CC BY
36
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 150, кн. 2
Физико-математические пауки
2008
УДК 539.189.1
ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ К ЛЭМБОВСКОМУ СДВИГУ В МЮОННОМ ВОДОРОДЕ
A.A. Васильев, Р.Х. Гайпутдипов, A.C. Июдип, A.A. Мутигуллипа
Аннотация
Обсуждается ..тамбовский сдвиг энергетических уровней мюоппого водорода. Показано. что в высших порядках имеются поправки к ..тамбовскому сдвигу, которые ранее по учитывались при описании мюоппых атомов. Проведено сравнение этих поправок с известными поправками квантовой электродинамики к ..тамбовскому сдвигу в мюоппом водороде и показано, что в высоких порядках их необходимо учитывать.
Ключевые слова: мюоппые атомы. ..тамбовский сдвиг, поправки высших порядков.
Введение
Несмотря на то что мюонные атомы на протяжении последних нескольких десятилетий вызывают большой интерес, связанный с применением физики мюонных атомов, например, для проверки на точность высших порядков квантовой электродинамики (КЭД) и изучения распределений зарядов в ядрах, до сих пор существуют расхождения между экспериментальными данными и теоретическими расчетами [1]. Наибольший вклад в поправку к энергетическим уровням тяжелых атомов, рассчитанную с использованием уравнения Дирака, вносят эффекты, связанные с поляризацией вакуума и учетом структуры ядра. Однако с ростом точности экспериментальных измерений все яснее становится расхождение между экспериментальными данными и результатами теоретических вычислений. В работе [2] описывается различие между новыми экспериментальными значениями и теоретическими вычислениями для уровня 2р атом а 90 Ът. В работе [3] рассматривается эксперимент по изучению рентгеновского излучения мюонных атомов 208РЬ и показывается, что различие между измеренным экспериментально и полученным теоретически значением сдвига уровня 3р составляет 300-500 эВ, что примерно соответствует величине сдвига для уровня 2р. Далее, в работе [4], посвященной изу-
90
208РЬ, показывается, что частично такое расхождение между результатами экспериментов н теоретическими данными может быть устранено путем учета поправок на поляризацию ядра и на влияние ядерного магнитного и электрического квадру-полыгого моментов. Однако такой учет не устраняет это расхождение полностью, и в работе делается вывод о том, что оставшееся различие между теорией и экспериментом не связано с влиянием ядра и окружающих частиц. Самым значимым источником поправок к значениям энергий уровней мюонных атомов являются эффекты поляризации электронного вакуума. В работах [3 5] эти эффекты рассматриваются с использованием формализма квантовой электродинамики, во многом основанного на адиабатической гипотезе. Например, в работе [5], претендующей на большую точность, в которой рассчитываются поправки шестого порядка, все же различия между теорией и экспериментом не укладываются в ожидаемую точность стандартных квантовоэлектродинамических вычислений. Это показывает ограниченность применения стандартной КЭД. Поэтому в данной работе для описания
взаимодействия между ядром и мюоном мы используем обобщенную квантовую динамику (ОКД), развитую в работе [6].
1. Поправки к энергетическим уровням мезоатомов
Наиболее интересным с теоретической точки зрения аспектом теории мюонных атомов является то. что разработка такой полной и возможно более точной теории обеспечит описание физической системы, в которой возможна точная экспериментальная проверка законов квантовой электродинамики. Однако на пути разработки такой теории встают значительные трудности. Трудности эти обусловлены тем. что из-за большей массы мюона по сравнению с электроном эффекты, которые в электронных атомах дают пренебрежимо малый вклад в значения энергий уровней, такие, как влияние эффектов отдачи ядра или поправки Калина Сабри, в мюонных атомах могут быть значительными. Прежние расчеты с появлением новых данных экспериментов должны постоянно уточняться, кроме этого периодически открываются новые эффекты, влияющие па энергетические уровни в мюонных атомах. Все эти эффекты могут быть условно разделены на две большие группы: квантовоэлектродинамические эффекты, обусловленные процессами поляризации вакуума, и эффекты, связанные с влиянием ядра и окружающих мюон частиц. К поправкам второй группы относится поправка на конечный размер ядра, особенно сильно проявляющая себя в тяжелых атомах. Гамильтониан, описывающий взаимодействие мюона с ядром, имеет вид [7]
Нм^ = Нм + ~а р + ршг + еа А + У0(г), (1)
где ^0(г) - электростатический потенциал ядра с учетом распределения р(г') заряда в ядре. Поправки, обусловленные влиянием ненулевых квадрупольного электрического и диполыгого магнитного моментов ядра, вычисляются путем рассмотрения векторного потенциала е а А, входящего в состав гамильтониана взаимодействия (1) [1]. На взаимодействие мюона с ядром влияют атомные электроны. Это влияние довольно трудно учесть, так как после захвата мюона ядром (на уровень с главным квантовым числом п ~ 14) он переходит на более низкий уровень с испусканием оже-электронов. поэтому бывает трудно определить количество электронов в атоме в данный момент. Наиболее простой подход предполагает, что на взаимодействие мюон-ядро влияют только 1в электроны [8]. Поправка, связанная с эффектами отдачи ядра, была рассчитана Барреттом в работе [9]. При расчете влияния эффектов поляризации ядер на энергию мюонного атома используется метод, предложенный Эриксоном и Хаффнером в работе [10]. Однако этот метод применим только для уровней, удаленных от ядра настолько, что не наблюдается перекрывания мюона и ядра.
