Получение максимально правдоподобных оценок координат целей при кооперативной обработке дальномерно-угломерной информации Текст научной статьи по специальности «Физика»

S. V. Burakov, A. A. Kuzin, A. V. Myakinkov Nizhny Novgorod state technical university

Phase synchronization and target's silhouette reconstruction in forward scatter radar of ground targets detection

Algorithm of complex envelop extraction, necessary for realization of high quality algorithms of recognition of moving terrestrial target in forward scatter radar is considered. The algorithm is implemented by means of data transfer allocated channel. Operation of known algorithm of object shadow contour restoration based on the received complex envelope is analyzed.

Forward scattering, phase noise, complex envelop, phase synchronization, shadow contour, radio hologram

Статья поступила в редакцию 25 июля 2011 г.

УДК 621.396.96

Е. Г. Борисов, Г. М. Машков

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций

им. проф. М. А. Бонч-Бруевича

Получение максимально правдоподобных оценок координат целей при кооперативной обработке дальномерно-угломерной информации

Рассмотрен вариант кооперативной обработки измерительной информации в двухпозиционной радиолокационной системе. Показано, что кооперативная обработка локационной информации позволяет повысить точность определения координат целей.

Многопозиционная радиолокационная система, кооперативная обработка измерений, метод наименьших квадратов

Задача повышения точности определения координат целей в многопозиционных радиолокационных системах (МПРЛС) является важнейшей задачей обработки радиолокационной информации (РЛИ).

В настоящее время в отечественной и зарубежной литературе имеется большое количество работ, посвященных данной проблематике [1]-[5]. Задача повышения точности измерений традиционно решается, например, увеличением отношения "сигнал/шум", применением алгоритмов а- и в-фильтрации, различных модификаций фильтра Калмана-Бьюсси [6]. Однако несмотря на то, что указанные решения хорошо зарекомендовали себя в практике радиолокационных станций различного назначения при реализации вторичной обработки радиолокационной информации, они не свободны от недостатков.

Увеличение энергетического потенциала РЛС в ряде случаев проблематично по конструктивным соображениям. Фильтрация параметров траектории требует определенного времени на накопление данных, а также базируется на априорной гипотезе о траектории движения цели, что накладывает ограничения на ее применимость. Совершение целью маневра значительно снижает качество фильтрации, требует специальных средств обнаружения маневра и изменения коэффициентов усиления фильтров либо компенсации динамической ошибки (что в ряде случаев существенно увеличивает флуктуационную ошибку). 84 © Борисов Е. Г., Машков Г. М., 2012

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2012. Вып. 3

Рассмотрим возможность и целесообразность кооперативной обработки дальномер-но-угломерной информации в МПРЛС на центральном пункте обработки информации (ЦПОИ). Кооперативность приема отраженных сигналов заключается в том, что все приемные позиции способны принимать отраженные сигналы от целей, облученных любой передающей позицией [1].

Под кооперативностью обработки измерительной информации в контексте настоящей статьи будем понимать поиск функционального преобразования над измеренными наклонными дальностями, суммарными расстояниями и азимутами цели, полученными на каждой позиции, обеспечивающего минимум дисперсии ошибки оценок дальностей, полученных косвенными измерениями:

Ц, —, ) =

= ¥ (А, ..., Я, -, , 412, ^, %, •, 4( N-1) N, Рь -, в, -, Рж ), и У =

где Яу, вI, I = 1, N - наклонные дальности и азимуты цели, соответственно, относительно 1-й позиции; Ящ, I, у = 1, N, I ф у - суммарные дальности до цели относительно 1-й и у-й позиций; N - количество позиций МПРЛС; знаком ~ обозначены результаты кооперативной об-

"Л"

работки; знаком - оценки параметров по результатам измерений на отдельных позициях.

Необходимо найти процедуру обработки координатной информации в системе N радиолокационных станций, которая при реализации кооперативной обработки позволяет повысить точность измерений дальности при обработке всех физически реализуемых независимых измерений наклонных и суммарных дальностей.

