Научная статья на тему 'Поперечное колебание прямого участка неоднородного трубопровода, лежащего на двухконстантном основании'

Поперечное колебание прямого участка неоднородного трубопровода, лежащего на двухконстантном основании Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
66
26
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НЕОДНОРОДНОСТЬ / ТРУБА / НЕПРЕРЫВНОСТЬ / ОСНОВАНИЕ / ЧАСТОТА / МОДУЛЬ УПРУГОСТИ / ПЛОТНОСТЬ / УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ / HETEROGENEITY / PIPE / CONTINUITY / BASE / FREQUENCY / ELASTICITY MODULE / DENSITY

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Гаджиев В. Д., Джафаров Х. Г.

Причиной появления неоднородности в элементе конструкций может быть термическая и механическая обработка, неоднородность состава материала, технология изготовления и ряд других причин. В работе рассматривается задача о собственном колебании прямого участка непрерывно неоднородного упругого трубопровода, лежащего на двухконстантном основании типа П. Л. Пастернака. Уравнение решается комбинированным способом. Результаты расчетов показывают существенное влияние неоднородности на значение круговой частоты и зависят от закона распределения неоднородности

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Гаджиев В. Д., Джафаров Х. Г.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Lateral oscillations of a straight section of a two constant based heterogeneous pipeline

The study focuses on the natural oscillation of a straight section of an invariably heterogeneous elastic pipeline lying on a twoconstant base devised by P. L. Pasternak.The elasticity module and the specific density are regarded as a continuous function of the pipeline length coordinate, whereas the continuous function is a function that characterizes heterogeneity of the elasticity module together with its first and second derivatives. Hereby, the equation on the motion-relative deflection is a linear equation with variable coefficients of the fourth order. The problem is solved in a combined way: the first stage involves a variables separation method, whereas the second stage is carried out by the Bubnov-Galerkin orthogonality method. Specific values are calculated in the first approximation; the findings are presented in tables and graphs that illustrate dependencies between the circular frequency and heterogeneity-specifying parameters. The calculation results show a significant impact of heterogeneity upon the value of circular frequency and depend on the law of heterogeneity distribution.

Текст научной работы на тему «Поперечное колебание прямого участка неоднородного трубопровода, лежащего на двухконстантном основании»

I------------1 :::::: : :•

-□ □-

Причиною появи неоднорiдностi в елементi конструкций може бути термiчна i мехашчна обробка, неоднорiднiсть складу матерiалу, тех-нологiя виготовлення та ряд тших причин. В роботi розглядаеться задача про власне коли-вання прямог дЫянки безперервно неоднородного пружного трубопроводу, що лежить на дво-константнш основi типу П. Л. Пастернака. Рiвняння виршуеться комбтованим способом. Результаты розрахунтв показують Ототний вплив неоднорiдностi на значення круговог часто-ти, i залежать вiд закону розподЫу неоднорид-ностi

Ключовi слова: неодноридшсть, труба, безпе-рервтсть, основа, частота, модуль пружностi,

щтьтсть, рiвняння руху

□-□

Причиной появления неоднородности в элементе конструкций может быть термическая и механическая обработка, неоднородность состава материала, технология изготовления и ряд других причин. В работе рассматривается задача о собственном колебании прямого участка непрерывно неоднородного упругого трубопровода, лежащего на двухконстантном основании типа П. Л. Пастернака. Уравнение решается комбинированным способом. Результаты расчетов показывают существенное влияние неоднородности на значение круговой частоты и зависят от закона распределения неоднородности

Ключевые слова: неоднородность, труба, непрерывность, основание, частота, модуль

упругости, плотность, уравнение движения -□ □-

i------------

УДК 539

|DOI: 10.15587/1729-4061.2014.31195|

ПОПЕРЕЧНОЕ КОЛЕБАНИЕ ПРЯМОГО УЧАСТКА НЕОДНОРОДНОГО ТРУБОПРОВОДА, ЛЕЖАЩЕГО НА ДВУХКОНСТАНТНОМ ОСНОВАНИИ

В. Д. Гаджиев

Доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий отделом Отдел "Теория упругости и пластичности" Института Математики и Механики Национальная Академия Наук Азербайджана ул. Б. Вахабзаде, 9, г. Баку, Азербайджан, AZ 1143

E-mail: h.vaqif@inbox.ru Х. Г. Джафаров Аспирант Азербайджанский Архитектурно-Строительный Университет ул. А. Султанова, 5, г. Баку, Азербайджан, AZ 1073

E-mail: xaqani76@mail.ru

1. Введение

В настоящее время магистральные трубопроводы различного назначения, эксплуатируемые в сложных климатических условиях, представляют сложные инженерные конструкции [1, 2].

