CC BY
31
ПРЕГЛЕДНИ ЧЛАНЦИ
REVIEW PAPERS ОБОЗОРНЫЕ СТАТЬИ
MOGUCNOSTI PRIMENE FRAKCIONOG RACUNA U MODELOVANJU TELEKOMUNIKACIONOG SAOBRACAJA
Branka D. Mikavica, Aleksandra M. KostiC-Ljubisavljevic,
Vesna M. Radonjic-Bogatovic
Univerzitet u Beogradu, Saobracajni fakultet
e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
DOI: 10.5937/vojtehg63-6323
OBLAST: telekomunikacije VRSTA CLANKA: pregledni clanak JEZIK CLANKA: srpski
Sazetak:
Frakcioni racun je oblast matematicke analize koja se bavi izuca-vanjem i primenom izvoda i integrala proizvoljnog reda. Ovom teorijom bavili su se mnogi poznati matematicari meúu kojima su Ojler, Riman, Liuvil, Abel i Furije. Predlozeno je vise definicija za izracunavanje izvoda i integrala necelog reda. U ovom radu daje se pregled nekih predlo-zenih definicija, kao i osnovne postavke frakcionog racuna sa poseb-nim naglaskom na mogucnostima njegove primene u domenu modelo-vanja telekomunikacionog saobracaja.
Cinjenica je da frakcioni racun poslednjih decenija nalazi sve vecu primenu u raznim naucnim oblastima. Modeli zasnovani na frakcionom racunu pokazali su se korisnim u fizici, mehanici, elektrotehnici, biohemi-ji, medicini, ekonomiji, teoriji verovatnoce. U ovom radu analizira se mo-gucnost primene frakcionog racuna u modelovanju telekomunikacionog saobracaja. Istrazivanja pokazuju da se karakteristike telekomunikacionog saobracaja na lokalnom i globalnom nivou u mrezi, kao sto su sa-moslicnost i zavisnost u dugom opsegu, efikasnije mogu opisati pomocu frakcionog racuna umesto konvencionalnih stohastickih procesa. U radu su prikazani predlozeni modeli zasnovani na frakcionom racunu koji mo-deluju fenomene prisutne u savremenim telekomunikacionim mrezama.
Kljucne reci: modeli, saobracaj, telekomunikacije, frakcioni racun.
ZAHVALNICA: Ovaj rad je deo rezultata istrazivanja na projektu „TR32025" koji finansira Min-istarstvo prosvete, nauke I tehnoloskog razvoja Republike Srbije
<E>
Uvod
CO 00 I
CD
!± CP
Telekomunikacione mreze beleze enorman razvoj. Potrebe korisnika u pogledu novih servisa i aplikacija koje zahtevaju vece propusne opsege i veci kvalitet servisa svakim danom rastu. Rast traznje utice na neop- ^ hodnost izgradnje adekvatne arhitekture mreze, planiranje, odrzavanje, -§ kontinuirani razvoj i unapredivanje. U tom smislu, od velikog znacaja je evaluacija efikasnosti telekomunikacionih mreza koriscenjem metoda | merenja, analize i simulacije ovih mreza. Merenjem i statistickom anali-zom telekomunikacionog saobracaja otkriveno je da saobracaj u mrezi pokazuje velike neregularnosti (burstiness), kako u pogledu varijabilnosti intenziteta saobracaja, tako i u pogledu oblika funkcije autokorelacije. o Uoceno je da saobracaj ima fraktalne karakteristike - samoslicnost i zavi-snost u dugom opsegu (Devetskiotis, da Fonseca, 2005).
Usled toga, potrebna je velika sirina propusnog opsega, a vrlo ce- | sto je to jedan od uzroka neefikasnosti mreze. Za razliku od ustaljenih " modela, zasnovanih na Poasonovoj raspodeli, koji se srecu u mrezama o sa komutacijom kola, kod modela zasnovanih na samoslicnosti teleko-munikacionog saobracaja javljaju se problemi koje je tesko prognozirati, izmeriti i kontrolisati saobracaj u mrezi. Stoga, merenje, analiza i mode-lovanje samoslicnog telekomunikacionog saobracaja jos uvek predsta-vlja izazov.
Razlicita istrazivanja su pokazala da se saobracaj u savremenim te- ^ lekomunikacionim mrezama moze adekvatno opisati statistickim modeli- 50 ma zasnovanim na frakcionom racunu. Frakcioni racun predstavlja oblast matematike koja se bavi izucavanjem i primenom izvoda i integrala nece- | log reda. Poslednjih decenija nalazi sve vecu primenu u raznim sferama nauke, od medicine, fizike, biohemije, ekonomije, teorije verovatnoce, mehanike, elektrotehnike. o
Teziste ovog rada je na mogucnosti primene frakcionog racuna u sa- j? vremenim telekomunikacionim mrezama u modelovanju telekomunikacio-nog saobracaja.
Rad je koncipiran na sledeci nacin. Nakon uvodnog razmatranja, da- m ju se osnovne postavke frakcionog racuna. Brojni poznati matematicari g koji su se bavili izucavanjem frakcionog racuna dali su svoje definicije i u ovom radu se daje pregled nekih od predlozenih definicija. U narednom poglavlju se opisuju fenomeni koji se srecu u savremenim telekomunikacionim mrezama - samoslicnost (eng. self-similarity) i zavisnost u dugom opsegu (eng. Long run dependence - LRD). Zatim se daje pregled nekih predlozenih modela saobracaja zasnovanih na frakcionom racunu. Na kraju se daju zakljucna razmatranja.
ro •o
_Q O <0 tn O)
o
<u
o
Osnovne postavke frakcionog racuna
Izucavanje frakcionog racuna pocinje u 17. veku sa Lopitalom i Lajb-nicom. Lakroa je prvi objavio neceli red izvoda. Tako, za y = xa, ae R+, pokazao je da
d1/2 y = r(a + 1) xa-l/2
dx1/2 r(a +1/2) .
Zapravo, dobio je da (d / dx)2 x = 2<Jx/n (isti rezultat je dobio i Ri-
man-Liuvil, koji vazi i danas).
lako je naziv „frakcioni racun" zapravo pogresan, a oznaka „integra-cija i diferencijacija proizvoljnog reda" adekvatnija, uobicajen je naziv frakcioni racun, koji se koristi jos od doba Lopitala.
Furije, koji je 1822. izveo vrednost integrala funkcije
f (x) = — j f (a)da\cosp(x-a)dp , formalno je izrazio verziju sa izvodima
R R
dV
f (x )=2- j f (x )x\ pV cos |p (x-a)+V [ dP
U U ^ J
dx
R R ,
gde se vrednost vodnosi na bilo koju vrednost, pozitivnu ili negativnu.
