CC BY
1
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2024, Т. 166, кн. 3 ISSN 2541-7746 (Print)
С. 437-449 ISSN 2500-2198 (Online)
ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ
УДК 517.98 10.26907/2541-7746.2024.3.437-449
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ГАММЕРШТЕЙНА С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ
Ю.Х. ЭшкабиловШ.Д. Нодиров2
1 Ташкентский международный университет финансового управления и технологий, г. Ташкент, 100025, Республика Узбекистан
2Каршинский государственный университет, г. Карши, 180119, Республика Узбекистан
Аннотация
Исследованы положительные неподвижные точки интегральных операторов типа Гам-мерштейна с вырожденным ядром в пространстве непрерывных функций С[0,1]. Задача о количестве положительных неподвижных точек интегрального оператора типа Гам-мерштейна сведена к изучению положительных корней многочленов с вещественными коэффициентами. Рассмотрена модель на дереве Кэли с взаимодействиями ближайших соседей и множеством [0,1] значений спина. Доказана единственность трансляционно-инвариантной меры Гиббса для данной модели.
Ключевые слова: неподвижная точка, интегральный оператор Гаммерштейна, дерево Кэли, мера Гиббса, трансляционно-инвариантная мера Гиббса
Введение
Хорошо известно, что интегральные уравнения имеют широкое применение в технике, механике, физике, экономике, оптимизации, автомобильном движении, биологии, теории массового обслуживания и т. д. (см. [1-5]). Теория интегральных уравнений быстро развивается с помощью инструментов функционального анализа, топологии и теории неподвижной точки. Поэтому для получения решения нелинейного интегрального уравнения используется множество различных методов. Некоторые методы обсуждения и получения решений интегрального уравнения Гаммерштейна можно найти в [6-14]. Существование положительных решений абстрактных интегральных уравнений типа Гаммерштейна обсуждается в [10].
Пусть С+ [0,1] = {/(£) € С[0,1] : /(£) > 0}. Рассмотрим интегральный оператор типа Гаммерштейна Нк (к £ N), действующий на конусе С+ [0,1] по правилу
1
(Н/ )№ = У к (г,п)/к(п)<!и, (1)
о
где ядро К(£, и) - строго положительная непрерывная функция на [0,1] х [0,1].
Существование нетривиальных положительных неподвижных точек оператора типа Гаммерштейна (1) следует из теоремы 44.8, приведенной в работе [4].
Настоящая работа посвящена изучению количества положительных неподвижных точек интегрального оператора типа Гаммерштейна с вырожденным ядром вида
к (г,и) = (и) + (2)
где у 1 (¿), у2 (¿) и Ф1 (¿), Ф2 - попарно линейно независимые и положительные непрерывные функции.
Отметим, что при к = 2, 3, 4 получены результаты о количестве положительных неподвижных точек нелинейных интегральных операторов типа Гаммерштей-на Н2,Н3 и НА (см. [15-17]).
Краткое содержание этой статьи: в разделе 1 изучена разрешимость интегрального уравнения типа Гаммерштейна с вырожденным ядром (2) на конусе С+[0,1]
Ни I = /, к > 1.
В разделе 2 рассмотрена система нелинейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Проблема разрешимости системы нелинейных алгебраических уравнений приведена к исследованию положительных корней полинома порядка к +1. В разделе 3 представлены результаты, применимые к исследованию мер Гиббса для моделей на дереве Кэли Гк порядка к е N.
1. Интегральное уравнение типа Гаммерштейна с вырожденным
ядром
В этом разделе обсуждено существование положительного решения интегрального уравнения типа Гаммерштейна с вырожденным ядром.
Обозначим С+ [0,1] = С+[0,1] \ {в}, где в(х) = 0 при всех х е [0,1]. Пусть функции у1 (£), у2 (£), ф1 (£), ф2 (¿) принадлежат С+ [0,1]. Рассмотрим следующий интегральный оператор типа Гаммерштейна Ни, (к е М) на конусе С+[0,1]:
1
(Ни1) (*) =1 (у1 (*) Ф1 (и) + У2 (*) ф2 (и))1к (и) ¿и. (3)
о
Целю работы является исследование количества положительных неподвижных точек интегрального оператора типа Гаммерштейна (3).
