CC BY
15УДК 004: 658.08
ПОШАГОВАЯ КОРРЕКЦИЯ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК В ПРЯМОМ МЕТОДЕ
АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ
STEP-BY-STEP CORRECTION OF EXPERT EVALUATIONS FOR ANALYTIC
HIERARCHY PROCESS
©Вотякова Е. М.
Костромской государственный технологический университет
г Кострома, Россия elzvtk@gmail. com ©Votyakova E.
Kostroma State University of Technology
Kostroma, Russia elzvtk@gmail. com
Аннотация. В статье рассмотрен алгоритм пошаговой коррекции экспертных оценок в прямом методе анализа иерархий. Для получения согласованных соотношений трех критериев предложено корректировать одну или несколько попарных соотношений одним из шести способов. Предлагается принять исправление, если необходимая корректировка попарных оценок не превышает 5%.
Abstract. Algorithm of step-by-step correction of expert evaluations for Direct Analytic Hierarchy Process is analyzed. Six different methods of pairwise comparisons are suggested to reach coordinated evaluations. It is suggested to approve the correction if it is does not exceed 5%.
Ключевые слова: метод анализа иерархий, прямой метод, пошаговая коррекция оценок.
Keywords: analytic hierarchy process, direct method, correction of evaluations, step-by-step correction.
На практике для решения задач многокритериального выбора из нескольких альтернатив, широко применяются методы экспертных оценок. Одним из них является метод анализа иерархии (МАИ). Он позволяет аргументировано обосновать выбор той или иной альтернативы и определить значимость каждого критерия, влияющего на выбор [1].
Основные этапы МАИ заключаются в следующем:
-структуризация задачи в виде иерархи с несколькими уровнями: обобщающие критерии (требуемые показатели, характеристики, свойства); детализирующие критерии или параметры, которых может быть, в свою очередь, несколько уровней; сравниваемые альтернативы;
-попарное сравнение экспертами элементов каждого уровня на основе использования девятибалльной шкалы;
-вычисление коэффициентов веса элементов каждого уровня.
-расчет результирующих показателей веса каждой из альтернатив и их ранжирование по этим показателям.
Для получения согласованных весов критериев в МАИ предложено использовать пошаговую коррекцию оценок экспертов. На первом этапе вводятся попарные оценки для первых трех критериев, и проверяется их относительная согласованность. Если оценки не согласованы, то требуется их коррекция экспертом непосредственно на данном этапе.
На следующем шаге в проверку согласованности добавляется четвертый критерий, т. е. проверяется согласованность попарных оценок второго, третьего и четвертого критерия. При этом проверяется согласованность новых попарных оценок относительно полученных на первом шаге (в данном случае второго и третьего критериев, т. к. они участвовали в оценке в первом шаге). Далее второй шаг повторяется для последующих критериев до полной согласованности всех попарных оценок [2].
На основе МАИ предложен принципиально новый способ прямого метода анализа иерархии (ПМАИ), позволяющий устранить недостатки стандартного метода. Значительно сокращается количество операций экспертных оценок; применяется линейная шкала оценок с малым шагом дискретности; обеспечивается лучшая согласованность экспертных оценок; появляется больше возможностей формировать наиболее сопоставимые группировки критериев и альтернатив; автоматически решается проблема оценки альтернатив по наращиваемому набору критериев [3].
В Таблицах 1, 2 и на Рисунках 1, 2 показано преимущество ПМАИ перед МАИ с точки
зрения равномерности шкалы экспертных оценок.
Таблица 1.
ШКАЛА ОЕ ЕНОК МАИ
МАИ aj = Wi Wj МАИ Wi МАИ Wi = 1 - Wi Интервал между оценками Wi +1 - Wi
1/9=0,11 0,10 0,90 0,0 11
1/8=0,13 0,11 0,89
0,014
1/7=0,14 0,13 0,88
0,018
1/6=0,17 0,14 0,86
0,024
1/5=0,20 0,17 0,83
0,033
1/4=0,25 0,20 0,80
0,050
1/3=0,33 0,25 0,75
0,083
1/2=0,50 0,33 0,67
0,167
1 0,50 0,50
0,167
2 0,67 0,33
0,083
3 0,75 0,25
0,050
4 0,80 0,20
0,033
5 0,83 0,17
0,024
6 0,86 0,14
0,018
7 0,88 0,13
0,014
8 0,89 0,11
0,011
9 0,90 0,10
о
о
о
-< хх>о о о о <
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
Wj
Рисунок 1. Шкала оценок МАИ.