Abel je primenio frakcioni racun za resavanje integralne jednacine koja se javlja u formulaciji tautohronog problema (odrediti oblik krive tako da je vreme spustanja tela zanemarljive mase niz datu krivu, bez trenja, pod uticajem gravitacije, nezavisno od pocetnog polozaja tela). Abelova integralna jednacina ima oblik:
x
k = j (x -1 )-1/2 f (t )dt . (1)
0
Abel je izucavao opstije forme integralnih jednacina sa jezgrom ob-
lika (x-1)a. Integral (1), sa izuzetkom faktora 1/r(1/2), poseban je slucaj
konacnog integrala koji definise frakciono integraljenje reda U inte-gralnim jednacinama oblika (1) funkcija f je nepoznata. Abel je desnu
stranu jednacine (1) napisao kao d"1/2/ dx"1/2 f (x). Zatim je primenio operaciju d12 / dx12 na obe strane jednacine i dobio je:
d1/2
d k = n (x), (2)
dx1/2
1/ _ y 0
jer ovi frakcioni operatori imaju osobinu da D2D /2 f = D0f = f. Stoga, kada se izracuna frakcioni izvod reda % konstante k u (2), f (x) je odre-dena. To je izuzetno dostignuce u oblasti frakcionog racuna. Vazno je uociti da frakcioni izvod konstante nije uvek jednak nuli (Miller, Ross, 1993).
Prvi ozbiljan pokusaj da se dä logicna definicija frakcionih izvoda pripada Liuvilu. Liuvil je posao od poznatog rezultata D"eax = aneax gde je
D = d, n e N, i prosirio ga, najpre na poseban slucaj kada je v = -1, a = 2
dx 2
a zatim ga prosirio na proizvoljan red, ve R+ sa Dveax = aveax. Prikazao je
funkciju f (x) kao f(x) = ^ ckeakX i definisao izvod proizvoljnog reda v sa
k=o
Dvf (x) = X ckaleakx . k=0
Njegov drugi metod odnosio se na eksplicitnu funkciju x~a. Posma-trao je integral I = jua-1e~xudu , a zatim zamenom xu = t dobio rezultat
I = x~a J ta-le~tdt = x~a r(a) (za Rea > 0). Mnozeci obe strane x"a = I / r(a ) o
sa Dv dobio je Dvx~a = (-i)vF(a/+v) x"a-v.
1 ^ r(a)
S obzirom na to da proizvoljna diferencijalna jednacina oblika
dy
dx'
dav
zakljucio da frakciona jednacina oblika —- = o,«e R+ takode treba da
dxa
ima odgovarajuce opste resenje.
Neka je f lokalno integrabilna u intervalu (a,, tada je n-ta iteracija integraljenja data kao:
= o n-tog reda ima opste resenje y = c0 + clx+... + cn-lx, Liuvil je
x «1 un-1
" "1 "n-1 1 1
a 1nxf (x):= J d«1 J d«2... J f (un )d«n = ( _ J (x - u )n f (u )du
n n n \ ' n
C^ry
za skoro svako x uz -z< a < x < z i n e N. Ako se uzme da je (n -1)! = r(n), dobija se neposredna generalizacija intégrala funkcije f ne-celog reda a > 0,
aIaxf (x) = -^ f (x - u ) a-1 f (u )du , (desni integral) (3)
ri a)J
a
i slicno za -z < x < b < z ,
■W ) 1 b
x Ib
1 b _ f (x ) =f (u - x ) a-1 f (u )du (levi integral), r( a)J
x
oboje definisano za odgovarajuce f. Indeksi uz I oznacavaju granice inte-gracije u datom redosledu. Moze se uociti da je za a = n jednacina (3) jedinstveno resenje pocetnog problema
y(n )(x ) = f (x ), y (a ) = y '(a )=... = y(n-1) (a ) = 0
Kada je a = -« jednacina (3) je ekvivalentna Liuvilovoj definiciji, a za a = 0 dobija se Rimanova definicija (bez komplementarne funkcije). Na-jcesce se kaze da je ai%f Riman-Liuvilov frakcioni integral reda a funkcije f. Sa druge stane, jednacine
a f (x )= a IZ f (x ) = ra f (u - x )a-1 f (u )du a f (x )=-Xf (x )— f (x - u )a-1 f (u )
nazivaju se Vejlovi frakcioni integrali reda a , definisani za odgovarajucu
funkciju f. Levi i desni integral frakcionih integrala a I %f (x ) i x I bf (x )
povezani su preko Parsevalove jednakosti (frakciona integracija po delovima) koja se dobija za a = o i b = z :
f f (x )(o I )(x )dx = f (wa f )(x )g (x )dx
Sledeca svojstva vaze za desni integral frakcionih integrala (uvoden-jem adekvatnih zamena vazi slucaj levog integrala). Neka je f e i]oc (a,z). Tada, ako je a >z , aI<£f (x) je konacan svuda u intervalu
(a,z) i pripada ¿1oc (a,z). Ako je a = -z pretpostavlja se da se f ponasa
tako da za takav integral konvergira. Pod ovim pretpostavkama frak-cioni integral zadovoljava svojstvo aditivnosti:
a1?«if = aI?+—f (—> 0).