Определим положительные числа а и 6' следующим образом:
ф1 (и) 1 (и) у2 (и) ¿и, 6' = Ф2 (и) ' (и) у2 (и) ¿и,
где г е {0,1, 2, ...,к} .
Рассмотрим отображение <2к в двумерном вещественном пространстве К2:
(к к \ ]ГсиаХ-'у', ^Сккхк-'уЧ ,
¿=0 ¿=0 /
где = ^кк_\ул | (биномиальный коэффициент).
Обозначим количество положительных неподвижных точек оператора Т через (Т). Положим
К>
М> = {(х,у) е М2 : х > 0,у > 0} .
1
1
а
Лемма 1. Пусть к > 2. Интегральный оператор типа Гаммерштейна (3) имеет нетривиальную положительную неподвижную точку тогда и только тогда, когда отображение 2* имеет нетривиальную положительную неподвижную точку и справедливо равенство Nfгix (Я*) = N{гх (б*).
Доказательство. Необходимость. Пусть / (4) £ С0 [0,1] - нетривиальная положительная неподвижная точка интегрального оператора типа Гаммерштейна (3). Введем следующие обозначения:
1
С1 =У (и) /* («М«, (4)
о
1
С2 = J (и) /* (5)
о
Ясно, что С1 > 0, С2 > 0. Тогда неподвижная точка интегрального оператора типа Гаммерштейна (3) имеет вид
/ (*) = ф1(*)с1 + Ф2(^)С2,
и также справедливо равенство /(4) € С>[0,1] = {/(4) € С[0,1] : /(4) > 0, 4 € [0,1]} . Таким образом, для параметров С1, С2 из равенства (4) и (5) имеем следующие два тождества:
С1 = £ С^с*-гс2, С2 = £ С*^с*-гс*.
г=о г=о
Следовательно, точка (с1,с2) € К> является неподвижной точкой нелинейного оператора 2*.
Достаточность. Предположим, что точка ш = (хо,уо) является нетривиальной положительной неподвижной точкой нелинейного оператора 2* и числа хо, уо удовлетворяют равенствам
Е^г к—г г _ \ ~ г г
«¿хо Уо = ^ ЬгХо Уо = Уо.
г=о г=о
Легко проверить, что функция /о (4) = ф1(4)хо + ф2(4)уо является неподвижной точкой интегрального оператора Я* (3) и /о(4) € С> [0,1] при ш € М>.
Лемма доказана. □
Теорема 1. Пусть к > 2. Количество положительных неподвижных точек нелинейного интегрального оператора типа Гаммерштейна (3) равно количеству положительных корней следующего многочлена
= +1 лг£ш Ш ~ Ь)"
Доказательство теоремы 1 следует из лемм 2 и 3 второго раздела. Из теоремы 1 и правила Декарта для количества положительных корней многочленов с вещественными коэффициентами (см. [18], сс. 27-29) следует следующая теорема.
Теорема 2. Пусть к > 2.
1) Нелинейный интегральный оператор типа Гаммерштейна (3) имеет как минимум одну положительную неподвижную точку;
2) если для всех индексов г е {1,..., к} выполняются неравенства
а'-1 к — г +1 а'-1 к — г + 1 —— < -;- или —— > -;-,
6' г 6' г
то интегральный оператор типа Гаммерштейна (3) имеет единственную положительную неподвижную точку;
3) для количества ' (Ни) положительных неподвижных точек интегрального оператора (3) выполняются следующие свойства:
а) если к счетно, то 1 < М+гх (Нк) < к +1;
б) если к несчетно, то 1 < (Нк) < к.
Доказательство. По теореме 1 для количества положительных неподвижных точек интегрального оператора (3) достаточно исследовать количество положительных корней многочлена Ри+1.
1) Видно, что Рк+1 (0) = —60 < 0 и Рк+1(+то) = . Тогда по теореме Ролля существует такое с > 0, что Ри+1 (с) = 0.
2) Согласно правилу Декарта число положительных корней многочлена Ри+1 не превосходит числа перемен знака в последовательности коэффициентов
, ( 6и\ к(к — 1) / аи-2 6и-1 \ .
