CC BY
37
УДК 612.13 601 1
О. В. Филатова, Л. А. Хворое а, В. Д. Киселев, И. В. Неверова
ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ВЯЗКОЭЛАСТИЧНОГО ПОВЕДЕНИЯ АРТЕРИАЛЬНОЙ СТЕНКИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ СКОРОСТИ ПОТОКА
Изучение вязкоэластичных свойств крупных артериальных сосудов необходимо для понимания деятельности сердечно-сосудистой системы. Биомеханические свойства артерий совместно с геометрическими параметрами определяют давление, диаметр, скорость распространения пульсовой волны в различных частях артериального русла. Возрастание интереса к механическим параметрам стенки артериальных кровеносных сосудов связано с использованием неинвазивных методов исследования кровеносной системы человека (в частности, кровеносных сосудов), включающих в себя измерение скорости распространения пульсовой волны [1], регистрации волн давления и расхода крови [2], профиля скорости течения крови в сосудах [3]. ультразвуковое исследование свойств сосудистой стенки [4]. Названные параметры связаны с механическими свойствами стенок кровеносных сосудов, и обоснование их использования предполагает построение математической модели явлений, описание процесса в рамках биомеханики и выработку, исходя из модели, критериев для определения характеристик сосудистой стенки, основывающихся на измерении в эксперименте параметров волновых явлений. Большинство работ, касающихся биомеханических свойств крупных артерий, выполнено на образцах ткани артериального сосуда (полосках, кольцах) [5, 6]. В конце 70-х гг. был открыт феномен эндотелий-зависимой поток-индуцируе-мой регуляции диаметра артериальных сосудов. Внутренняя выстилка артерий — эндотелий способна чувствовать напряжение сдвига ближайшего к ней слоя жидкости, выделять эндотелиальный релаксирующий фак-тор (ЭРФ) и регулировать таким образом диаметр сосуда [7, 8J. В связи с вышесказанным приобретает актуальность экспериментальное исследование биомеханических свойств артерий в условиях, максимально приближенных к условиям in situ, — на цилиндрическом участке сосуда с учетом скорости потока перфузионной жидкости.
Целью данной работы явилось экспериментальное исследование механических свойств общей сонной артерии кролика в за-
висимости от скорости потока, создание адекватной математической модели вязкоэлас-тичного поведения сосудистой стенки в широком диапазоне артериального давления.
Методика
Проведено 20 острых опытов на кроликах массой 3,5-4 кг, наркотизированных кетами-ном (13 мг/кг внутривенно, премедикация аминазином). У животных отпрепаровывали левую общую сонную артерию, отходящие сосуды тщательно перевязывали, исследуемый сосуд канюлировали, сохраняя длину, равную длине in vivo. Вход насоса соединяли с исследуемой артерией, после чего начинали перфузировать в условиях задаваемого, автоматически стабилизируемого давления (подробно методика перфузии и стабилизации давления описана нами ранее [9]). Наружный диаметр артерии измеряли контактным циркульным датчиком с высоко линейным дифференциальным преобразователем емкостного типа
После 30-минутного периода стабилизации артерию перфузировали собственной цельной кровью животного с добавлением гепарина, забираемой из крупной артерии и возвращаемой в одну из крупных вен. Изучение статических биомеханических свойств артериальных сосудов производилось в условиях нагружения артерий давлением в диапазоне от 0 до 240 мм рт. ст. с шагом 20 мм рт. ст., объемная скорость потока варьировала в пределах от 7,5 мл/мин до 60 мл/мин. В заключительном периоде опыта сегмент артерии определенной длины вырезали, взвешивали на торсионных весах и по величине массы участка артерии определяли толщину стенки.
Регистрация результатов осуществлялась на самописце КСП-4 с дополнительным контролем на цифровом четырехразрядном вольтметре Щ1413.
Основные экспериментальные данные
и обсуждение результатов исследования
Зависимость диаметра от давления. На рисунке 1 изображены зависимости диаметра общей сонной артерии кролика от давления с учетом скорости потока. Кривые нагружения
ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ВЯЗКОЭЛАСТИЧИОГО ПОВЕЛЕНИЯ.
1.0
0,5
1,0
D. отн. ед. ^ 0=7,5 мл/мин
V У
/
1,0
100
200 Р, мм рт. ст.
0.5
D, отн. ед. / / / Q = 45 мл/мин
7 /
Т/Г /
0,5 1.0
D, отн. ед. ^ !Л 0=30 мл/мин
/ /4
/ / ///
100
200 Р, мм рт ст.
0.5'
D. отн. ед. /// 0=60 мл/мин
7/ / /
Г
100
200 Р. мм рт ст.
100
200 Р, мм рт. ст.
