Последовательные минимумы решетки наследственных классов графов для задачи о реберном списковом ранжировании Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, № 4 (1), с. 133-136

УДК 519.17

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ МИНИМУМЫ РЕШЕТКИ НАСЛЕДСТВЕННЫХ КЛАССОВ ГРАФОВ ДЛЯ ЗАДАЧИ О РЕБЕРНОМ СПИСКОВОМ РАНЖИРОВАНИИ

© 2010 г. Д. С. Малышев

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского dsmalyshev@rambler.ru

Поступила в редакцию 20.04.2010

Изучаются минимальные по включению наследственные классы графов с КР-полной задачей о реберном списковом ранжировании, задаваемые небольшим количеством запрещенных порожденных подграфов.

Ключевые слова: минимальный сложный класс графов, задача о реберном списковом ранжировании.

Введение

В работе рассматриваются наследственные классы графов, т.е. множества графов, замкнутые относительно изоморфизма и удаления вершин. Любой наследственный класс графов X может быть задан множеством своих запрещенных порожденных подграфов 8, при этом принята запись Х=РУее(8). Минимальное по включению множество 8 с таким свойством существует, единственно и обозначается через ЕогЬ(Х). Если ЕогЬ(Х) конечно, то X называется конечно определенным, а если |,РогЬ(Х)|=к, то X называется к-определенным.

Пусть П - какая-нибудь КР-полная задача на графах. Наследственный класс графов называется П-простым, если задача П для графов из этого класса полиномиально разрешима, и П-сложным в противном случае. На протяжении всей публикации предполагается, что Р ^ КР, поэтому это условие не включается явно в формулировки полученных результатов. Таким образом, из КР-полноты задачи П в некотором наследственном классе следует, что этот класс является П-сложным.

Имея какую-нибудь задачу на графах П, можно попытаться выяснить структуру тупиковых наследственных классов графов по сложности решения задачи П. Речь идет о минимальных по включению П-сложных классах графов и о максимальных по включению П-простых. Последних не существует ни для одной КР-полной задачи П, поскольку к П-простому классу можно добавить граф, ему не принадлежащий, а также все порожденные подграфы добавленного графа и снова получить П-простой класс. Сложнее дело обстоит с минимальными

по включению сложными классами (называемыми в работе просто минимальными П-сложными). До недавнего времени никакой информации о минимальных сложных классах не было. В работе [1] были найдены примеры таких классов для задач о списковом ранжировании и примеры задач на графах, для которых минимальных сложных классов не существует. В диссертации [2] было выяснено, что все минимальные сложные классы из [1] не являются конечно определенными, и были указаны примеры таких конечно определенных классов.

Вместе с тем хотелось бы выяснить, как устроено множество минимальных сложных классов для задач о списковом ранжировании, определяемых наименьшим количеством запрещенных порожденных подграфов, затем определяемых следующим за наименьшим количеством таких подграфов и т.д. Настоящая работа содержит результаты такого рода для задачи о реберном списковом ранжировании.

Задача о реберном списковом ранжировании, поставленная в работе [3], является обобщением известной задачи о реберной списковой раскраске. Пусть заданы граф О с множеством ребер Е и множество Ь={Ь(е): еє Е}, где каждое Ь(е) - конечное множество натуральных чисел. Множество Ь(е) - цвета, в которые можно покрасить ребро е. Ь-ранжированием графа О называется такая раскраска с его ребер, что:

1. Для каждого ребра е выполняется условие с(е) є Ь(е).

2. Если с(е1)=с(е2), е1 Ф е2, то каждый путь, соединяющий е1 и е2, содержит такое ребро е3, что имеет место неравенство с(е3)>с(е1).

Задача о реберном списковом ранжировании (задача РСР) состоит в том, чтобы по данным О

и L определить, существует ли L-ранжирование графа G. Множество L будем называть палитрой [1]. Уточним, что под РСР-простым классом графов далее понимается такой наследственный класс, что задача РСР решается для графов из этого класса за полиномиальное время при любой палитре.

В данной статье доказывается, что существует единственный 1-определенный минимальный РСР-сложный класс - класс всех клик, а также что существует минимальный РСР-сложный класс, определяемый двумя или тремя запрещенными порожденными подграфами.

Обозначения для классов графов: Clique -класс клик; СBipartite - множество полных двудольных графов; THTree - класс деревьев высоты не более чем два; CBiparite(Ar) - множество полных двудольных графов, одна из долей которых содержит не более чем k вершин; Comet - класс деревьев, у которых существует вершина, инцидентная всем листьям, кроме, быть может, одного; Comb - множество деревьев со степенями вершин не более чем 3, для которых существует простой путь, содержащий все нелистовые вершины; Garland - класс графов, являющихся реберными к графам из Comb.

