CC BY
6УДК 531.43 (075.5)
В.Н. Ершов1, Н.В. Ершов2 ПОСЛЕДСТВИЯ УДАРА ДЛЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Нижегородский государственный педагогический университет им. К. Минина1,
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
Рассматриваются последствия ударного взаимодействия для сложных систем. Вводится понятие об импульсных связях. Рассмотрены примеры решения различного вида систем с использованием методов и подходов теории удара. Получены практические результаты.
Ключевые слова: сложные системы, ударное взаимодействие, импульсные связи, теория удара.
В большинстве технической литературы последствия удара рассматриваются как колебательный процесс системы, подвергшейся удару. Или же анализируются ударные силы упругого или упругопластического взаимодействия в местах соударения.
В то же время большой практический интерес представляет поведение сочлененных инженерных систем непосредственно после удара в какой-либо точке системы (кинематические и энергетические соотношения).
Рассмотрим очень быстрые (внезапные) изменения движения, происходящие при действии на систему ударных импульсов. Под ударными импульсами понимается предельный случай действия больших сил в течении очень коротких промежутков времени. За время т конфигурация системы изменятся не будет, тогда как скорость будет изменяться скачком.
В задачах, в которых других сил кроме ударных нет, координаты сохраняют постоянные значения, скорости в момент ^ = 0 задаются, и требуется определить скорости в момент времени 1Х + 0 .
Так как ударные силы в течении короткого промежутка времени принимают большие значения, то реакции связей в течении этого времени также должны быть большими. Будем также считать, что каждый элемент сочлененной системы за время удара остается твердым. В задачах о движении системы тел на систему могут действовать соответствующие ударные импульсы сил реакций. В теории удара удобнее пользоваться второй формой основного уравнения:
п
N )Аыг = 0,
г=1
где х"г - ускорения, Nг - реакции связей, Аыг - конечные вариации скорости.
Введем понятия об импульсных связях. Это связи терпящие разрыв в момент времени ^ . Тогда мы имеем две системы значений коэффициентов: значения при ^ = 0 и значения при ^ + 0 .
На практике встречаются связи двух типов. Связи первого типа накладываются внезапно в момент времени ^ . Наложение таких связей фактически уменьшает число степеней свободы систем. При связях второго типа число степеней свободы системы остается постоянным. Исходя из такого деления, возникают задачи двух типов:
1) задачи, в которых на систему действуют заданные ударные импульсы, а наложенные связи конечны, т.е. не импульсные;
2) задачи, в которых на систему не действуют ударные импульсы активных сил, но имеются импульсные связи.
© Ершов В.Н., Ершов Н.В., 2014.
Основное уравнение движения системы приводим к виду
n
Y[mr \Ur - U r0 )-Pr ]AUr = 0 >
r=1
1 1 ь
где Рг = |N- составляющая импульса реакций. Величина т пренебрежительно мала, а
к
величины иг0 и иг обозначают значения скорости х' в моменты ^ = 0 и ^ + 0 .
Тогда значения скоростей и в момент времени ^ + 0, т.е. непосредственно после приложения импульсов, определяются из условия, что выражение
Т = — V т и - и - Р I
2 ^ ^ 0 т)
принимает минимум при скоростях допустимых в момент ^ + 0. Эта теорема аналогична принципу наименьшего принуждения Гаусса в случае конечных сил. Рассмотрим две задачи.
Задача 1. Четыре однородных стержня массы М и длины £ каждый, шарнирно связаны друг с другом по концам и образуют раму По одной диагонали этой рамы натянута легкая
нерастяжимая струна длиной £л/2, т.е. когда струна натянута рама имеет форму квадрата. Система движется по гладкой горизонтальной плоскости. Первоначально струна не натянута, но в момент времени ^ она натягивается. Требуется определить движение системы непосредственно после приложения импульса.
Рис. 1. Схема задачи
Обозначим скорости вдоль стержней V, Щ, и ,У . Запишем кинетическую энергию
стержня АВ. Он совершает сложное движение: поступательное - переносное со скоростью V и плоское - относительное движение. Тогда его кинетическая энергия будет равна
M,
^r ( 2 2
= —\u -uw + w +
6
3V2).
