Последовательная запись наложенных голографическихструктур в фотополимерных композиционных материалахс учетом фотоиндуцированного поглощениян Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 535.33:535.417:773.93

Е.А. Довольное, C.B. Устюжанин, С.Н. Шаракгович

Последовательная запись наложенных голографических структур в фотополимерных композиционных материалах с учетом фотоиндуцированного поглощения

Представлена теоретическая модель последовательной записи наложенных голографических дифракционных структур пропускающего и отражающего типов в фотополимерных композиционных материалах с учетом фотоиндуцированного изменении оптического поглощения. На основе численного моделирования исследована временная динамика амплитуд пространственного профиля, дифракционной эффективности и угловой селективности записываемых наложенных фазовых дифракционных структур.

Введение

В последнее время пристальное внимание исследователей обращено к голографическому методу создания фотонных кристаллов и управляемых периодических дифракционных структур с нанораамерами в связи с их применением в области оптической связи и обработки информации. К данному направлению относятся и исследования голографической записи наложенных дифракционных структур <ДС) в фотополимерных композиционных материалах (ФПКМ) с инертным компонентом (жидкие кристаллы (ЖК) или наночастицы) [1,2].

Инертным компонентом в ФПКМ является компонент композиции, который не участвует в процессе полимеризации, но, диффундируя во время процесса записи, изменяет модуляцию показателя преломления. При ярко выраженной диффузии инертного компонента в композите в первом приближении его пространственное распределение вдоль вектора решетки повторяет профиль самой ДС, что позволяет создавать периодические структуры наноразмер-ных массивов ЖК или наночастиц.

Целью данной работы является обобщение теории нелинейных диффузионно-фотополи-меризационных процессов формирования неоднородных ДС в ФПКМ при выраженном фо-тоиндуцированном поглощении (ФИП) [3] на задачу последовательной записи наложенных голографических дифракционных структур (НГДС) в ФПКМ в условиях углового мультиплексирования [4].

Основные уравнения голографической записи НГДС

Принцип последовательной голографической записи НГДС показан на рис. 1. Дифракционные структуры записываются последовательно с различающимися углами схождения записывающих лазерных пучков 9; и углами наклона Ч^ векторов решетки К^.

Рассмотрим формирование }-й НГДС. Пусть две плоские когерентные монохроматические световые волны с амплитудами Е^ , Е[ и волновыми векторами к(, и к{ распространяются под углами и 6| (соответствующие углы в воздухе %, 6|, рис. 1) внутри плоского поглощающего фотополимерного слоя (0 < у <й) в плоскости ХОУ (см. рис. 1).

Запишем выражение для распределения интенсивности интерференционной картины светового поля в ФПКМ с учетом ФИП:

Рис. I. Геометрия записи НГДС

/>(*,г) = /¿(i,*,0)[l + m'(f,*,y)-cos(K'j -г)],(1)

где = [1°Ч1,Х,У) + 11>ц,х,у)} , = , 11>{1,х,у) =

=/((х)е~1*<<'*'!/)у/':08С)' — Для пропускающей геометрии записи (ПГ); 11'^>х,у) =

=— для отражающей геометрии записи (ОГ); //(*) = |^(х)|2;

а(1,х,у)~ коэффициент поглощения ФПМ; т'Ц, х,у) = у)11'Ц,х,у) - (е, е0):

: + — локальный контраст интерференционной картины; е, — вектор

поляризации; К{ = - к{, ; — номер наложенной решетки; = й • ^, к - та/с — волновое число, — нормаль к волновому фронту, I = 0, 1 — номер пучка, п — показатель преломления; г — радиус-вектор.

Коэффициент поглощения а(£, х,у) в (1) с учетом его фотоиндуцированного изменения представим в виде [3]

a(f, х,у) =

а2 + ot| ехр a2 + ctiехр

W W

cos 9,

t

cos 90

для

cos 9n

У + то

cos 8,

ПГ; для 0Г,

(2)

где Iin (лг) = /j (x) / /imax— нормированные распределения записывающих световых пучков I,тлх = тах[/( (*)], где i = ОД; та = /1тах /I0max; а3 = asub ; aL = «оЛГ0; Га = (va0/0moxL)"' К0 — начальная концентрация красителя; а0 — поглощение одной молекулы красителя ф — квантовый выход красителя.