Учитывая, что аи > 0, —6о < 0, для единственности смены знака достаточно
предположить, что все члены последовательности | к°!7+1 — 1*"}. не изменяют знаки. ¿=1
3) Ясно, что многочлен Ри+1 может иметь до к + 1 положительных корней. Заметим, что если к несчетно, то многочлен Ри+1 имеет один отрицательный корень. □
Положим
Яг-1 -Ь4, ¿€{1,2,...,*}.
к — г + 1 г
Следствие 1. Пусть к > 2.
а) Если для чисел ¿1, ¿2, • • •, йи справедливы соотношения ¿1 < ¿2 < • • • < ¿и, то интегральный оператор типа Гаммерштейна (3) имеет единственную положительную неподвижную точку;
б) если для чисел ¿1,^2, • • •, йи справедливы соотношения ¿1 > ¿2 > • • • > ¿и, то для количества положительных неподвижных точек (Ни) нелинейного интегрального оператора типа Гаммерштейна (3) выполняется неравенство ^¿х (Ни) < 3.
Следствие 2. Пусть к > 2. Если существуют такие два положительных числа £ь и ^2, что Ри+1 (^1) Ри+1 (6) < 0, то М[гх (Ни) > 2.
й
2. Система нелинейных алгебраических уравнений с двумя
неизвестными
В этом разделе мы изучим разрешимость системы нелинейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Рассмотрим следующую систему нелинейных алгебраических уравнений с неизвестными ж, у € К:
к
Е Скажк-У = ж,
¿=0
Е Скy¿ = у,
¿=0
где а,г > 0, bi > 0 для всех г = 1, /г.
Лемма 2. Если ш = (ж0, у0) € К> является неподвижной точкой оператора 0,и, то = ^ является корнем уравнения
Доказательство. Пусть ш = (ж0, у0) € К> - неподвижная точка оператора <2к. Тогда
^Ска^жк ¿у0 = Ж0, Ск^¿ж1 ¿у0 = у0.
Обозначив у0 = £0ж0, получим следующие равенства
кк
^ ] Ск«¿ж0 £0ж0 = ж0; Ск^ж0 £0ж0 = ^0ж0. ¿=0 ¿=0
Следовательно, получим
^ ( Е С«¿^0 ) = ж0, жк | Е С^¿^0 ) = &ж0.
¿=0 ¿=0
Отсюда следует
Со
1 -Е^^/Е6«,
0 ¿=0
«с ек+1 +Е (С-1^— - с ¿¿) е0 - &0 = о.
¿=1
После элементарных преобразований последнее равенство можно переписать в виде , У^ (0>к-г-1 Ък^Л к_г
-Ъо = 0.
Лемма 2 доказана. □
к
к
Лемма 3. Если £0 является положительным корнем уравнения (6), то точка = (хо,£охо) е М> является неподвижной точкой оператора <2и, где
хо = 1/
и
ЕС а' £0. (7)
Доказательство. Пусть £0 > 0 и £0 является положительным корнем уравнения (6). Положим у0 = £охо и = (хо,£охо). Из равенств у0 = £охо и (7) получим
ЕСа'хиГу0 = Е сиа'хи-' (£0x0)' = ^ £ Са'£0 = 1/
и
т. е. Сиа'х^у0 = х0. С другой стороны, '=0 и 0 0
и-1
^ + V „ (^ - ^ -Ьо = 0.