Аналогично и для других стержней системы. Тогда кинетическая энергия системы
Т = МЕ5^- V)2 + 5(у-У0)2 + 5(щ-Щ)2 + 5(и-и0)2 -2(и-иХ^-Щ)-2(Г-V,ХУ-У0)],
где V, Щ, и о, у о - значения скоростей непосредственно перед моментом натяжения струны.
Уравнение связи запишем в форме и -V + щ - у = 0. Это проекции скоростей по концам струны, которые должны быть равны.
Условия стационарности (минимум функции Т с учетом уравнения связи) дают
5и - w-(5и0 - ^ ) = А 5У-У-(5К0-у0 ) = А 5w - и-(5"^0 - и ) = А 5у-V-(5У0-К0 ) = А.
Из этих условий получаем
и - и0 = w - w0 =
V - К0 = = -,
А
4'
где А = -и0 + V - w0 +v0.
Задача 2. Пример импульсного движения непрерывных систем.
Рассмотрим однородную идеальную несжимаемую жидкость. Пусть имеются внешние и внутренние границы. Границы представляют собой либо твердые поверхности, либо деформируемые. В последнем случае их изменения должны происходить так, чтобы ограниченный ими объем оставался неизменным.
Если движение границ в некоторый момент ^ претерпевает разрыв (например жидкость в замкнутом сосуде была в покое, а затем сосуду сообщили резкий толчок), то движение жидкости тоже будет разрывным. Задача состоит в определении мгновенные изменения движения.
Обозначим составляющие вектора скорости д относительно неподвижной прямоугольной системы координат через и , V , W , а постоянную плотность жидкости р . В жидкости устанавливается импульсное давление т, подобно тому как в системе с конечным числом степеней свободы возникают импульсы связей. Основное уравнение принимает вид
| р{(и - и0 )Ди + (г - г0 )Дг + ^ - w0 )Дw}dт = | .
Через ди обозначена составляющая скорости вдоль внешней нормали. Символ Д обозначает конечное приращение, возможное в момент времени ^ + 0. Если направляющие косинусы внешней нормали обозначить через I, т , п, то правая часть уравнения будет иметь вид
дт 4 дт 4 дт 4 V г Г д „ д л ^
- [т(/Ди + тДу + nДw)dS = -П —Ди +—Ду + — Дw ^т-[т| —Ди +—Ду +—Дw
1 Эх 7 1 ^^ 7
ду
дz
дх
ду
д_ дz
dт.
Второй член правой части равенства равен нулю, т.к. divq = div(q + Дд) = 0. Тогда получаем
дт
/ \ дт
р(и - и0 )+--
дх
Ди +
дт
дт
Р^ - Vo
ду
Дv +
дт
дт
р^ - w0 )+--
дz
Дw жт = 0.
Это равенство справедливо для произвольных значений Дд, удовлетворяющих уравнениям divДq = 0, Дди = 0. Таким образом
/ \ дт
Р(и - и0 ) = ,
дх
/ \ дт
ду
р^ - wo )=-
дт
"дТ
Получили уравнения импульсного движения жидкости. Импульсное давление т связано с потенциалом скоростей возникшего движения соотношением
рф.
Из рассмотренного примера следует, что теоремы классической гидродинамики, доказываемые обычно с помощью теоремы Грина, могут быть получены из общих теорем теории удара.
Библиографический список
1. Сборник задач по теоретической механики / под ред. К.С. Колесникова. - М.: Наука, 1983.
2. Парс, Л. Аналитическая динамика / Л. Парс. - М.: Наука, 1971.
Дата поступления в редакцию 11.12.2014
V.N. Ershov1, N.V. Ershov2
IMPACT EFFECT ON COMPLEX SYSTEMS
Nizhny Novgorod state pedagogical university n. a. K. Minin1, Nizhny Novgorod state technical university n. a. R. E. Alexeev
Impact interaction consequences on complex systems are studied. A notion of pulse connections is introduced. Examples of various complex systems solutions using the impact theory methods and approaches are considered. Working knowledge is obtained.
Key words: complex systems, impact interaction, pulse connections, theory of impact.