При проектировании и сооружении трубопроводов от инженера-расчетчика требуется максимально правильно оценивать реальные свойства материала трубы (неоднородность составов, технология изготовления, сварочные напряжения и другие факторы)

[3-5].

Отметим, что вопросы прочности, устойчивости, долговечности и анализа частотно амплитудных характеристик с учетом вышеуказанных специфических особенностей существенным образом усложняют решение задач, а не учет может привести к большим погрешностям.

Известно, что в результате взрыва, сильного ветра, землетрясения и ряда других причин в трубопроводе может появиться колебательный процесс. В связи с

тем, что в инженерной практике широко применяются трубы из неоднородных материалов, в данной работе исследуется свободное колебание неоднородной по длине трубы с учетом сопротивления внешней среды.

2. Анализ литературных данных и постановка проблемы

Существуют работы [3, 6], где показано, что модуль упругости и плотность материала могут зависеть от пространственных координат. В данном случае, исходя из работы [3], предполагается, что модуль упругости и плотность зависят только от координаты длины. В [3] изложены основные теоретические и экспериментальные исследования по механике трубопроводов. Результаты исследований, посвященные вопросам долговечности магистральных трубопроводов различного назначения, приведены в [4]. В [5] проводятся экспериментально теоретические исследования, посвященные неоднородным конструкциям.

©

Было указано, что в результате определенного технологического изготовления длинной балки, модуль упругости и плотность могут являться непрерывной функцией координаты длины.

Немаловажным является учет сопротивление внешней среды, который существенным образом зависит от природно-климатических условий [6-9].

Предполагается, что материал трубы является непрерывно неоднородным, модуль упругости Е и плотность р является непрерывными функциями координата длины:

Е=ВДх) Р=Р <Жх), (1)

влияния неоднородности консольной балки, находящейся под равномерно распределенной нагрузкой с учетом большого перемещения, излагается в [7]. В [8] исследуется задача колебания однородной балки с учетом вязкоупругого сопротивления. Применяются приближенно аналитические способы решения. Работа [9] посвящена теории экспериментальных исследований расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. Необходимость проведения этих исследований связано с тем, что гидростатическая модель Винклера не учитывает сдвиговое сопротивление основания.

здесь Ео, ро соответствуют однородному случаю, а функция ^х) со своими производными до второго порядка является непрерывной функцией.

Реакция грунта описывается математической моделью П. Л. Пастернака [2].

1 ™ 1 Э

q=- ,

3. Цель и задачи исследования

(2)

Целью работы являлось исследование влияния одновременного учета непрерывно неоднородного по длине двухконстантного основания Пастернака.

Для достижения данной цели решалась задача свободного поперечного колебания прямого участка трубы с учетом вышеуказанных эффектов.

где к1 и к2 - постоянные величины и характеризуют свойства внешней среды; W - прогиб.

Уравнение движения с учетом (1) в (2) записывается в следующем виде [10]:

Е Т ^ Ео-)о Эх2

^х)

Эх2

- 2А1 —— + А^ + р0= о ,

Эх2

Э12

здесь приняты следующие обозначения:

А1 = к2■d

1+ -

М.

; а2 = к1 ■ d

1+-

м

; в V 2к, ,

(3)

(4)

4. Методы исследований уравнения движения

Уравнение (3) является сложным и при произвольном ^х) и у(х) получение точного решения невозможно или же затруднительно.

Поэтому уравнение движения (3) будет решено комбинированно приближенно-аналитическими методами.

В первом этапе будем применять метод разделения переменных, причем W(x, выбираем в виде:

(5)

где d - диаметр трубы; Е^о - жесткость однородной трубы при изгибе.

