Полуэмпирическая математическая модель нестационарного процесса импульсной электрохимической обработки вибрирующим электродом-инструментом в локально-одномерном приближении Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Уфа: УГАТУ, 2011

Т. 15, №3(43). С. 60-66

МАШИНОСТРОЕНИЕ

УДК 621.35

А. Р. Маннапов, В. П. Житников, С. С. Поречный

ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА ИМПУЛЬСНОЙ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ВИБРИРУЮЩИМ ЭЛЕКТРОДОМ-ИНСТРУМЕНТОМ В ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Рассматривается упрощенная теоретико-эмпирическая математическая модель, описывающая физико-химические процессы, происходящие в межэлектродном промежутке при нестационарной импульсной электрохимической обработке вибрирующим электрод-инструментом в локально-одномерном приближении. Приведенная модель может быть использована в промышленных условиях. Нестационарное формообразование; импульсная электрохимическая обработка', метод наименьших квадратов

Известно, что одной из причин, сдерживающих более широкое применение электрохимической обработки (ЭХО) в промышленности, является сложность проведения технологических расчетов, базирующихся на математических моделях, комплексно описывающих физико-химические процессы, происходящие в межэлектродном промежутке (МЭП). Следует отметить, что большинство из известных математических моделей не верифицированы или являются не вполне адекватными.

В этой связи актуальным является разработка простых, но эффективных математических моделей, которые могут быть использованы в промышленных условиях на машиностроительных предприятиях.

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА ПО МОДЕЛИРОВАНИЮ ЭХО

В известных работах по моделированию ЭХО (см., например [1-3]) решаются задачи различной сложности, учитывающие разные факторы, влияющие на процесс обработки.

При ЭХО поле считается чисто электрическим и при этом потенциальным:

го1£' = 0, А' = §гас1(р. (1)

где у - плотность тока, % - удельная электропроводность межэлектродной среды.

При отсутствии распределенных источников тока

сНуу = <Иу%Е = 0, с1п^гас1 ср = 0, (2)

Контактная информация: телефон 89178074887 Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президента «Ведущие научные школы РФ» (проект НШ-65497.2010.9).

где / - плотность тока, % - удельная электропроводность межэлектродной среды.

Последнее уравнение с переменной электропроводностью достаточно сложно для решения и требует одновременного решения гидродинамической задачи. Часто считается, что удельная электропроводность % изменяется по пространству достаточно медленно, тогда % можно вынести за знак дивергенции. В этом случае потенциал электрического поля удовлетворяет уравнению Лапласа АФ = 0.

Плотность тока при этом находится после определения напряженности электрического поля в соответствии с законом Ома ] = % grad Ф. Помимо декомпозиции задачи на электрическую (полевую) и гидродинамическую (для определения удельной электропроводности в каждой точке МЭП), использование уравнения Лапласа дает возможность применения методов теории функций комплексного переменного (ТФКП). Это позволяет получить в ряде случаев точные (аналитические) решения, а в более сложных случаях использовать эффективные численные методы [1-3].

Для задач ЭХО границы, как правило, бывают двух типов: непроницаемые (поверхности изолированных частей электродов) и рабочие поверхности электродов. На непроницаемых границах нормальная составляющая напряженности

На границах, соответствующих поверхности электродов, величина потенциала:

Ф„=0 + Афо, ф,=-С/ + Дф„ (4)

где и - напряжение на электродах, Дфа и Дфк -анодный и катодный потенциалы соответственно, которые зависят от плотности тока, материала электродов, состава электролита и пр.

Определение зависимостей электродных потенциалов от плотности тока представляет собой сложную задачу как в теоретическом, так и в практическом отношении. Для ЭХО на постоянном токе с непрерывной подачей электрода-инструмента (ЭИ) при локально-одномерном приближении в качестве основного расчетного соотношения используется уравнение изменения межэлектродного зазора (МЭЗ) для двух плоскопараллельных электродов малой площади:

ж = л« м%(и -Дф)

Л р5

-V

(5)

где п - анодный выход по току, ам - массовый электрохимический эквивалент, % - удельная электропроводность межэлектродной среды, U -напряжение на электродах, Дф = Дфа - Дфк -сумма электродных потенциалов, Vn - скорость подачи одного из электродов, р - плотность материала заготовки, 5 - величина зазора.