Uzimajuci u obzir redosled integraljenja, dobija se:
1 x 1 u
a Iaxa iff (x )=rO)J (x - u )-1 du (u - t — f (t )dt
a
x x
-1——-j f (t)dt j(x- u)a 1 (u -1)f 1 du
r(a)r(f)_
u -1
Drugi integral je, uvodeci zamenu y =-, jednak
x -1
(x -1 rf-11 (1 - y )"-1 y—1dy = B(a—)(x -, )a+f-1
=r(")r(—j( -,)«—-1 gde je B(a,—) Beta funkcija. Kada se to uvrsti u gornje rezultate, dobija se:
a I "x+af = a Inxa I%f ( G N ,a> 0 ),
sto implicira n-tu diferencijaciju:
dx
^-aix+af (x)= aiaxf (x), (xg N,a>0) za svako x. (4)
dx
Prethodni rezultati vaze i za kompleksni parametar a , ako se uslov a > 0 zameni sa Re a > 0. Tada se operacija a I % moze smatrati holomorf-nom funkcijom od a za Re a > 0, sto se moze prosiriti na celu komplek-snu ravan. Kako bi se ovo pojasnilo, polazi se od pretpostavke da je f beskonacno diferencijabilna u skupu realnih brojeva. Ako je a tada
je f(x) (a) = 0 za x = 0,1,2... Tada za svako fiksno x > a integral u (9) je holomorfna funkcija od x za Re a > 0. Neka je xg r i r > 0 . Skup
K (x,r) = {y g R : d(x,y)< r} = i y g R : £( -yt )2 < r
i=1
naziva se otvorena kugla oko x radijusa r. Skup A c R je otvoren ako vazi Vxe A,3r > 0, K(x,r)< A. Funkcija f je diferencijabilna ili holomorfna
na otvorenom skupu Q ako poseduje izvod u svakoj tacki skupa Q . Vazi sledece: ako je funkcija diferencijabilna, onda postoji izvod svakog reda na celom skupu Q . Takva diferencijabilna funkcija naziva se holomorfna. Parcijalna integracija n-puta daje:
alaxf (x)= aI"x+af(n)(x), (Re a>0,ne N) (5)
Primenjujuci aditivno svojstvo (4) na izraz sa desne strane (5) i diferencirajuci rezultat n-puta po x, dobija se:
^XaI%f (x)= aIaxf(n)(x), (Re a>0,xe N) (6)
dx
cime se pokazuje da su operacije integracije frakcionog reda a i diferen-ciranja reda n nad funkcijom f komutativne.
Ako se ponovo pogleda formula (5) moze se uociti da je desna strana izraza holomorfna funkcija od a sa vecim domenom { ae C;Re a>-x} i
dx
jednak je —aixx+af (x) po formuli (6). Ovako se moze prosiriti ai%f (x)
dxx
na domen { ae C;Re a < 0}, analiticki definisuci za ae C i Re a < 0
a Iaxf (x )= a ix+a f (x)(x )= a ^ f (x) (7)
dx
Za svaki ceo broj x >-Re a , dobija se
a 10f (x ) = f (x), al7f (x) = f (x)(x), (e N) (8)
Neka je a kompleksni broj takav da je Re a>0 i x = [Rea], gde [Rea] oznacava ceo deo od Re a. Desni integral frakcionog izvoda reda a definisan je kao
Df(x) = dx^aix~af(x), ( = [Rea] +1) (9)
dx
za svako f e i]oc (a,z) za koje izraz na desnoj strani vazi.
Definicije intégrala i izvoda proizvoljnog reda a , Re a * 0, (ekvivalentno) mogu se objediniti na sledeci nacin, za (ne N) :
Df (x ) =
1 X
—(—-J(x-u) a f (u)du,(Re a < 0) ( a ) a
{—-] a 1 "x~af(x),(Rea>0;n-1 <Rea<n)
sto se cesto naziva diferíntegral funkcije f reda a. Ovaj proces cesto se naziva i frakciono integro-diferenciranje.
Moze se uociti da je levi izraz frakcionog izvoda reda a definisan
kao: xDbf (x) = (-1)—^xlnb-af (x) , (n = [Rea] +1). dx
Frakcioni izvod potpuno imaginarnog reda a = W,d* 0 definisan je kao
D f (x )=—^ = - l-Ï^W du , a > —(1 - iW) dxl (x - u )iW
a odgovarajuci integral reda a = iW definise se kao:
a ixWf (x ) = — a l1+lWf (x )= , 1 , — x (x - u )) f (u )du
axJ\) -xax Jy > —(1 + iW)dx^ ' Jy '
Definicija frakcionog integro-diferenciranja za svako a e C je kompletna uvodenjem identickog operatora aD°x f := a\°xf = f za svako a = 0. Takode, moze se uociti da su frakcioni operatori linearni:
aDa [qf1 (x) + c2f2 (x= C1 aD^A (x) + C2 aD^f2 (x) ,
gde su c1 i c2 konstante.
Pri definisanju dovoljnih uslova za postojanje frakcionih izvoda u relaciji (9) razmatra se slucaj 0 < Rea< 1, ako je a>(Hifler, 2000). Pretpostavlja se da je f neprekidna u konacnom intervalu [a,b], formalno f e AC[a,b], sto
znaci da je f diferencijabilna svuda u intervalu (a,b) i f 'e L1 (a,b) i u intervalu
x
[a, b] jednaka je f (x ) = J f ' (u )du + f (a ) = a i\f ' (x ) + f (a ).
dD
Zamenom ovoga u formuli ailx af (x), uz cinjenicu da su operatori i1-a i i1 komutativni, dobija se:
a iï* f (x )= a ia ^ f ' (x ) + f^) ( - а)-1 .
Diferenciranjem po x, dobija se:
Df (x) = d-a t-"f (x)= a t-"f ' (x ) + (x - a )-а (10)
dx Г(1 - а)
sto pokazuje da, u opstem slucaju, operatori aiх-а i d nisu komutativni.
dx
Formula (10) moze se prosiriti uvodenjem kompleksnog broja а , takvog da je Re а > 1. Rezultati su obuhvaceni pretpostavkom koja sledi. Najpre se uvode sledece oznake: za n e N, ACn-1 [a,b] oznacava skup od (n-1) diferencijabilnih funkcija f na [a,b], takvih da su f,f fn-1 neprekidne na [a, b]. Moze se uociti da je AC0 [a, b] jednako AC [a, b].
Pretpostavka: ako je f e AC [a, b] f je definisana samo u konacnom intervalu [a,b], tada postoji aD!f, xDbf za о < Re а < 1. Stavise,
Df e Lr (a,b) za 1 < r < R- i Df (x^tT^1-^ + J"^
Re а Г(1 - а) | (x- a) а i (x- и) а
du У.
Analogno vazi za xDbf.
Ako je f e ACn-1 [a, b], n = [Re а] +1 tada postoji Df za Re а > 0 i vazi
aD?f (x)= g -(M, + --Í--Í f (n) ^ du (11)
axJy> k=0 r(1 + k - а) r(n - а )J (x-u)-n+1
Drugi nacin da se definise frakcioni izvod reda а , takode prema Liuvilu, jeste:
Df (x) := ainx~af(n)(x), (n = [Reа] +1). (12)
Ocigledno, f mora biti diferencijabilna kako bi izraz sa desne strane (12) postojao. Relacija izmedu dva frakciona izvoda (9) i (12) data je for-mulom (11), naime
(x )= (x )+g Y(T^)(x - a )k * .
Definicija (9) najcesce je koriscena u matematickim krugovima, dok °p je definicija (12) cesce koriscena u slucajevima kada su pocetni uslovi 5 definisani preko celih izvoda (Hifler, 2000).