Реализация процедур излучения и приема сигналов при необходимом частотном разносе обеспечивается раздельным приемом сигналов на позициях на соответствующих частотах. Наличие независимых приемоусилительных трактов и каскадов гетеродиниро-вания позволяет считать измерения дальностей и сумм расстояний независимыми [5]. Примем, что для оценки координат и параметров движения цели заданы:

• уравнения измерений, задающие соответствие между да-мерным вектором измеряемых параметров Zт = {21, 22, ..., 2N} ( т - символ транспонирования) и текущими параметрами движения летательного аппарата: Z = ф (X, t). Измеряемыми параметрами являются наклонные дальности Я, радиальные скорости Я у, суммы дальностей Я^у, сумма радиальных скоростей Ящ, разности расстояний ЯАу, разности радиальных скоростей Яду, азимуты Ру и углы места 8у цели т. д. Искомые параметры представляются вектором

Х_Г = (хь ^ XN);

• условия проведения измерений, под которыми будем понимать связь ошибок измерений с измеряемыми параметрами и статистические указанных ошибок. В общем случае вектор измеренных параметров ит = {«1, «2, •••, UN} функционально связан с вектором

измеряемых параметров z и вектором ошибок измерений Дит = {Дм}, Ды2, ..., Аы^}:

и = £ (z, ди, г);

• функция распределения ошибок измерений ¥ ( Ди ) или математическое ожидание М [ ди] и корреляционная матрица указанных ошибок Ки.

Требуется найти оценку x вектора x, оптимальную в смысле выбранного критерия а ( X, и ).

В качестве критерия оценивания примем метод наименьших квадратов (МНК), позволяющий находить оценки, обладающие свойствами несмещенности и эффективности, при любых законах распределения ошибок измерений.

При распределении ошибок измерений по нормальному закону совместная плотность вероятности измерений определяется как [7], [8]:

/ ( и ) = (2яа2)

-0.5N |

ш

-1

1-0.5

ехр -

1 (2о2 )] [и - z (x)]т Ш [и - z (x)]}

где а° - дисперсия измерения с единичным весом; Ш =

0

0 ^2

(1)

0 0

0 0 0 wN

матрица весов

оценок измерений.

Оценка искомых параметров x находится из условия минимума квадратичной формы

¥ (x) = [и - z (x)]т Ш [и - z (x)]

(2)

при векторе измерений и. В этом случае плотность вероятности (1), рассматриваемая как

2

функция от x, примет наибольшее значение при x = xx вне зависимости от значения а0.

При нелинейной зависимости измеряемой функции z (x) за МНК-оценку искомых параметров x принимают значение xx, доставляющее локальный невырожденный минимум квадратичной форме ¥ (x).

Условие минимума квадратичной формы ¥(x) записывается в виде

1 (2а0 )] [и - z ( x )]т ш [и - z ( x )]} = 0,

откуда согласно правилам дифференцирования векторных функций имеем

(1/ а2)(x)/axx] ш [и - z (x)] = 0, (3)

т. е. максимум функции правдоподобия достигается вне зависимости от значения ад при выборе x = xx.

Введя обозначения вектораxxт = IХ1, £2, ..., и матрицы

dz\l dz\l д%2 dz2¡ dx1 dz2¡ дХ2

dzl/ дХп dz2¡дХп

А = д7 (xx )/ дхх = _ _ _

д2N/д- д2N/дх2 ... д2N I дхN представим систему уравнений (3) в виде

АТЖ [и - 7 (xx )] = 0. (4)

Уравнения (4) в общем случае являются нелинейными и решаются итерационными методами.

Рассмотрим частный случай линейной обработки локационной информации в МПРЛС. В этом случае матричное уравнение измерений представляется в виде z = Ах, а матрица А является матрицей коэффициентов при неизвестных:

A =

all al2 a21 a22

a1N a2 N

(5)

ат aN 2 ат aNN

Из (4) имеем АТЖАХ = АтЖи. Введя вектор невязок V = и - Ах, представим квадратичную форму (2) в виде

^ (x) = V ТЖУ. (6)

Поскольку минимизация (2) тождественна минимизации (6), введя обозначения В = АТЖА; о = АтЖи, получим систему нормальных уравнений в виде

Вх = о. (7)

Матрица В представляет собой таблицу коэффициентов при неизвестных х в системе нормальных уравнений, а о есть столбец свободных членов этих уравнений.

Для отыскания неизвестных х умножим обе части уравнения (7) слева на матрицу В~ и с учетом, что В ~1В = Е (Е - единичная матрица), получим:

x = B~lG =

( atwa)

-1

A Wu.

(8)

В реальных условиях при обработке информации результаты отдельных измерений могут не использоваться. Для учета этого фактора введем диагональную матрицу с разме-

рами NхN Л = diag[X1, X¿, ..., Xn], i = 1, N, учитывающую наличие или отсутствие соответствующих измерений. Если i-e измерение используется в матрице u, то = 1, если не используется, то = 0. Тогда решение (8) примет вид

x = (AA AWA) 1AA AWu. (9)

Выражение (9) обеспечивает минимальную длину вектора невязки |Az - u|, а, следовательно, наибольшую точность.

