Пондеромоторные силы, действующие на диамагнитный материал в поле постоянного магнита Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.634

ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ДИАМАГНИТНЫЙ МАТЕРИАЛ В ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО МАГНИТА

МИХЕЕВ К.Г.

Институт прикладной механики УрО РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34

АННОТАЦИЯ. Для определения поведения диамагнитной частицы в поле постоянного магнита рассчитана действующая на нее пондеромоторная сила. В расчетах постоянный магнит представлен в виде однослойного соленоида с бесконечно тонкой обмоткой, геометрически соответствующей боковой поверхности магнита, по которой течет намагничивающий ток. Показано, что наибольшее значение пондеромоторной силы наблюдается вблизи краев магнита, и существенно зависит от расположения диамагнитной частицы относительно них. Расчеты подтверждаются проведенными экспериментами.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: диамагнетизм, постоянный магнит, магнитная индукция, пондеромоторная сила. ВВЕДЕНИЕ

В последнее время во всем мире быстрыми темпами развиваются научные направления, связанные с исследованиями объектов с характерными размерами порядка 100 нм и меньше. Исследования в этих направлениях позволяют получать фундаментальные результаты, на основе которых создаются принципиальные новые приборы и устройства, в частности, для применения в технике физического эксперимента. Одним из таких примеров является открытие в нанографитных пленках эффекта оптического выпрямления, позволяющего создавать быстродействующие фотоприемники, работающие при высоких температурах в широкой спектральной области [1-4]. В качестве другого примера можно привести обнаружение светоиндуцированного просветления в суспензиях углерода с луковичной структурой (УЛС) в диметилформамиде (ДМФ) [2-6], открывающее возможность создания магнитоуправляемых оптических затворов. Действительно, одним из механизмов светоиндуцированного просветления может быть взаимодействие агрегатов УЛС с Н-донорными растворителями в поле мощного лазерного излучения [5]. В результате этого возможно гидрирование поверхности УЛС с нарушением проводящего поверхностного слоя, что вызывает обесцвечивание суспензии. Если это происходит именно так, то вполне возможно, что обесцвеченная часть суспензии будет обладать явно выраженными диамагнитными свойствами. Обнаружение диамагнитных свойств просветленной части суспензии можно осуществить с применением явления хорошо известного эффекта выталкивания диамагнитных частиц из неоднородного магнитного поля (см., например, [7]), создаваемого, например, образцом постоянного магнита. Для умелого использования этого явления в эксперименте совершенно необходимо знать характер распределения пондеромоторных сил, действующих на диамагнитную частицу в поле постоянного магнита. В настоящее время разработаны различные компьютерные программы, позволяющие рассчитывать магнитную индукцию магнитов. Однако алгоритмы работы этих программ не доступны пользователю. В связи с этим для получения достоверных данных представляет интерес посчитать распределение магнитного поля и пондеромоторных сил, действующих на диамагнитную частицу в поле постоянного магнита, что является целью данной работы.

ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Известно, что пондеромоторная сила действующая на диамагнитную частицу, по величине прямо пропорциональна абсолютному значению grad(B2), а по направлению противоположна этому вектору. Следовательно, для нахождения поля пондеромоторных сил, необходимо найти поле grad(B), а для нахождения grad(B) необходимо найти поле магнитной индукции В [8].

Плотность / пондеромоторных сил, испытываемых магнетиком, т. е. сила, действующая на единицу объема магнетика, выражается следующей формулой:

ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ДИАМАГНИТНЫИ МАТЕРИАЛ В ПОЛЕ _ПОСТОЯННОГО МАГНИТА_

/ = П ^ (В1), (1)

ъж/л

где ц - магнитная проницаемость среды, определяемая формулой:

/ = 1 + (2) в которой х - магнитная восприимчивость магнетика.

Заметим, что (ц-1) положительно лишь в парамагнетиках, тогда как в диамагнетиках (ц-1)<0 [9]. Отсюда следует, что сила (1) стремится удалить диамагнитные вещества из областей, где индукция поля В имеет максимальное значение, т. е. сила (1) противоположна по направлению grad(B2), о чем и говорилось ранее.

Основные допущения для расчета пондеромоторных сил

Постоянный магнит с аксиальным направлением намагниченности можно рассматривать как однослойный соленоид с бесконечно тонкой обмоткой, геометрически соответствующей боковой поверхности магнита, по которой течет намагничивающий ток г [9] (рис. 1).