Neki predlozeni modeli primene frakcionog racuna za modelovanje telekomunikacionog
saobracaja
cp cp
ro
■o ro
.Q O
ro tn D)
o c O o ro
Izvodi i integrali celog reda imaju jasnu fizicku i geometrijsku inter-pretaciju. Medutim, prihvatljiva geometrijska i fizicka interpretacija inte- | graljenja i diferenciranja frakcionog reda dugo nije bila poznata. To je oblast koja se danas sve vise razvija, kako u teoriji, tako i u praksi. Poslednjih godina frakcioni racun nalazi primenu u studijama o viskoelas-ticnim materijalima, tokovima fluida, elektromagnetnoj teoriji i verovat- | noci, saobracaju i medicini (Dalir, Bashour, 2010). U ovom delu rada " teziste je na mogucnosti primene u telekomunikacionim mrezama o
Modeli Markova i njegova teorija redova cesto su izucavani i inten-zivno primenjivani kao alat za evaluaciju performansi. Medutim, analize zasnovane na modelima Markova imaju odredene nedostatke. To su:
- u mrezama sa velikim protocima verovatnoca odbacivanja paketa ñ u baferima sa ogranicenim kapacitetom tesko se moze odrediti i cesto se aproksimira verovatnocom odbacivanja u sistemu sa beskonacnim baf- ]¿ erima (Kim, Shroff, 2001), 50
- kada se multipleksira veliki broj izvora Markova, veliki kapacitet agregatnih dolaznih procesa rezultira nemogucnoscu izracunavanja, |
- end-to-end analiza performansi zahteva precizno modelovanje od-laznih procesa iz redova za analizu sledeceg hopa (modelovanje od- o laznih procesa za Markove izvore takode je veliki problem),
- sveobuhvatna merenja i analize saobracaja u mrezi ukazuju na to J da paketski saobracaj ima svojstva samoslicnosti ili zavisnosti u dugom opsegu (LRD), koja se ne mogu opisati modelima Markova koje karak-terise zavisnost u kratkom opsegu (Cheng et al, 2007). m
Samoslicnost podrazumeva da je odredeno svojstvo objekta, pod- S domen nekog dinamickog sistema ili vremenska serija, ocuvano u od- | nosu na vremensko i/ili prostorno skaliranje. Ako je objekat samoslican ili fraktalan, njegovi delovi, kada se uvecaju, u odredenom smislu imaju ob-lik celine. Deterministicka samoslicnost podrazumeva samo jaku formu rekurzivne regularnosti. Medutim, za potrebe modelovanja saobracaja, gde je stohasticka varijabilnost osnovna karakteristika, deterministicka samoslicnost mora se dalje uopstiti. Za razliku od deterministickih frak-
<u
tala, stohasticki fraktali ne poseduju egzaktnu slicnost njihovih delova u poredenju sa celinom. Mera slicnosti je oblik grafa sa adekvatno izabranim stepenom slicnosti. Ako se usvoji da su vremenske serije u saobracaju uzorci stohastickog procesa, pri cemu se zanemaruje mera slicnosti fokusiranjem na odredene statistike ili, recimo, reskaliranjem vremenskih serija, tada je moguce postici egzaktnu slicnost objekata.
Statistike drugog reda su statisticka svojstva koja prikazuju bursti-ness ili varijabilnost. Oblik autokorelacione funkcije ima znacajnu ulogu. Autokorelaciona funkcija je kriterijum u odnosu na koji se definise invari-jantnost. Korelacija, kao funkcija kasnjenja, opada znatno sporije u odnosu na eksponencijalnu. Postojanje ovakve zavisnosti naziva se zavis-nost u dugom opsegu (Park, Willinger, 2001).
Zavisnost u dugom opsegu je svojstvo vremenskih serija da poka-zuju jaku zavisnost tokom velikih vremenskih intervala. Formalno se moze izraziti na vise ekvivalentnih nacina. Neka je Xt,te z diskretna promenljiva stacionarne serije. Serija Xt,te z se naziva „long range dependence" (LRD), ako za njenu funkciju kovarijanse vazi
y(t) = E(Xo -EXo) (( -EXt) ~ cy |t|2"2H ,t (13)
i vazi He ^gde je cY konstanta veca od 0. Uslov (13) moze se ek-vivalentno napisati pomocu Furijeove transformacije kao:
f (X)~ cf |^2H0 ,
gde je f (Á) = (2n)~1 ^e~lXpy(p),2e[-n,n] funkcija spektralne gustine Xt
p
i cf je konstanta veca od 0. Parametar H naziva se Hurstov parametar.
Sto je H vece, vremenska zavisnost je veca, jer funkcija kovarijanse sporije opada ka beskonacnosti (Park et al, 2011).
Postoje razlicite teorije o uzroku pojave samoslicnosti. Po prvoj, uz-rok samoslicnosti lezi u aplikativnom sloju. Druga teorija tvrdi da je poreklo samoslicnosti na transportnom sloju. U ovoj teoriji posmatraju se efekti primene TCP algoritama kontrole zagusenja na saobracaj u mrezi, kao i situacija koja nastaje kada vise izvora saobracaja rutira saobracaj preko istih putanja. Treca teorija razmatra uzroke na mreznom sloju. Ova teorija, pre svega, povezuje samoslicnost sa kriticnim fenomenima koji nastaju u tackama u kojima slobodan tok saobracaja prerasta u zagusenje (Smith, 2011).
Vremensko-prostorno modelovanje prenosa paketa u TCP/IP mrezama
U nastavku ce biti prikazan predlozeni model koji predstavlja telekomu-nikacioni saobracaj kao stohasticki proces sa mogucnoscu beskonacnog srednjeg kasnjenja. Ovim modelom moze se objasniti pojava zavisnosti u dugom opsegu i fraktalnih osobina tokova podataka. Takode, prikazana je formalna veza izmedu heavy-tailed raspodela kasnjenja, hiperbolickog op-adanja kasnjenja paketa, funkcije autokovarijanse i frakcionih izvoda.
Nedavna merenja telekomunikacionog saobracaja pokazala su da se njegove karakteristike efikasnije mogu opisati pomocu necelih izvoda umesto konvencionalnih stohastickih procesa (Zaborovsky et al, http://www.neva.ru/conf/art/art8.html). Nova interpretacija frakcionog racuna otvara nova podrucja upotrebe ovih razvijenih matematickih alata radi razumevanja lokalnih i globalnih karakteristika saobracaja u mrezama sa komutacijom paketa.