¿-0 (к — г — 1)!г! V г +1 к — г
Тогда, заменив = к — г, получим
± Т^ш"^ = ± Т^Ш^1 = & I
Из последнего равенства имеем
и и и
ЕС6'хитУо = Е си6'хиГ(хо£оГ = Е си6'£0
'=0 '=0 '=0
к
\
■ £о \ У2сгка£о | =-, = Сохо = г/о-
С'а'£0 I Ч/Е Са'£0
'=0
'=0
Это завершает доказательство леммы 3. □
3. Приложение: трансляционно-инвариантные меры Гиббса для моделей на дереве Кэли Ги
Дерево Кэли Ги = (V, Ь) порядка к е N - это бесконечное дерево, т. е. граф без циклов, из каждой вершины которого выходит ровно к + 1 ребро. Здесь V является множеством вершин, а Ь - множество ребер (дуг). Мы рассмотрим модель, где спиновые переменные принимают значения из множества [0,1] и расположены на вершинах дерева Кэли Ги. Для А С V конфигурация ста на А является произвольной функцией ста : А ^ [0,1]. Обозначим через Па = [0,1]А множество
и
и
и
1
и
всех конфигураций на А. Тогда конфигурация а на V определяется как функция
о
Рассмотрим модель Н на Гк по равенству
ж € V ^ а(ж) € [0,1]; множество всех конфигураций совпадает с [0,1]у
Н(а) = -7 Е , а € Пу, (8)
где 7 € К\{0} и £ : (и, V) € [0,1]2 ^ £„,.„ € К является ограниченной, измеримой функцией. Как обычно, (ж, у) представляет ближайшие соседние вершины.
Говорят, что ж < у, если путь из ж0 в у проходит через ж. При этом вершина у называется «прямым потомком» вершины ж, если у > ж и ж, у являются ближайшими соседями. Множество прямых потомков вершин ж обозначим как Б (ж). Заметим, что любая вершина ж = ж0 имеет к прямых потомков, а ж0 имеет к +1 таковых.
Пусть Н : ж € V ^ Нх = (Н(,х,£ € [0,1]) € К[0,1] является отображением вершины ж € V\{ж0} .
Теперь рассмотрим следующее уравнение
/(*,*)= П (9)
Уея(х) !о ехр(7в£0«)/(м,уМм
где /(£, ж) = ехр(Н4,х — Н0,х), £ € [0,1], и ¿м = Л(йм) - мера Лебега.
Известно, что для расщепленной меры Гиббса модели (8) необходимо и достаточно существование решения уравнения (9) для любого ж € V \ {ж0}. Таким образом, мы знаем, что мера Гиббса ^ для модели (8) зависит от функции /(£, ж) и каждая мера Гиббса соответствует решению /(£, ж) уравнения (9).
Подробное определение расщепления меры Гиббса для моделей с взаимодействиями ближайших соседей и континуальным множеством значений спина на дереве Кэли Гк приведено в [19-21]. В дальнейшем будем использовать название меры Гиббса вместо расщепления меры Гиббса.
Обратим внимание, что анализировать решения уравнений (9) сложно. Сложность зависит от заданной функции £ - модели (8). Изучим меры Гиббса модели (9) в случае / (£, ж) = / (£) для всех ж € Б (ж). Такая мера Гиббса называется трансляционно-инвариантной.
Для трансляционно-инвариантных функций уравнение (9) можно записать в виде
ч ( Гп К(£,и)/(иЫи\ , ч ,
=т (10)
где К(£,м) = ехр(7в£4и) > 0, /(£) > 0, € [0,1].
Отметим, что каждое положительное решение уравнения (10) соответствует трансляционно-инвариантной мере Гиббса для модели (9) (см. [22], замечание 3.3). Таким образом, количество положительных непрерывных решений уравнения (10) даст нам количество трансляционно-инвариантных мер Гиббса.
Обобщив результаты работ [19,22,23], получим следующую теорему.
Теорема 3. Пусть к > 2. Интегральное уравнение (10) имеет нетривиальное положительное решение тогда и только тогда, когда интегральный оператор (1) имеет нетривиальную положительную неподвижную точку и
(Дк) = Я^(Нк).
Доказательство. Уравнение (10) имеет по крайней мере одно решение на С0 [0,1] (см. [23], теорема 3.5).
Необходимость. Пр решением уравнения (10). Тогда /(0) = 1, и также для
Необходимость. Предположим, что к > 2 и функция / (¿) € С0 [0,1] является
3(*) =
выполняется
(Якд)(*) =
где А = Г, К(0, м)/> 0. Это указывает, что если уравнение (10) имеет решение на С0 [0,1], то соответственно найдется неподвижная точка оператора Як на
С0 [0,1].
