Положения относительного равновесия динамически симметричного наноспутника формата CubeSat под действием гравитационного и аэродинамического моментов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.783 DOI: 10.18287/2541-7533-2019-18-2-21-32

ПОЛОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО НАНОСПУТНИКА ФОРМАТА CUBESAT

ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГРАВИТАЦИОННОГО И АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО МОМЕНТОВ

© 2019

кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики; Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва; [email protected]

доктор технических наук, профессор, профессор межвузовской кафедры космических исследований;

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва; [email protected]

Рассматривается движение вокруг центра масс динамически симметричного неуправляемого наноспустника формата CubeSat на круговой орбите под действием аэродинамического и гравитационного моментов. Определены положения равновесия наноспутника в траекторной системе координат с учётом того, что коэффициент аэродинамической силы лобового сопротивления зависит от пространственного угла атаки и угла собственного вращения. Получены формулы, позволяющие вычислить значения углов атаки, прецессии и собственного вращения, соответствующие положениям равновесия, в зависимости от инерционно-массовых и геометрических параметров наноспутника и высоты орбиты. Показано, что в случае преобладания гравитационного момента над аэродинамическим существует 16 положений равновесия, в случае преобладания аэродинамического момента над гравитационным существует 8 положений равновесия, в случае соизмеримых величин аэродинамического и гравитационного моментов возможно 8, 12 или 16 положений равновесия. По полученным формулам вычислены положения равновесия наноспутника SamSat-QB50. Указаны диапазоны высот, на которых наноспутник SamSat-QB50 имеет 8, 12 или 16 положений равновесия относительно центра масс.

Наноспутник формата CubeSat; положения углового равновесия; аэродинамический момент; гравитационный момент; угол атаки; угол прецессии; угол собственного вращения.

Цитирование: Баринова Е.В., Тимбай И.А. Положения относительного равновесия динамически симметричного наноспутника формата CubeSat под действием гравитационного и аэродинамического моментов // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение. 2019. Т. 18, № 2. С. 21-32. DOI: 10.18287/2541-7533-2019-18-2-21-32

Введение

Обеспечение заданной ориентации наноспутников в пространстве является важным вопросом, так как от этого зависит выполнение многих целевых задач полёта. Необходимая ориентация наноспутника может обеспечиваться с помощью пассивных или комбинированных систем стабилизации. При создании этих систем необходимо учитывать характер неуправляемого движения наноспутника относительно центра масс под действием моментов внешних сил. При изучении неуправляемого движения важной задачей является определение положений равновесий наноспутника относительно центра масс. Знание положений равновесия и характера движения наноспутника в их окрестности позволяет использовать моменты внешних сил для обеспечения необходимой ориентации.

В работах Сарычева В.А. рассматривается динамика спутника со смещённым центром давления относительно центра масс по трём координатам и тремя не равными главными моментами инерции при действии аэродинамического и гравитационного

Е. В. Баринова

И. А. Тимбай

моментов. Предложен символьно-численный метод определения всех положений равновесия спутника в орбитальной системе координат [1-3]. В этих работах «действие атмосферы на спутник сводится к силе сопротивления, приложенной в центре давления и направленной против скорости центра масс спутника относительно воздуха» и коэффициент данной силы не зависит от ориентации аппарата относительно набегающего потока, то есть является постоянным, что достаточно точно выполняется для формы спутника, близкой к сферической.

Работа посвящена определению положений равновесия углового движения нано-спутника формата CubeSat на круговой орбите под действием аэродинамического и гравитационного моментов. Отличительной особенностью наноспутников формата CubeSat является то, что они имеют форму прямоугольного параллелепипеда и, как следствие, коэффициент аэродинамической силы лобового сопротивления зависит от ориентации спутника относительно набегающего потока (углов атаки и собственного вращения). Кроме того, максимальное и минимальное значения данного коэффициента значительно отличаются (например, для наноспутника CubeSat 3и отношение максимального значения коэффициента силы лобового сопротивления к минимальному равно 4,24).

В работе определены положения равновесия динамически симметричного нано-спутника формата CubeSat при смещении центра масс от геометрического центра по трём осям, при движении по круговой орбите под действием аэродинамического и гравитационного моментов.

Математическая модель

Для описания движения наноспутника относительно центра масс введены две системы координат (СК): траекторная (совпадающая с орбитальной в случае круговой орбиты) и связанная. Связь между системами координат определяется с помощью углов Эйлера.