Fraktalna dimenzija i zavisnost u dugom opsegu mogu se uociti u privatnim, lokalnim i WAN mrezama. Definisanje kvaliteta servisa (QoS) za Internet servise zahteva adekvatne modele virtuelnih konekcija, u zavisnosti od tokova podataka. U opstem slucaju, takva konekcija se sastoji od nekoliko tranzitnih cvorova i linkova. Bez smanjenja opstosti pret-postavlja se da se na konekciji koja se razmatra primenjuje TCP protokol i da postoji end-to-end kontrola. Pored toga, pri definisanju modela tokova podataka razmatraju se procesi u tranzitnim cvorovima i komuni-kacionim linkovima, kao sto je prikazano na slici 1.
kasnjenje
Ц odbacivanje Ц paketa
cvor0 cvorx cvorx+1 cvorM
Slika 1 - Kasnjenje/odbacivanje paketa u TCP konekciji Figure 1 - Packet delay/dropp processes in a TCP connection Схема 1 - Задержка/потеря пакетов в ТСР соединении
Ovi procesi javljaju se u razlicitim oblicima kasnjenja paketa i akci-jama njihovog odbacivanja. Posmatra se vreme propagacije paketa. De-taljnom elaboracijom sve do nivoa tranzitnih cvorova (slika 2b) vreme propagacije T moze se predstaviti kao suma kasnjenja paketa u svakom
M
hopu, T = V (( + tf), gde je tL vreme propagacije paketa izmedu cvo-rova x i x+T(kasnjenja duz linka), tf kasnjenje procesiranja/ baferovanja paketa u cvoru x, M je ukupan broj cvorova u konekciji.
predajnik
a)
prijemnik
predajnik
b)
x x+1
prijemnik
predajnik
c)
prijemnik
tB tL
odbacivanje paketa
.beskonacno kasnjenje
Slika 2 - Prenos paketa: a) end-to-end model; b) cvor-cvor model; c) skok model Figure 2 - Packet transmission: a) end-to-end model; b) node-node model; c) jump model Схема 2- Передача пакета: а) модель end-to-end б) модель узел-узел с) модель прыжка
U savremenim TCP/IP mrezama kasnjenje duz linka tL u datoj vir-tuelnoj konekciji moze se smatrati konstantnim (Hifler, 2000). Stoga, vari-jacija vremena propagacije, sto ima izuzetan uticaj na parametre kvaliteta servisa, uzrokovana je varijacijama kasnjenja baferovanja tB .
Paket se moze odbaciti usled popunjenosti bafera ili greske pri rutiranju u tranzitnim cvorovima. Sa aspekta prijemnika tranzitni cvor se ponasa kao „zamka" za pakete i zadrzava ih zauvek. U ovom slucaju, tB uzima vrednost beskonacno. Moze se uociti da ce uprkos gubitka paketa ili beskonacnog kasnjenja protokol na transportnom sloju osigurati prenos odredenih paketa koristeci retransmisiju. Rezultat toga je porast ukupnog broja prosledenih paketa i, stoga, utice na efektivnu produktivnost virtuelne konekcije.
Virtuelni kanal odreden je konacnim brojem tranzitnih cvorova x i linkova. Svaki tranzitni cvor karakterise se prosecnim vremenom prenosa paketa do sledeceg cvora. Promenljiva t ukljucuje kasnjenje paketa u baferu i vreme propagacije paketa do sledeceg cvora. U ovom slucaju se prenos
CZD
paketa izmedu tranzitnih cvorova moze predstaviti kao sekvenca diskretnih prostornih „skokova" duz linkova (slika 2c). Vremenski interval izmedu „skokova" je slucajna promenljiva koja je jednaka vremenu prenosa paketa do sledeceg cvora. Takvi „skokovi" formiraju statisticki dinamicki proces ko-mutacije paketa i direktno uticu na karakteristike saobracaja u mrezi.
Za definisanje matematickog modela takvog procesa uvodi se funk-cija gustine raspodele verovatnoce f(t) prenosa paketa od cvora x do cvora x+1. Pretpostavlja se da svi tranzitni cvorovi u virtuelnom kanalu imaju ista prava u njihovom doprinosu vrednosti end-to-end vremena prenosa. Mogucnost odbacivanja paketa odgovara stanju u kojem paket ne napusta tranzitni cvor x i ostaje u ovom cvoru zauvek. Tada srednje kasnjenje paketa u cvoru zadovoljava uslov
< t >=
Jtf (t )dt--
f (t )> 0, J f (t )dt
= 1.
Odgovarajuci izraz za f(t) moze se napisati kao:
f (t ) =-—r,0 < y< 1.
1 } (1+1 )Y+1
Zakljucuje se da upravo ovakva stuktura funkcije gustine verovatnoce karakterise dugorocnu statisticku zavisnost, koja je detaljno anal-izirana u racunarskim mrezama (Babic et al, 1998). Za dalju konstrukciju modela uvodi se funkcija F (t) ,
F (t) = 1 - J f (t )dt =-1-,
J (1 + t)Y
gde je t vreme postojanja paketa u tranzitnom cvoru x virtuelnog kanala.
Odredimo sada najverovatniji broj paketa u cvoru x u trenutku t, koristeci formulu:
t
n(x;t) = Jn(x-1;t-T)f (t)ít+ n0 (x)F(t), 0
gde je n0 (x ) broj paketa u cvoru x pre pristizanja paketa iz cvora x-1.
Vrednost n(x) nije ogranicena velicinom bafera i moze ukljuciti sve pakete u virtuelnom kanalu koji se prosleduju i odbacuju u cvoru x.
Koristeci ove oznake, jednacina prosledivanja paketa moze se pri-kazati kao:
r(1 -y)D? [n (x; t )] = + nJ0k
(jD
gde levi deo jednacine predstavlja frakcioni izvod funkcije n(x;t) sa eksponentom y,
DY\n(x;t) = H^r.
f L 1 r(l-y) (í-T)Y
Uzimajuci u obzir da promenljiva x uzima diskretne vrednosti, pre-
thodna jednacina resava se uz pocetne uslove: n0 (k ) = 0, k = 1,2,... Tako se dobija
í 1 r2 (1 -y) 1 ]
n (k; í) = no • k \ ;iv - kr(1 -y)- 1
\tY r(1 - 2y)t2y
r(-Y)í
y+1
1 (o) ='
n (k;t ) = no •))-k
r2 (1 -y) 1 +r(1 -Y)
r(1 -2)) t2) r(-Y) t)+1 Uzimajuci u obzir asimptotska svojstva ovog resenja, moguce je
napisati n (0;t) = no j) \.