Достаточность. Пусть к > 2 и функция д = д(£) € С0 [0,1] является неподвижной точкой оператора Як . Из строгой положительности ядер получим соотношение 1
/ К(0,м)дк(м)йм = д(0) > 0. Тогда для функции
/ (*)
= V
9(0)]
справедливо следующее равенство
№/) (*)
( 1 \
/ К(£, м)/
0_
1
/ К(0, м)/(м)Л \о /
( 1
/ К(¿,м)дк(м)йм
о
\о
/ К(0,м)дк(м)Л
(
Ы о)
/ (*)•
Это показывает, что если оператор Як (1) имеет неподвижную точку на С0 [0,1], то уравнение (10) имеет решение на С0 [0,1].
□
Учитывая теорему 3, имеем следующее следствие.
Следствие 3. Пусть к > 2. Для количества N4гдт(Я) трансляционно-инвариантных мер Гиббса модели (8) справедливо 'равенство
N М3т(Я) = Ж^Яй ).
Рассмотрим трансляционно-инвариантные меры Гиббса для следующей модели на дереве Кэли Гк :
Н{-а) = ~\ Е 1п (а + Ьа(х)а(у)),
в
(11)
<ж,у>еь
где параметры а и Ь удовлетворяют условиям а> 0, Ь > 0 и в = Т 1, Т -температура, Т > 0.
Теорема 4. Модель (11) имеет единственную трансляционно-инвариантную меру Гиббса для всех к € N.
к
к
к
Доказательство. Для ядра Кинтегрального оператора Гаммерштейна Н имеем
¥1 (*) = 1, (*) = а, (*) = ^2 (*) = Ы.
Таким образом, нам необходимо рассмотреть следующий оператор типа Гаммерштейна:
(H f )(t) ^ У (a + btM)f
(12)
Следовательно, для aj и bj получим (см. раздел 1)
du =
aj = a j и
0
1
b = b uj+1du =
i +1'
i + 2
i G {0, 1, 2, • • •, k},
i G {0,1, 2, • • •, k}.
Положим
aj-i bj 1 / a b
k - г + 1 г ~~ г I k — г + 1 г + 2
i G {1, 2, • • -,k}.
Определим функцию
h(x)
k — x+1 x + 2
на [1, k]. Тогда имеем
h'(x) =
+
b
(k — x + 1)2 (x + 2)2
x G [1, k].
Отсюда получим Л/(х) > 0 для всех х С [1, к]. Следовательно, функция Л.(х) возрастает на множестве [1, к]. Таким образом, для чисел ¿1, ¿2, • • •, ^ имеем следующие неравенства
¿1 < ¿2 < • • • < ¿й.
Тогда по теореме 2 интегральный оператор (12) имеет единственную положительную неподвижную точку. Это означает, что модель (11) имеет единственную трансляционно-инвариантную меру Гиббса для всех к С N. □
1
a
b
d
b
a
a
Конфликт интересов. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Список литературы
1. Abdou M.A., Badr A.A. On a method for solving an integral equation in the displacement contact problem // J. Appl. Math. Comput. 2002. V. 127, No 1. P. 65-78. https://doi.org/10.1016/S0096-3003(01)00003-0.
2. Grimmer R., Liu J.H. Singular perturbations in viscoelasticity // Rocky Mt. J. Math. 1994. V. 24, No 1. P. 61-75. https://doi.org/10.1216/rmjm/1181072452.
3. Keller J.B., Olmstead W.E. Temperature of nonlinearly radiating semi-infinite solid // Q. Appl. Math. 1972. V. 29. P. 559-566.
4. Krasnosel'skii M.A., Zabreiko P.P. Geometrical Methods of Nonlinear Analysis. Ser.: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. V. 263. Berlin, Heidelberg, New York, NY, Tokyo: Springer-Verlag, 1984. xx, 412 p.
5. Olmstead W.E., Handelsman R.A. Diffusion in a semi-infinite region with nonlinear surface dissipation // SIAM Rev. 1976. V. 18, No 2. P. 275-291. https://doi.org/10.1137/1018044.
6. Abdou M.A. On the solution of linear and nonlinear integral equation. // J. Appl. Math. Comput. 2003. V. 146, No 2-3. P. 857-871. https://doi.org/10.1016/S0096-3003(02)00643-4.
