CC BY
10
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Скороход Г.1. Пошук методу розв'язання навчальноУ задач'1 на 6a3i i'i'типу//Ф'!зико-математична осв'та : науковий журнал. - 2017. - Випуск 4(14). - С. 289-292.
Skorokhod Georgiy. Search For A Solution To A Learning Problem Based On Its Type // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2017. - Issue 4(14). - Р. 289-292.
УДК 372.851
Г.1. Скороход
Дн'тровський нац1ональний унверситет ¡меш Олеся Гончара, УкраУна
gskorokhod@yahoo.com
ПОШУК МЕТОДУ РОЗВ'ЯЗАННЯ НАВЧАЛЬНО! ЗАДАЧ1 НА БАЗ1 И ТИПУ
Анотац'1я. У роботi розглядаеться один тип задач, а також пропонуеться структура база даних для допомоги у розв'язанн навчальних задач, основана на визначеннi типу задачi, та методика користування цею базою.
Тип задач: дан два р'зних представлення одного й того самого об'екту, одне з представлень (або обидва) м>стить нев'домий елемент, який i треба визначити.
Методи розв'язання такоУзадач такого типу: метод 1. Звести одну з форм до iншоУi шляхом з>ставлення визначити не&домий елемент, метод 2. Визначити власти^сть т'е'У форми запису числа, яка не мае нев'домого елементу, i перенести цю властив!сть на другу форму. На базi того, що друга форма мае таку властивсть, визначити невiдомий елемент,
метод 3. Виходячи з того, що рiвнiсть f(a)=g(a; А,В) е тотожшстю одержати при будь-яких обраних значеннях a1, a2 систему р>внянь водносно А та В та розв'язати i'i.
Розглянут '1 клька приклад'в задач такого типу та клька питань, пов'язаних з таким типом задач та методами Ух розв'язання.
Для допомоги учнев у пошуку методу розв'язання задачi пропонуеться створити програмне забезпечення у виглядi бази даних, яка включае наступн взаемопов'язан поля: 1) типи задач, 2) методи розв'язання задач кожного типу, 3) база знань для задач даного типу, 4) приклади задач, розв'язаних кожним методом, 5) математичн об'екти i властивост'1 кожного об'екта, 6) особливостi постановок задач, як використовуються в методах Ух розв'язання.
Запропонована методика використання такоУ бази даних.
Ключовi слова: тип задач '!, метод розв'язання задач '!, база даних, форми представлення об'екту, тотожшсть.
Навчання шляхом розв'язання задач е основним методом в математик, i не ттьки в Hin. Фактично кожен навчальний курс нацтений на засвоення бази знань (понять науки, и об'емчв i 'ix властивостей) i на Тх застосування до розв'язання задач.
На наш погляд, первинним при розв'язанш навчальних задач е тип задачк Вш поеднуе в m6i тип об'екта задачi i вимогу до цього об'екта та мае узагальнювати постановку задачк
У статт [1] видмеш 22 типа математичних задач, наведет методи Тх розв'язання та приклади. У цш робот розглядаеться ще один тип задач, а далi пропонуеться структура база даних для допомоги у розв'язанш навчальних задач та проста методика користування щею базою.
Викладання типу почнемо з розв'язання конкретних задач, а потм запропонуемо формулювання загального типа цих задач та методiв Тх розв'язання. Саме таким шляхом вщ частинного до узагальнення краще i навчати учшв.
Задача 1. У рiвностi 35 = 2 y 3 визначити, яка цифра мае стояти зам^ь букви y.
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Суть задачi в тому, що: 1) одне й те саме число представлено двома рiзними способами: у формi степеню та у десятковш позицiйнiй системi, 2) одна з форм мiстить невщомий елемент, який треба визначити.
Розглянемо кiлька методiв розв'язання такоТ задачк
Метод 1 (перетворити форму представлення). Обчислити, що 35 = 243 ( тобто звести форму без невщомоТ до шшоТ) i шляхом з^авлення визначити, що у=4. Скорш за все, у бiльшостi випадмв це зробити важко.
Метод 2 (використати властивост об'екту). Визначаемо властивiсть леТ форми запису числа, яка не мае невщомого елементу: 35 дiлиться на 3. Таку ж властив^ь потрiбна мати i друга форма. Признак подтьносл на 3 числа, записаного у десятковш позицшнш систему складаеться в тому, що сума його цифр дтиться на 3. Таким чином, 2+у+3=5+у мае дтитися на 3. Це можливо, коли у=1 або 4. Очевидно, що поставлена задача мае единий розв'язок, тобто задача ще не розв'язана, i ТТ не можна розв'язати перебором одержаних варiантiв.
