CC BY
9
УДК 653.093
Полуэмпирическая модель расчета потребляемой мощности в резервуарах при перемешивании продуктов в турбулентном режиме
Канд. техн. наук Б.Л. НИКОЛАЕВ СПбГУНиПТ
On the basis of experimental data and semi-empirical theory of turbulent transfer, the author suggests a mathematical model, allowing to calculate the power consumed for agitating in reservoirs with agitating devices.
В процессе производства кефир, ряженка, простокваша, сметана, животные жиры, майонез и другие вязкие пищевые продукты подвергаются охлаждению при перемешивании. В связи с этим актуальным вопросом является затрата энергии на перемешивание продукта.
Возможны различные режимы движения вязких пищевых продуктов в резервуарах при охлаждении, в том числе и турбулентный режим. Поэтому математическая модель, позволяющая рассчитать затраты мощности при турбулентном режиме, имеет значительную практическую ценность.
Ряд авторов получили теоретические формулы для расчета мощности при ламинарном режиме [1 — 3,6 — 9]. Однако ввиду сложного характера движения при турбулентном режиме теоретически вывести формулу мощности для него невозможно.
Известна полуэмпирическая формула для турбулентного режима, предложенная в [1]. Недостатком данной формулы является то, что при расчете гидравлического сопротивления установленных под углом к радиусу скребков предлагается рассматривать их как плоские пластины, размеры которых равны проекции фактических размеров на меридиональную плоскость. Такое допущение трудно считать корректным: очевидно, что более узкая лопасть, установленная к радиусу под меньшим углом, будет иметь больший коэффициент лобового сопротивления, чем более широкая лопасть, установленная под большим углом, при условии равенства проекции их площадей на радиус.
В данной работе указанный выше недостаток устранен. Предлагаемая автором полуэмпирическая модель для расчета мощности основана на коэффициенте лобового сопротивления скребка.
Примем в первом приближении, что линейная скорость скребка относительно стенок резервуара много больше линейной скорости движения продукта относительно стенок резервуара. Тогда средняя скорость обтекания скребка продуктом равна линейной скорости движения скребка:
и = 2яп£>/2 = ппО, (1)
где и- средняя скорость обтекания скребка жидкостью, м/с;
п - частота вращения лопасти мешалки, с-1;
Б - диаметр резервуара, м.
Проекция площади скребка на радиус
= ^со5(|3), (2)
где проекция площади скребка на радиус, м2;
Ь - длина скребка, м;
Ь - ширина скребка, м;
Р - угол между скребком и радиусом, град. Проекцию давления на нормаль к радиусу вычислим по формуле
р = £лрм2/2, (3)
где р - проекция давления на нормаль к радиусу, Па; £л- коэффициент лобового сопротивления, отнесенный к проекции скребка на радиус; р - плотность перемешиваемого продукта, кг/м3. В формуле (3) наибольшую сложность представляет определение коэффициента лобового сопротивления £л. Ранее при изучении этой проблемы [1, 3, 9] не уделялось должного внимания выявлению зависимости от геометрических и гидромеханических параметров. В данной же работе была предпринята попытка установить эту зависимость.
Априорно можно предположить, что зависит от трех величин: кинематической вязкости V, ширины скребка Ь и угла между скребком и радиусом (3. Автором были проведены сотни опытов на модельных средах и реальных продуктах, и в результате обработки опытных данных была получена следующая зависимость: £„=21145 V0 957 [(2,4576 + 0,378)/( 1,138Ь115 +
+ 0,125)]-{[0,457(90 - (З)0’356 + 0,561]/16,34 +
+ 0,31 соз((3) + 0,137 (90 - р)0’208}, (4)
где V- кинематическая вязкость продукта, м2/с. Погрешность формулы (4) не превышает ±5 %. Подставив (4) в (3), определяем р, после чего можно рассчитать силу давления продукта на лопасть в проекции на нормаль к радиусу:
Р= рБк = £лр(ы2/2)^со5(Р), (5)
где Р- сила, Н.
Момент от силы /'равен:
М = Л)/2 - £лр(и2/4)16со5(Р) Д (6)
где М - момент, Нм.
Далее рассчитываем мощность, затрачиваемую на преодоление сопротивления трения продукта о скребок: N1 = 2ппМ1 = пп1 £лр(у2/2)£6со5(Р) Д (7)
где - мощность, затрачиваемая на преодоление трения о продукт, Вт;
Z - число скребков.
Входящая в зависимость (4) кинематическая вязкость
V рассчитывается по общеизвестной формуле
V = м/р, (8)
где ц - динамическая вязкость, Пах.