Таблица 2.
ШКАЛА ОЦ] ЕНОК ПМАИ
ПМАИ aj = Wi Wj ПМАИ W ПМАИ Wj = 1 - W Интервал между оценками W, +1 - Wi
0,01 0,01 0,99 0,04
0,05 0,05 0,95
0,05
0,11 0,1 0,9
0,05
0,18 0,15 0,85
0,05
0,25 0,2 0,8
0,05
0,33 0,25 0,75
0,05
0,43 0,3 0,7
0,05
0,54 0,35 0,65
0,05
0,67 0,4 0,6
0,05
0,82 0,45 0,55
0,05
1,00 0,5 0,5
0,05
1,22 0,55 0,45
0,05
1,50 0,6 0,4
0,05
1,86 0,65 0,35
0,05
2,33 0,7 0,3
0,05
3,00 0,75 0,25
0,05
4,00 0,8 0,2
0,05
5,67 0,85 0,15
0,05
9,00 0,9 0,1
0,05
19,00 0,95 0,05
0,04
99,00 0,99 0,01
Рисунок 2. Шкала оценок ПМАИ. Предлагается следующий алгоритм пошаговой коррекции экспертных оценок. Шаг 1.
Эксперт определяет попарные соотношения (1), (2), (3).
w12 + w21 = 1; (1)
W23 +w32 = 1; (2)
w13 + w31 = 1; (3)
Шаг 2.
На основе определенных экспертом данных при
высчитываются значения весов Wl PW2 ,W3.
w12 =
W23 =
w13 -
w± +w2' w2 +w3'
(4)
(5)
(6) (7)
»1 +wa
Значения WliW2, W3 вычисляются по формулам (8)—(10)
ill l ^Vg— =
W1 — —-
Wi Wi
1+
WI
wi2 wia
----- _ ----T ; Wj 2 wia
Wn =
Wj+WJ Wi+Wj 1
WT wg — 1+—+■
"r3 W
12-
Wn =
w2 w2 1+ w^+wa + w21 w23 '1 (l-w«)" w2a
_12_ _2_
W^4W2 W2+W3
1 _ 1 1 1
Wl W2 = Wi
1 + —+■ Wj Wg
W^+Wg W^+Wg 1+ Wg Wg ~
W^+Wg W24Wg
W31 W32
(1-WigJ (l-W2g}
(8)
(9)
(10)
Шаг 3.
Если равенство (4) выполняется, то оценки согласованы и их корректировка не требуется. Если равенство (4) не выполняется, т.е. +тлг2 + тлг3 # 1, то оценки не согласованы. Следовательно, требуется коррекция одного или нескольких из введенных значений (1), (2) и (3).
Шаг 4.
Определяются возможные варианты корректировки экспертных оценок, а также значения, на которые необходимо скорректировать ту или иную оценку.
4.1. Для получения согласованных оценок необходимо скорректировать \\г12 на величину £12. Тогда система из уравнений (1)-(4), (8)—(10) будет иметь вид:
(11)
где W12 экспертной оценки w12 + w21 = 1
это скорректированные значения
Из введенных экспертом оценок (2) и (3) W12" и W2 j" определяются однозначно:
(12)
В системе (12) — эт0 т0 значение, скорректировав на которое оценку (1), изменив величины 1лг12 и 1лг2 ± можно получить выполнение равенства (4), т. е. согласованные оценки.
