
/т д
— {г ехр[апт(т/2 — 1) — 6^} М =
/т Гт д
ехр[ апт(т/2 — 1) — 61] М+сд0п J т— {ехр[апт(т/2 — 1) — ¿¿]} М -
= —кп ехр(—5т) + сд°пех^р(апт /2 {ехр[—(апт + ¿)т] — ехр[—(апт + <5)Т]}+
апт + о
2
ап а п 2
+сд п--гтггехр(-){[(апт+5)(Т—т) + 1]ехр[—(апт+5)Т] — ехр[—(апт+<5)т]}. (43)
( апт + о )2 2
Для разработки месторождения в рассматриваемой модели необходимо выполнение строгого неравенства 1'(т) > 0 при т = 0. Воспользовавшись (43), мы приходим к следующему соотношению:
—кп + ^{1 — ехр(—6Т)} > 0. (44)
Т > Т0
Т0
мости полностью рассчитывать громоздкое выражение для производной I 1 (т), поскольку требуется только 1'(т = 0). В выражении (43) используется определенный интеграл / о ТЯ1 {т ехр[ апт(т/2 — £) — 5£]} (М. При т = 0 его можно упростить до следующего выражения:
т д Гт д 1 — ехр(—5Т)
— {г ехр[апт(т/2 — ^ — 5г]}М = — {ехр[апт(т/2 — ^ — М =-^--.
т=0 дТ Зт=0 дТ О
На рис. 2 представлен график неявной функции, заданный уравнением связи (40) при т > 0 и изображенный на плоскости Тт. На графике выделены три ключевые точки, играющие важную роль при построении графика и влияющие на его структуру и поведение.
Первая ключевая точка имеет на плоскости координаты (Т0;0), где Т0 вычисляется по формуле (41). Для определения второй ключевой точки проведем некоторые математические преобразования. Выделим два отдельных слагаемых в выражении средней части двойного равенства (40):
гп0 Яр-апт"2/2 „п0р-апт2/2
ф(Т, г) = С( °е + + ( 6 [апт(апт + 5)(Т — т) — 8]е-(ап+= к. (45)
(апт + д)2 (апт + о )2
Пусть т\ является решением следующего уравнения:
0 А
, С(1\Л2 е-апт 2/2 = к. (46)
( апт + о)2
При условии ^ > к уравнение (46) имеет единственное положительное решение, поскольку левая часть уравнения является убывающей функцией от величины т, и при т ^ ж данная функция стремится к нулю. С учетом равенства (45) из (46) следует
[апт ( апт + 6)(Т — т) — 5] е-(апт+6)(Т-т) = 0.
(47)
Рис. 2. График неявно заданной функции т(Т)
Из соотношения (47) вытекает два решения: одно решение получается при Т ^ ю и не может быть представлено на плоскости в виде отдельной точки; другое решение задается формулой
Т Т1 + опт1(опт1 + 5)' ^^
Вторая ключевая точка имеет на рис. 2 координаты (Т1; Т1), где величина Т1 вычисля-
1
неявной функции т(Т), заданной с помощью уравнения связи 4>(Т, т) = к, вычисляется по формуле
ЛТ) = - . («)
4Т (Т, V
Вычислим частную производную функции 4(Т, т) по перемен ной Т:
4Т(Т, т) = сд°[1 - апт(опт + 5)]е-(апт+)(Т-Т)-апт2/2. (50)
Выше было показано, что частная производная 4Т(Т, т) < 0 при всех допустимых значе-Т
ключевой точки, покажем положительность производной неявной функции т(Т) в точках Т0 и Тъ Действительно:
Л!*) = - 4Т(Т0,0) = ^ е-*т° > 0- (51)
Т(1 ) 4Т(т0,0) -4Т(Т0,0)е >0; { }
'(Т ) = _ 4Т(ТЪ Т1) = с(1°опТ1 (апТ1+8)(Т1 -Тг)-апТЦ2 > 0
(±1) 4'г(Т1, п) -4Т(Т1, п)(опт1 +5) > °
В третьей ключевой точке производная т'(Т2) = 0. Воспользовавшись формулами (49) и (50), получим следующее соотношение:
Т2 = Т2 + . (53)
оп т2
Подставим полученную зависимость (53) в равенство (40):
£ л0 апт2 _3
ш( ъ) = 7-^е + апт2е апт2 ] = к. (54)
(апт2 + о)2
Докажем единственность полученного уравнения при условии выполнения строгого
0
неравенства > к. Рассмотрим функцию
ш(т) = -———--г е п>г[§ + апте-1- апт ]. (55)
( апт + о )2
Данная функция обладает следующими свойствами: ш(0) = > к ъ Ншт= 0.