Матрица перехода от траекторной системы координат к связанной определяется следующим образом:

в _

пер

008 а 8т а 8т у - 8т а оо8 у

ътаътр ооърооу - ооъаътръту ооъръту + ооъаътрооу ътаооър - ътрооу - оо?>аоо?>р?ту - + ооъаооърооу

Здесь а - пространственный угол атаки (угол между продольной осью наноспутника и вектором скорости центра масс), у - угол прецессии (угол между плоскостью полёта и плоскостью угла атаки), р - угол собственного вращения (угол между плоскостью угла атаки и поперечной осью наноспутника).

Гравитационный момент в связанной с наноспутником системе координат имеет следующие проекции [4]:

мх? _ 3 К(с - в)ь23ь33,

к

М- _ 3 кК (А - с ^ (1)

Мщ _ 3 К (в - А ^¿23,

где А, В, С - главные центральные моменты инерции наноспутника; Ь^ - элементы матрицы перехода Впер ; / - гравитационная постоянная Земли; Я - расстояние центра масс спутника от центра притяжения.

Для круговой орбиты справедливо соотношение = О)^рб, где о(рб - орбиталь-

ная угловая скорость.

Аэродинамический момент для наноспутников, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда, в связанной с наноспутником системе координат можно представить в следующем виде [5]:

Мх =-Сха р2 Вар ( - АгЬ21),

Мау =-Сха ^ ( -АЬ31 ), (2)

Ма1 =-Са В^ (АхЬ21 - АуЬц ).

Здесь Сха = с0 (| Ь111 + к (| Ь21 | + | Ь311)) - коэффициент аэродинамической силы лобового

сопротивления; q = ру— - скоростной напор; р - плотность атмосферы на данной высоте; V - скорость полёта наноспутника; (Ах, Ау, А) - положение центра давления (геометрического центра) относительно центра масс; В - характерная площадь наноспутника; с0 - коэффициент, который может принимать значения от 2 до 3 в зависимости от физических свойств газа и поверхности наноспутника, для проектных проработок принимается равным 2,2; к - отношение боковой площади поверхности наноспут-ника к характерной площади.

Так как оси связанной СК Оху2 являются главными центральными осями инерции наноспутника, то уравнения пространственного движения наноспутника относительно центра масс под действием аэродинамического и гравитационного моментов можно записать в следующем виде [4]:

A сох +(С -B)шушг = Mgx + Max,

B соу + (A - С)ш2шx = Mgy + May, (3)

С соz + (B - A)шxшy = MgZ + Maz,

где шх, Шу, (Oz - проекции угловой скорости ш на оси связанной СК. Вектор угловой скорости можно представить в виде:

ш= Ц/ + ф + ОС + шорб .

Тогда кинематические соотношения имеют вид:

шх =W cos а + (ф + шорб

шу =ц/ sin ф sin а + О cos ф + шорбb22, (4)

o)z =ц/ cos ф sin а - О sin ф + шорбb32.

Динамические уравнения Эйлера (3) и кинематические соотношения (4) составляют полную систему уравнений движения наноспутника относительно центра масс.

Положением равновесия называется такое положение наноспутника, в котором наноспутник будет находиться всё время, если в начальный момент времени он находился в этом положении и скорости всех его точек были равны нулю [6]. Из определения следует, что скорости изменения углов равны нулю (ее = 0, ц/ = 0, ф = 0) и тогда уравнения (4) примут вид:

( = (орб Ъ12 , (у =(орб Ъ22 , ( =(орб К'

(5)

Подставляя проекции аэродинамического (1) и гравитационного (2) моментов и систему уравнений (5) в динамические уравнения Эйлера (3), получаем систему для определения положений равновесия:

(С - В )( (Мз2 - 3Ъ2зЪ,з) + с0 Р- $хаг 0 ьп | + к (| ¿21 | +1 ¿31 1))(^уЬэ1 -) = о, (Л - С)( (Ъз2Ъ12 - 3ЪззЪ1з) + С р2(| ¿11 I + к(| ¿21 | +1 ¿31 |))((¿11 - АгЪз1) = 0, (6)

(В -Л)(рб ¿¿22 -3Ъ,ЪЪ2Ъ) + с Бхар (| ¿11 I + к(I ¿21 I +1 ¿31 1))^ - АуЪп) = 0.