Условием эквивалентности магнита и соленоида является равенство их магнитных моментов. Магнитный момент постоянного магнита Рм:

Рм = мм -V, = мм • 5 • I, (3)

где мм - намагниченность магнита, Ум - объем магнита, 5 - площадь поперечного сечения магнита, I - толщина магнита [9].

S

Рис. 1. Эквивалентность постоянного магнита соленоиду с бесконечно тонкой обмоткой

Магнитный момент эквивалентного соленоида Рс равен сумме магнитных моментов всех его витков:

Рс = • г • Б = • г • I • Б = • г • ус, (4)

где - число витков на единицу длины соленоида; Б - площадь, охватываемая витком;

Ус - объем соленоида; I - длина соленоида.

При равенстве магнитных моментов магнита и соленоида, можем записать:

г • Wo = г • w /I = мм. (5)

Следовательно, линейную плотность тока j=iw/l можно рассматривать как намагниченность соленоида:

мс = /1. (6)

Для материалов с прямоугольной петлей гистерезиса (феррит бария, феррит стронция, неодим-железо-бор, самарий-кобальт и т.п.):

мм - Вг //, (7)

где Вг - остаточная индукция, ^0~1,256-10-6 Гн/м - магнитная постоянная.

Таким образом, линейную плотность намагничивающего тока можно выразить приближенной формулой:

} (8)

/

Рассчитать величину и направление вектора магнитной индукции В в произвольной точке магнитного поля однослойного соленоида с известной плотностью тока, можно с помощью закона Био-Савара-Лапласа [7]:

В = (9)

где d/ - вектор элемента проводника, численно равный d/, и проведенный в направлении тока; Я - радиус-вектор, проведенный из этого элемента проводника в рассмотренную точку поля; У- полный ток, протекающий по проводнику; с~3-1010 см/с - электродинамическая постоянная (гауссова система).

Если магнит имеет форму короткого цилиндра, то эквивалентный соленоид приближается по форме к круглому витку, обтекаемому током / [10]. Пусть мы имеем магнит, который выполнен в виде короткого цилиндра, тогда расчет магнитного поля такого магнита сведется к расчету магнитного поля линейного кругового тока.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЛИНЕЙНОГО КРУГОВОГО ТОКА (радиуса Я)

Выбираем начало цилиндрической системы координат х, ф, г в центре окружности, причем угол ф отсчитывается от плоскости, проходящей через ось 2 и точку наблюдения поля. Тогда для составляющих индукции в произвольной точке А можно записать:

В =

У

2 г

В=

С Ху/(Я + х) У 2

+ х)2 + г2

^ Я2 + х2 + г2 „

- К +-2-т Е

(Я - х)2 + г2

С

у1(Я + х)

+ х)2 + г2

К + Я2 - х; - г2 Е

(Я - х)2 + г2

(10)

(11) (12)

(13),(14)

(Я + х)2 + г2 (15)

Здесь У - полный ток, протекающий по проводнику, с~3-1010 см/с -

электродинамическая постоянная (гауссова система). На оси г (х=0), рис.2:

В=0В=(16) (17)

где К и Е - полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода:

п/2 л/2

Е =| л/1 - к2 мп2 всЮ„

0 "V 1 - к sin и 0

л }

К =1

41 - к2 мп2 и'

,2 4 Ях

к2 =

В7

Вх

Рис. 2. Нахождение индукции магнитного поля кольца с током

Для простоты расчетов примем значение для индукции В в точке О (х=0, г=0), равным 1. Получаем:

(18), У Я

0 2пЯ2 У 2пУ ,

В. =-„ „ =-= 1,

с( Я2)3/2 Яс с 2п

Подставляя выражение (16) в формулы (7), (8), получаем:

Я г

В =

В =

П х7 (Я + х) Я1

+ х)2 + г2

п

у1( я + х)

+ х)2 + г2

^ Я2 + х2 + г2 „

- К +-2-г Е

(Я - х)2 + г2

К + Я2- х; - г; Е (Я - х)2 + г2

(19)

(20) (21)

ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ДИАМАГНИТНЫИ МАТЕРИАЛ В ПОЛЕ _ПОСТОЯННОГО МАГНИТА_

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ И ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Выберем систему координат, как показано на рис. 3, и поместим туда кольцо с током. Пусть начало координат совпадает с центром кольца с током, а за положительное направление оси г примем направление индукции магнитного поля кольца на этой оси, определенное по правилу Максвелла (правилу буравчика). Выражение для grad(B ) можно записать в следующем виде:

- дВг 2 г

-■ г +—— • k,

дВ 2

grad (В2) = х

(22)

дх dz

где i, к - единичные вектора, направленные по осям х и z, соответственно.