С апт 2 3 3
ш' (т) = —-—^ е п 1-апт {[Ь2 + 2а6пт — 2а6пт е1+'апт } —
т(апт + о)3
—абпт (6т + апт2) е1+'апт — а3п3т4 — а26п2т3 — а2п2т2}. (56)
Если выражение в квадратных скобках правой части равенства (56) принимает отрицательные значения, то функция ш(т) строго убывает. Для доказательства преобразуем данное выражение:
52 + 2а6пт — 2а6пте1+апт = [абпт(2 — е1+апт)] + [£2 — 5(апт + 5)—аПТ е пп+ ]. (57)
апт + о
Заметим, что абпт(2 — е1+апт) < 0 и в ппт > 1. Значит, выражение (57) принимает отрицательные значения. Следовательно, уравнение (54) имеет единственное положи-
2
2
численный метод деления отрезка пополам. Основой для применения этого метода являются полученные свойства функции (55). Таким образом, при т < Т2 существует, по крайней мере, одно значение Т, при котором прямая задача имеет решение. В противном случае величине т не соответствует ни одно значение Т. Значит, Т2 определяет множество всех
Из положительности единственного решения уравнения (54) и существования точки (Т0; 0^, удовлетворяющей уравнению связи (41), вытекает, что в точке Т2 неявно задан-( Т)
Т2
Т2
( Т)
( Т)
Т > Т0 Т2
Т0 Т1
Т0 Т2 ( Т)
= 1 Т2
затем при Т ^ те строго монотонно убывает, асимптотически стремясь сверху к оси т = Т1. Положительный квадрант плоскости, па котором изображен график функции т(Т),
= 1 = 2 ( Т)
следует, что:
• если зависимая переменная т € (0,Т1}, то имеется взаимно однозначное соответствие между переменными т и Т; в этом случае переменная Т € (Т0,Т1];
• если зависимая переменная т € (Т1, Т2), то одной величине т соответствуют два значе-Т Т2 Т2 Т1
Т
= 2
Т2 Т2
функция т(Т) достигает своего максимума;
> 2
Т
Из вышесказанного вытекает, что множество всех т ограничено величиной Т2, которое определяется из единственного решения уравнения (54). Напомним, что единственность уравнения (54) наступает при условии выполнения строгого неравенства ^ > к. 1
Т
данной величине т = т* > 0. Предполагаем, что исходные данные удовлетворяют строгому неравенству ^ > к. Блок 1.
Рассмотрим вспомогательную функцию (39), график которой схематично изображен на рис. 1. Подставим в формулу для описания вспомогательной функции (39) вместо значения т величину т*. В этом случае вспомогательная функция (39) имеет следующий вид:
¡(Т) = 1 - е-(апТ *+)(Т - Т*) + опт * (опт * + 5)(Т - т*) е-(апТ *+)(Т-Т *)/5. (58)
Вычислим значения вспомогательной функции (58) в точках, величины которых расположены в порядке возрастания Т = т*,Т = Т1 = т* + апР*(атТ*+$) и Т = Т2 = т* + апг*'
Дт *) = 0- (59)
Г
/№ ) = /(т * + --гг) = 1- (60)
^ и м опт * (опт * + 5) х '
1 апт +5 , , апт +5 ,
КТ2) = }(т * +-) = 1 - е-+ (опт * + 5) е-/5. 61
оп *
= *
к (опт * + 5)2 , _
»= 1 а/>6 ' '-г-. (И)
= *
1 - е-(апТ*+б)(Т-Т*) + опт*(опт* + 5)(Т - т*)е-(апТ*+г)(Т-Т*) /5 = 8. (63)
Подставим (58) в (63), приходим к уравнению с одним неизвестным:
¡(Т) = з. (64)
Если выполнено нестрогое неравенство
« < 1, (65)
то переходим к блоку 2. В противном случае переходим к блоку 3. Блок 2.
В этом случае параметр в удовлетворяет следующему неравенству:
0 <8 < 1. (66) Воспользуемся равенствами (59, (60) и (64). В результате получаем
№•) < ИТ) < ПТ1) = Цг' + ш,.т,(апт. + 1))■ (вт)
Функция /(Т) на отрезке [тявляется строго возрастающей функцией. Поэтому для численного поиска единственного решения уравнения (67) используем метод деления отрезка пополам. Конец алгоритма. Блок 3.
Если выполнено неравенство в > /(Т2), то переходим к блоку 4.