Для нахождения удельной электропроводности межэлектродной среды во время пропускания тока используется формула [4]:

% = %о(1 -РС^эл - Т ))(1 - Сг)3/2, (6)

где %0 и Т0 - удельная электропроводность и температура чистого электролита (на входе в МЭП) соответственно, в - температурный коэффициент, Тэл и Сг - температура и объемное газонаполнение межэлектродной среды.

Наибольшую сложность в данном случае представляет нахождение температуры Тэл и объемного газонаполнения Сг, так как они являются функциями геометрических характеристик МЭП, параметров режима ЭХО и изменяются во времени. В связи с этим в данной работе предлагается полуэмпирическая математическая модель ЭХО, основанная на простых соотношениях, которые получены на основе экспериментальных исследований при различных значениях параметров процесса.

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА ИМПУЛЬСНОЙ ЭХО ВИБРИРУЮЩИМ ЭИ

Для исследования процесса импульсной ЭХО вибрирующим ЭИ выбрана технологическая схема «трубка в трубку» (рис. 1, а), заключающаяся в использовании трубчатого ЭИ, подключенного к отрицательному полюсу источника технологического тока (ИТТ), и трубчатой

заготовки, подключенной к положительному полюсу ИТТ. При этом внешний диаметр ЭИ Дэи несколько превышает внешний диаметр заготовки Дзаг, а внутренний диаметр ЭИ йэш меньше внутреннего диаметра заготовки а?заг, что позволяет избежать образования боковой поверхности на заготовке. Подача электролита в МЭП под давлением рэл осуществляется через центральное отверстие в ЭИ.

В процессе обработки ЭИ сообщается движение подачи в направлении заготовки со скоростью Уп и возвратно-поступательное колебательное движение по гармоническому закону (рис. 1, а, б). Импульсы тока длительностью 1;имп с амплитудным значением I подаются с частотой /, равной частоте колебательного движения ЭИ, в момент предшествующий нижнему положению ЭИ на величину у^мп. Таким образом, доля импульса, прошедшая до момента максимального сближения электродов, характеризуется параметром, называемым фазой подачи импульса у (рис. 1, б).

Заданное оператором станка напряжение и0 алгоритмически обеспечивается в момент наибольшего сближения электродов путем корректирования значения тока в импульсе:

I (m) = i (m-1).

Un

U

(m-1)

(7)

где т - номер импульса, и - фактическое напряжение в нижнем положении ЭИ (далее с дугой будем обозначать параметры, соответствующие моменту достижения нижнего положения ЭИ в каждом периоде его колебательного движения).

Импульсы тока имеют трапецеидальную форму с длительностью переднего tпф и заднего фронтов tзф, сумму которых будем рассматривать как абсолютную погрешность длительности импульса ^мп. Так как ЭИ является жестким, то в момент его нахождения в нижнем положении МЭЗ минимален для текущего периода колебательного движения. Экспериментально определить § можно по координате ЭИ из системы управления станка путем его подвода до контакта с заготовкой.

Вследствие колебательного движения ЭИ и протекания различных физико-химических процессов в МЭП (основными из которых являются газовыделение и нагрев), сопротивление межэлектродной среды изменяется, что ведет к отклонению напряжения и на электродах от заданного и0 (рис. 1, б). Регулируя фазу подачи импульсов у из системы управления станка, можно обеспечить минимальное отклонение напряжения и от заданного и0.

Таблица 1

Входные и выходные параметры процесса ЭХО

Параметр, характеристика Обозначение Значение или диапазон значений Абсолютная погрешность А Относительная погрешность е, %

Входные (заданные) параметры

Заданное напряжение в момент наибольшего сближения электродов, В Ф0 7...12 0,1 -

Длительность импульса тока, мс tимп 1,2...2,0 0,1

Скорость подачи ЭИ, мкм/мин Кп 0. 120 1

Частота подачи импульсов тока и колебаний ЭИ, Гц / 47 0,2

Амплитуда колебаний ЭИ, мкм А 150 3

Давление электролита на входе в МЭП, кПа Рэл 150 10 -

Фаза подачи импульсов, % V 0,5.0,8 0,05 -

Выходные (измеренные) параметры

Амплитудная сила тока в импульсе, А I 10.400 3%

МЭЗ в момент нижнего положения ЭИ, мкм 5 0.300 2 мкм при 5 < 20 мкм 10% при 5 > 20 мкм

Рис. 1. Описание эксперимента: а -технологическая схема; б - осциллограммы колебательного движения ЭИ; подачи импульсов тока и напряжения

Исследования проводились в диапазонах параметров режимов, указанных в табл. 1. Там же указаны погрешности их обеспечения (для входных параметров) и измерения (для выходных параметров).