За единицу измерения осей х и z примем радиус кольца. Таким образом, R =1. Расчёт магнитной индукции и градиента квадрата магнитной индукции, определяемые формулами (20) - (22), будем производить с помощью известного программного продукта Maple следующим образом. Разобьем отрезок [0;2] на оси х на 200 равных отрезков, таким образом, получим точки с шагом в 0,01 (рис.3). По оси z возьмем точки: 0,01; 0,02; 0,03; 0,04; 0,05; 0,075; 1. Для каждой из этих точек построим зависимости Вх, Bz, grad(B2) и угла в от х,

(23)

где

дх дг

Очевидно, что в силу симметричности кольца относительно его центра абсолютные

значения Вх, Bz, grad(B ) и угла в будут симметричны относительно точки х=0.

z

2

-2

кольцо 0 а) х

х

б)

а) - вид на кольцо сбоку; б) вид на кольцо прямо (показано направление тока) Рис. 3. Расположение кольца тока в системе координат

На рис. 4 показано расположение угла в в системе координат.

>21 Х4

А кольцо

дВ

дх

grad(B2) в

z

1 •

-L

Рис. 4. Расположение угла р в системе координат

1

1

0

На рис. 5 показана зависимость составляющей магнитной индукции по оси х Вх от х при различных г. Видно, что при каждом значении г, Вх принимает свое максимальное значение в точке х=1, что соответствует точке, находящейся непосредственно напротив провода с током. В центре кольца с током магнитная индукция Вх принимает нулевое значение. Также стоит отметить, что чем большее значение принимает значение 2, тем меньшее значение принимает максимальное значение Вх. Таким образом, при удалении от кольца с током составляющая магнитной индукции, направленная по оси х, уменьшается.

На рис. 6 представлена зависимость составляющей магнитной индукции по оси г от х при различных значениях г.

л', ошн.ед

(1) - (7=0,01); (2) - (г=0,02); (3) - (г=0,03); (4) - (г=0,04); (5) - (г=0,05); (6)- (7=0,075); (7) - (г=0,1) Рис.5. Зависимость Вх по оси х от х при различных значениях г

(1) - (г=0,01); (2) - (г=0,02); (3) - (г=0,03); (4) - (г=0,04); (5) - (г=0,05); (6)- (7=0,075); (7) - (г=0,1) Рис.6. Зависимость составляющей магнитной индукции по оси г от х при различных значениях г

На этом рисунке отрицательное значение Вг объясняется тем, что вектор индукции направлен противоположно оси г - это происходит вне контура с током. Из рис. 6 видно, что

ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ДИАМАГНИТНЫЙ МАТЕРИАЛ В ПОЛЕ _ПОСТОЯННОГО МАГНИТА_

Вг принимает максимальные по модулю значения в интервалах значений х от 0,95 до 1 и от 1 до 1,05 (что соответствует окрестностям провода с током) при очень малых значениях г, и в центре кольца при больших значениях г. Таким образом, непосредственно вблизи плоскости кольца магнитная индукция, направленная по оси г, увеличивается при движении от центра кольца к его краям, а непосредственно в точке х=1 принимает минимальное значение, и далее меняет свое направление на противоположное. При этом также принимает максимальное значение непосредственно около края кольца с током и далее уменьшается.

Следует отметить, что, как у Вх, так и у Вг максимальное значение на порядок отличается от минимального значения.

При построении \grad(B )\ от х при различных значениях г использовалась формула (22), из которой легко можно получить формулу для абсолютного значения grad(B2):

\grad (В2) = .

V

дВх ^+(дВ2 )2 .

(24)

дх дг

На рис. 7 представлена зависимость абсолютного значения градиента квадрата магнитной индукции от х при различных значениях г. Видно, что \grad(B2)\ принимает максимальные по модулю значения в интервалах значений х от 0,97 до 1 и от 1 до 1,03 (что соответствует окрестностям провода с током) при разных значениях г. В точке х=1 функция \grad(B (х))\ имеет локальный минимум. Отметим, что максимальное значение функции для всех г до локального минимума выше максимального значения после него, при этом максимальное значение функции превосходит минимальное на несколько порядков, в связи с этим на рисунке не показаны зависимости для г = 0,075 и г = 0,1.