Вспомогательные результаты

Лемма 1. Класс dique является минимальным РСР-сложным.

Доказательство. Известно, что задача о реберном списковом ранжировании является NP-полной в классе всех графов [3]. Покажем, что задача РСР полиномиально сводится к той же задаче в классе Clique. Отсюда будет следовать, что данный класс является РСР-сложным.

Пусть G - произвольный граф с n вершинами и m ребрами, а L - назначение множеств до-

2

пустимых цветов его ребер. Добавим С n -m ребер к графу G. Множеству этих ребер произвольно поставим во взаимно-однозначное соот-

ветствие множество цветов {к+1, к+2,..., к+С п -- т}, где к - максимальный из цветов палитры Ь. Обозначим полученную палитру через Ь. Поскольку допустимый цвет каждого из добавленных ребер больше любого цвета из Ь, то Ь-ранжирование графа О существует тогда и только тогда, когда существует Ь -ранжирование графа Кп. Тем самым, имеет место указанное в первом абзаце сведение.

Покажем теперь минимальность класса всех полных графов. Действительно, взяв произ-

вольное натуральное 5, замечаем, что множество полных графов, не содержащих порожденного подграфа K5, является конечным, т.к. состоит в точности из 5-1 графов. Таким образом, класс Clique ^Free({K5}) является РСР-простым при любом 5. Поэтому данный класс является минимальным РСР-сложным. Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Класс CBipartite является РСР-сложным.

Доказательство. Известно, что в классе THTree задача о реберном списковом ранжировании является NP-полной [3]. Рассмотрим произвольное такое дерево G и палитру L. Оно, очевидно, является двудольным графом. Рассмотрим двудольное разложение дерева G=(V1 ^ V2, E). Добавим к G ребра, дополняющие этот граф до графа G = (V1 ^ V2, V1 х V2). Построим L - назначение допустимых цветов ребер графа G аналогично соответствующему построению из доказательства леммы 1. Ясно, что L-ранжирование графа G существует тогда и только тогда, когда существует L -ранжирование графа G . Поэтому задача РСР в классе деревьев высоты не более чем два полиномиально сводится к задаче РСР в классе СBipartite. Таким образом, класс СBipartite является РСР-сложным. Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Классы Comb и Garland являются классами с NP-полной задачей РСР.

Доказательство. Рассмотрим произвольный граф G, принадлежащий классу Comet, а также палитру L. Для некоторого i данный граф получается отождествлением вершины степени i графа K\i с одной из концевых вершин простого пути Pk. Сформируем новый граф G следующим образом. Рассмотрим путь Pk+i и пронумеруем в порядке следования его ребра. Ребра этого графа, начиная с (і+1)-го, соответствуют в порядке следования ребрам пути Pk графа G. Добавим к графу Pk+i і вершин (которые пронумеруем числами от 1 до i) и столько же пронумерованных ребер. Для любого 1 ^ 5 ^ i добавленное ребро с номером 5 инцидентно добавленной вершине с тем же номером и смежно с 5-м и (5+1)-м ребрами пути Pk+i. Данные i ребер произвольным образом поставим во взаимно-однозначное соответствие с ребрами подграфа K1,i графа G. Рассмотрим L - назначение множеств допустимых цветов ребер графа G . Все ребра этого графа, соответствующие ребрам графа G, получают допустимые цвета из L, ум-

ноженные на i+1. Оставшемуся множеству из i ребер произвольным образом биективно сопоставляется множество {1, 2,.. .,i}.

Легко проверить, что L-ранжирование графа G существует тогда и только тогда, когда существует L -ранжирование графа G . Таким образом, задача РСР в классе Comet полиномиально сводится к той же задаче в классе Comb. Вместе с тем задача о реберном списковом ранжировании является NP-полной в классе графов Comet. Поэтому задача РСР в классе графов Comb имеет тот же сложностной статус.

Для доказательства NP-полноты задачи РСР в классе графов Garland достаточно заметить, что любой граф из этого класса получается добавлениями ребер к некоторому графу класса Comb, и провести рассуждения, аналогичные рассуждениям лемм 1, 2. Лемма 3 доказана.

Легко проверить, что справедливо следующее утверждение.

Лемма 4. Множество Forb(CBipartite) совпадает с множеством {С3, K2 ® K1}.