В дальнейшем удобнее использовать эквивалентную систему:

(Л - В ХАЪв +(С - В )(рб ЪЪ2ЪЪЪ = 0, 3 (Л - В(АЪп + з (С - В)(рбЪзАз -

т2

-с,

р2

(7)

Аар (| Ъ11 1 +к (| Ъ21 1 + 1 Ъ31 |))(АХЪ13 + АУЪ23 + АгЪ33 ) = 0

(Л - В ^¿А +(С - В КбЪз2Ъз1 +

+с0 ^ (| Ъ11 | +к (| Ъ21 | + | Ъ31 |))(АхЪ12 + АУЪ22 + ^Ъ32 ) = 0

Определим положения равновесия для динамически симметричного наноспутника формата CubeSat со смещением центра масс от геометрического центра по трём координатам (ЛФВ =С и АхФ0,Ау Ф0,АzФ0). В этом случае система (6) примет вид:

С0 Рр2- вхар (| ¿11 | +к (| ¿21 | + | ¿31 |))(А^уЪз1 - А2Ъ21 ) = 0,

(Л - В )рб (Ъъ2Ъ12 - 3ЪззЪ1з ) + С0 рГ ^хар (| ¿11 | +к (| ¿21 | + | ¿31 |))((ЪП - А^ ) = 0, (8)

(Л - В )(рб (¿12 Ъ— - 3^3 ¿23 )-С0 Зхар (| Ъ„ | +к (| ^21 | + | ¿31 |))(А^Ъ2а -ДЪ ) = 0.

2

2

Система (7) примет вид:

( a - B кла=0,

3 (A - B )<ль„ - со р2 Sxap (| ьп | +k (| b211 + | ЬЪ1 |))(( +Ayb23 + Azb33) = 0, (9)

(A - Bхльц + со ^22-Sxap (| bii | +k (| ь21 | + | ьз1 |))(( + byb22 +Azb32 ) = 0. Из первого уравнения (9) получаем:

b12 = 0 или b13 = 0, то есть sinasiny = 0 или sinacosy = 0. Тогда

1) sina = 0 ^ а = 0, а = ж;

2) sin у = 0 ^ у = 0, у = ж ;

^ ж 3ж

3) cosy = 0 ^ у =—, У =

Положения равновесия, когда а=0 или а = ж, возможны только в случае, если Ay = Az = 0 . Этот случай рассмотрим позднее.

ж 3ж

При Ay ^ 0, Az ^ 0 следует рассмотреть у = 0, у2 = ж, у3 = —, у4 = —. Из первого уравнения (8) получаем выражение для угла собственного вращения:

Ay

tgp = — ^ (Pi = Az

Ay A Л arctg— + ж, Az < 0,

Az (10) Ay

arctg—, Az > 0. Az

Второе значение угла собственного вращения ( = ( +ж.

Для всех возможных сочетаний углов прецессии и собственного вращения (8 возможных случаев) определены значения угла атаки. После решения соответствующих квадратных уравнений относительно ctg^ были выбраны значения, которые удовлетворяют всем ограничениям, а именно - действительные значения со знаком, соответствующим выбранной четверти.

Введём следующие обозначения:

w = к(|Ду| + |Az|) > 0,

«=((w+)2=(7 к (н+|Az|)+тн )2, (11)

v = 2<б (B - A) = 2 (B - A)

V CoPV2Sxap CoP(H + R3 )2 SXp '

где R3 - радиус Земли; Н - высота орбиты над поверхностью Земли.

Окончательный результат представлен в виде табл. 1, 2. Таблица 1. Положения равновесия для случая V > 0, (В > А)

Ах < 0 Ах > 0

и V < — 3 и — < V < и 3 и < V и V < — 3 и — < V < и 3 и < V

¥1 = 0 (' = ж) (1 а3 ааа ааа а1 ааа ааа

(2 а6 аб аб а8 а8 а8

ж ' = 7 (¥4 =¥) (1 ап аи аи а9 а9 а9

(2 а14 а14 а14, а15 , а16 а16 а16 а13 , а14 , а16

Число положений равновесия 8 12 16 8 12 16

Таблица 2. Положения равновесия для случая V < 0, (А > В)