Тодi шукаемо iншу властивiсть форми 35: це число дiлиться на 9. Признак подтьносл на 9 числа, записаного у десятковш позицшнш систему складаеться в тому, що сума його цифр дтиться на 9. Число 5+у дтиться на 9 лише при у= 4. Единий розв'язок одержано.
Очевидно, що коли б задача була поставлена вщносно, наприклад, числа 317, то застосувати метод 2 було б суттево легше i красивее.
Задача 2. Розв'язати рiвняння
а2"'2- а2х~3=(а-1)х~1/2, а - будь-яке натуральне число.
Розв'язання. За методом 1 зводимо форму лiвоТ частини до форми правоТ i порiвнюемо однаковi елементи. Одержуемо два рiвняння вiдносно х, кожне з яких мае розв'язок х =3/2:
а2х'3(а-1)=(а-1)х'1/2,2х-3 =0, х-1/2 =1, х =3/2.
На вщмшу вiд попередньоТ задачi, у цьому рiвняннi невiдома присутня в обох частинах рiвняння, i саме в такш формi зручно було Тх порiвнювати.
Задача 3 (узагальнення задачi 2). Визначити значення параметрiв А, В, за яких рiвнiсть /(а)=д(а; А,В) е тотожшстю при будь-якому а.
Метод 3 (для розв'язання задачi 3). Розв'язати систему рiвнянь водносно А та В:
/М=д(а1; А,В), /М=д(а2; А,В),
при будь-яких обраних значеннях а1, а2.
Приклад задачi 3 наведений нижче.
Задача 4. Визначити п, якщо п!=215 *36 *53 *72 *11*13.
Розв'язання. За методом 2 порiвнюемо властивостi правоТ та лiвоТ частин i робимо висновки вщносно п. Права частина м^ить такi простi числа, як 11 та 13, але не мiстить 17. Тодi 13 < п < 16. За ктьмстю множникiв 2 у п! встановлюемо, що п = 16.
Сформулюемо узагальнений тип таких задач.
Тип 23: дан два рiзних представлення одного й того самого об'екту, одне з представлень (або обидва) м^ить невщомий елемент, який i треба визначити.
Узагальнимо тепер методи розв'язання такоТ задач такого типу.
Метод 1. Звести одну з форм до шшоТ i шляхом зiставлення визначити невщомий елемент.
Метод 2. Визначити властив^ь леТ форми запису числа, яка не мае невщомого елементу, i перенести цю властивiсть на другу форму. На базi того, що друга форма мае таку властив^ь, визначити невщомий елемент.
Метод 3. Виходячи з того, що рiвнiсть /(а)=д(а; А,В) е тотожнiстю одержати при будь-яких обраних значеннях а1, а2 систему рiвнянь водносно А та В та розв'язати ТТ.
Розглянемо ктька питань, пов'язаних з таким типом задач та методами Тх розв'язання:
1) пщ тип 23 можна шдвести i задачу розв'язання рiвняння /(х)=0: злiва форма представлення нуля, яка м^ить невщомий елемент, злiва - сам нуль. Взагал^ оскiльки рiвняння/(х)=д(х) вiдображае той факт, що одне й те саме число представлено у двох рiзних формах /(х) та д(х), то задача розв'язання рiвняння е частинним випадком задачi типу 23, а метод 1, навпаки, е частинним випадком методу рiвносильних перетворень рiвняння. Наприклад, застосовуючи метод 1 до рiвняння 2х+3=5, праву частину можна привести до форми лiвоТ: 2х+3=2+3, далi зробити вивiд, що 2х=2, х=1. Але взагалi рiвняння розв'язуються не таким штучним прийомом, а за правилами рiвносильних перетворень. Пщкреслимо, що перетворення об'екту е одним з головних методiв розв'язання як рiвнянь, так i задач типу 23 та багатьох шших тишв [2].
2) задачу 1 вдалося розв'язати методом 1 тому, що ми знаемо, як форму 35 звести до форми 243. А в задачi 2 функци, що стоять в обох частинах рiвняння, вщносяться до одного класу, тому вдалося одну з них привести до виду шшоТ. Аналопчно рiвняння/(х)=д(х) ми можемо розв'язати, коли/(х) та д(х)- функци одного класу, наприклад, многочлени, i то, не завжди. Але рiвняння ех=х+1 ми можемо розв'язати тшьки наближено або замiнивши за формулою Тейлора функ^ю ех многочленом, тобто функ^ею того ж класу, що i функцiя х+1,
або замшивши анал1тичш форми функцш двох р1зних клас1в представленнями цих функцш в одн1й i тш сам1й граф1чн1й формi.