1,01 х.онт. 1'0.

(1) - (г=0,01); (2) - (г=0,02); (3) - (г=0,03); (4) - (г=0,04); (5) - (г=0,05) Рис.7. Зависимость \^тай(В2)1 от х при различных значениях г

(1) - (г=0,01); (2) - (г=0,02); (3) - (г=0,03); (4) - (г=0,04); (5) - (г=0,05); (6)- (¿=0,075); (7) - (г=0,1) Рис.8. Зависимость угла р от х при различных значениях г

Чтобы выяснить направление вектора градиента магнитной индукции, построим зависимость угла в от х при различных г. Эта зависимость приведена на рис. 8. Вблизи центра кольца при всех значениях г направление градиента магнитной индукции направлено практически противоположно направлению оси г (в~0). При приближении от центра к краю кольца, направление градиента квадрата магнитной индукции стремится стать параллельным оси х и тем резче, чем меньше расстояние 2. Вблизи точки х=1 угол в резко меняет свой знак, что означает изменение знака составляющей градиента по оси х. Таким образом, за пределами кольца с током вблизи него градиент практически антипараллелен оси х (в~83°) для всех значений г. Затем при удалении от кольца вектор градиента квадрата магнитной индукции выпрямляется таким образом, чтобы стать противонаправленным оси г (угол в увеличивается до 0).

Интерпретируем полученные результаты для нахождения поля пондеромоторных сил, действующих на диамагнитный материал. Учитывая формулу (1), можно сказать, что пондеромоторная сила / действующая на диамагнитную частицу пропорциональна абсолютному значению

учетом этого можно построить распределение пондеромоторных сил вблизи кольца с током (рис. 9). Заметим, что это распределение является лишь качественным, и с его помощью невозможно определить точное значение силы, действующей на частицу в конкретной точке, но возможно оценить направление характер действия силы на диамагнитную частицу в конкретной точке поля.

Рис. 9. Распределение пондеромоторных сил вблизи кольца с током

ЭКСПЕРИМЕНТ

Экспериментальная проверка проведенного расчета проводилась теслаамперметром 4354/1, принцип действия которого основан на эффекте Холла, и предназначенный для измерения индукции постоянных магнитных полей и силы постоянного тока.

Прибор имеет германиевый датчик, который помещается в исследуемом поле. Размеры щупа датчика позволяют производить измерения в зазорах от 1 мм.

В силу того, что размеры датчика не позволяли измерять магнитную индукцию непосредственно вблизи магнита, и они сопоставимы с размерами самого магнита, в эксперименте измерялась только индукция магнитного поля, направленная вдоль оси х.

Магнит имел форму тонкого параллелепипеда, основания которого соответствовали полюсу магнита. Несмотря на различие форм рассчитываемого и экспериментального магнитов, данный эксперимент позволяет оценить правильность проведенных расчетов, так как различие между магнитами заключается лишь в геометрической форме оснований (полюсов). Схема эксперимента представлена на рис. 10.

Измерения магнитной индукции, направленной по оси х, проводились в нескольких точках вдоль этой оси на различном удалении от плоскости полюса магнита (при различных значениях г). При значениях г=0,1 и г=0,2 представлялось возможным измерить магнитную индукцию лишь в следующих точках: х=1, х=2 в силу того, что размеры щупа не позволяют

ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ДИАМАГНИТНЫЙ МАТЕРИАЛ В ПОЛЕ _ПОСТОЯННОГО МАГНИТА_

проводить измерения при других значениях х. Измерения же при г=0,25 были проведены по нескольким точкам (рис. 11).

£

прибор

щуп

полюса магнита

г

Рис. 10. Схема эксперимента

Рис. 11. Экспериментальные зависимости Вх от х при различных г

Несмотря на невозможность измерения магнитной индукции во многих точках вблизи магнита, построенные зависимости позволяют оценить характер ее поведения как функции от координат х и г. Так, видно, что наибольшее значение Вх в экспериментах наблюдается вблизи краев магнита (при х= 1) и уменьшается при удалении от плоскости полюса (рис.12).

Рис. 12. Теоретические зависимости Вх от х при различных г, полученные в данном расчете

Сравнение теоретических и экспериментальных результатов показывает, что характер изменения магнитной индукции идентичен в обоих случаях, что позволяет сделать вывод, что проведенный расчет магнитной индукции, а, следовательно, и распределения пондеромоторных сил соответствуют действительности.