Основные результаты

Теорема 1. Класс dique является единственным минимальным РСР-сложным, определяемым одним запрещенным порожденным подграфом.

Доказательство. Пусть G - произвольный

граф. Если G не является полным и G ^ K2 , то Free({G}) з Clique. В этом случае класс Free({G}) не является минимальным РСР-сложным. Если G является кликой, отличной и от K1 и от K2, то Free({G}) содержит класс THTree. Поэтому он не является минимальным. Если G=K1 или G=K2, то Free({G}) - множество пустых графов, поэтому данный класс является

РСР-простым. Наконец, если G= K2 , то Free({G})=Clique. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Множество 2-определенных минимальных РСР-сложных классов либо пусто, либо состоит из одного класса СBiparite.

Доказательство. Предположим, что существуют 2-определенные минимальные РСР-сложные классы, отличные от 2-определенного РСР-сложного класса СBiparite. Пусть X - такой класс. Понятно, что для некоторого 5>2 граф K5 принадлежит множеству Forb(X) и что

K2 £ Forb(X) (т.к. в противном случае X либо является РСР-простым, либо не является мини-

мальным РСР-сложным). Таким образом, Forb(X)={Ks,G}, где G отличен от полного графа. Граф G не может быть пустым, т.к. иначе из теоремы Рамсея следовала бы конечность класса X, т.е. этот класс был бы РСР-простым. Понятно, что G є THTree n СBipartite, т.к. в противном случае либо X з CBipartite, либо X з THTree. Поэтому граф G изоморфен графу K1p, гдеp>1. Возможны следующие случаи:

1. p=2. Легко проверить, что все компоненты связности любого графа из класса Free({Ks,K12}) являются кликами с не более чем s-1 вершиной. Поэтому данный класс будет РСР-простым.

2. s=p=3. Очевидно, что каждая компонента связности любого графа класса Free({K3,K13}) является либо простым циклом, либо простым путем. Отсюда и из теоремы 2 работы [1] следует, что этот класс является РСР-простым.

3. s> 4. Поскольку X з X n n Free({C4})з Comb, то из леммы 3 следует, что класс X n Free({C4}) является РСР-сложным. Поэтому X не является минимальным.

4. p > 4. В этом случае справедливы

включения Xз XnFree({C4}) з Garland,

поэтому из леммы 3 следует, что X n n Free({C4}) является РСР-сложным.

Таким образом, во всех случаях мы заключаем, что X не будет минимальным РСР-сложным. Получаем противоречие с предположением. Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Существует минимальный РСР-сложный класс, определяемый двумя или тремя запрещенными порожденными подграфами.

Доказательство. Если CBipartite является минимальным РСР-сложным, то из леммы 4 будет следовать справедливость доказываемого утверждения. В противном случае существует такое s, что класс CBiparite(s-1) является РСР-простым, а класс СBipartite(s) является РСР-сложным. Легко проверить, что СBipartite(s)=Free({C3,K2 ©K1,Ks+1,s+1}). Для любого фиксированного Gє СBipartite(s) каждый из графов класса СBipartite(s) n Free({G}) является полным двудольным и имеет не более чем max(| V(G)|,s) вершин в каждой из долей. Поэтому класс СBipartite(s)nFree({G}) является конечным, а следовательно, РСР-простым. Таким образом, класс СBipartite(s) n Free({G}) является 3-определенным минимальным РСР-сложным классом. Теорема 3 доказана.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ, код проекта 10-01-00357-а и при поддержке лаборатории «Тапрадесс» (код проекта 61.1) НФ ГУ-ВШЭ.

Список литературы

1. Малышев Д.С. О минимальных сложных классах графов // Дискретный анализ и исследование операций. 2009. Т. 16. №6. С. 43-51.

2. Малышев Д.С. Исследование границ эффективной разрешимости в семействе наследственных классов графов: Дисс ... канд. физ.-мат. наук по специальности 01.01.09 - «Дискретная математика и математическая кибернетика». Нижний Новгород, 2009. 113 с.

3. Dereniowski D. The complexity of list ranking of trees // Ars Combinatoria. 2008. V.86. P. 96-114.

SEQUENTIAL MINIMA OF THE LATTICE OF HEREDITARY CLASSES OF GRAPHS FOR AN EDGE

LIST-RANKING PROBLEM

D.S. Malyshev

The minimal under inclusion hereditary classes of graphs with NP-complete edge list-ranking problem assigned by a small number of forbidden induced subgraphs are studied.

Keywords: minimal hard class, edge list-ranking problem.