Полумарковский процесс как модель для описания алгоритмов Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Key words: natural language processing, method of cardinal numbers processing, machine translation, linguistic Internet service.

Grinchenko Natalya Nikolayevna, candidate of technical science, docent, grinchen-ko_nn@,mail. ru, Russia, Ryazan, Ryazan State Radio Engineering University,

Tsybulko Dmitriy Mikhailovich, undergraduate, dmitriy. tsybulko@,gmail. com, Russia, Ryazan, Ryazan State Radio Engineering University

УДК 004.415.2

ПОЛУМАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС КАК МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПИСАНИЯ

АЛГОРИТМОВ

С.Л. Гусева, А.С. Новиков

Рассмотрены основные характеристики электронных вычислительных машин. Выявлена зависимость между быстродействием компьютера и ««линейностью» выполняемой программы. Получена модель для описания реализации программ в виде полумарковского процесса.

Ключевые слова: быстродействие, вероятность, полумарковский процесс, случайная величина, функция распределения, электронные вычислительные машины.

На современном этапе развития науки и техники трудно представить жизнедеятельность людей без электронных вычислительных машин (ЭВМ): масштабы их применения находятся в широчайшем диапазоне от прогнозирования экологической обстановки целых регионов и управления гигантскими индустриальными центрами до автоматических определителей номеров в телефонах.

Электронная вычислительная машина - это комплекс технических (аппаратных) и программных средств для обработки информации, вычислений, автоматического регулирования [1].

Факт того, что использование вычислительной техники для решения научных, информационных и других задач стало повсеместной и неотъемлемой частью в жизни людей, ставит постоянный вопрос о повышении требований к характеристикам и показателям ЭВМ, главными из которых являются [2]:

- операционные ресурсы (множество реализуемых в электронной вычислительной машине операций обработки, хранения и ввода-вывода информации);

- быстродействие (число операций, выполняемых ЭВМ в 1 секунду.

Так как разные операции выполняются с разной скоростью, то правильно говорить о среднем быстродействии электронной вычислительной машины на разных классах задач, которое определяется с учетом вероятностей использования каждой операции при решении заданного класса задач. Другими словами, быстродействие определяется как время между вводом данных для решения поставленной задачи и выводом результата решения);

- производительность (измеряется средним числом задач, решаемых на ЭВМ в единицу времени. Данная характеристика зависит от быстродействия процессора, устройств ввода-вывода, порядка прохождении задач в машине и т.д. Увеличение производительности происходит при совмещении операций ввода-вывода с обработкой, при использовании мультипрограммного и мультипроцессорного режимов работы);

- надежность (это свойство ЭВМ выполнять заданные функции, не изменяя во времени значения установленных эксплуатационных параметров, в заданных пределах, соответствующих определенным режимам и условиям эксплуатации, включающим условия использования, технического обслуживания, ремонта, хранения и транспортирования. Увеличение надежности происходит путем резервирования, которое заключается во введении в состав электронной вычислительной машины или отдельных устройств избыточного оборудования);

- стоимость (суммарная стоимость всего оборудования и программного обеспечения, входящего в ее состав. Примечательно, что улучшение какой-либо из перечисленных выше характеристик ЭВМ в рамках данного уровня технологии приводит к увеличению ее стоимости).

Из всех вышеперечисленных характеристик быстродействие является одной из самых важных, определяющих эффективность применения вычислительных комплексов различного назначения.

Быстродействие зависит от целого ряда факторов [2], таких, как:

- элементная база и архитектура электронной вычислительной машины;

- форматы представления данных и допустимые ограничения на точность вычислений;

- структура каналов связи и протоколы обмена данными;

- операционная система;

- математические модели процессов, по которым строятся вычислительные алгоритмы, алгоритмы обработки информации;

- общая структура программного обеспечения, степень общности применяемых программ.

Кроме того, быстродействие зависит и от того, насколько любая программа, выполняемая на компьютере, «линейна» по своей структуре.

К моменту начала разработки программного обеспечения большая часть из перечисленных факторов определена либо разработчиками аппаратных средств, либо нормативной документацией, поэтому оптимизация

времени вычислительных процессов осуществляется за счет моделей процессов решения задач и алгоритмов их реализации.

При написании программы, выполняющей алгоритм любого уровня сложности, невозможно избежать использования команд, нарушающих линейность программы: команды перехода, команды цикла, команды вызова подпрограмм, команды прерываний и т.д. (далее - точки разрыва), - и имеющих вероятностный характер, поэтому можно утверждать, что время выполнения как каждой команды в отдельности, так и программы в целом является случайной величиной.

Пусть любая программа, выполняемая на электронной вычислительной машине, представляет собой некоторую систему, которая в каждый момент времени может находиться в одном из N возможных состояний (точек разрыва) х^, X2, ..., XN, причем известны начальное состояние системы (в начальный момент времени она находится в состоянии #0 = XI) и вероятности перехода кjk = Р\вт = XN | 0т= х^ } _/, к = 1, N . Следовательно, процесс вт = в($т) есть однородная цепь Маркова.