Za k = 1 vazi sledeci izraz
r2 (1 -y) 1 r(1 -y)
n (1;t )=no í t)-
r(1 -2y) t2) r(-Y) t)+1
Stoga se izracunavanje moze nastaviti za svako k. Ovaj pristup omogucava izracunavanje korelacione funkcije.
Za pocetne uslove n (o; t ) = noS(t) moguce je napisati:
r(1 -y)
c (m; t ) = r(1 -y)
1
1
1
--m-
= no2r(1 -y)t
-) 11-2Y
r(1 -2y+1) 12Y-1 r(1 -3y+1) 13Y-1 1 r(1 -y) 1
_r(2-2y) r(2-3y) ty
Ovaj izraz pokazuje da korelaciona funkcija hiperbolicno opada sa promenom t. Zato, pod uslovom da je y< 1, takvi procesi pokazuju svojstva koja se opisuju frakcionim racunom. Sa m = o izraz za varijansu glasi:
D (t ) = c (o; t )= nor(1 -Y) 1-2Y, W V ' r(2 - 2 y)
sto je karakteristicno za procese sa zavisnoscu u dugom opsegu i asimp-totskom osobinom samoslicnosti drugog reda.
Stoga, karakeristike telekomunikacionog saobracaja, koje su dosta § izucavane u modernoj literaturi, mogu se direktno dovesti u vezu sa me-todama komutacije paketa, koje se koriste u racunarskim mrezama. Proces prenosa paketa moze se opisati jednacinama cija se resenja do-bijaju alatima frakcionog racuna. Koristeci vremenska asimptotska $ resenja, diferencijalne jednacine sa frakcionim izvodima mogu se formulisati tako da se mogu dobiti resenja drugog reda za statisticke momente § procesa. Specificnost ove karakteristike saobracaja jeste da njena ko-relaciona funkcija hiperbolicno opada, sto se mora uzeti u obzir pri defini-sanju metoda za kontrolu saobracaja (Zaborovsky et al, | http://www.neva. ru/conf/art/art8.html).
Modelovanje telekomunikacionog saobracaja frakcio-nom analizom - mogucnosti i nedostaci
ro
o
E o
<D
ro >
o
Empirijska istrazivanja telekomunikacionog saobracaja pokazala su invarijantna fraktalna svojstva saobracaja koja imaju znacajnu ulogu u kon-tekstu analize kvaliteta servisa. U IP telefoniji i video streaming-u prenos paketa mnogo zavisi od algoritama zasnovanih na modelima saobracaja. Osnovni problem u dizajnu takvih modela jeste da se stvore uslovi pod ko-jima je moguca kontrola garantovanih parametara kvaliteta servisa. U fg ovom delu rada razmatraju se prednosti i ogranicenja metoda frakcione analize za opisivanje fraktalnih svojstava izmerenog saobracaja.
Fraktalna svojstva ukazuju na postojanje perioda koncentrovanja vi-sokih ili niskih aktivnosti izvora saobracaja u velikim vremenskim inter-valima. Rezultat toga jeste da je korelaciona struktura stream-ova sao- | bracaja u savremenim mrezama u kontradiktornosti sa tradicionalnim modelima, pa se Poasonovim modelima ne mogu opisati empirijski ut-vrdena fraktalna svojstva agregatnog saobracaja. Svi stream-ovi se sta-tisticki multipleksiraju sa lokalnim neregularnostima u cvorovima. Stoga, j» svaki paket ima stohasticko kasnjenje i dolazi do netrivijalnih stohastickih pojava. Statistike prvog reda kasnjenja paketa pruzaju informacije u po-gledu duzine burst-a, a statistike drugog reda pruzaju informacije o neregularnostima u okruzenju i njihovoj spektralnoj gustini. U takvim
CO
ro
tokovima paketa negativna razlika izmedu vremena medudolazaka i me- .9
>
duodlazaka paketa odgovara formiranju klastera, sto povecava verovat- ^ nocu odbacivanja paketa i utice na parametre kvaliteta servisa. Kako bi se obezbedio potpun opis takvih procesa, neophodno je u analizu ukljuciti svojstva koja se ispoljavaju u kracim i duzim vremenskim inter-valima. Frakciona analiza tokova paketa u razlicitim intervalima omogu-cava opis frakcione prirode saobracaja u mrezi i kvalitativno i kvantita-tivno (Zaborovsky, http://www.neva.ru/conf/art/art7.html).
Izmereni saobracaj u mrezi je konzistentan u velikim vremenskim inter-valima ili asimptotski samoslican i moze se opisati jednostavnim modelom sa jednim parametrom. Ovo svojstvo vazi globalno i u vremenskom domenu i u obimu i neznatno izmenjeno u kracim vremenskim intervalima. Dakle, za potrebe modelovanja saobracaja neophodno je u model ugraditi mogucnost lokalizacije u velikim vremenskim intervalima . Mera u kojoj se proces u mrezi moze smatrati fraktalnim moze se zapisati na sledeci nacin (Zaborovsky, http://www. neva. ru/conf/art/art7.htm l):
L (S) = aSi-D (14)
gde je D - fraktalna dimenzija, S - parametar skaliranja izabranog elementa, a - faktor koji opisuje meru. Neka je g(t) funkcija kojom se opisuju svojstva procesa. Ako vazi sledeca jednakost
g(pt) = pag(t) (15)
proces ima svojstvo invarijantnosti obima. Jednakost (15) omogucava definisanje klase modela koji opisuju svojstva samoslicnosti. Na primer, za model gubitala dinamickog sistema vazi:
t
,(t) = - 1
dT,
WPt i
gde je n = i,4,...2m , a jezgro integraljene transformacije moze se racunati kao:
( <t<t(m) + rt) = <
1,TG(tim)+rt
0,t< t(m\T> t(m) + %mt Kada p ovaj izraz postaje konvolucioni integral iz Kantovog skupa:
M (t ) = Bí'Wy 7 (1 -T)'-1 g (T))T,
gde je ' = ln2/ln3 - fraktalna dimenzija, r(') - Gama funkcija, B% -konstanta koja zavisi od karakteristika Kantovog skupa. Uzimajuci u obzir opsta svojstva procesa u mrezi,
mB = M {B (ti)-B (to )} = 0,
Db =S2b = M {(B (ti) - B (to))2 } = ^o (ti - to) ~ ti - to , moguce je napisati:
M{[BH (t)-BH (2t) + BH (2tBH (2t)-BH (t) + BH (t)]} -i
rH =-—-;--i =2 -i
M
{BH (t)}
i
Ako je M{B
=t
2 H
2H
(t ) = (2 H 1 - 1)t2H, izraz za takav proces
moze se zapisati kao sledeca konvoluciona jednacina:
1t
BH (t )=—-- j h (t -1 ')dB (t ')
„ 1 i
ri H + - I
gde je:
H-1/2
h (t -1 ') =
0 < t ' < t
|(t -1 ')
¡(t -1 ) -1/2, t ' < 0
Moze se uociti da je jezgro ovog integrala funkcija koja zadovoljava uslov (14). Tako, definicija fraktalnog svojstva ili invarijantnog od obima za kontinualni proces z = {z(t),te t} zadovoljava jednakost:
Zd (t ) = a~Hz (at ), t e T, a > 0,0 < H < 1.