Под воздействием светового излучения в ФГГКМ в результате пространственно неоднородного процесса радикальной фотополимеризации согласно распределению интерференционной картины светового поля (1) происходят локальные изменения показателя преломления, приводящие к формированию фазовой голо графической решетки. Этот процесс в ФПМ с красителем-сенсибилизатором можно описать в общем виде с помощью кинетических уравнений для концентрации мономера М<т,г) и показателя преломления п(т,г), записанных для случая произвольной степени нелинейности процесса фотополимеризации k [4]:

дМ ................

(3)

Э*

= div (D(M) grad М) - ft[/(f, r)f M ,

^ - Snph[l(t,T)f + div( i)(M)grad^-

(4)

где 5пр , 5п1Г — параметры модели, характеризующие изменение п вследствие полимеризации и диффузии компонентов материала [3] соответственно; М„ — начальная концентрация мономера; А — коэффициент, зависящий от внутренних параметров материала [3].

Выражение для фотоиндуцированного изменения коэффициента диффузии Л(М) в (3)-(4) представим аналогично [3]:

D(M) = Dm ехр

-s

1

м.

(5)

где От — начальное значение коэффициента диффузии; 8 — параметр, характеризующий скорость его изменения.

Решение задачи формирования НГДС в ФПКМ будем искать в общем виде как сумму нулевых и первых гармоник НГДС концентрации мономера и показателя преломления:

№ 1

м(т.г) Л2 2м/КгК"к1г

N 1

п (т, г) = *41 + i 2 2 Mi ft, г) e-,lK>r + к. е., * j-i1-0

где М/(т,г), л, (т,г) — амплитуды первых = 1) и нулевых (I = 0) пространственных гармоник концентрации мономера и показателя преломления /-Й НГДС; пз1 — значение показателя преломления ФПМ при ¿-0;т = £/7^ — относительное время; Т^ — время диффузии мономера; N — количество наложенных ДС.

Аналитическое решение

Ввиду того что запись НГДС является последовательной, решение для каждой НГДС можно находить аналогично одиночной ДС [3], но с учетом изменившихся начальных условий для концентрации мономера, а время оставить текущим. Методика решения кинетических уравнений фото полимеризации для одиночной ДС с учетом ФИП приведена в [3]. Подставляя в систему кинетических уравнений записи (3)-(5) общее решение (6) и выражения (1), (2) и используя данную в [3] методику, получим систему связанных кинетических дифференциальных уравнений для амплитуд нулевых и первых гармоник концентрации мономера М{ (т, л:, у) и показателя преломления п\ (т, х, у):

\

Ш>

дх

2-= (1 + 1>)М< +

кт*

дт ' М„ 2 Мп\ь>

(7)

\

- М = Ь'тМ{ + £ 1>п [ктЩ +(1 + 1.51/) М[ ],

дг

М я и М1

-ТГ = -Г

Л м.

2к . + 5 п„ — Л„

р у Оп

м„ V >

м{

м„

(8)

где М/ = М/(т,х,у), п\ = п{(х>х>у), I = 0,1; & = Т'р /Т^ , = 1/(К{2Эт) — время диффузии;

— относительное время для каждой НГДС; К( — волновое число первой гармоники У-й решетки, К{ Т^, = 1г~1М'п /(/¿о)* — время полимеризации; 1'0п =

- 11п{х, х,у) = 1'0(х,х,у) / 1'т — нормированная суммарная интенсивность записывающих пучков; /¿о = /¿тах +Л'тах ; Ь> = П(х,х,у) = Цк~1)т>г{х,х,у)/4 ; Ь{т = Ь'т(т,х,у) = = ехр[-,?(1 - х,х,у) + Ь((т,х,у))/Мга)] .