Покажем, что оценки x, полученные статистической обработкой по методу МНК результатов измерений, ошибки которых случайны и принадлежат распределению с нуле-

87

выми математическими ожиданиями и конечными вторыми моментами, т. е. Аи е (0, о^Ж-1), являются несмещенными: М[x] = x и представляют собой случайный

2 —1

и-мерный вектор с корреляционной матрицей: Kx = Gq B . Для доказательства этого за-

— 1 т

пишем решение системы нормальных уравнений (9) в виде xx = В А ЖИ.

В этом выражении только x и и являются случайными векторами, а произведение

_ 1 т

В = В А Ж - детерминированная матрица. Тогда

x = ви

и М [ x ] = М [ В_1АтЖи ] = В"1 АТЖ М [и ] = В"1 АтЖАх = B~lBx = x.

С учетом, что для линейной зависимости вида (10) ^^ = ВКНВт, имеем

% = ВЧАтЖаоЖЧЖт А( В-1 Г = адВ^АЖАВ4 = адВ4 = а2( АтЖА) 1,

(10)

(11)

а это совпадает с результатами работы [9].

Решение (9) соответствует теореме Гаусса-Маркова о наилучших линейных оценках, поскольку для любого закона распределения случайных ошибок измерений и при линейной зависимости измерений от искомых параметров оценка для произвольной системы линейных функций параметров, получаемая по МНК, имеет минимальные дисперсии среди множества линейных несмещенных оценок. Это решение является корректным при выполнении условий Гаусса-Маркова:

• модель наблюдений линейна по параметрам (коэффициентам), правильно специфицирована и содержит аддитивный случайный член;

• измерения некоррелированы;

• математическое ожидание оцениваемого процесса равно нулю;

• дисперсия измерений постоянна на всем интервале наблюдения.

Рассмотрим кооперативную обработку координатно-измерительной информации в двух-позиционной МПРЛС при ее организации на центральном пункте обработки информации ЦПОИ (рисунок), где РЛС1, РЛСд Ошибка! Ошибка связи. - первая и вторая позиции

МПРЛС соответственно, Ц - цель; L cos У! = cos 8j cos Р^ cos Y2 = cos 82 cos P2.

h

РЛС,

r11, r12

ЦПОИ

r = vr (r11, R22, r12, r21)

РЛС2

r22, r21

- расстояние между позициями, причем

Пусть измерению подлежат следующие параметры: Яц = 2^, Я22 = 2^2 - удвоенные значения наклонных дальностей относительно первой и второй позиций соответственно; ^12 = Я + Я2, ^221 = Я + Я -суммарные дальности, измеренные на первой и на второй позициях соответственно. Дисперсии измерений указанных парамет-

x

ров ст2 , ст2 , ст2 , ст2 известны или могут быть найдены апробированными мето-

я11 я22 яе12 яе21

дами статистического анализа.

Запишем многомерные плотности распределения интересующих измерений как

N

Яц

р (Яп ) = П Рг (Яц

г=1

1

N

аЯц

-\/2л

Яц

ехр

2а

1 > ( " « )2 — £ ехр (2Я - Яп )

Я11 1=1

(12)

N

Я22

Р (Я22 ) = П Р] (Я22 )

у=1

vе* я22

л/2л

я—

ехр

2

1 ^Я22 . Л . — £ ехр (2Я2 - Ям )

Я22 к=1

(13)

N,1

{ ~ \ { ~ \

Р (Я212 ) = П Рк (Я212

к =1

>/2п

УЯе12

ехр

2

1

2- X ехР (Я1 + Я212 )

Яе12 ^

(14)

N

яе21

Р (421) = П Р8 (ЯИ1) =

5=1

vе7 яе21

>/2п

ехр

2

1 ^21 , . . , V -- £ ехр(Я2+Я£21)

Яе21

(15)

где Nя , Nя , Nя , ^ - количество измерений Яц, Я— Я^— Я221 соответственно.

11 22 е12 х21

Перемножив плотности вероятностей (12)-(15) и выполнив логарифмирование и дифференцирование по искомым параметрам Я^ и Я2, при условии одинакового количества измерений Nя = Nя = Nя = Nя = N получим: 11 22 12 21

2 (2Я1 - Яп )/ аЯ11 + (Я + Я2 - Я^п У+ (Я + Я2 - Я^21 У = 0;

2

яе12

е 21

2 (2ЯЯ2 - Я22 )/422 + (Я1 + - ЯШ2 )/<„ + (Я1 + - Я221 = 0.