Ako za svako celo p vazi xk = z (k +1) - z (k), tada je
xd = m1-H x (m) (16)
Ako x ima pozitivnu vrednost i srednja vrednost nije jednaka nuli, ni x ni x - M {x} ne moze biti precizno samoslican proces u skladu sa de-finicijom (16). Medutim, x - M {x} moze biti asimptotski samoslican proces. Za ispitivanje fraktalnih svojstava i karakteristika saobracaja u mrezi, moguce je koristiti apsolutne statisticke momente funkcija defini-sane kao:
ß(m) (q)= M-
x
(m )
■= M
m
- mxk
mk=1
Ako proces x ima svojstvo samoslicnosti (16), tada je vrednost
/(m)i
J(q)
(q) proporcionalna jednakost:
'(m ) (q )=ß(q )log m + C (q )
. Stoga, za fiksnu vrednost q vazi sledeca
log
Prema (16) moguce je zapisati ß(q ) = q (H -1). U ovom slucaju, svojstvo samoslicnosti moze se formulisati kao linearna zavisnost od promene log)(q). Kada proces x (t) nelinearno zavisi od q, koristi se
q
C8D
OI o
o >
0
01
X
o
LU
ÍO
multifraktalni koncept. Proces X (t) naziva se multifraktalni ako se logari-
tam njegovog apsolutnog momenta r(m)(q) linearno menja sa promenom logaritma agregatnog nivoa m, ali ne zavisi linearno od q. Za analizu ovih svojstava nije dovoljno koristiti samo prvi ili drugi moment. U tom slucaju koriste se neparametarske statistike za agregatne serije:
i \ i m ¡m\q
r( (qY
ir
yy v N / m, 1
a: k=i
R Ako se log r(m)
x(m)
o Ako se logr(m)(q) menja linearno, proces x moze se smatrati mul-
< tifraktalnim (Zaborovsky, http://www.neva.ru/conf/art/art7.html).
Zakljucak
>-
<t Frakcioni racun ima brojne primene u mnogim naucnim discipli-
nama, a u radu je posebno istaknuta primena frakcionog racuna za modelovanje telekomunikacionog saobracaja. Fenomeni koji se srecu u savremenim telekomunikacionim mrezama, kao sto su samoslicnost i zavisnost u dugom opsegu, mogu se opisati primenom frakcionog fj racuna. Pokazalo se da pretpostavka o mogucnosti beskonacnog kasn-^ jenja paketa u tranzitnom cvoru u mrezama sa komutacijom paketa o adekvatno modeluje odbacivanje paketa u cvoru. Heavy-tailed funkcija gustine verovatnoce baferovanja paketa zadovoljava ovu pretpostavku. lu Pokazalo se da se dinamika prosledivanja paketa u virtuelnim konekci-c^ jama u TCP/IP mrezama opisuje pomocu frakcionih izvoda i odgovara procesima sa zavisnoscu u dugom roku. Takode, frakciona analiza moze > biti vrlo koristan alat pri izucavanju lokalnih i globalnih fenomena koji se srecu u telekomunikacionim mrezama.
Literatura
Babic, G., Vandalore, B., Jain, R., 1998, Analysis and Modeling of Traffic in Modern Data Communication Networks, Ohio State University Technical Report, OSU-CISRC-1/98-TR02
Cheng, Y., Zhuang, W., Ling, X., 2007, Towards an FBM Model Based Network Calculus Framework with Service Differentiation, Mobile Networks and Application, 12(5-6), pp.335-346.
Dalir, M., Bashour, M., 2010, Applications of Fractional Calculus, Applied Mathematical Sciences, 4(21), pp.1021-1032.
Devetskiotis, M., L.S. da Fonseca, N., 2005, Modeling network traffic with long range dependence: characterization, visualization and tools, Computer Networks, 48(3), pp.289-291.
Hifler, R., 2000, Application of fractional calculus in physics, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, World Scientific.
Kim, H., Shroff, N., 2001, Loss Probability Calculations and Asymptotic Analysis for Finite Buffer Multiplexers, IEEE/ACM Transactions on Networking, 9(6), pp.755-768.
Miller, K., Ross, B., 1993, An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations, New York, John Willey and sons.
Park, C., Hernandez-Campos, F., Le, L., Marrond, L.S., Park, J., Papiras, V., Smith, F.D., Smith, R.L., Trovero, M., Zhu, Z., 2011, Long Range Dependence Analysis of Inter-netTraffic, Journal of Applied Statistics, 38(7), pp.1407-1433.
Park, K., Willinger, W., 2001, Self-Similar Network Traffic and Performance Evaluation, New York, John Willey and sons.
Smith, R.D., 2011, The Dynamics of Internet Traffic: Self-Similarity, Self-Organization, and Complex Phenomena, Advances in Complex Systems, 14(6), pp.905-949.
Zaborovsky, V., Podgurski, Y., Yegorov, S., New traffic model on the base of fractional calculus, [Internet], Dostupno na: <http://www.neva.ru/conf/art/art8.html>, Preuzeto: 21.01.2014.
Zaborovsky, V., Fractal Analysis and Wavelet transform: Potential and Limitation for Traffic Models Design, [Internet], Dostupno na: <http://www.neva.ru/conf/art/art7.html>, Preuzeto: 21.01.2014.
ВОЗМОЖНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОГО ТРАФИКА
ОБЛАСТЬ: телекоммуникация ВИД СТАТЬИ: обзорная статья ЯЗЫК СТАТЬИ: сербский
Резюме;
Дробная производная (или производная дробного порядка) является обобщением математического понятия производной. Существует несколько разных способов обобщить это понятие, но все они совпадают с понятием обычной производной в случае натурального порядка. Данной проблемой занимались многие известные математики, среди которых Эйлер, Риман, Лиувилль, Абель и Фурье. В данной статье приведен обзор некоторых определений, наряду с основными положениями дробного исчисления, которые представлены с акцентом на возможность применения данного метода при моделировании телекоммуникационного трафика.