Каждому ненулевому элементу рд матрицы вероятностей перехода сопоставлена случайная величина Tjk - время пребывания системы в состоянии Xj (при условии, что следующим состоянием, в которое она перейдет, будет Хк). Данной величине соответствует функция распределения Fjk ) = Fjk (рjk £ ^). Считается, что при этом величина Tjk является неотрицательной и непрерывной и ей сопоставлена плотность вероятности f jk ($). Другими словами, величина Tjk является временем ожидания в состоянии х j до перехода в Xk.

Графическая интерпретация перехода системы из одного состояния в другое согласно полумарковскому процессу представлена на рисунке.

Переход системы из одного состояния в другое в соответствии

с полумарковским процессом

Точка, отображающая поведение системы на плоскости, остается в состоянии х у в течение времени Ту£, прежде чем она перейдет в состояние

х£. По достижении х£ «мгновенно» (в соответствии с матрицей вероятностей перехода {лук}) выбирается следующее состояние XI. Тогда время ожидания в х£ полагается равным Т^ с функцией распределения ^) и плотностью вероятностей ) (при условии выбора состояния Х[). Данный процесс может продолжаться бесконечно долго. Если в($) обозначить состояние системы, занятое в момент времени I, то полученный случайный процесс принято называть полумарковским.

Из приведенного определения следует, что если не учитывать случайный характер времени ожидания и рассматривать только моменты перехода, то процесс 6^) будет представлять собой однородную цепь Маркова (или вложенной цепью Маркова, а в общем случае - вложенным марковским процессом) [3]. Однако при учете пребывания процесса в разных состояниях в течение случайного отрезка времени процесс б() не будет удовлетворять уравнению Маркова (если не все времена распределены экспоненциально) [3]. Следовательно, процесс является марковским только в моменты перехода, поэтому вышесказанное доказывает название «полумарковский процесс» или «полумарковская цепь».

При заданном начальном состоянии дальнейшее поведение полумарковского процесса (полумарковской цепи) полностью определяется матрицей вероятностей перехода {лд }, j, к = 1, N и матрицей функций распределения (?)} или (для непрерывных случайных величин Tjk) матрицей плотностей вероятностей {/)}.

Пусть в некоторый момент времени, принимаемый за начальный (to = 0), система находится в состоянии XI, а за следующее состояние выбрано (с соответствующей вероятностью лу из матрицы вероятностей перехода) состояние х j. Тогда согласно теоремам умножения и сложения

вероятностей безусловная функция распределения общего времени ожидания системы в состоянии х^ будет иметь вид

N _

Fl^) = Р{ц < г}= ЪлуЪу ^),I,у = 1,N. (1)

I=1

Соответственно для безусловной плотности вероятности общего времени ожидания в выбранном состоянии х1 запишется так:

N _

О^)= Ълу/у^),I,У = 1,N. (2)

I=1

Среднее значение безусловного времени ожидания в состоянии х1

T)=î twi (t )dt=ip-T).

¥ N

N

(3)

0

i=1

Таким образом, было получено, что для алгоритмов, представленных в виде программ, выполняемых на электронных вычислительных машинах, моделью для описания их выполнения является полумарковский процесс, что является основанием для проведения дальнейшего исследования. Его главными задачами являются определение закона распределения времени ожидания процесса в некотором из множества состояний и, как следствие, расчет всех временных параметров выполнения программы (математическое ожидание, дисперсия и т.д.). Наряду с этим в будущем планируется разработка программного обеспечения для удобства моделирования описанного выше процесса и вычисления необходимых характеристик.

1. Азимов Э.Г., Щукин А.Н. Новый словарь методических терминов и понятий (теория и практика обучения языкам). М.: Изд-во ИКАР, 2009.

2. Организация ЭВМ и систем: учеб. / под ред. акад. В.К. Левина. М.: Гелиос АРВ, 2008. 400 с.: ил.

3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1964 . 511 с.

Гусева Светлана Львовна, магистрант, еирИопа-батаИ. ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Новиков Александр Сергеевич, канд. техн. наук, доц., thesis-tsuа,vandex.ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет

SEMI-MARKO VIAN PROCESS AS A MODEL FOR DESCRIPTION OF ALGORITHMS

We analyzed the main characteristics of electronic digital computing devices. We have discovered the dependency between computer speed and the linearity of the executable code. We managed to receive the model for the description of the programm implementation in the form of semi-Markovian process.

Key words: computer speed, probability, semi-Markovian process, random variable, distribution function, electronic digital computing machine (device).

Guseva Svetlana L 'vovna, undergraduate, euphoria-6@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Novikov Alexandr Sergeevich, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University

Список литературы

448 с.

S. L. Guseva, A.S. Novikov