3) метод невизначених коефiцieнтiв при розв'язаннi рiзних задач зводить задачу до задачi типу 23; його можна трактувати як частинний випадок методу 1, ттьки невщомих елементiв (коефiцieнтiв) вже демлька. Наприклад, якщо на базi тих фактiв, що сума 1+2+...+ n е многочленом другого ступеня, а сума 12+22+... +n2 е многочленом третього ступеня [3], сформулювати ппотезу, що сума 13+23+...+ n3 е многочленом четвертого ступеня, тобто,
13 + 23 +...+ n3 = An4 + Bn3 + Cn2 + Dn + E, (1)
то задача обчислення коефiцiентiв A, B, C, D, E е задачею типу 23, а Ухш значення можна одержати за методом 3 iз системи лшшних рiвнянь, сформовано! з (1) при n = 1, 2, 3, 4, 5.
Перехщ в рiвностi (1) вщ лiвоï частини до правоУ можна трактувати також як задачу перетворення форми представлення об'екту, а саме, представити суму в лiвiй частит (1) у формi многочлена. Цей тип задач на перетворення об'екту розглядався у статтях [1, 2] при рiзних варiантах, коли два з трьох елеменлв Н, П, К постановки задачi вщом^ а третiй треба знайти (Н, К - початковий та мнцевий стани об'екту вiдповiдно, П -послщовшсть операцiй перетворення Н в К). З точки зору перетворення у рiвняннi (1) вщомий початковий стан ^ва частина рiвняння), задана структура кiнцевого стану з невщомими елементами A, B, C, D, E, i треба визначити ц коефiцiенти.
Вiдмiтимо, що така знайома за формулюванням ще з початковоУ школи задача як «Спростити вираз» е задачею на перетворення форми представлення об'екту, але, на вщмшу вщ варiантiв, розглянутих в [1, 2], в нш заданим е ттьки початковий стан, вщома також множина правил, за якими можна виконувати елементарш перетворення, але невiдомi ш послiдовнiсть таких елементарних перетворень, ш кiнцевий стан. Там ж властивост мають задачi, ям постiйно встають у науковiй, педагопчнш дiяльностi та в повсякденному житп. Якщо завдання «Спростити вираз» подавати як тренування у виборi з заданоУ множини дiй такоУ послщовност дiй, яка дозволить одержати об'ект, що мае кращi властивостi (у даному раз^ бiльш простий), то для багатьох учшв це пщвищило б мотивацiю виконання такого завдання та включило б задану конкретну задачу в бтьш широкий клас задач як частинний випадок.
Навчати узагальненню об'екта, включенню його як елемент в множину об'еклв на базi знаходження сптьних властивостей цих об'еклв - важлива педагогiчна задача, бо узагальнення - один з основних прийомiв мислення.
Мiж тим, як показуе наш досвщ, нав^ь бiльшiсть студентiв (а не ттьки школярiв) не пiдводить нестандартну задачу пщ загальний тип задач i не шукае метод розв'язання серед методiв цього типу, а починае розв'язання з методу проб та помилок. I нав^ь коли завдання шдвести дану математичну чи лопчну задачу пщ тип ставиться прямо, для студенлв-математимв зробити це виявляеться непросто, бо вони не треноваш у такш дiяльностi.
У напрямку допомоги учневi у пошуку методу розв'язання задачi перспективним е, на наш погляд, видшення якомога бтьшого числа типiв задач i методiв розв'язання задач кожного типу [4] та створення програмного забезпечення у виглядi бази даних, яка включае наступш взаемопов'язанi поля: 1) типи задач, 2) методи розв'язання задач кожного типу, 3) база знань для задач даного типу, 4) приклади задач, розв'язаних кожним методом, 5) математичш об'екти i властивосп кожного об'екта, 6) особливост постановок задач, ям використовуються в методах Ух розв'язання.
Ц поля мають бути пов'язаш таким чином, щоб можна було здшснювати, наприклад, таку методику (послщовшсть дш) розв'язання нестандартно! навчальноУ математичноУ задачi:
1. Визначте тип задачi з перелiку титв математичних задач.
2. Перегляньте методи розв'язання задач даного типу.
3. Вибер^ь метод розв'язання.
4. Спробуйте застосувати цей метод.
5. Якщо розв'язати задачу не вдалося, перегляньте базу знань для задач даного типу. Можливо, Ви побачите вщповщну формулу.