2

яе12

е 21

Решив приведенную систему уравнений относительно Я^ и Я2, получим выражения для оценки дальностей при совместной обработке данных первой и второй позиций с учетом всех измерений и их среднеквадратических отклонений:

Я =

ЯЯх (аЯ + аЯ °Я ) - ( а~ + а~а

2

2

2

яе12 яе 21

яе 21 я2

"2 а2

яе12 я2

Г Я аЯ12

2 а2

я1 яе 21

4а2 а2

яе12 яе 21

+1 а! +а2

Я

е 21

яе12 / я2

а2 + (а2 +а2

Я

е21

) «я

+

яе12 ' я

+

~ 2 ~ 2 \ 2 Я£12Ч21 + ) аЯ1

4аЯ аЯ

яе12 яе 21

+1 а! +а2

Я

Я2 =

Я2 (4аЯ -Я + аЯ -Я + аЯ -Я ) - Я: (-Я оЯ +аЯ

е 21 2

яе12 / я2

а2 + (а2 +а2

я

е 21

) «Я,

яе12 ' я 22

22

4аЯ оЯ

яе12 яе 21

+1 а! +а2

Я

е21

ЯЕ12) я2

а2 + (а2 +а2

я

е21

+

а

ЯЕ12) я1

+

(4120яе21 + ^^210яе12 ) а

2 я2

4аЯ аЯ

яе12 яе21

+1 а! +а2

"Я

е21

ЯЕ12) Я2

а2 + (а2 +а2

я

е21

я

е12

)-V

1

2

1

2

1

2

)

2 2 2

При равенстве дисперсий измерения наклонных дальностей о^ = оЯ и сум-

марных дальностей а° = а° = а° формулы для определения наклонных дальностей

яе12 21

примут вид

R1 =

r2 =

2R1 (aR + 2aRs ) - 2R2aR + aR (RZ12 + RS21

2R?2 (aR + 2aRs ) - 2R^R + aR (RR2i2

4 (aR +aS R

4 (aR +aRy

2 2

При равных дисперсиях измерений наклонной и суммарной дальностей or = Or получим выражения

Rl = (6R + i?Zi2 + RS21 - 2RR2 V8; = ^2 + RS12 + RS21 - 2R )/8. (16)

Применив к (16) правила нахождения дисперсии (среднеквадратического отклонения) функции нескольких случайных аргументов, получим выражение для среднеквадра-тической ошибки определения наклонных дальностей при совместной обработке: a rc = 0.43<7r . Следовательно, за счет использования избыточных измерений достигается

увеличение точности в 2.32 раза.

Представив измерения в рассматриваемой системе в виде

R11 = 2R1 + 0R2; RR22 = ORR1 + 2R2; R212 = 1R1 + 2 R2; R221 = 1Rl+1R2,

детализируем матрицы и векторы в (5) и в (9) с учетом рассматриваемой задачи:

2 O 1 1 . л л л л , _„_.,„

' uт =||Rn R22 RH2 RS21

(17)

A =

O 2 1 1

X =| R1 R2II

W =

O

a Rj ° Ro

0 a R2Ia Ro

o o ctr.

o o

O O

■12 / °rso

R

O O O

■21 / °rso

(18) (19)

ar , <Jr , <Jr , aR - среднеквадратические ошибки измерения наклонных дально-

1 2 е12 s21

стеи и сумм расстоянии на соответствующих позициях; ст r , 5

среднеквадратиче-

ские ошибки измерения наклонной дальностей и сумм расстояний с единичным весом [9].

Подставив (18) в (9), при условии, что элементы весовой матрицы (19) единичны (соответствующие измерения равноточны), можно показать, что результат решения тождествен (16):

R1 = (3R11 -R22 + RZ12 + RZ21)/8; = (3R22 -R11 + RZ12 + Щ<2\)18

(2O)

O

Дисперсии ошибок при условии равноточных измерений наклонных дальностей и

сумм расстояний согласно (11) составляют

oR = diag oR(ATW-1 a) = diag 1

6 -2

oR,

(21)

откуда также следует, что среднеквадратическое ошибка определения наклонных дальностей <Jr = 0.43ctr .