Следует отметить, что амплитуды гармоник показателя преломления в формуле (8) в дальнейшем будем представлять в виде п/ (т) = п'р1 (х) + п[с , (т), где первое слагаемое характеризует вклад фотополимеризационного (при 5лр), а второе — диффузионного (при 6л((.) механизмов записи [3].

Используя начальные условия М^(т = т'¡,х,у) = м1~1(х'г,х,у), п^(х - х'() = 0 , М/(т = =

- 0 , л/(х = т}) = 0 , получим решения систем (7), (8):

^¿(т,х,у) = Мпр(х,х,у), пЪ(х,х,у) = 6пр {1 - р(х,х,у)};

М{(т,х,у) = -М„Дх,х,у), п[ (х,х,у) = п[р(х,х,у) + п\и(х,х,у),

(9) (Ю)

где (г, х, у) = 8п(С ]" /(т', х, (х', х, у) йх ;

4

т

п(р(т, х, у) = 5 пр — 1 ¡¿п (т', х, у)

кр{х',х,у)

\-1

(тЧт'.х^))'1 (1 + 1,52/(г',*,«/))"'

Л'

р(^х,у) = exp

~ /(1 + Ь>(т,х,у)Щп^',х,у)йл.

>* 1

f(z,x,y) = ~jk\p(T\x,y)ml{x,x,y)Ii<in(t\x,y)bim (т,т\x,y)dx; b'

b!m {г,\',х>у) = exp

-1

b'm (т", *, y) + i- /¿, (t', x,») (1 +1, bli (%■, x, y)) b

di*

Ь'т(т,х,у) = ехр(-в(1 - р{х,х,у)]); х; — время окончания записи предыдущей решетки; х'( —

время записи НГДС, причем для первой решетки (/ = 1) = О , 0) = Мп , «¿(0) = О •

Выражения (6), (9), (10) описывают процесс записи НГДС пропускающего и отражающего типов в ФПКМ пучками с произвольными амплитудными профилями с учетом фотоиндуци-рованного изменения поглощения, диффузионно-фотополимеризационного процесса формирования ДС.

Численное моделирование

Как видно из полученного решения для последовательной записи НГДС в ФПКМ, фото-индуцированное поглощение приводит к тому, что пространственные профили каждой НГДС являются различными ввиду неравномерного, изменяющегося во времени распределения излучения в материале и соответственно неравномерного и изменяющегося во времени расхода мономера и красителя [3]. Таким образом, каждая следующая НГДС записывается с учетом неравномерных по глубине распределений мономера и красителя, оставшихся после записи предыдущей НГДС. Причем, как было показано в [3], фотоиндуцированное изменение поглощения приводит степень неравномерности пространственного распределения п{ (х,х,у) и дифракционных характеристик к некоторому среднему между случаем с постоянным поглощением и случаем без поглощения. Чем сильнее выражено ФИП, тем ближе дифракционные характеристики к случаю без поглощения, и наоборот.

Следует отметить, что для процускающей геометрии при двух НГДС с достаточно большой эффективностью первая ДС будет иметь спадающий по глубине профиль, а вторая — возрастающий. Таким образом, данные НГДС можно считать физически разнесенными по глубине материала.

Вследствие неравномерности пространственного распределения показателя преломления численное моделирование и сравнение НГДС следует проводить по интегральным дифракционным характеристикам. Так, дифракционная эффективность т^ позволяет учесть неравномерность пространственных профилей амплитуд первых гармоник НГДС [4].

Учитывая, что для НГДС на практике не превышает 20 %, зависимость интенсивности дифрагированного пучка при считывании от относительной брэгговской расстройки с учётом процессов, протекающих в ФПМ, будет иметь вид

/ц(Д) =

'и -

X /Gi(6, )J «{(-с,у) ехр(/(Д - Д( )y)dy

¿=1

(11)

где G{ = тс / XcosQ,-; 6f — угол записи i-й голограммы в фотополимере; d — толщина фотополимера. Относительную брэгговскую расстройку Д можно пересчитать в длину оптической волны или угол наклона ФПКМ [4].