В [1] рассмотрены распространенные способы и системы сооружения трубопроводов, их особенности и недостатки. Исследован расчет трубопроводов из однородно упругих материалов, здесь решены задачи колебания и не учтено сопротивление внешней среды. В работе [2] излагаются теоретические основы долговечности магистральных и технологических трубопроводов из упруго неоднородных материалов. Вопросы колебаний и сопротивления внешней среды не учитываются. Впервые решена задача [5] устойчивости прямого участка трубопровода из непрерывного по длине материала, лежащей на основании типа Пастернака. Показано, что учет неоднородности и сопротивления среды существенным образом влияет на величины критической нагрузки, и это зависит от краевых условий. Также в [6] впервые были решены задачи колебания неоднородно циклических и конических оболочек с учетом внешнего анизотропного сопротивления. Для случая п(х) = ^Ь осесимметричного колебания i 1

для цилиндрической оболочки проведен подробный численный анализ. Результаты вычислительного эксперимента по определению

Функция V(x) должна+ удовлетворять соответствующим краевым условиям; ю - круговая частота; t - время.

Подставляя (5) в (3), получим:

^ d3v ач а^ а^ .. п (6)

где

а1=2Л1(Ео1с)-1; а2=Л2(Ло1о)-1; аз=ро(Ео1о)-1.

Решение (6) будем строить с помощью метода ортогонализации Бубнова-Галеркина, причем функцию V(x) будем искать в следующем виде [1]:

V« =^Ь;6;(х) , (7)

i=1

здесь Ь; - неизвестные постоянные, а каждый 0; - удовлетворяет соответсвующим краевым условиям. В данном случае функция ошибки имеет вид:

*0. (8)

В общем случае ю2 определяется из системы однородных алгебраических уравнений, составленных из

а4е а3а а£ а2е;

а2е;

£(х)_ах4"+2ах +ах2 -а2 "ах2"+alеi-ю (аЖх))е

коэффициентов Ь Для существования нетривиального решения главный определитель системы должен равняться нулю

Н = о.

(9)

Однако для инженерного расчета обычно пренебрегают первым приближением, хотя определение ю2 в произвольном приближении не вызывает особой трудности.

Учитывая вышесказанное, на основании метода ортогонализации можно записать:

}n,(x)e4(x)dx = 0 q=1, 2, 3.

(10)

Для первого приближения, (10) принимает следующий вид:

jn1(x)e1(x)dx=о,

(11)

(1+0,5в)( ^4 + 0,5a2 ( М]2 + ai

a3 (1 + 0,5ц)

(15)

В случае однородной трубы ( £ =0, ц =0) из (15) получим:

4 / \ 2

0,5a21 —;— | + a,

I mn

X J

(16)

Если труба неоднородная, только по удельной плотности, частота определяется следующим соотношением:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

mnl4 _ - Imn42

— + 0,5a21 — | + a.

з (1 + 0,5ц)

(17)

основной тон частоты определяются следующем соотношением:

Из (15) при ц =0, е ^0, получим значения круговой частоты для случая неоднородной трубы по модулю упругости:

J

4d4e1 „df d3e1 d2f d2e1 d2e1 „

f (x) ddxe1+^dx1 + dx^ ■ #- ^+a1e1

e1dx

a3 Jy(x)-e2(x)dx

Задавая функцию аппроксимации 91(х) функцией, характеризующей неоднородность характеристики основания а1, а2, можно установить значение основного тона частоты.

В качества примера рассмотрим шарнирно закрепленный на двух концах стержень. Пусть

e1 = sinmnx ; f(x) = 1+£x ; y = 1 + цх , здесь £ e [0,1], ц e [0,1]; x = x ■ 1-1. С учетом (12) в (13) получим:

J

(1 + £х)|тП sinmnx-2d 11 mn I cosmnx

sinmnxdx

a3 J(1 + цx)■sin2 mnxdx

1 I mnY - 1 -

J a21 —- sin2mnxdx + a1 J sin2mnxdx

0 У 1 J_0_

1 _ _ •

a3 J(1 + цx) ■ sin2 mnxdx

(14)

Учитывая что,

1 -11- - 1 1 -J sin2 mnxdx = —; J xsin2 mnxdx = —; J sin 2mn xdx = 0 ,

из (12) получим:

(12) <2 =-

(1+0,5£)imn)4+a, I m^l2+a

1

1

(18)

Из вышеуказанных соотношений получим важное соотношение:

/ V ю

/ \2 ю,

1

1 + 0,5ц

Вводим обозначение

(13) ^^

—2 = ю .