Рис. 1. Прирост диаметра общей сонной артерии кролика в зависимости от величины растягивающего давления с учетом скорости потока (кривые получены усреднением данных по 20 сосудам)
и разгружения артерий давлением не совпадают, наблюдается феномен гистерезиса. Как показано в ряде работ, феномен гистерезиса наблюдается при исследовании биомеханических свойств артерий 11,10], чаще всего он объясняется вязкоупругими свойствами сосудистой стенки.
Построение математической людели. Исходя из характерного поведения кривых для математического описания зависимости диаметра сосуда от величины трансмураль-ного давления были выбраны следующие зависимости:
с?(р) = л; + а] р ■ рг + а+ ■ рг + а\ ■ р*\
сГ(р) =а~ + а~р • р2 + ау р* + а~А р\
где с1+(р) — зависимость диаметра от давления при нагружении и разгружении давлением.
Ограничения записывались исходя из следующих условий:
1)<Г(240) = ^(240);
2) * (р) <, сГ(р/ /=0,11, р =20 • /;
4 <г "" 4 <зг м
Значения диаметра для каждого значения давления были усреднены,и вычислено среднее квадратичное отклонение по следующим формулам:
a.-j-lV-Q.i*
н
м
Чтобы добиться большей однородности, данные были нормированы. Нормировка производилась по наибольшему диаметру:
max
Поскольку нормированные значения диаметра и ненормированные значепия трансму-рального давления сильно отличаются друг от друга, для уменьшения ошибки в вычислениях была проведена нормировка значений трансмурального давления аналогично тому, как были пронормированы значения диаметра, т. е.:
. гдер = 240.
Р mux
Таким образом, вычисления производились для нормированных значений трансму-рального давления с погрешностью е =3- а.
Параметры а,+, аГ — максимальное и минимальное значения площади петли упругого гистерезиса — определялись с помощью пакета MCN методом центра неопределенности.
В результате использования пакета МСЫ получили коэффициенты а,, максимальное и минимальное значение площади в нормированном виде. Для перехода от нормированных значений к реальным использовались следующие формулы: а 1
= 240'' гае/ = 0Л' 5 = 5- 240.
Результаты сопоставления экспериментально наблюдаемой и рассчитанной зависимости диаметра артериального сосуда от давления представлены на рисунке 2. Соответствие полученных зависимостей реальным экспериментальным данным проверяли с помощью критерия согласия х2-
150 200 150
Трансмуральное давление
- х12, ---х 11
----у 12,--yil,
Рмс. 2. График зависимости диаметра сосуда от давления
Для визуализации и анализа данных использовались вычислительные и графичес-кие возможности пакета МаШСас!, с помощью которого были созданы базы данных, хранящие информацию о проведенных экспериментах, проведена статисгическая обработка и нормировка данных, построены графики зависимостей диаметра сосуда от величины траясмурального давления С увеличением скорости потока кривая «диаметр—давление» смещается влево и вверх, значение диаметра для больших скоростей можно получить внесением поправки /(р, V) в значения диаметра для меньшей скорости крово-
тока (У=7,5 мл/мин). Зависимость диаметра артериального сосуда приобретает вид:
Р(р.У)=с115(р)+/(р,У), (7)
где ъ(р) — зависимость диаметра сосуда от давления при скорости кровотока У=7,5 мл/мин.
Рассмотрим два вида поправок, которые были подобраны исходя из поведения кривых для различных скоростей потока Каждая из этих функций равна нулю на границах рассматриваемого интервала и принимает максимальное значение п (1=1,4) при значении давления р=60 мм рт. ст., где коэффициент Г| рассчитан из экспериментальных данных для каждой из рассматриваемых скоростей потока выше Уо=7,5 мл/мин.
I) /О>.Ю =
— р. если »¿60, 60 и У
р 44
—---г,, если о <60;
180 Ъ) ' '
2) Ар, v) = — ^
г,-{р\- 240 ■ рк)
, где i = 1,4, к = 0,12 .
р2к ± 7200
Для вновь полученных зависимостей было рассчитано среднее квадратичное отклонение расчетных данных от экспериментальных.
Площадь петли гистерезиса. При исследовании биомеханических свойств артерий, как правило, игнорировалась площадь петли упругого гистерезиса [12, 16). На наш взгляд, величина площади петли гистерезиса, расположение кривых нагружения и разгружения заключают в себе физиологически ценную информацию. Использование модели для анализа физиологических данных позволило выявить, что при увеличении скорости потока кривая нагружения смещается влево и вверх, площадь петли гистерезиса прогрессивно уменьшается (рис. 1) (площадь петли гистерезиса уменьшается от 15,6 мм при потоке 7,5 мл/мин к 12,7 мм2 при потоке 30 мл/мин, 8,4 мм- при потоке 45 мл/мин, 1,5 мм2 при потоке 60 мл/мин).