На рис. 2 приведены графики кинетики дифракционной эффективности НГДС T]d(t) с равным временем записи каждой НГДС (рис. 2,а) и при равной эффективности дифракции каждой НГДС (рис. 2,6). Сплошной линией показана кинетика формирования НГДС во время записи до ее остановки, а пунктирной — ее возможное продолжение, т.е. если бы запись НГДС продолжилась. Для расчетов приняты следующие значения параметров: Сп~ 1, m0- 1, b = 5, a2d = 0 Нп, atd = 3 Нп, d = 85 мкм, s = 0, &пр = 0,004.

0 3 6 9 ]2 15 т, отн. ед.

0 3 6 9 12 1, отн. ед.

Рис. 2. Дифракционная эффективность при равных временах записи

Из рис. 2 видно, что при записи каждой следующей НГДС кинетика становится более затянутой, т.е. за одинаковое время записи решетка достигает меньшей эффективности (рис. 2,а) либо для достижения той же эффективности требуется большее время. Затягивание кинетики обусловлено увеличением времени полимеризации (увеличение 6) каждой следующей НГДС вследствие уменьшения концентрации мономера. Эффективность каждой последующей НГДС уменьшается экспоненциально, а скорость уменьшения пропорциональна времени записи каждой НГДС.

Основным требованием к НГДС для мультиплексоров / демультиплексоров является равенство их эффективностей. Для получения равных эффективностей каждой НГДС для каждой следующей НГДС выбрано соответствующее время записи. Увеличение времени записи каждой следующей НГДС обусловлено уменьшением концентрации мономера, приводящей к увеличению времени полимеризации (Ь = Тр / Тт растет) и, как следствие, увеличению вклада диффузии в формирование ДС [3]. Таким образом, увеличение вклада диффузионного механизма в формирование НГДС приводит к тому, что для достижения заданной величины амплитуды первой гармоники требуется меньше мономера для каждой последующей НГДС за счет диффузии мономера из темных областей в светлые.

На рис. 3 приведены сводные результаты расчетов последовательной записи НГДС в ФПКМ с равными эффективностями дифракции. На рис. 3,а показана зависимость эффективности дифракции НГДС от количества записываемых НГДС Г|й(Л0. Видно, что зависимость является существенно нелинейной.

1 г* _ 1. _ 4 1 _ Л. _ _ 1 .4 . . _!.-».___ 1. _ < 1 1 1 < 1 ____1 _ *

8 - 1. 1 1 1 1 1 1. 1 . 1 1 1 I 1 I 1 ъ 1 1 чЮ

8 ол о 1 1 1 1 1 1 я

£ 1 1 1 о .

* ■о сг .... 1 1 • 1 Г * ; т 1 1 1 ( 1 1 1 ь> 1

0.01 \ 1 . » • 1

) 2 4 6 8 10

А

-г*-

8 10

<4 отн. ед.

0 2 4 6 тЛ', отн. ед.

а б

Рис. 3. Дифракционная эффективность и времена записи при равных г^

Дополнительные расчеты показали, что зависимость имеет аналогичный характер для всей области параметра Ь, только с увеличением Ъ происходит рост максимума (эффективности одной ДС) и рост скорости спада. Этот результат говорит о том, что амплитуда НГДС при записи с равной амплитудой не равна амплитуде одиночной ДС, деленной на количество

записываемых НГДС. Следует отметить, что для b > 1 амплитуда одиночной ДС более чем в два раза превосходит амплитуду двух НГДС.

На рис. 3,6 показаны зависимости времени записи каждой НГДС для случаев, представленных на рис. 3,а. Видно, что время записи каждой последующей НГДС больше, чем для предыдущей, причем зависимость имеет нелинейный характер. Из рис. 3,6 следует, что, чем больше количество записываемых НГДС, тем меньше отличаются времена записи предыдущей и последующей НГДС, т.е. с увеличением количества записываемых НГДС наклон кривой уменьшается.

Как показало численное моделирование для исследуемой области параметра b > 1, без учета ФИП прогнозируемая дифракционная эффективность является завышенной, например для двух НГДС — в 1,06 раза, а для 10 НГДС — в 1,5 раза. Погрешность оценки времен записи НГДС без учета ФИП составляет от 10 до 75%, причем погрешность существенно изменяется с номером записываемой НГДС.