В этом случае числовое значение параметра в лежит внутри промежутка от 1 до /(Т2), т.е. 1 < в < /(Т2), или с учетом (64) получаем 1 < /(Т) < /(Т2). Функция /(Т) строго возрастает от Т\ до Т2 и строго убывает при Т > Т2. Справедливо выполнение верхнего предела /(Т) = 1. Значит, существует такое значение Т% > Т2, при котором вы-
полняется строгое неравенство в > /(Т%). Следовательно, уравнение (64) имеет два корня. Один корень расположен в промежутке от Т1 до Т2, другой корень - от Т2 до Т%. Для получения числовых значений этих корней используем дважды метод деления отрезка пополам. Конец алгоритма. Блок 4.
= ( Т2 )
Т = Т2
Конец алгоритма.
2
параметра к. Напомним, параметр к определяет величину стоимости строительства одной скважины. Для этого продифференцируем равенство (54) по параметру к. В результате получаем
т2(к) = —Ц. (68)
V (т2)
Выше при вычислении производной функции V в (56) было показано, что производная отрицательна. Значит, с ростом величины параметра к до величины точная верхняя 2 к
2
Заключительная часть данного параграфа относится к выявлению максимального значения функционала, определенного на некотором множестве оптимальных стратегий раз-
Т1 Т2
строго по порядку, и пусть выполняется равенство
т = т(Т1)=т(Т2). (69)
Выпишем два функционала:
Г гт[
11 = J [сд(1)пЪ — кп] ехр(—6£) М + пт J сд(Ъ) ехр(—51) М; (70)
г гт' гт2
12 = [)П — кп]ехр(—51) М + пт / сд(Ъ) ехр(—5Ь) М + пт / сд(Ь) ехр(—5Ь) М = ,/0 3 т Зт[
гт2
= Ь = Ь +пт / сд(Ь) ехр(—5Ь) М > Ь. (71)
Таким образом, наибольшее значение функционал принимает при большем горизонте планирования. Другая задача состоит в поиске такой пары (Т, т), которая обеспечивает максимальное значение функционала. С учетом (1) - (3) и (12) переписываем интеграл (9)
¡•Т рт гТ
1(Т, т) = [ сдф-кп^ )]ехр(—)М = [сд(Ь )пЬ—кп]ехр(—5Ь) сМ+пт сд(Ь) ежр—г) М Jо Jо Ут
ап~Ь2 ап^^2 /*Т
= [сд0 ехр(---— )п — кп] ехр(—51) М + сд0пт ехр(---—) ехр[—апт^ — т) — 5¿] М.
./о 2 2 Л-
(72)
( Т, )
нулю. В результате получаем уравнение (40). Уравнение (40) определяет неявно заданную ( Т) ( Т)
( Т, ( Т)) Т
Г(Т, т(Т)) = сд0 ехр{—апт2(Т)/2 — апт(Т)[Т — т(Т)] — 5Т}пт(Т). (73)
Т
НштI'(Т, т(Т)) = 0. Макспмадьное значение функционал принимает при Т, стре-уравнения (46).
Т
значение функционала. Для этого вместо задачи 1 с фиксированным временем решить задачу 1 с нефиксированным временем. В этом случае гамильтониан (13) в конечной точке оптимальной траектории с учетом условий трансверсальности (18) и п(Т) = 0 необходимо приравнять к нулю:
Н(д(Т),Й(Т), п(Т),ф(Т), <р(Т)) = сд(Т)Й(Т) — кп(Т) — ф(Т)ад(Т)Й(Т) + <р(Т)п(Т) =
2
а п
= сд0 ехр[—ап- — апт(Т — т)]пт = 0. (74)
Т 1
решение единственно. 3. Заключение
В настоящей статье мы рассматриваем непрерывную динамическую модель газового месторождения. В рамках модели выписывается функционал для расчета накопленной прибыли. Ставится задача максимизации накопленной прибыли с использованием двух дифференциальных уравнений и двойном ограничении на управление. Данная прикладная задача является задачей оптимального управления с фиксированным горизонтом планирования и со свободным правым концом. Показываем, что оптимальное решение рассматриваемой задачи существует. Для поиска решения используется принцип максимума Понтрягина.
Оптимальное решение прямой поставленной задачи состоит в следующем. Весь горизонт планирования разбивается на две части: на первом этапе месторождение разрабатывается с максимальным постоянным темпом бурения скважин, на втором этапе бурение прекращается. Доказывается единственность такого управления.
Другая обратная задача сводится к следующему. Пусть фиксирован временной период этапа бурения скважин. Решается прямая задача на максимум. При каких горизонтах планирования фиксированный временной период этапа бурения является оптимальным? Таких горизонтов планирования может быть один, два или вообще их не быть. Исследование проводится на двух рисунках. На каждом рисунке строится график. Каждый график подвергается всестороннему анализу. Для исследования используется теорема существования
и дифференцируемости неявной функции. Доказывается, что для случая двух горизонтов планирования наибольшее значение функционала достигается при большей величине горизонта. Для фиксированного временного периода этапа бурения приводится алгоритм численного поиска горизонтов планирования.