(19)

(20)

Из формулы (18) можно получить решение аналогичной задачи без учета внешнего сопротивления среды:

-2 1+0,5£

юз =-

1+0,5ц

(21)

5. Результаты исследований определения значения

круговой частоты с учетом переменности модуля упругости и плотности, а также сопротивления двухконстантного основания

Результаты численного расчета показаны в табл. 1 и на рис. 1.

Отметим, что аналогичные расчеты можно провести для других аппроксимаций и функций, характеризующий материал. Результаты численного анализа показывают, что значения ю существенным образом зависит от вида аппроксимации, функций f(x) и y(x) и от характеристики внешней среды kj, k2.

Из рис. 1, а видно, что при постоянной плотности ц=1 значение круговой частоты ю42 возрастает, а из

a

a

a

рис. 1, б видно, что при различных значениях е (при £ =0 и £=0,3) значения круговой частоты резко отличаются друг от друга.

Таблица 1

Значение круговой частоты ю42, ю2, ю2 от параметров упругости £ и плотности Ц

- 2 - з Ш2 ,<D3

1.4 г

1.2

0.4 -

0,2

О -'-'-1-1-'-1 Ц

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

а

- 1

б

Рис. 1. График зависимости квадрата круговой частоты

ю42, ю 2, ю2) от параметров неоднородности: а — модуля упругости; б — плотности трубы

5. Выводы

Показано, что на значение круговой частоты существенным образом влияют учет:

- переменности модуля упругости;

- плотности;

- сопротивление внешней среды.

В работе рассмотрена задача о собственном колебании прямого участка непрерывно неоднородной по длине трубы, лежащей на двухконстантном основании типа Пастернака, и показано существенное влияние неоднородности трубы и внешней среды на величины круговой частоты.

Литература

1. Тартаковский, С. А. Строительная механика трубопроводов [Текст] / С. А. Тартаковский. - М.: Недра, 1967. - 312 с.

2. Завойчинский, Б. И. Долговечность магистральных и технологических трубопроводов. Теория, методы расчета проектирование [Текст] / Б. И. Завойчинский. - М.: Недра, 1992. - 271 с.

3. Кравчук, А. С. Механика полимерных и композитных материалов [Текст] / А. С. Кравчук, В. П. Майборода, Ю. С. Уржумцев. - М.: Наука, 1985. - 305 с.

4. Маткаримов, А. Исследования колебаний подземных трубопроводов при сейсмических воздействиях [Текст] / А. Маткаримов // Изв. Ан УзССР, серия тех. наук. - 1986. - № 3. - С. 40-44.

5. Gadjiev, V. D. On non-homogeneous underground pipelines stability [Text] / V. D. Gadjiev, Kh. G. Jafarov // Transactions issue mathematics and mechanics, series of physical-technical and mathematical science. Baku. -2013. - Vol. XXXIII, Issue 1. -P. 85-89.

6. Sofiyev, A. H. Effect of the two-parameter elastic foundation on the critical parameters of non-homogeneous orthotropic shells [Text] / A. H. Sofiyev, E. Schack, V. D. Haciyev, N. Kuruoglu //International Journal of Structural stability and Dynamics. - 2012. -Vol. 12, Issue 5. - P. 120048-120065. doi: 10.1142/ s0219455412500411

7. Шамровский, А. Д. Влияние неоднородностей на жесткость консольной балки [Текст] / А. Д. Шамровский, Д. Н. Колесник, Е. Н. Михайлуца // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. - 2013. - Т. 6, № 7 (66). - С. 4-7. - Режим доступа: http://journals. uran.ua/eejet/article/view/18729/17050

8. Carnet, H. Free vibrations of Reinforced elastic shells [Text] / H. Carnet, L. Lieyy // Conference of ASME. Los Angeles, California, 1969. - P. 16-20.

9. Пастернак, П. Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели [Текст] / П. Л. Пастернак. - М.: Стройиздат, 1954. - 56 с.

10. Бабаков, И. М. Теория колебаний [Текст] / И. М. Бабаков. - М.: Наука, 1968. - 559 с.

м=1 Е=0 £=0,3

м м ю2 м ю2

0 0,6666 0 1 0 1,1500

0,2 0,7333 0,2 0,9090 0,2 1,0454

0,4 0,8000 0,4 0,8333 0,4 0,9583

0,6 0,8666 0,6 0,7692 0,6 0,8846

0,8 0,9333 0,8 0,7142 0,8 0,8214

1,0 1 1,0 0,6666 1,0 0,7666

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.