х

г

-1

ВЫВОДЫ:

Были рассчитаны распределение магнитной индукции постоянного магнита и пондеромоторных сил, действующих на диамагнитную частицу вблизи его полюса. Было показано следующее:

1. Наибольшее значение пондеромоторной силы, действующей на диамагнитную частицу в поле постоянного магнита с аксиальным направлением намагниченности наблюдается вблизи краев магнита.

2. В пределах полюса магнита (-1 <x< 1), пондеромоторная сила стремится вытолкнуть диамагнитную частицу дальше от себя в сторону центра, за пределами (x<1 или x>1) магнита - от центра.

3. Чем дальше от полюса магнита находится частица, тем меньше действует на нее пондеромоторная сила, и наоборот: чем ближе к полюсу магнита располагается частица, тем сильнее действует на нее пондеромоторная сила со стороны магнитного поля.

Полученные расчетные зависимости находятся в хорошем согласии с результатами проведенных экспериментов.

Автор выражает признательность Александру Ивановичу Ульянову за предоставление магнитометра, а также Геннадию Михайловичу Михееву за постановку задачи и обсуждение полученных результатов.

Работа выполнена при финансовой поддержке президиумов Уральского отделения и Сибирского отделения РАН (интеграционный проект № 102)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Михеев Г.М., Зонов Р.Г., Образцов А.Н. и др. Оптическое выпрямление в углеродных нанопленках // ЖЭТФ. 2004. Т. 126, № 5. С. 1083-1088.

2. Михеев Г.М., Зонов Р.Г., Образцов А.Н. и др. Быстродействующий фотоприемник мощного лазерного излучения на основе нанографитной пленки // ПТЭ. 2005. Т. 3. С. 84-89.

3. Михеев Г.М., Зонов Р.Г., Образцов А.Н. и др. Спектральная зависимость эффекта оптического выпрямления в нанографитных пленках // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31, №3. С. 11-17.

4. Михеев Г.М., Зонов Р.Г., Образцов А.Н. и др. Эффективность быстродействующего нанографитного оптоэлектрического преобразователя в воздушной атмосфере при высоких температурах // Письма в ЖТФ. 2009. Т. 35, № 19. С. 44-52.

5. Михеев Г.М., Кузнецов В.Л., Булатов Д.Л. и др. Светоиндуцированная прозрачность суспензии наноуглеродных частиц луковичной структуры // Письма в ЖТФ. 2009. Т. 35, № 4. С. 21-29.

6. Михеев Г.М., Кузнецов В.Л., Булатов Д.Л. и др. Оптическое ограничение и просветление в суспензии углеродных наночастиц с луковичной структурой // Квантовая электроника. 2009. Т. 39, № 4. С. 342-346.

7. Berry M.V., Geim A. K. Of flying frogs and levitrons // Eur. J. Phys. 1997. №18. P. 307-313.

8. Тамм И. Е. Основы теории электричества : уч. пособ. для ВУЗов / 10-е изд., испр. М. : Наука, 1989. 504 с.

9. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том VII «Электродинамика сплошных сред» / 2-е изд., перераб. и доп. Е.М. Лифшицем и Л.П. Питаевским. М : Наука, 1982. 621 с.

10. Альтман А.Б., Герберг А.Н., Гладышев П.А. и др. Постоянные магниты : справочник / под ред. Ю.М. Пятина / 2-е изд., перераб. и доп. М. : Энергия, 1980. 488 с.

THE PONDEROMOTIVE FORCES AFFECTING THE DIAMAGNETIC MATERIAL EXERTED BY A CONSTANT MAGNET

Mikheev K. G.

Institute of Applied Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia

SUMMARY. The ponderomotive force affecting the diamagnetic particle has been calculated to estimate its behavior in the field of a constant magnet. The constant magnet is represented as a one-layer solenoid with an infinitely thin winding geometrically being the lateral face of the magnet through which the magnetizing component is flowing. It has been shown that the maximum value of the ponderomotive force near of the magnet edges is observed and it depends on the location of the diamagnetic particle with respect to the magnet edges appreciably. The calculations are proved experimentally.

KEYWORDS: diamagnetism, constant magnet, magnetic induction, ponderomotive force.

Михеев Константин Георгиевич, аспирант ИПМ УрО РАН, e-mail: koshtya@gmail.com