Доказывается, что при решении прямой задачи с нефиксированным временем наибольшее значение функционал достигает при бесконечном горизонте. В этом случае временной период этапа бурения определяется соответствующей формулой.
Литература
1. Вяхирев Р.И., Коротаев Ю.П., Кабанов Н.И. Теория и опыт добычи газа. Москва : Недра, 1998.
2. Закиров С.Н., Лапук Б.Б. Проектирование а разработка газовых месторождений. Москва : Недра, 1974.
3. Skiba А.К. Maximization of the Accumulated Extraction in a Gas Fields Model // In: Evtushenko Y., Jacimovic M., Khachav M., Kochetov Y., Malkova V., Posvpkin M. (eds), Int. Conf. on Optimization and Applications (OPTIMA 2018) // Communications in Computer and Information Science, Springer. 2019. V. 974. P. 453-469.
4. Хачатуров В.P., Соломатин A.H., Злотов A.В. и др. Планирование и проектирование освоения нефтегазодобывающих регионов и месторождений: Математические модели, методы, применение / под ред. В.Р. Хачатурова. Москва : УРСС : Ленанд, 2015.
5. Маргулов Р.Д., Хачатуров В.Р., Федосеев А.В. Системный анализ в перспективном планировании добычи газа. Москва : Недра, 1992.
6. Skiba А.К. Dvnamic model analvsis of gas deposit developments // 2018 Eleventh International Conférence Management Of Large-Scale System Development (MLSD). IEEE Conférence Publications, IEEE Xplore Digital Librarv. P. 619-622.
7. Скиба, A.К. Поиск в модели газовых место рождений максимальной длины их общей «полки» // Труды МФТИ. 2019. Т. 11, № 2. С. 49-61.
8. Эрроу К. Применение теории управления к экономическому росту // Матем. экономика. Москва : Мир, 1974. С. 7-45.
9. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. Москва : Наука, 1972.
10. Понтрягин Л. С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. Москва : Наука, 1976.
11. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. Москва : Наука, 1975.
12. Скиба А.К., Соломатин А.Н., Хачатуров В.Р. Себестоимость добычи в модели газового месторождения: исследование и применение // Труды МФТИ. 2018. Т. 10, № 3. С. 45-53.
References
1. Vyakhirev R.I., Korotaev Y.P., Kabanov N.I. Theory and experience of gas production. Moscow : Nedra, 1998. (in Russian).
2. Zakirov S.N., Lapuk B.B. Design and development of gas fields. Moscow : Nedra, 1974. (in Russian).
3. Skiba A.K. Maximization of the Accumulated Extraction in a Gas Fields Model. In: Evtushenko Y., Jacimovic M., Khachav M., Kochetov Y., Malkova V., Posvpkin M. (eds), Int. Conf. on Optimization and Applications (OPTIMA 2018). Communications in Computer and Information Science, Springer. 2019. V. 974. P. 453-469.
4. Khachaturov V.R., Solomatin A.N., Zlotov A.V. etc. Planning and design of development of oil and gas extraction regions and fields: Mathematical models, methods, application. Ed. by Khachaturov V.R. Moscow : URSS : Lenand, 2015. (in Russian).
5. Margulov R.D., Khachaturov V.R., Fedoseev A. V. The system analysis in advance planning of gas production. Moscow : Nedra, 1992. (in Russian).
6. Skiba A.K. Dynamic model analysis of gas deposit developments. 2018 Eleventh International Conference Management Of Large-Scale System Development (MLSD). IEEE Conference Publications, IEEE Xplore Digital Library. P. 619-622.
7. Skiba A.K. Finding in the model of gas fields the maximum length of their common «shelf». Proceeding of MIPT. 2019. V. 11, N 2. P. 49-61. (in Russian).
8. Arrow K. Application of control theory to economic growth. Mathematical economy. Moscow : Mir, 1974. P. 7-45. (in Russian).
9. Lee E.B., Marcus L. Fundamentals of the theory of optimal control. Moscow : Nauka, 1972. (in Russian).
10. Pontryagin L.S., Boltyansky V.G., Gamkrelidze R.V., Mishchenko E.F. The mathematical theory of optimal processes. Moscow : Nauka, 1976. (in Russian).
11. Moiseev N.N. Elements of the Theory of Optimal Systems. Moscow : Nauka, 1975. (in Russian).
12. Skiba A.K., Solomatin A.N., Khachaturov V.R. Cost of production in a gas field model: research and application. Proceedings of the Moscow Institute of Physics and Technology. 2018. V. 10, N 3. P. 45-53. (in Russian).
Поступим в редакцию 16.06.2022