Ах < 0 Ах > 0

1 1 и V < — 1 1 3 и — < V < и 3 и < VI и V < — 3 и — < V < и 3 1 1 и < IV

¥ = 0 (' =ж) (1 а3 а3 а3 а1 а1 а1

(2 аб а6,а7,а8 аб,а7,а8 а5,а6,а8 ааа

ж ' = 7 ('4=ж (1 а11 а11 а9 , а10 , а11 а9 а9 а9 , а11, а12

(2 а14 а14 а14 а16 а16 а16

Число положений равновесия 8 12 16 8 12 16

( =

Здесь

агС^ — + ж, Аг < 0, Аг

Ау л л агС£—, Аг > 0, Аг

( = ( + ж,

(

а12 = агс^

«34 = arcctg

-( -3v -Ах) ± - 3v - Ах )2 + 4Ах^ 2^1 Ау2 +Аг2

-( - 3v + Ах) ± ^(м> - 3v + Ах)2 - 4Ах^ -2^1 Ау2 +Аг2

(

а5 6 = агсС£

а7 8 = arcctg

(

а910 = arcctg

а11 12 = агсС^

а13.14 = arcctg

«15.16 = аГСС^

-(^ -Зу-ЛХ-ЗУ-ЛХ)2 -4Аш -2^/ Ау2 + Лг2

-(-w - ЗУ + АХ ЗУ + ЛХ))+4АХ^

2^1 Ау2 +Аг2

+ У -АХ ^^/((Т-АХ)^ 2^/ Ау2 +Аг2

-(w + У + ЛХ) ± + У + ЛХ)2 - 4Аxw

-2^/ Ау2 +Лг2

/

-(-w + У -ЛХ )±^j{-w + v—Аx)-4Аxw -2^/ Ау2 +Лг2

-(-w + У + ЛХ )±^(-w + У + ЛХ )2 + 4Лxw 2^1 Ау2 + Л2

где верхнии знак соответствует первому индексу. нижнии знак - второму индексу.

Из табл. 1. 2 можно определить условия. при которых изменяется число положении относительного равновесия:

при < -3 - 8 положении относительного равновесия. что объясняется преобладанием аэродинамического момента над гравитационным; и I I

при — < < и - 12 положении относительного равновесия. когда гравитационныи

и аэродинамическии моменты соизмеримы;

при и < - 16 положении относительного равновесия. что объясняется преобладанием гравитационного момента над аэродинамическим.

Приведём результаты для случая. когда А Ф В = С . Лх Ф 0 и Ау = Лг = 0. В этом случае система (9) примет вид:

(А - ВКрбЬ12Ь13 = 0.

3 (А - В)1рбЬ1ЪЬ11 - ^ БхарАхЬ1Ъ (| ¿111 +к (| ¿21 | + | ¿31 I)) = 0

(12)

(А - ВХЪ^ЬЦ + ^ 8ХЩ)АхЬ12 (| Ьц | +к (| ¿211 +1 ¿311)) = 0.

Получаем. что при любом соотношении аэродинамического и гравитационного моментов имеют место два положения равновесия по углу атаки: а=0 и а = ж (при любых значениях углов прецессии и собственного вращения). Кроме того. при уменьшении влияния аэродинамического момента (то есть при выполнении условии

2

2

V >|Дх|/3 или V >|Ах|) появляются положения равновесия по углу атаки, зависящие от угла собственного вращения ср при фиксированных значения угла прецессии щ. Окончательный результат приведён в табл. 3.

Таблица 3. Положения равновесия для случая Ах Ф 0, Ау = Аг = 0

Ах > 0 и V > 0 или Ах < 0 и V < 0 Ах < 0 и V > 0 или Ах > 0 и V < 0

н 1 1 3 М < V <н |Ах| < V |Ах| V < ]-1 1 1 3 |Ах| I,,, 3 < М <М | Ах| < V

Щ = 0 (щ = л) - а2 а2 - а1 а

л ( 3л^| Щ2 = 7 Щ =Т) - - а3 - - аА

Здесь а1 2 = агсС^

-Ахк (| sin рр +1 cos рр) 3v ±Ах

(

а3 4 = arcctg

Ахк sinр + |cos ррр)

V+Ах

Определение положений равновесия для наноспутника SamSatQB50

С использованием полученных формул определены положения равновесия для наноспутника SamSat-QB50, который был создан в Самарском национальном исследовательском университете имени академика С.П. Королёва в рамках международного университетского проекта QB50 и предназначался для исследования термосферы Земли в составе группировки наноспутников формата CubeSat [7]. Рассмотрены различные значения высоты круговой орбиты. В работе использована стандартная плотность атмосферы согласно ГОСТ 4401-81 [8].

Характеристики наноспутника:

т = 2,1 кг, I = 0,32 м, а = 0,1 м, Я = а2 = 0,01 м2, к = — = 3,2,

хар

а

А = 0,0051 кг • м2, В = С = 0,016 кг • м2,

Ах = -0,061 м, Ау = -0,0013 м, Аг = -0,00053 м .