Дело в том, что метод производной дробного порядка, нашел широкое применение в различных областях науки. Модели, основанные на данном методе, оказались востребованными в физике, механике, электротехнике, биохимии, медицине, экономике, а также в теории вероятности. В данной статье мы анализируем возможность применения метода производной дробного порядка для моделирования телекоммуникационного трафика.
Свг>
Исследования показывают, что характеристики телекоммуникационного трафика в сети на локальном и глобальном уровнях, а также самоподобие и зависимость в широком диапазоне, могут быть эффективно описаны с помощью метода дробной производной, вместо обычной модели мультипликативного стохастического каскада. В данной статье представлены предлагаемые модели, основанные на методе дробной производной, воспроизводящие явления, присутствующие в современных телекоммуникационных сетях.
Ключевые слова: моделирование, трафик, телекоммуникации, дробная производная.
POSSIBILITY OF FRACTIONAL CALCULUS APPLICATION FOR TELECOMMUNICATION TRAFFIC MODELLING
FIELD: Telecommunications ARTICLE TYPE: Review Paper ARTICLE LANGUAGE: Serbian
Summary:
Fractional calculus is a field of mathematical analysis concerned with research and application of derivatives and integrals of an arbitrary order. Many famous mathematicians studied the theory of fractional calculus such as Euler, Riemann, Liouville, Abel, Fourier and others. There are many proposed definitions for calculating derivatives and integrals of non-integer order. In this paper, several proposed definitions along with basic statements of fractional calculus are presented with an emphasis on a possibility of fractional calculus application in telecommunication traffic modelling.
The fact is that fractional calculus is widely used in various scientific disciplines in recent decades. Models based on fractional calculus have proved to be very useful in physics, mechanics, electrical engineering, biochemistry, medicine, economy, and probability theory. This paper analyses a possibility of application of fractional calculus for modelling telecommunication traffic. Many research studies have shown that traffic characteristics at a local and global level, such as self-similarity and long range dependence, can efficiently be described by fractional calculus instead of using conventional stochastic processes. Some proposed models based on fractional calculus that describe phenomena present in modern telecommunication networks are presented in this paper.
Introduction
Measurements and statistic analyses of telecommunication traffic have discovered that traffic in packet switched networks shows significant irregularities - burstiness, both in terms of traffic intensity variability and shape of autocorrelation function. It is noticed that traffic has frac-
tional characteristics - self-similarity and long range dependence. As a result, a large bandwidth is required, and very often, this is one of the causes of network inefficiency.
In comparison with conventional models based on Poisson distribution widely used in circuit switched networks, in models based on self-similarity property there are problems that are difficult to predict, measure and control in telecommunication traffic. Thus, measurement, analysis and modelling of self-similar network traffic are a sort of challenge. Different research studies have shown that traffic in modern telecommunication networks can efficiently be described with statistical models based on fractional calculus.
Basic statements of fractional calculus
Although the term „fractional calculus", is actually a misnomer, and a term „integration and differentiation of an arbitrary order" is more suitable, „fractional calculus" has been a common term since l'Hopital's era. Fourier also studied derivatives and integrals of an arbitrary order. Abel applied fractional calculus for an integral equation which appears in a tautochrone problem formulation (find a shape of a curve for which the time taken by an object sliding without friction in uniform gravity to its lowest point is independent of its starting point). The first serious attempt to obtain a logical definition of a fractional derivative belongs to Liouville. Let f be a locally integrable on (a, Usually, an n-fold iterated integration is marked as a l%f, and refers to as Riemann-Liouville fractional integral of order a of f. Definitions of integrals and derivatives of an arbitrary order can be consolidated into a differintegral. The process of obtaining a differintegral is referred to as fractional integro-differentiation.
Some proposed models of fractional calculus application for telecommunication traffic modelling
Recent research of telecommunication traffic has shown that it can efficiently be described by derivatives of an arbitrary order instead of conventional stochastic processes. A new interpretation of fractional calculus creates new fields of application of these mathematical tools in order to achieve understanding of local and global characteristics of network traffic. A fractional dimension and long range dependence can be seen in private, LAN and WAN networks.
Temporal-spatial model for packet transmission in TCP/IP networks
Defining Quality of Service parameters for Internet services requires appropriate virtual connections, depending on traffic flows. Generally, such a connection consists of several transit nodes and links. In modern TCP/IP networks, delay in a given virtual connection can be considered as a constant value. A buffering delay variation causes a propagation delay. The transmission process can be described by equations that can be solved by fractional calculus.
C85>
CM о
X ш н О
Fractal analysis modelling of telecommunication traffic-potentials and limitations
The fractal properties of telecommunication traffic in packet switched networks indicate the existence of periods of low or high activity concentrations in long time intervals. As a result, the correlation structure of traffic streams is in contradiction with common models. Therefore, the empirically confirmed fractal properties of aggregate traffic cannot be described by Poisson models. All streams are statistically multi-^ plexed with local irregularities in nodes. Thus, each packet is stochasti-
IRE cally delayed and non-trivial processes occur. In order to achieve a com-UO plete description of these processes, it is necessary to involve the prop-o erties existing in short and long intervals in such an analysis. The frac-
^ tional analysis of packet flows in different time intervals ensures a quali-
^ tative and quantitative description of the telecommunication traffic frac-
x tional nature.
o
LU
Conclusion
Y
< Fractional calculus has many applications. This paper is primar-
ily concerned with fractional calculus application for telecommunication traffic modelling. It was shown that an indefinite packet delay in the transit node in packet switching networks adequately models the dropping of the packet in the node. The dynamics of packet transmission in virtual w connections in TCP/IP networks can be described by the equations in
fractional derivatives and it corresponds to processes with long-range-dependence. Also, fractional calculus can be a very useful tool in the re-
o
>o search of local and global phenomena in telecommunication networks.
Key words: models, traffic, telecommunications, fractional calculus.
> Datum prijema clanka / Paper received on / Дата получения работы: 19. 06. 2014.
Datum dostavljanja ispravki rukopisa / Manuscript corrections submitted on / Дата получения исправленной версии работы: 23. 09. 2014.
Datum konacnog prihvatanja clanka za objavljivanje / Paper accepted for publishing on / Дата окончательного согласования работы: 25. 09. 2014.