Обработка осуществлялась в среде 8% водного раствора NN03 при температуре 23 °С. Удельная электропроводность чистого электролита Со = 8,48 Ом-1 •м-1 [3].

Диаметры электродов были следующие: Дзи= 16 мм, Дзаг= 15+0,05 мм, а?эи = 6 мм, а?заг= = 7-0 05 мм. Таким образом, площадь обрабатываемой поверхности трубчатой заготовки ^заг =

= (1,38 ± 0,01) см2.

ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

При импульсной ЭХО наибольший интерес представляет значение минимального МЭЗ 5, который соответствует моменту нижнего положения ЭИ в каждом периоде его колебательного движения. Однако вследствие прерывистости кинематико-геометрической характеристики процесса импульсной ЭХО величина 5 является дискретной (рис. 1, б). Тем не менее, в дальнейшем для удобства построения математической модели и использования аппарата дифференциальных уравнений, а также в силу малости периода колебательного движения (1/ ~ 0,02 с << ^обр, где tобр - время обработки), будем моделировать 5 гладкой функцией:

^ _ П«ЛФ -АФХ„В/

Р5

--К ^)..

(8)

Также отметим, что постоянство скорости растворения материала заготовки за время про-

а

б

хождения каждого импульса тока обеспечивается пологостью формы его «вершины».

При разработке математической модели сделаны следующие допущения:

• обрабатываемая поверхность заготовки всегда остается идеально плоской и параллельной самой себе;

• в момент нижнего положения ЭИ газовая фаза и температура имеют равномерное распределение по всему объему МЭП.

Указанные допущения позволяют рассматривать задачу в локально-одномерном приближении.

Результаты проведенных нами экспериментов показывают, что удельную электропроводность межэлектродной среды в нижнем положении ЭИ % можно рассматривать как функцию s для установившегося режима обработки (ds/dt = 0) в пределах погрешности проведения эксперимента:

- s +l /г.ч

Х=Хо —Т, (9)

s +l2

где %0 - удельная электропроводность чистого электролита (на входе в МЭП); /ь l2 - эмпирические коэффициенты, которые находятся методом наименьших квадратов.

Так как массовый электрохимический эквивалент ам и анодный выход по току п являются в общем случае функциями плотности тока, то является методически целесообразным для практического использования объединить их в одну функцию, называемую практическим удельным съемом G:

a м (/Ж j) = G( j ) = Go

j - h

j - h2

(Т0)

где у = //^заг - амплитудная плотность тока; Г0 -максимальное значение практического удельного съема; 7Ь /2 - эмпирические коэффициенты, которые находятся методом наименьших квадратов.

В случае нестационарного режима ЭХО изменение § во времени определяется из следующего дифференциального уравнения:

Gc(U -Лф)^/ р?

-Vn(t). (11)

Амплитудная плотность тока находится из закона Ома:

J _ U ф

s + lx s(s +12)

(12)

Решая дифференциальное уравнение (11) с учетом (12), (9), (10), находим j(t) и s(t) для

заданного закона изменения скорости подачи ЭИ V„=V„(t) с учетом начальных условий:

?(0)=so, (13)

где s0 - начальный МЭЗ.

НАХОЖДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИН

Для получения аппроксимированных зависимостей С (s) и G(j) требуется получить из эксперимента пары значений С(к}, S(к) и G(кj

(к = 1...N, где N - количество экспериментальных значений).

Эксперименты проводились на сталях двух марок: 12Х18Н9Т и 10Х11Н23Т3МР (ЭП33). Обработку осуществляли до достижения установившегося режима (ds/dt = 0), который определялся по стабилизации значений подаваемых импульсов тока.

Анодный выход по току находился по формуле

h _ Ш"Р(к) _ (к) /f (14)

m a I t

теор(к) V (ку имп(к)

Тогда практический удельный съем

Г а - Р^заг^пСк)

Г (к) 1 1(к )и м (к) I г-

1(к )'имп(к

Амплитудная плотность тока

Im s

(к)

(15)

(16)

eG » 5% + eV +et,

Относительная погрешность определения практического удельного съема

(17)

где 5% - постоянная составляющая относительной погрешности определения практического удельного съема, sV = 1...10%, sí = 5...8,5% в зависимости от параметров режима (см. табл. 1).