Большинство вязких пищевых продуктов представляют собой неньютоновские жидкости. Поэтому их динамическая вязкость ц зависит от градиента скорости и определяется по формуле
Ц = ^(у)т-1, • (9)
где к - коэффициент Оствальда; у - градиент скорости, с-1; т - показатель неньютоновского поведения.
Для определения градиента скорости у используем методику, разработанную автором на основании полу-эмпирической теории турбулентного переноса [5].
В работе [10] на основании гипотезы о вязком затухании турбулентных пульсаций у твердой стенки приводится следующее уравнение:
5/у = {1 + [1 + 0,64г|2[1 - ехр(-л/26)]2]°’5}/2 + 1, (Ю)
где 8 - коэффициент турбулентного обмена, м2/с;
Г) - безразмерное расстояние от стенки. Безразмерное расстояние от стенки Г) вычисляется по формуле ц = и.у/V, (11)
где и *— динамическая скорость, м/с;
у - расстояние от стенки в направлении радиуса кривизны поверхности, м.
Максимальное безразмерное расстояние от стенки определяется по формуле
Т1м = «*>'м/ум> (12)
где Г|м - максимальное безразмерное расстояние от стенки;
ум - расстояние от стенки до точки с наименьшей или наибольшей (в зависимости от направления теплового потока) температурой жидкости, м.
И.В. Доманский и В.Н. Соколов, разработав полуэм-пирическую теорию турбулентного переноса, в работе [4] приводят следующие формулы: а V Рг
¥ ’
X I у/У-4 ХІІ
(13)
рпГГИ
где а - коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2 К);
X - коэффициент теплопроводности перемешивае-
мого продукта, Вт/(м-К);
Н - высота резервуара, м;
Рг = С-Ц./А. - критерий Прандтля; с - удельная теплоемкость продукта, Дж/(кг К); X- коэффициент;
\|/ - безразмерная разность температур. Безразмерная разность температур у вычисляется по формуле
п
V-
1 5
0 0---------1-----
Рг V
(14)
При увеличении г| подынтегральная функция в формуле (14) стремится к нулю. Расчеты, проведенные автором при помощи компьютера, показали, что вычисляемое по формуле (14) значение V)/ довольно слабо зависит от Г|м. Поэтому можно допустить, что\(/ является функцией только одного аргумента - критерия Прандтля. Обработка результатов расчетов привела к следующей зависимости: ф = 11 Рг0’73. (15)
В диапазоне 100 < Рг < 106 максимальная относительная погрешность формулы (15) не превышает 5 %. Таким образом, наиболее сложная и трудоемкая работа -вычисление двойного интеграла - свелась к одной формуле.
И.В. Доманский и В.Н. Соколов в работе [4] приводят уравнение
Е0 = М2, (16)
где Е0- диссипация энергии у твердой стенки, Вт/м3. В этой же работе приводится формула Е0 = Х% (17)
где средняя по объему диссипация энергии, Вт/м3. Из работы [4] известно, что
Ё= 4ЛУ(я£>2Я). (18)
Приравняв правые части уравнений (16) и (17), получим
цу2 = Х4£\ (19)
Подставив в (19) уравнения (9) и (18), имеем к-(у)т - 1 у2 - х4 (4Л1)/(п&Н). (20)
(21)
Решаем уравнение (20) относительно у:
У = [4 АЪ?/{пОНк)]1Лт + ».
Из формулы (21)
X = [(п1)1Нкут+1)/(41^)]0'25. (22)
Подставим в уравнение (13) уравнения (22), (8) и (9), в результате серии последовательных преобразований получим
О^оу0,5'"-') Рг
V5 ~ V '
С учетом уравнения (15) получим
а*о,.уо,рг
Хр°
11 Рг°
(23)
Подставим в формулу (24) значение критерия Пран-дтля и решим полученное уравнение относительно у:
N — ппі^„р[(ппО)2/2]L6cos(P)D [1 +0,5 fc. /sin(P)|
Y =
I la*0
(25)
Общеизвестна теоретическая формула для определения коэффициента теплоотдачи а резервуара со скребковым перемешивающим устройством:
а = (2/'1п)(срХп1)0'5. (26)
Тогда из(25)получим
Y =
0,23 0.5 0,5 к 0.23
(27)
Теперь, зная у, имеем все необходимые данные для
расчета по формуле (4) и, следовательно, для расче-
та /V, по формуле (7).
Далее необходимо определить мощность, расходуемую на трение скребка о стенку цилиндра резервуара. С довольно большой степенью точности можно допустить, что сила Р приложена в центре скребка. Тогда уравнение равенства моментов относительно оси вращения скребка запишется следующим образом:
РЬ/2 = Ь 5іп(р), (28)
где Роп - реакция стенки цилиндра резервуара, Н. Общеизвестно, что
^тр = (29)
где /1, - сила трения, Н;
ктр - коэффициент трения. Тогда из (28), сократив Ь, имеем
F/2 ~ /rTp/^rpsin(P), откуда
Fip = (//2)[Vsin(P)].