Дифференциа.1ъный модуль упругости Юнга материала стенки артерий. Для оценки усредненной жесткости материала стенки был проведен расчет дифференциального модуля упругости как интегрирующей характеристики упругих свойств материала стенки артерий. Для расчета использовалась формула Hudetz [11], сходная по смыслу с модулем по Bergel [12]:
р 3 АР &rD< 3 Р Я Е - ~ • — • ——== + х •
2 AD 2 Dj-Df
ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ВЯЗКОЭЛАСТИЧНОГО ПОВЕДЕНИЯ.
Так как дифференциальный модуль упругости применяется для описания небольших деформаций, формула принимает вид:
£ = 4
3 W. Dl ^-i . 3 Р.'**
- + - •
2 D-D , D-D2 2D1- Dl
en cn-l rti rn mi ^fo
Так как материал стенки несжимаем для тонкостенных сосудов,
то формула принимает вид:
3 Л - Л E = i
2 »«-К 2 Oio-^u
Преобразуем:
2 4 К "
л,-
где У — объем сосуда (У=т/р, где р=1,06 г/см3), Ь — длина сосуда, Р — величина давления, О — диаметр сосуда.
На рисунке 3 отражена зависимость модуля упругости от давления, которая носит нелинейный немонотонный Б-образный или двойной Б-образный характер, выраженный тремя плато. При малых величинах давления эйгесткость материала стенки сравнительно невелика независимо от действующего потока. Окончание плато 1 для всех сосудов приходится на давление, близкое к величине 60 мм рт. ст. Наиболее вариабельным является плато 2. В зависимости от скорости потока изменяется как точка начала плато, так и величина модуля упругости.
Для материала стенки кровеносных сосудов, как и для большинства биологических тканей [13], характерна нелинейность упругого поведения. Сосудистая стенка представляет собой композитную структуру, ее поведение не подчиняется действию классического закона Гука, что ограничивает приложение уравнений классической механики к анализу данной системы. Согласно сложившимся на настоящий момент представлениям, механическое поведение стенки определяют ее компоненты — эластиновые и коллагеновые волокна. Считается, что при низких величинах внутреннего давления главную роль играют эластиновые мембраны, при физиологических величинах — об?, компонента, а при высоком внутреннем давлении — коллагеновые волокна [14]. Количественный анализ полученной нами зависимости модуля упругости от давления позволил применить для объяснения поведения артерии при растяжении давлением трехкомпонентную модель строения и поведения сосудистой стенки Фолкова |15], представляющую собой конструкцию,
включающую упругий резиноподобный материал эластин, гладкие мышцы — материал со свойствами, изменяющимися в зависимости от степени релаксации, жесткий, малорастяжимый коллаген. При низких значениях давления деформации подвергаются многочисленные эластиновые мембраны. Величина модуля упругости плато 1 количественно близка модулю упругости чистого эластина (3 105 Н/м2) [10]. Величина модуля упругости плато 2 количественно хорошо соответствует модулю упругости гладких мышц (105—2 • 10е Н/м2) [10]. Хотя можно предположить, что в данном диапазоне давлений гладкая мускулатура уже начинает испытывать поддержку коллагена (скорее всего, это коллаген, оплетающий миоциты, а не коллаген из адвенти-тши). Модуль упругости чистого коллагена 10а Н/м2 [10], величина модуля упругости плато 2 возрастает в среднем от 1,79 • 106 Н/м2 до 3,93 • 106 Н/м2. Скорректированная с процентным содержанием гладкой мускулатуры величина модуля упругости плато 2 в среднем изменяется от 0,72 • 10б Н/м2 до 1,57х х 10 Н/м2, поддержка пассивного скелетона составляет менее 1%. При увеличении потока до 45 мл/мин усиливается релаксирующее действие эндотелия, миоциты испытывают поддержку пассивного скелетона при давлении 144±12 мм рт. ст., вклад коллагена составляет при этом не более 2%. Начиная с давления 192±14 мм рт. ст., модуль упругости возрастает до величины 3,7 • 106 Н/м2, поддержка пассивного скелетона составляет 4%. При действии максимального потока в сосуде возникают такие деформации, что требуется вклад коллагена уже при величине давления 120±14 мм рт. ст., вклад его составляет не
*ю* Н/м' 15
10
1 ——— __S
/ / / -/— т
7 -Т-- г
• ИГтГу**" 1
100
200 Р, мм рт. ст.
Рис. 3. Зависимость дифференциального модуля упругости Юнга от величины растягивающего давления. Скорость потока: 1 — 7,5 мл/мин; 2 — 30 мл/мин; 3 — 45 мл/мин; 4 — 60 мл/мин; 5 — 30 мл/мин (сосуд обработан папаверином)
более 4% (модуль упругости плато 2 составляет 6,71-7,04- 10б Н/м2).