Заключение

Разработана математическая модель последовательной записи наложенных голографичес-ких дифракционных структур пропускающего и отражающего типов в фотополимерных композиционных материалах с учетом произвольной степени нелинейности фотополимеризации, контраста интерференционной картины при произвольном соотношении полимеризационного и диффузионного механизмов записи и фотоиндуцированного поглощения. На основе разрабо-\ танной модели исследована временная кинетика дифракционной эффективности первых гармоник НГДС от количества НГДС и времен записи каждой НГДС.

Показано, что для записи НГДС с равными амплитудами требуется увеличение времени записи каждой последующей НГДС по нелинейной зависимости. Установлено, что в поглощающих ФПКМ происходит увеличение вклада диффузионного механизма в формирование НГДС. &го приводит к тому, что для достижения заданной дифракционной эффективности требуется меньшее количество мономера для каждой последующей НГДС за счет диффузии мономера.

Как показало численное моделирование для исследуемой области параметра b > 1, без учета ФИП прогнозируемая дифракционная эффективность является завышенной, например для даух НГДС — в 1,06 раза, а для 10 НГДС — в 1,5 раза. Погрешность оценки времен записи НГДС без учета ФИП составляет от 10 до 75 %, причем погрешность существенно изменяется с номером записываемой НГДС.

Представленная работа выполнена в рамках проекта РНП 2.1.1.2097 программы «Развитие научного потенциала высшей школы на 2006-2008 гг. » и гранта Президента Российской Федерации 2007 года № МК-3007.2007.2.

Литература

1. Multiplexed holographic transmission gratings recorded in holographic polymer-dispersed liquid crystals: static and dynamic studies / S. Massenot, J. Kaiser, M. Perez, R. Chevallier, J. de Bougrenet de la Tocnaye // Appl. Opt. - 2005. - V. 44. - P. 5273-5280.

2. Gorkhali S.P. Switchable quasi-crystal structures with five-, seven-, and ninefold symmetries / S.P. Gorkhali, J. Qi, G.P. Crawford // J. Opt. Soc. Am. B. - 2006. - V. 23. - P. 149-158.

3. Довольной E.A. Формирование пропускающих и отражающих голографических дифракционных решеток в фотополимерах при фотоиндуцированном изменении поглощения / Е.А. Довольнов, C.B. Устюжанин, С.Н. Шарангович // Известия вузов. Физика. - 2006. -Т. 49. 10. - С. 81-89.

4. Holographic recording of superimposed gratings by angle multuplexing in photopolymers with light induced changing of optical absorption/ S. Sharangovich, V. Kuznechov, V. Shelkovnikov, E. Pen // Proc. SPIE «Holography, Diffractive Optics, and Applications Н». - 2005. - Vol. 5636. -P. 802-811.

Довольное Евгений Андреевич

Доц. каф. сверх высокочастотной и квантовой радиотехники ТУСУРа

Тел.: (3822) 41 36 43

Эл. почта: dea@svch.rk.tusur.ru

Устюжанин Сергей Владимирович

Аспирант каф. сверхвысокочастотной и квантовой радиотехники ТУСУРа

Тел.: (3822) 41 36 43

Эл. почта: shr@svch.rk.tusur.ru

Шарангович Сергей Николаевич

Зав. каф. сверхвысокочастотной а квантовой радиотехники, ст. науч. сотрудник ТУСУРа

Тел.: (3822) 41 36 43

Эл. почта: shr@svch.rk.tusur.ru

Е.А. Dovolnov, S.V. Ustyuzhanin, S.N. Sharangovich

Serial record of superimposed holographic structures in photopolymer composite materials with allowance photoinduced absorption

In the paper we present theoretical model of serial record of superimposed holographic structures of transmission and reflected geometry in photopolymer composite materials with allowance photoinduced optical absorption. Based on results numerical solving we investigate time dynamics of amplitudes spatial profile, diffraction efficiency and angle selectivity of recorded diffraction structures.