4.2. Для получения согласованных оценок необходимо скорректировать на
величину е23. Тогда система из уравнений (1)-(4), (8)—(10) будет иметь вид:
(13)
где = "^2 3 иЬ Едз, = ™32 е23 — эт0 скорректированные значения
экспертной оценки w23 + w32 = 1
Из введенных экспертом оценок (1) и (3) и * определяются однозначно:
(14)
В системе (14) е2з — эт0 т0 значение, скорректировав на которое оценку (2), изменив величины тл^з и \У32, можно получить выполнение равенства (4), т. е. согласованные оценки.
4.3. Для получения согласованных оценок необходимо скорректировать на
величину Е13. Тогда система из уравнений (1)-(4), (8)—(10) будет иметь вид:
(15)
где W13* = W13 ± Е13, W31" = W31 + £13 — это скорректированные значения экспертной оценки w13 + w31 = 1
Из введенных экспертом оценок (2) и (3) W13* и W31" определяются однозначно:
(16)
В системе (16) £13 — это то значение, скорректировав на которое оценку (3), изменив величины ТЛГ13 и можно получить выполнение равенства (4), т.е. согласованные
оценки.
4.4. Для получения согласованных оценок необходимо скорректировать ТЛ/^ так, чтобы выполнялось равенство (4). Тогда необходимо скорректировать W12 на величину £12,^23 на величину £2з> на величину £13.
= 1 — \ч2 — (4)
V/ - =-—(9)
(1-W12) Wja
- . _ • _ • ':: ;
(10)
(i-wia) Ii-w3a)
(5)
W23 =
iv.
14т
i ■ 1-w„j
l.l-Wis) W23
w2+w3
1+TZ
"12 -¿ЛГ i+7-—^r-h.-—
W12) Wj a (1—wia) ti-w3a)
! (i-\Vaaj +1 1 f , wa3
(6)
W„ =
Wj' +wa l wz wa+wa
l-w2
1 1 'VI2 ''v15 , ~
j: wg 3 (1 -Wl SJ Cl si
1 Wjj
1 —
H-
'■vis , (Т-^гзЗ
(1-W12} ™2Э
(7)
В системе (17) £12>Е2 3^Е13— эт0 те значения, скорректировав на которые оценки (1)—(3) соответственно, можно получить выполнение равенства (4), т. е. согласованные оценки.
4.5. Для получения согласованных оценок необходимо скорректировать \Ч2 так, чтобы выполнялось равенство (4). Тогда необходимо скорректировать W12 на величину £12,^23 на величину £2з> ^13 на величину £13.
w± =
wi 2 Wiа
(i-wla) (i-w233
(4) (8)
(10)
w12 =
± I (1-Wl 1 (1-W1 яЗ
w12 Wig
Wj. +W2 *
1-Wn
(1-wla (1-w2 3)
w23 =
1-Wj-Wj _ 1-Wj-Wj _ 11" w12 -,V1E (1-Wla) Ci-wzaJ
w2*+ws 1—Wi—ws+ws
1-w,
1-
. Ci-tvisJ. (1-WIBj wiz wia
(5)
(6')
w13 =
± I (1-Wl 7) 1 (1-W1 яЗ wi2 wia
Wl+Wj
(7')
(l-w13) ti-w13) i , W13 ^ ™зэ
W"i 2 Wl3 (l-Wla) (l-W3a)
(18)
В системе (18) £12>Е2 3^Е13— эт0 те значения, скорректировав на которые оценки (1)—(3) соответственно, можно получить выполнение равенства (4), т. е. согласованные оценки.
4.6. Для получения согласованных оценок необходимо скорректировать W3 так, чтобы выполнялось равенство (4). Тогда необходимо скорректировать W12 на величину £i2,W23 на величину £2 3>W13 на величину £13.
(4) (8)
w2 =
;
(9)
w12 =
± | (i-Wi т) 1 яЗ
wi2 wia
w±+w2
± | ii-w12) t (l-Wia) +1 | \v±2 ^i-WaaJ Wj 2 wig (i-W|i) w22
(5)
; (7)
(19)
(6')
В системе (19) £12,£23,^13— это те значения, скорректировав на которые оценки (1)—(3) соответственно, можно получить выполнение равенства (4), т. е. согласованные оценки.
Шаг 5.