7. Abdou M.A., El-Borai M.M., El-Kojok M.M. Toeplitz matrix method and nonlinear integral equation of Hammerstein type // J. Comput. Appl. Math. 2009. V. 223, No 2. P. 765-776. https://doi.org/10.1016/jxam.2008.02.012.
8. Abdou M.A., El-Sayed W. G., Deebs E.I. A solution of nonlinear integral equation // Appl. Math. Comput. 2005. V. 160, No 1. P. 1-14. https://doi.org/10.1016/S0096-3003(03)00613-1.
9. Faraci F. Existence and multiplicity results for a non linear Hammerstein integral equation // Giannessi F., Maugeri A. (Eds.) Variational Analysis and Applications. Ser.: Nonconvex Optimization and Its Applications. V. 79. Boston, MA: Springer, 2005. P. 359-371. https://doi.org/10.1007/0-387-24276-7_23.
10. Horvat-Marc A. Positive solutions for nonlinear integral equations of Hammerstein type // Carpathian J. Math. 2008. V. 24, No 2. P. 54-62.
11. Appell J.A., De Pascale E., Zabrejko P.P. On the unique solvability of Hammerstein integral equations with non-symmetric kernels // Appell J. (Ed.) Recent Trends in Nonlinear Analysis. Ser.: Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. V. 40. Basel: Birkhauser, 2000. P. 27-34. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8411-2_3.
12. Appell J., Kalitvin A.S. Existence results for integral equations: Spectral methods vs. fixed point theory // Fixed Point Theory. 2006. V. 7, No 2. P. 219-234.
13. Bugajewski D. On BV-solutions of some nonlinear integral equations // Integr. Equations Oper. Theory. 2003. V. 46, No 4. P. 387-398. https://doi.org/10.1007/s00020-001-1146-8.
14. Milojevic P.S. Solvability and the number of solutions of Hammerstein equations // Electron. J. Differ. Equations. 2004. No 54. P. 1-25.
15. Eshkabilov Yu.Kh., Nodirov Sh.D., Haydarov F.H. Positive fixed points of quadratic operators and Gibbs measures // Positivity. 2016. V. 20, No 4. P. 929-943. https://doi.org/10.1007/s11117-015-0394-9.
16. Eshkabilov Yu.Kh., Nodirov Sh.D. Positive fixed points of cubic operators on R2 and Gibbs measures // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2019. V. 12, No 6. P. 663-673. http://dx.doi.org/10.17516/1997-1397-2019-12-6-663-673.
17. Eshkabilov Yu.Kh., Nodirov Sh.D. On the positive fixed points of quartic operators // Bull. Inst. Math. 2020. No 3. P. 27-36.
18. Prasolov V.V. Polynomials. Ser.: Algorithms and Computation in Mathematics. V. 11. Springer, 2000. xiii, 301 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-03980-5.
19. Rozikov U.A., Eshkabilov Yu.Kh. On models with uncountable set of spin values on a Cayley tree: Integral equations // Math. Phys., Anal. Geom. 2010. V. 13, No 3. P. 275-286. https://doi.org/10.1007/s11040-010-9079-6.
20. Rozikov U.A. Gibbs Measures on Cayley Trees. Singapore: World Sci. Publ., 2013. 404 p. https://doi.org/10.1142/8841.
21. Georgii H.-O. Gibbs Measures and Phase Transitions. Ser.: De Gruyter Studies in Mathematics. V. 9. Berlin, New York, NY: De Gruyter, 2011. 545 p. https://doi.org/10.1515/9783110250329.
22. Eshkabilov Yu.Kh., Haydarov F.H., Rozikov U.A. Non-uniqueness of Gibbs measure for models with uncountable set of spin values on a Cayley tree // J. Stat. Phys. 2012. V. 147, No 4. P. 779-794. https://doi.org/10.1007/s10955-012-0494-x.
23. Eshkabilov Yu.Kh., Haydarov F.H., Rozikov U.A. Uniqueness of Gibbs measure for models with uncountable set of spin values on a Cayley tree // Math. Phys., Anal. Geom. 2013. V. 16, No 1. P. 1-17. https://doi.org/10.1007/s11040-012-9118-6.