Для нас в данной работе наибольший интерес представляют поправки, связанные с эффектами поляризации вакуума, являющиеся наиболее важными КЭД-поправками к энергетическим уровням мюонных атомов. На рис. 1 представлены диаграммы, описывающие поправки Юлинга порядка а(^а) и а2^а)2. Диаграммы па рис. 2 описывают поправки Калина-Сабри [1] порядка а2(^а). На рис. 3 изображены диаграммы, описывающие поправки Вэйчманна Кролла [11] порядка а(2а)2"+^ дая п = 1, 2. Перечисленные поправки и другие поправки высокого порядка рассчитываются по диаграммам Фейнмана с использованием формализма адиабатической ¿"-матрицы, который является одним из основных методов решения проблемы связанных состояний в квантовой электродинамике. Важной особенностью этого формализма является то, что в нем КЭД-поправки к энергетическим уровням атомов выражаются через элементы ¿-матрицы, что
а б
Рис. 1. (о) Диаграмма Фейнмана, соответствующая поправке Юлинга порядка а^а); (б) Диаграмма Фейпмапа, соответствующая поправке Юлипга во втором приближешш порядка а2(Иа)2
а б о г
Рис. 2. (а, б, о, г) Диаграммы Фейпмапа, соответствующие поправке Калила Сабри порядка а2(Иа)
а б
Рис. 3. (а, б) Диаграммы Фейпмапа, соответствующие поправке Вэйчмаппа Кролла порядка а(Иа)2п+1 для п = 1, 2
позволяет использовать ковариантную теорию перенормировок для устранения расходимостей. В работе [12] было предложено при описании КЭД-поправок к энергетическим уровням мюонных атомов использовать формализм ОКД. Преимущество использования этого формализма заключается в том. что он позволяет описывать динамику системы, взаимодействие в которой является нелокальным во времени. Это. в частности, открывает возможность для построения эффективных теорий, в которых явно учитывается естественная нелокальность эффективного взаимодействия. Примером такой теории является эффективная теория, которая в работе [12] использовалась для описания энергетических уровней мюонных атомов с учетом поляризации вакуума. Оператор взаимодействия в этой теории является суммой оператора, описывающего кулоновское взаимодействие мюона с ядром, и оператора, который описывает нелокальное взаимодействие, связанное с поляризацией вакуума. Эта теория является обобщением обычной теории шоонных атомов. в которой поправка к кулоновскому потенциалу, связанная с поляризацией
вакуума, описывается потенциалом Юлинга. С точностью до а(^а) эти теории приводят к одинаковым результатам. Это означает, что эффекты нелокальности проявляются в поправках к „тамбовскому сдвигу в мюонных атомах в более высоком порядке. Следует отметить, что эти нелокальные поправки имеют совершенно другую природу, чем поправки Калина-Сабри и Вэйчманна Кролла. Это означает. что имеются поправки к „тамбовскому сдвигу в мюонных атомах, которые не учитываются в обычной теории. Эти поправки относятся к поправкам более высокого порядка а^а). Ниже на примере мюонного водорода мы проведем сравнение этих поправок с поправками шестого порядка, рассчитанными в работе [5].
2. Нелокальные поправки к лэмбовскому сдвигу в мюонном водороде
Мюонный водород является одним из важнейших объектов исследований в КЭД и теории мюонных атомов. Это связано с тем. что. с одной стороны, все характерные для мюонных атомов КЭД эффекты проявляются и в случае мюонного атома, а с другой структура ядра таких атомов не сказывается на наблюдаемых так же существенно, как в случае тяжелых мюонных атомов, и при расчетах можно использовать приближение точечного ядра. Рассмотрим поправку к энергетическому уровню мюонного атома, к которой приводит решение обобщенного динамического уравнения в приближении точечного ядра.