Сопротивление межэлектродной среды в нижнем положении ЭИ может быть определено по формуле

К(к) —

U(к) -Лф

-(к)

(к)

С(к ) ^аг

(18)

Тогда удельная электропроводность межэлектродной среды в МЭП в нижнем положении ЭИ

1 (к)S (к)

(к) ^ (U (к) -Лф)

Относительная погрешность определения удельной электропроводности межэлектродной среды в нижнем положении ЭИ

С,г/(А-ч)

еС » 4% +

(20)

где 4% - постоянная составляющая относительной погрешности определения удельной электропроводности. Отметим, что е5 может изменяться в широких пределах: е5 = 10.200%. Наибольшая погрешность возникает при работе на малых МЭЗ (5< 10 мкм), когда Д5~5.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Экспериментальные данные для стали 12Х18Н9Т представлены в виде графиков на рис. 2-5, для стали 10Х11Н23Т3МР (ЭП33) -на рис. 6-7.

При построении зависимостей, показанных на рис. 4, 5 и 7, принято, что сумма электродный потенциалов равна Дф = Дфа - Дфк ~ 3,5 В (на основе данных потенциодинамических исследований).

Полученные зависимости (рис. 4, 5, 7) позволяют сделать важный вывод о том, что в момент нижнего положения ЭИ для условий установившегося режима обработки можно считать удельную электропроводность межэлектродной среды как функцию МЭЗ (с обеспечением погрешности не более 15%), не зависящую от электрических параметров режима импульсной ЭХО, на которых этот МЭЗ был достигнут.

Рис. 2. Экспериментальная зависимость

практического удельного съема от амплитудной плотности тока для стали 12Х18Н9Т при Ф0 = 9 В (1 - ^мп = 1,2 мс; 2 - ^ = 1,6 мс; 3 - ^ = 2 мс)

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

3 6Т

\1 у / <ч!

/ \ ь г\4 V 1 5

^^ * 7[ ^

А/см"

О 20 40 60 80 100 120

Рис. 3. Экспериментальная зависимость

практического удельного съема от амплитудной плотности тока для стали 12Х18Н9Т при ^мп = 1,2 мс (1 - Ф0 = 7 В,

2-Ф0 = 8 В, ...,б-и0= 12В)

Х,Ом'м

Х,Омм

мкм

Рис. 4. Экспериментальная зависимость

удельной электропроводности межэлектродной среды от МЭЗ в момент нижнего положения ЭИ для стали 12Х18Н9Т при Ф0 = 9 В (1 - ^мп = 1,2 мс; 2 - ¿имп = 1,6 мс; 3 - Гимп = 2 мс)

.-1-1

мкм

Рис. 5. Экспериментальная зависимость удельной электропроводности межэлектродной среды от МЭЗ в момент нижнего положения ЭИ для стали 12Х18Н9Т при ^мп = 1,2 мс (1 - Ф0 = 7 В,

2 - Ф0 = 8 В, ..., 6 - Ф0 = 12 В)

аг/(Ач)

О 20 40 60 80 100

Рис. 6. Экспериментальная зависимость практического удельного съема от амплитудной плотности

тока для стали 10Х11Н23Т3МР при и0 = 9 В (1 - ^мп = 1,2 мс; 2 - ¿имп = 1,6 мс; 3 - ¿имп = 2 мс)

Алгоритм аппроксимации экспериментальных данных G (к)(Л к)) зависимостью 0(.) состоит в следующем.

Необходимо определить гь г'2, 00.

Согласно методу наименьших квадратов минимизируется функция:

F Оп ^ а) = Е=1

1 - г2

—(k) 2

- G (к)

(21)

х.(:)м'м'

О 20 40 60 80 100 120

Рис. 7. Экспериментальная зависимость

удельной электропроводности межэлектродной среды от МЭЗ в момент нижнего положения ЭИ для стали 10Х11Н23Т3МР при и0 = 9 В (1 - ¿имп=1,2 мс; 2 - Гимп=1,6 мс; 3 - ¿имп=2 мс)

При этом ее частные производные должны быть равны нулю:

с \

— = -2У N

о^

- О

1 -1?