(30)
(31)
Подставив (5) в (31), получим
= £лр(и2/4)/,^05(Р) [к^ьтф)]. (32)
Момент от силы Р^ равен:
М2 = Р^ Я/2 = £лр(ы2/8)16со5(Р) [к^яшф)] (33)
Тогда мощность, расходуемая на преодоление трения скребка о поверхность цилиндра резервуара, будет равна:
Ы2 = 2пщМ2 = я/ц£лр( 1^/4)ЬЬсов(Р) [/стр/51п(р)) Д (34) где Ы2 - мощность, расходуемая на трение скребка о стенку, Вт.
Суммарная мощность (Вт), расходуемая на перемешивание, представляет из собой сумму и ЛГ2:
N= N^ + УУ2, (35)
Подставим в формулу (35) уравнения (7) и (34) и вынесем за скобки общие множители:
N2 = пп1^„р(и2/2)ЬЬсо$ф) И + п/7^лр(м2/4)/.6со5(Р)х Х[ктр/51п(Р)] И = ЛА7^лР(М2/2)/-6С05(Р)£>х
х[1 + 0,5^1п(Р)]- (36)
Подставив в (36) формулу (1), получим
= 0,5я3«3^лр16со5(р)Д [ 1 + 0,5A:Tp/sin(pT]. (37)
Градиент скорости у рассчитан по формуле (27) для теоретического резервуара со скребковыми перемешивающими устройствами. В реальном резервуаре коэффициент теплоотдачи может отличаться от рассчитываемого по формуле (26), следовательно, и значение градиента скорости может быть несколько иным. Для определения истинного значения градиента скорости объединим полуэмпирическую теорию турбулентного переноса с полученной автором полуэмпирической формулой (4).
Распишем формулу (37) с учетом формул (4) и (9). В результате окончательно получим N= 0,5jrVzpL6cos(p) Д [ 1 + 0,5^Tp/sin(P)]x х 21145-[& (y)m - Vp]0’957[(2,4576 + 0,378)/ (1,138b1-15 + 0,125)]- {[0,457 (90 - Р)0’356 + 0,561]/ [16,34 + 0,31 cos(P) + 0,137 (90 - Р)°>208]}. (38)
Список литературы
1. Бегачев В.И., Гурвич А.Р., Брагинский JI.H. Обобщенный метод расчета мощности при перемешивании высоковязких ньютоновских и неньютоновских сред // Теоретические основы химической технологии. 1980. Т. 14, № 1.
2. Глуз М.Д., Павлушенко И. С. Затраты мощности на перемешивание неньютоновских жидкостей // ЖПХ. 1967. Т. 40, №7.
3. Глуз М.Д., Павлушенко И.С. О мощности, затрачиваемой на перемешивание скребковыми мешалками // Теоретические основы химической технологии. 1969. Т. 3, № 5.
4. Доманский И.В., Соколов В.М. Обобщение различных случаев конвективного теплообмена с помощью полуэмпирической теории турбулентного переноса // Теоретические основы химической технологии. 1968. Т. 2, № 5.
5. Николаев Б.Л. Полуэмпирическая методика определения коэффициента теплоотдачи и градиента скорости в аппаратах со скребковыми перемешивающими устройствами // Теоретические, экспериментальные исследования процессов, машин, агрегатов, автоматизаций, управления и экономики пищевой технологии: Межвуз. сб. науч. тр. — СПб.: СПбТИХП, 1994.
6. Регер Э.О., Лацер И. О расходе энергии, теплообмене и времени пребывания в реакторах со скребковыми мешалками в области ламинарного течения // Теоретические основы химической технологии. 1981. Т. 15, № 1.
7. Розанов Л.С., Ластовцев А.М. Мощность мешалки со скребками при работе в высоковязких ньютоновских жидкостях // Химическое и нефтяное машиностроение. 1969. № 4.
8. Фройштетер Г.Б., Скурчинский В.А., Кравченко В.Р., Мам-ченко С.Д. Исследование закономерностей ламинарного течения и затрат мощности в скребковых аппаратах // ЖПХ. 1978. Т. 51, вып. 1.
9. Фройштетер Г.Б., Скурчинский В.А., Мамченко С Д., Кравченко В.Р. Распределение окружной скорости и затраты мощности при перемешивании скребковых аппаратов // Труды 3-й Всесоюзной конференции по теории и практике перемешивания в жидких средах. — М., 1976.
10. Vermeulen Т., Williams G., Langlois G. Interfacial area in liquid-liquid and gas-liquid agitation // Chem. Eng. Crogr. — 1955, V. 51.
D.23
0.23-WI-0.73