Оператор Грина мюона в поле ядра можно представить в виде [12]:
ад = Е—
\Фп ){Фп\
г - Е° - Оп(г)'
(2)
Здесь \ фп) - собственные вектора гамильтониана в уравнении Дирака, ЕП - энергия, то есть собственное значение гамильтониана Дирака. Функция Сп(г) в пропа-гаторе (2) будет описывать взаимодействие атома с вакуумом. Решение обобщенного динамического уравнения в лидирующем порядке [12] приводит к следующему выражению для Сп(г), соответствующего дискретной части спектра:
Сп(г)= !
¿3р
(2^
ип(р){Р2\ВРа1 (г)\р1),
(3)
где
ип(р)= I ^г \фп(г)\2 ехр(-грг),
(4)
(р2|Врог(-)|Р1) = -^т (Поо(г - ЕР1 ,р) + П00(г - ЕР2,р)^ . (5)
Энергия связанного состояния определяется значением 2 = Еп, при котором гри-новский оператор (2) имеет полюс, то есть
г - Еп - Сп(г)
0.
Раскладывая Сп(г) в окрестности точки г = Еп в ряд, получаем
Сп(г) = Сп(Е°) + (г-Е°п)^Сп(г)
аг
Для энергии связанного состояния получаем
Еп = + Сп (Е°) + Сп (Е° )±Сп (г)
+ ...
(1 + 0{а^а)}).
(6)
(7)
(8)
Здесь мы учли, что Сп(ЕП) ~ а(^а). Полагая г = Е^ в уравнении (3), для Сп(ЕП) получаем
ОС ОС ^ --
сж;) = / „„'- им I ,, (9.
о 1
Это уравнение в точности совпадает с выражением для поправки Юлинга, которое было получено в рамках обычного подхода к теории мюонного атома. Таким образом, Сп (ЕП) в разложении Еп представляет собой поправку Юлинга, а величину
^Еппоп = Сп(Еп)——Сп(г) аг
(1 + 0{а^а)}) (10)
можно рассматривать как поправку к юлпнговской поправке ДЕцек ■ Эту поправку можно назвать нелокальной, поскольку она представляет собой разность значения энергий состояний мюонного атома, полученного путем решения обобщенного динамического уравнения с нелокальным во времени оператором взаимодействия и решения уравнения Дирака, в котором к кулоновскому потенциалу добавлен потенциал Юлинга. С другой стороны, поправка Юлинга может быть получена в рамках формализма адиабатической Б-матрицы как вклад от процесса, описываемого фейимановской диаграммой, представленной на рис. 1, а. Очевидно, этот процесс так же, как и процессы, которые описываются диаграммами, изображенными на рис. 2 и 3, является нелокальным. Однако это диаграммы, которые дают вклад в Б-матрицу, и в этом случае мы имеем дело с амплитудами на массовой поверхности. Поэтому амплитуда, описываемая диаграммой, изображенной на рис. 1, а, соответствует значению энергии 2 = ЕП ■ Преимущество подхода к теории мюонного атома, основанного на формализме ОКД, заключается в том, что в его рамках амплитуда Сп(г), описывающая взаимодействие атома с вакуумом, определяется не только в точке г = Е^ что позволяет, используя уравнение (6), точно определить значение энергии, при которой оператор Грина имеет полюс, а это н есть точное значение энергии. Используя выражение (10), мы провели расчет нелокальной поправки к энергетическим уровням состояний 1в, 2 в и 2р мюонного атома водорода. Результаты расчета для энергии переходов АЕпоп представлены в табл. 1, где для сравнения приведены значения поправок шестого порядка, полученных в работе [5]. В работе [5] утверждалось, что этими поправками исчерпываются поправки к энергетическим уровням мюонного водорода в шестом порядке (а3) теории возмущений. В табл. 1 каждая поправка ДЕ^ для г = 1,..., 7 относится к соответствующим ей диаграммам Фейнмана [о]. Однако, как видно из табл. 1, наша нелокальная поправка сопоставима по величине с поправками шестого порядка, н ее необходимо учитывать для того, чтобы уменьшить расхождения между теорией и экспериментом.