Поступила в редакцию 19.07.2024 Принята к публикации 6.08.2024
Эшкабилов Юсуп Халбаевич, доктор физико-математических наук, профессор Ташкентский международный университет финансового управления и технологий
просп. Амира Темура, д. 15, г. Ташкент, 100025, Республика Узбекистан E-mail: [email protected] Нодиров Шохрух Дилмуродович, доктор философии по физико-математическим наукам (PhD), доцент, заведующий кафедрой математического анализа и дифференциальных уравнений
Каршинский государственный университет
ул. Кучабаг, д. 17, г. Карши, 180119, Республика Узбекистан E-mail: [email protected]
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2024, vol. 166, no. 3, pp. 437-449
ORIGINAL ARTICLE
doi: 10.26907/2541-7746.2024.3.437-449
Positive Fixed Points of Hammerstein Integral Operators with Degenerate Kernel
Yu.Kh. Eshkabilova*, Sh.D. Nodirovb**
a Tashkent International University of Financial Management and Technologies, Tashkent, 100025 Republic of Uzbekistan bKarshi State University, Karshi, 180119 Republic of Uzbekistan E-mail: *[email protected], **[email protected] Received July 19, 2024; Accepted August 6, 2024
Abstract
Positive fixed points of the Hammerstein integral operators with a degenerate kernel in the space of continuous functions C[0,1] were explored. The problem of determining the number of positive fixed points of the Hammerstein integral operator was reduced to analyzing the positive roots of polynomials with real coefficients. A model on a Cayley tree with nearest-neighbor interactions and with the set [0,1] of spin values was considered. It was proved that a unique translation-invariant Gibbs measure exists for this model.
Keywords: fixed point, Hammerstein integral operator, Cayley tree, Gibbs measure, translation-invariant Gibbs measure
Conflicts of Interest. The authors declare no conflicts of interest.
References
1. Abdou M.A., Badr A.A. On a method for solving an integral equation in the displacement contact problem. J. Appl. Math. Comput., 2002, vol. 127, no. 1, pp. 65-78. https://doi.org/10.1016/S0096-3003(01)00003-0.
2. Grimmer R., Liu J.H. Singular perturbations in viscoelasticity. Rocky Mt. J. Math., 1994, vol. 24, no. 1, pp. 61-75. https://doi.org/10.1216/rmjm/1181072452.
3. Keller J.B., Olmstead W.E. Temperature of nonlinearly radiating semi-infinite solid. Q. Appl. Math., 1972, vol. 29, pp. 559-566.
4. Krasnosel'skii M.A., Zabreiko P.P. Geometrical Methods of Nonlinear Analysis. Ser.: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 263. Berlin, Heidelberg, New York, NY, Tokyo, Springer-Verlag, 1984. xx, 412 p.
5. Olmstead W.E., Handelsman R.A. Diffusion in a semi-infinite region with nonlinear surface dissipation. SIAM Rev., 1976, vol. 18, no. 2, pp. 275-291. https://doi.org/10.1137/1018044.
6. Abdou M.A. On the solution of linear and nonlinear integral equation. J. Appl. Math. Comput., 2003, vol. 146, nos. 2-3, pp. 857-871. https://doi.org/10.1016/S0096-3003(02)00643-4.
7. Abdou M.A., El-Borai M.M., El-Kojok M.M. Toeplitz matrix method and nonlinear integral equation of Hammerstein type. J. Comput. Appl. Math., 2009, vol. 223, no. 2, pp. 765-776. https://doi.org/10.1016/j.cam.2008.02.012.
8. Abdou M.A., El-Sayed W.G., Deebs E.I. A solution of nonlinear integral equation. Appl. Math. Comput., 2005, vol. 160, no. 1, pp. 1-14. https://doi.org/10.1016/S0096-3003(03)00613-1.
9. Faraci F. Existence and multiplicity results for a non linear Hammerstein integral equation. In: Giannessi F., Maugeri A. (Eds.) Variational Analysis and Applications. Ser.: Nonconvex Optimization and Its Applications. Vol. 79. Boston, MA, Springer, 2005, pp. 359-371. https://doi.org/10.1007/0-387-24276-7_23.