Рассмотрим вариант использования как дальномерной, так и угломерной информации с измерением углов Y\ и y2 на обеих позициях МПРЛС. Для указанного случая система уравнений (17) примет вид

Ru = 2 R\ + 0 R2; RR22 = 0R1 + 2R2;

< r\2 = JR\ + 2RR2 ; (22)

R21 = 1R\ + 1R2; L sin (Y2 ) = sin ( y ) R\ + OR2; L sin (Y\) = OR\ + sin ( y ) R2,

где y = n - (y\ + y 2 ) - угол визирования позиций (двухпозиционный угол). При этом векторы и матрицы (18) примут вид

UT =1 |R\\ R

(23)

v22 r2\2 r22\ L sin y 2 L sin y\||; x = | l^^i R2¡;

at = 1 O 1 1 sin y O = O 1 1 1 O sin y .

Подстановка (23) в (9) дает выражения для определения дальностей до цели при кооперативной обработке дальностей, суммарных дальностей и угловых координат:

\(32 +12 sin2 y + sin4 y) 2(6 + sin2 y)R\\ - 4R22 + (2 + sin2 y)(Rsi2 + Rs2\) +

Ri =

3 д /у /у /у

+ 6 + L sin Y sin Y2 - 2L sin Y sin Y\

R2 =

l/(32 + 12sin2 Y + sin4 Y)] 2(6

+ sin2 Y)R22 - 4R\\ +

(2 + sin2 Y) (R

-Ш2 + R£2\) +

3 /у /у

+ 6 + L sin Y sin Y\ - 2L sin Y sin Y2

(24)

(25)

По сравнению с (2O) в этих выражениях постоянные дробные коэффициенты при оценках дальности и суммарной дальности заменены коэффициентами, включающими результаты измерения угловых координат. В частном случае при у = O, т. е. когда цель находится на линии базы, выражения (21) и (23) тождественны (16).

В другом частном случае, когда двухпозиционный угол у = 30°, а углы y\ = y 2 = y O, (цель находится на перпендикуляре к линии базы в ее середине и дальности до нее от обеих позиций одинаковы и равны Ro) имеем R\ = R2 = (1/33) (32Ro + 2L sin Yo ).

Среднеквадратические ошибки определения дальностей в рассмотренном случае

также одинаковы: gr =

1 + (1/256)(L¡gr )2cos2 (yo ) g2 , где стуо - средне-

2

Yo

6

квадратическая ошибка определения угла yq. Ошибки ar зависят от топологии системы

(угла y о ) и точности первичных измерений.

Зависимости (20), (24), (25) определяют сущность кооперативной обработки при наличии измерений наклонной дальности, сумм расстояний и угловых координат.

Отличительной особенностью кооперативной обработки, определяемой выражениями (22)-(25), является возможность определения дальности до цели при отсутствии даль-номерной информации решением триангуляционной задачи. Дальнейшим развитием данного подхода могут бытьт увеличение количества позиций и учет дальномерной информации о разности расстояний.

Список литературы

1. Черняк В. С. Многопозиционная радиолокация. М. : Радио и связь, 1993. 416 с.

2. Кондратьев В. С., Котов А.Ф., Марков Л. Н. Многопозиционные радиотехнические системы. М.: Радио и связь, 1986. 264 с.

3. Зайцев Д. В. Многопозиционные радиолокационные системы. Методы и алгоритмы обработки информации в условиях помех. М.: Радиотехника, 2007. 96 с.

4. Аверьянов В. Я. Разнесенные радиолокационные станции и системы. Минск: Навука i тэхшка, 1978. 182 с.

5. Справочник по радиолокации / пер. с англ.; под ред. К. Н. Трофимова: в 4 т. Т 4. М.: Сов. радио. 1978. 376 с.

6. Ширман Я. Д. Теоретические основы радиолокации: учеб. пособие для вузов. М.: Сов. радио, 1970. 560 с.

7. Эльясберг Л. Е. Определение движения по результатам измерений. М.: Наука, 1976. 416 с.

8. Жданюк Б. Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М.: Сов. радио, 1978. 384 с.

9. Кузьмин С. З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации. М.: Сов. радио, 1974. 432 с.

E. G. Borisov, G. M. Mashkov

Saint-Petersburg State University of Telecommunications n. a. prof. M. A. Bonch-Bruevich

Obtain of the maximum likelihood estimates of target coordinates with rangefinder-goniometric information cooperative processing

The version of cooperative processing of measuring information in the multi position radar system is considered. It is shown that cooperative processing of radar information allows to increasing of the accuracy of target coordinates determination.

Multi position radar system, cooperative processing of the measurements, least-squares method

Статья поступила в редакцию 13 февраля 2012 г.