Заключение
В работе рассмотрены основные источники поправок к энергетическим уровням мюонных атомов. Показано, что все рассмотренные поправки, относящиеся к поправкам КЭД, строятся исходя из стандартной формулировки квантовой электродинамики, во многом опирающейся на адиабатическую гипотезу. Тем не менее
г
гриновских операторах. Было показано, что учет такой зависимости в рамках обобщенной квантовой динамики приводит к дополнительным поправкам, которые нельзя получить в рамках стандартной КЭД. Эти поправки были рассчитаны для мюонного атома водорода и оказались сопоставимы по величине с поправками
Табл. 1
Поправка АЕ„о„ к энергетическим переходам мюонного атома водорода в сравнении с поправками шестого порядка [5], значения в эВ
Поправки Zpi/2 - 2Si/2 ■2p3/2 ~ 2Si/2 2pi/2 - lSl/2 2^3/2 - lSl/2
AE 3.16 ю-7 3.16 • ю-7 9.98 • 10~6 9.98 • 10~6
AEi 3.96 10"' — — —
ae2 2.93 10~6 — — —
AE3 8.64 10"' - - -
AEi 1.10 10~6 — — —
AEb 5.81 10"' — — —
AEe 1.57 10~6 — — —
ae7 1.61 10"' - - -
шестого порядка КЭД. Важно, что с ростом Z величина нелокальной поправки растет быстрее, чем величина поправок Калина Сабри и Вэйчманна Кролла. и для тяжелых мюонных атомов эти поправки могут быть сопоставимы. Можно надеяться. что учет этой новой поправки позволит уменьшить расхождение между теорией и экспериментом в случае мюонного атома 208РЬ, которое, как отмечалось в работе [4], не может быть устранено путем моделирования поляризации ядер.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (НШ-2965.2008.2).
Summary
R.Kh. Gainuttlinov, A.S. Iyutlin, A.A. Mutygullina, A.A. Vasil'ev. Higli-Order Corrections to Lamb Shift, of Muonic Hydrogen.
The article views Lamb shift, of energy levels in muonic hydrogen. Corrections to Lamb shift, of muonic atoms are revealed, which were not. taken into account, before. These corrections are compared with the known QED corrections to Lamb shift, of muonic hydrogen. It. is shown that, tliey must, be taken into account, in high orders.
Key words: muonic atoms. Lamb shift., high-order corrections.
Литература
1. Borie E. et «/Radiative Corrections to Back Scattering // Z. Pliys. 1976. V. A278. P. 770.
2. Plum Т., В erg em P. et «/Nuclear Polarization In Muonic Zr-90 // Pliys. Rev. C. 1985. V. 32. P. 1007.
3. В erg em P., Filler G., Rueetehi A., Shatter L., Sehellenberg L., Schneuwly H. Nuclear polarization and charge moments of 208Pb from muonic X rays // Phys. Rev. C.- 1988. -V. 37. P. 2821 2833.
4. Haga A., Horikawa Y., Toki H. Reanalysis of muonic 90Zr and 208Pb atoms // Phys. Rev. C. 2007. V. 75. P. 044315-1 044315-8.
5. Kinoshita Т., Nio M. Sixth-order vacuum-polarization contribution to the Lamb shift, of muonic hydrogen // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 3240 3243.
6. Gainuttlinov R.Kh. Nonlocal Interactions and Quantum Dynamics // J. Phys. A: Math.Gen. 1999. V. 32. P. 5657 5677.
7. Boric Е., Rinker G.A. The Energy Levels of Muonic Atoms // Rev. of Mod. Pliys. 1982. V. 54. P. 67 118.
8. Vogel P. Atomic Aftereffects and the Line Shape of Muonic X Rays // Pliys. Rev. A 1973. V. 7. P. 2292 2297.
9. Barrett R.C. et al The Eigencliannel Method and Related Theories for Nuclear Reactions // Rev. Mod. Pliys. 1973. V. 45. P. 44 108.
10. Ericson R., Hujfne B. Time dependence of the vacuum-ultraviolet, emissions in krypton excited by 250-KeV electrons // Pliys. Rev. A. 1972. V. 9. P. 251 259.
11. Wichmann E., Kroll N. Vacuum Polarization in a Strong Coulomb Field // Pliys. Rev. 1956. V. 101. P. 843 859.
12. Gainutdinov R.Kh., Iyudin A.S., Mutygullina A.A. Description of the Polarization Effects in the Muonic Atoms within the Framework of Generalized Quantum Dynamics // Proc. ofSPIE. 2006. V. 6181. Art. 618113.
Поступила в редакцию 01.03.08
Васильев Александр Александрович магистрант кафедры оптики и папофото-пики Казанского государственного университета. E-mail: sanyek_ vasil_ evQmail.ru
Гайнутдинов Ренат Хамитович доктор физико-математических паук, профессор кафедры оптики и папофотопики Казанского государственного университета. E-mail: Renat.GainutdinovQksu.ru
Июдин Алексей Сергеевич аспирант кафедры оптики и папофотопики Казанского государственного университета. E-mail: ktZ66avkv8Qmail.ru
Мутыгуллина Айгуль Ахмадулловна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры общей физики Казанского государственного университета. E-mail: Aigul.Mutygullina Qksu.ru