10. Horvat-Marc A. Positive solutions for nonlinear integral equations of Hammerstein type. Carpathian J. Math., 2008, vol. 24, no. 2, pp. 54-62.
11. Appell J.A., De Pascale E., Zabrejko P.P. On the unique solvability of Hammerstein integral equations with non-symmetric kernels. In: Appell J. (Ed.) Recent Trends in Nonlinear Analysis. Ser.: Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. Vol. 40. Basel, Birkhâuser, 2000, pp. 27-34. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8411-2_3.
12. Appell J., Kalitvin A.S. Existence results for integral equations: Spectral methods vs. fixed point theory. Fixed Point Theory, 2006, vol. 7, no. 2, pp. 219-234.
13. Bugajewski D. On BV-solutions of some nonlinear integral equations. Integr. Equations Oper. Theory, 2003, vol. 46, no. 4, pp. 387-398. https://doi.org/10.1007/s00020-001-1146-8.
14. Milojevic P.S. Solvability and the number of solutions of Hammerstein equations. Electron. J. Differ. Equations, 2004, no. 54, pp. 1-25.
15. Eshkabilov Yu.Kh., Nodirov Sh.D., Haydarov F.H. Positive fixed points of quadratic operators and Gibbs measures. Positivity, 2016, vol. 20, no. 4, pp. 929-943. https://doi.org/10.1007/s11117-015-0394-9.
16. Eshkabilov Yu.Kh., Nodirov Sh.D. Positive fixed points of cubic operators on R2 and Gibbs measures. J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2019, vol. 12, no. 6, pp. 663—673. http://dx.doi.org/10.17516/1997-1397-2019-12-6-663-673.
17. Eshkabilov Yu.Kh., Nodirov Sh.D. On the positive fixed points of quartic operators. Bull. Inst. Math., 2020, no. 3, pp. 27-36.
18. Prasolov V.V. Polynomials. Ser.: Algorithms and Computation in Mathematics. Vol. 11. Springer, 2000. xiii, 301 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-03980-5.
19. Rozikov U.A., Eshkabilov Yu.Kh. On models with uncountable set of spin values on a Cayley tree: Integral equations. Math. Phys., Anal. Geom., 2010, vol. 13, no. 3, pp. 275-286. https://doi.org/10.1007/s11040-010-9079-6.
20. Rozikov U.A. Gibbs Measures on Cayley Trees. Singapore, World Sci. Publ., 2013. 404 p. https://doi.org/10.1142/8841.
21. Georgii H.-O. Gibbs Measures and Phase Transitions. Ser.: De Gruyter Studies in Mathematics. Vol. 9. Berlin, New York, NY, De Gruyter, 2011. 545 p. https://doi.org/10.1515/9783110250329.
22. Eshkabilov Yu.Kh., Haydarov F.H., Rozikov U.A. Non-uniqueness of Gibbs measure for models with uncountable set of spin values on a Cayley tree. J. Stat. Phys., 2012, vol. 147, no. 4, pp. 779-794. https://doi.org/10.1007/s10955-012-0494-x.
23. Eshkabilov Yu.Kh., Haydarov F.H., Rozikov U.A. Uniqueness of Gibbs measure for models with uncountable set of spin values on a Cayley tree. Math. Phys., Anal. Geom., 2013, vol. 16, no. 1, pp. 1-17. https://doi.org/10.1007/s11040-012-9118-6.
Для цитирования: Эшкабилов Ю.Х., Нодиров Ш.Д. Положительные неподвиж-/ ные точки интегральных операторов типа Гаммерштейна с вырожденным ядром // \ Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2024. Т. 166, кн. 3. С. 437-449. https: //doi.org/10.26907/2541-7746.2024.3.437-449.
For citation: Eshkabilov Yu.Kh., Nodirov Sh.D. Positive fixed points of Hammerstein / integral operators with degenerate kernel. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. \ Seriya Fiziko-Matem,aticheskie Nauki, 2024, vol. 166, no. 3, pp. 437-449. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2024.3.437-449. (In Russian)