Для возможных корректировок 1-6 высчитано, на сколько можно изменить каждую из величин, определенных экспертом в выражениях (1)-(3).
Корректировка 1: е12 в системе (12), корректировка 2: е23 в системе (14), корректировка 3: е13 в системе (16), корректировка 4: е12, е23, е13 в системе (17), корректировка 5: е12, е23, е13 в системе (18), 6: е12, е23, е13 в системе (19). Любая из предложенных корректировок приведет к согласованию попарных оценок (1)-(3).
Предлагается выбрать ту из корректировок, которая меньше всего повлияет на введенные экспертом величины и сравнить значение этой корректировки с минимально допустимой ошибкой £^доп = 0,05. Корректировка экспертных оценок (1), (2) и (3) на
величину е < 0,05 психологически слабо ощутима, т.е. кардинально не меняет выбор эксперта. Тем не менее, она может помочь достичь согласованности экспертных оценок, т. е. выполнения равенства (4).
5.1. Если описанная корректировка возможна, ее результат можно принимать для вычисления весов критериев и переходить к следующему шагу — добавлению четвертого критерия и вычислению следующей тройки согласованных попарных оценок.
5.2. Если для согласованности экспертных оценок оценки необходимо изменить более, чем на 0,05, значит ошибка эксперта достаточно грубая, попарные оценки эксперта не согласованы и на основе них невозможно вычислить согласованные веса критериев
Предлагается вернуть эксперта на шаг 1 и пересмотреть попарные оценки
W W W
■12 + W21 = 1; (1)
23 + W32 = 1; (2)
13 + W31 = 1; (3)
Шаг 6.
Следующим шагом вводится четвертый критерий.
w23 + w32 = 1;
w34 + w+3 = i;
w24 + w42 = 1;
(2) (20) (21)
Проводится оценка согласованности и корректировка попарных оценок критериев аналогично шагу 4. При этом оценка (2) проверена и согласована на первом этапе, т. е. её корректирование невозможно. Далее вводятся следующие критерии и повторяются действия шага 6. Для вех оцениваемых критериев.
В результате проведенных действий имеем согласованные попарные оценки:
После попарного перебора всех критериев или альтернатив, входящих в один слой иерархии и в одну группу, вычисляется общее соотношение весовых коэффициентов на основании окончательных попарных соотношений:
+ W2 4-----h Wj 4-----I- Wn = 1
В результате разработан алгоритм пошаговой коррекции попарных оценок в прямом методе анализа иерархий. Выведены формулы корректировки попарных соотношений, а также формулы для вычисления итоговых попарных соотношений. Если требуемая корректировка требует изменения оценки более, чем на 0,05, то оценки не согласованы и эксперту необходимо изменить свои попарные оценки.
Список литературы:
1. Саати Т. Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993. 320 с.
2. Огурцов А. Н., Староверова Н. А. Алгоритм повышения согласованности экспертных оценок в методе анализа иерархий // Вестник ИГЭУ. Вып. 5, Иваново, 2013. С. 144-153.
3. Гнатюк А. Б., Вотякова Е. М., Староверов Б. А. Решение задачи многокритериального выбора технической компоновки цифровой подстанции с помощью прямого метода анализа иерархии // Вестник ИГЭУ. Вып. 2, Иваново, 2016.
References:
1. Saati T. L. Prinyatie reshenii. Metod analiza ierarkhii. Moscow, Radio i svyaz, 1993, 320 p.
2. Ogurtsov A. N., Staroverova N. A. Algoritm povysheniya soglasovannosti ekspertnykh otsenok v metode analiza ierarkhii. Vestnik IGEU, Vyp. 5, Ivanovo, 2013, pp. 144-153.
3. Gnatyuk A. B., Votyakova E. M., Staroverov B. A. Reshenie zadachi mnogokriterial'nogo vybora tekhnicheskoi komponovki tsifrovoi podstantsii s pomoshch'yu pryamogo metoda analiza ierarkhii. Vestnik IGEU, Vyp. 2, Ivanovo, 2016.
Работа поступила в редакцию 26.04.2016 г.
Принята к публикации 28.04.2016 г.