Полученные данные позволяют говорить о том, что при низких величинах внутреннего давления главную роль играет эластин, при физиологических величинах — гладкая мускулатура при поддержке коллагена, а при высоком внутреннем давлении — коллагено-вые волокна [14]. Чувствительность эндотелия к напряжению сдвига является, по-видимому, не только дилататорным, но и кон-стрикторным фактором. Уменьшение скорости потока приводит к снижению напряжения сдвига на эндотелии и, как следствие, к уменьшению выделения ЭРФ. Напротив, увеличение потока приводит к увеличению выделения ЭРФ, что и проявляется в смещении кривых нагружения «диаметр—давление» петли гистерезиса влево и вверх, плато 2 на кривых «модуль упругости—давление» в соответствии с величиной скорости потока.
Учитывая, что расслабленная гладкая мускулатура вносит небольшой вклад в сопротивление, оказываемое сосудистой стенкой давлению, считают, что зависимость модуля упругости от давления погружения сосуда, обработанного папаверином или другими релаксантами, отражает свойства пассивного скелетона [16]. При нагружении давлением
сосуда, обработанного папаверином, наблюдается возрастание жесткости сосуда почти в 250 раз при величине давления 126±17,8 мм рт. ст. (модуль упругости возрастает от 0,05 106 Н/м2 до 12,5 106 Н/м2), вклад коллагена при этом оценивается в 15%. Если учесть, что волокна коллагена упакованы разнонаправленно, становится понятным, почему коллаген вносит не 100%-й вклад в жесткость артерий при полностью расслабленных миоцитах.
Таким образом, использование математической модели для анализа физиологических данных выявило зависимость площади петли гистерезиса от скорости кровотока. Жесткость артерий, количественно выраженная зависимостью модуля упругости Юнга от давления, изменяется с увеличением скорости потока крови. Сложный нелинейный характер взаимосвязи модуля упругости с давлением позволяет характеризовать вклад элементов сосудистой стенки, отмечать величину давления, при которой различные элементы сосудистой стенки противостоят внут-рисосудистому давлению.
Работа выполнена при поддержке Госкомитета Российской Федерации по высшему образованию (грант № 95-0-4.4-128).
Литература
1. Савицкий Н. Н. Биофизические основы кровообращения и клинические методы изучения гемодинамики. JI., 1974.
2. Anliker N. The instaneous velocity of abnormalities of the vessels wall sertace. Blood vessels. Berlin, 1976.
3. Anliker M., Stattler J.C., Niederer P. et al. Prediction of shape changes of propaging flow and pressure pulses in human arteries. The arterial system Berlin, 1978.
4. Лабадзе Т. С., Самойленко Г. А., Нагаев Ф.Т. Абзианидзе Г А. Дистанционный метод исследования свойств сосудистой стенки в течение одного сердечного цикла // Механика композитных материалов. 1990. JNTo 4.
5. Халин Н.С. Метод определения механических свойств биологических материалов // Медицинская техника. 1977. JV» 1.
6. Hildebrant J., Fukaya Н., Martin C.J. Simple uniaxial and uniform biaxial deformation of nearly isotropic incompressidle tissues // Bio-phys. J., 1969. V. 9. Nq 6.
7. Смиешко В., Хаютин В. М., Герова М., Геро Я, Рогоза А. Н. Чувствительность малой артерии мышечного типа к скорости кровотока: реакции самоприспособления просвета артерии // Физиологический журнал СССР. 1979. Т. 65. No 2.
8. Хаютин В. М. Регуляция просвета артерий, определяемая чувствительностью эндотелия к скорости течения и вязкости крови // Вестник АМН СССР. 1987. №6.
9. Филатова О. В., Киселев В. Д. Эндотелий-зависимая регуляция диаметра сонных артерий потоком у разных возрастных групп кроликов // Российский физиол. журн. 1988. 84 (5-6): 500-600.
10. Каро К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения. М., 1981.
11. Hudetz A.G. Incremental elastic modulus for orthotropic incompressible arteries //J. Bio-mech. 1979. V. 12.
12. Bergel D.H. The static elastic properties of the arterial wall // J. Physiol. 1961. V. 156. N»3.
13. Фанг Я.Ч. Математические модели зависимости напряжения деформации для живых мягких тканей // Механика полимеров. 1975. №5.
14. Пурикя Б. А, Касьянов В. А Биомеханика крупных кровеносных сосудов человека Рига, 1980.
15.Фолков Б. Нил Э. Кровообращение. М., 1976.
16.Dobrin Р. В., Rovick A. A Influence of vascular smooth muscle on contactile mechanics and elasticity of arteries // Amer. J. Physiol 1969. V. 217. № 6.