6. Проаналiзуйте приклади задач даного типу, ям розв'язаш обраним методом. Це покаже Вам особливосл застосування цього методу для рiзних задач даного типу, i, можливо, шдкаже щею розв'язання.
7. Якщо розв'язати задачу не вдалося, вибер^ь шший метод розв'язання задач даного типу i перейд^ь до п.4, або до п.8.
8. Уточшть тип задачi i перейдiть до п.2. Якщо тип задачi визначити не вдалося, перейд^ь до п.9.
9. Визначте особливостi задачi. Програма покаже приклади задач, в умови яких е такий же набiр особливостей, а також тип, метод i хщ розв'язання кожноУ задачк Проаналiзуйте цi приклади, можливо, це пщкаже Вам iдею розв'язання.
10. Перейд^ь до п.7 або п.3.
Як видно з опису, методика пропонуе почати розв'язання з визначення типу задачi i надае перелт тишв i пов'язаних з ними методiв розв'язання. Але якщо визначити тип не вдаеться, усшшним може виявитися
пошук методу на 0CH0Bi особливостей задачу для цього за ключовими словами програма надасть в розпорядження користувача вiдповiдну базу знань i набiр розв'язаних задач з подiбними особливостями.
Список використаних джерел
1. Скороход Г.И. Некоторые типы математических задач и методы их решения. [Текст] / Г.И. Скороход // Фiзико-математична освп"а : науковий журнал — 2016. - Випуск 4(10). - С. 126-130.
2. Скороход Г.1. Перетворення об'емчв як тип та метод розв'язання текстових задач. [Текст] / Г.1. Скороход // Педагопчш науки: збiрник наукових праць. Випуск LXXYI Том1. - Херсон. Видавничий дiм «Гельветика» — 2017. С. 117-121.
3. Пойя, Д. Математическое открытие [Текст] / Д. Пойя. - М.: Наука, 1970. - 452 с.
4. Скороход Г.1. Основы методи розв'язання нестандартних математичних задач. [Текст] / Г.1. Скороход // Теорiя та методика навчання математики, фiзики, шформатики: збiрник наукових праць. Випуск X. -Кривий Pir. Видавничий вщдш НМетАУ, 2012. - Т. 1: Теорiя та методика навчання математики. C. 228-234.
References
1. Skorokhod G.I. Some types of mathematical problems and methods of their solutions / G.I. Skorokhod // Fizyko-matematychna osvita: naukovyy zhurnal - 2016. - Vypusk 4 (10). - S. 126-130.
2. Skorokhod G.I. Transformation of objects as a tipe and a metod of solving text problems / G.I. Skorokhod // Pedahohichni nauky: zbirnyk naukovykh prats'. Vypusk LXXYI Tom1. - Kherson. Vydavnychyy dim «Hel'vetyka» -2017. S. 117-121.
3. Polya, G. Mathematscal discovery / G. Polya. - M .: Nauka, 1970. - 452 s.
4. Skorokhod G.I. Basic methods for solving non-standard mathematical problems / G.I. Skorokhod // Teoriya ta metodyka navchannya matematyky, fizyky, informatyky: zbirnyk naukovykh prats'. Vypusk X. - Kryvyy Rih. Vydavnychyy viddil NMetAU, 2012. - T. 1: Teoriya ta metodyka navchannya matematyky. S. 228-234.
SEARCH FOR A SOLUTION TO A LEARNING PROBLEM BASED ON ITS TYPE
Georgiy Skorokhod
Oles Honchar Dnieper National University, Ukraine Abstract. This paper considers one type of task, and proposes the structure of a database to aid in solving educational problems based on the definition of the type of task and method of use of this database.
Type of problems: given two different views of the same object, one of the views (or both) includes an unknown element, which must be determined.
Methods of solving such a problem of this type:
method 1. To reduce one form to the other and by matching to identify the unknown element method 2. To define a property of the form record number, has no unknown elements, and to transfer this property on the second form. On the basis that the second form has the ability to identify the unknown element
method 3. Based on the fact that the equality f (a) = g (a, A, b) is the identity to any selected values of a1, a2 the system of equations odnosno A and b and solve it.
Several examples of such tasks and some of the issues associated with this type of tasks and methods of their solution.
To assist the student in finding a method of solving the problem is proposed to create software in the form of a database that includes the following interrelated fields: 1) the types of tasks 2) problem-solving methods of each type, 3) knowledge base for problems of this type 4) examples of tasks solved by each method, 5) mathematical objects and properties of each object, 6) the features of the formulation used in the methods of their solution. The technique of use of such a database.
Key words: type of problem, method of problem solving, database, form of representation of an object,
identity.