V -(к) 2

(к)

оп

^=2УЛ= ди ^к=1

а1*-

-о,

1 - *7

V -(к) 2

(к)

о„

У 1 (к)

(к)

(1 - ^

х±(к) 27

= 0,

= 0,

доп

= 2Е .¿—(к=1

(к)

0„- .

V 1 (к)

-о

(к)

(к)

= 0.

У 1 (к)

Данная система нелинейных уравнений решена методом Ньютона.

Аналогичным способом аппроксимируются экспериментальные данные % (£ (к)) зависимостью % (£). Результаты решения задачи приведены в табл. 2.

Таблица 2

Результаты расчета

12Х18Н9Т 10Х11Н23Т3МР

О0, г/(А-ч) 0,64 0,79

/1, А/см 15,3 15,1

/2, А/см -3,2 -19,9

11, мкм 0 -0,3

12, мкм 44,9 50,7

Обезразмерить значения практического удельного съема и удельной электропроводности рабочей среды можно, поделив их на максимальное значение массового электрохимического эквивалента сплава ам(таХ) (которое соответствует минимальной степени окисления всех входящих в сплав металлов и равно 0,98 г/(А^ч) для рассматриваемых в статье сталей) и удельную электропроводность чистого электролита %0 соответственно.

Экспериментальные данные и аппроксима-ционная зависимость обезразмеренного практического удельного съема от амплитудной плотности тока для импульсной ЭХО стали 12Х18Н9Т приведены на рис. 8.

Рис. 8. Экспериментальные данные и аппроксимационная зависимость 0(1)/ам(тах) для стали 12Х18Н9Т

2

2

2

2

ВЕРИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ

Верификация предложенной модели (9)-(12) проведена для нестационарного процесса импульсной ЭХО для следующего режима: заданное напряжение нижнем положении ЭИ U0 = = 9 В, длительность импульсов тока /имп = = 1,2 мс, скорость подачи ЭИ Vn = 60 мкм/мин, давление электролита на входе в МЭП рэл = = 150 кПа; начальный МЭЗ s0 = 300 мкм.

Координата торца ЭИ, отсчитываемая от начальной поверхности вглубь заготовки

Zэи =-S0 + Vnt.

Предложенная полуэмпирическая математическая модель показала гораздо лучшую сходимость с результатами эксперимента по сравнению с математическими моделями (рис. 9), не учитывающими зависимость практического удельного съема от плотности тока (когда G = = const) и физико-химические процессы в МЭП (С = const), что позволяет использовать ее при инженерных расчетах.

Рис. 9. Результаты верификации

математической модели для нестационарного режима импульсной ЭХО для стали 12Х18Н9Т (1 - эксперимент; 2 -предложенная полуэмпирическая модель; 3 -модель при %=const; 4 - модель при G = const С = const)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Клоков В. В. Электрохимическое формообразование. Казань: КГУ, 1984. 80 с.

2. Каримов А. Х., Клоков В. В., Филатов Е. И. Методы расчета электрохимического формообразования. Казань: КГУ, 1990. 387 с.

3. Житников В. П., Зайцев А. Н. Импульсная электрохимическая размерная обработка. М.: Машиностроение, 2008. 413 с.

4. Основы повышения точности электрохимического формообразования / Ю. Н. Петров [и др.]. Кишинев: Штиинца, 1977. 152 с.

ОБ АВТОРАХ

Маннапов Альберт Раисович, ст. научн. сотр., доц. каф. управления инновациями. Дипл. инженер по машинам и технологиям высокоэффек-тивн. процессов обработки материалов (УГАТУ, 2006). Канд. техн. наук по тепл., электроракетн. двигателям и энергоустановкам летательн. аппаратов (УГАТУ, 2009). Иссл. в обл. высокоэффективных технологий.

Житников Владимир Павлович, проф., засл. деятель науки РБ, зав. каф. компьют. математики. Дипл. инженер-физик (МФТИ, 1973). Д-р физ.-мат. наук по механике жидкости, газа и плазмы (Казанск. ун-т, 1993). Иссл. в обл. волновых течений жидкости, электрохим. формообразования, числ.-аналит. методов.

Поречный Сергей Сергеевич, доц. той же каф. Дипл. магистр по информацион. программн. обеспечению САПР (УГАТУ, 2006). Канд. физ.-мат. наук по механике жидкости, газа и плазмы (БашГУ, 2009). Иссл. в обл. решения задач ма-тем. моделирования физ. процессов.