Другие параметры:

с0 = 2,2, ЯЗ = 6371000 м.

При подстановке в (11) получаем: w = к (|Ау| + |Аг|) = 0,0045 м,

и =

((+^/[АХ| )2 = 0,

= 0,049 м, 3 = 0,016 м.

При высоте И = 400000 м, р(Н) = 2,79• 10-12 кг/ м3 получим

2а

V = ■

орб

(В - Л) = 2 (В - Л)

с0рУ2 В

хар

,р(И + Я3) Вх

= 0,0077 м > 0,

и

Так как на этой высоте 0 < V < 3, воспользуемся первым столбцом табл. 1. На

данной высоте наноспутник имеет 8 положений относительного равновесия, что объясняется преобладанием аэродинамического момента над гравитационным. Результаты вычислений приведены в табл. 4.

Таблица 4. Положения относительного равновесия SamSat-QB50 на высоте Н = 400 000 м

Ц>, град Ф, град а, град Ц>, град Ф, град а, град

1 0 247,5 179 5 180 247,5 179

2 0 67,5 2 6 180 67,5 2

3 90 247,5 178,5 7 270 247,5 178,5

4 90 67,5 1 8 270 67,5 1

При высоте И = 500000 м, р(И) = 0,521 • 10-12 кг / м3, V = 0,04 м.

Так как на данной высоте 3 < V < и, то воспользуемся вторым столбцом табл. 1.

На данной высоте 12 положений относительного равновесия, что объясняется уменьшением влияния аэродинамического момента. Результаты вычислений приведены в табл. 5.

Таблица 5. Положения относительного равновесия SamSat-QB50 на высоте Н = 500 000 м

Ц>, град Ф, град а, град Ц>, град Ф, град а, град

1 0 247,5 1,6 7 180 247,5 1,6

2 0 247,5 14,4 8 180 247,5 14,4

3 0 247,5 179,5 9 180 247,5 179,5

4 0 67,5 19,3 10 180 67,5 19,3

5 90 247,5 177 11 270 247,5 177

6 90 67,5 0,8 12 270 67,5 0,8

При высоте И = 560000 м, р(И) = 0,205 • 10-12 кг/ м3, V = 0,1 м.

Так как на данной высоте и < V, то воспользуемся третьим столбцом табл. 1. На данной высоте 16 положений относительного равновесия, что объясняется увеличением влияния гравитационного момента по сравнению с аэродинамическим. Результаты вычислений приведены в табл. 6.

Таблица 6. Положения относительного равновесия SamSat-QB50 на высоте Н = 5600000 м

Ц>, град Ф, град а, град Ц>, град Ф, град а, град

1 0 247,5 0,3 9 180 247,5 0,3

2 0 247,5 50,2 10 180 247,5 50,2

3 0 247,5 179,8 11 180 247,5 179,8

4 0 67,5 51,5 12 180 67,5 51,5

5 90 247,5 165,7 13 270 247,5 165,7

6 90 67,5 0,5 14 270 67,5 0,5

7 90 67,5 173 15 270 67,5 173

8 90 67,5 176,7 16 270 67,5 176,7

2

с

На рис. 1 приведена гистограмма зависимости числа положений относительного равновесия для наноспутника SamSat-QB50 в зависимости от высоты орбиты.

Рис. 1. Гистограмма числа положений относительного равновесия для 8ат^а1-ОВ50 в зависимости от высоты орбиты

Заключение

Получены формулы для определения положений относительного равновесия динамически симметричного наноспутника формата CubeSat под действием аэродинамического и гравитационного моментов при движении по круговой орбите, когда центр масс смещён относительно геометрического по трём координатам. Показано, что будет не менее 8 положений равновесия, а в случае уменьшения влияния аэродинамического момента и, соответственно, увеличения влияния гравитационного, возможно 12 или 16. Определены условия, при которых изменяется число положений относительного равновесия в зависимости от соотношений таких параметров, как смещение центра масс от геометрического центра, моменты инерции, высота орбиты. Определены положения относительного равновесия наноспутника SamSat-QB50 для различных значений высоты орбиты.

Библиографический список

1. Сарычев В.А., Гутник С.А. Динамика осесимметричного спутника под действием гравитационного и аэродинамического моментов // Космические исследования. 2012. Т. 50, № 5. С. 394-402.

2. Sarychev V.A., Mirer S.A., Degtyarev A.A., Duarte E.K. Investigation of equilibria of a satellite subjected to gravitational and aerodynamic torques // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2007. V. 97, Iss. 4. P. 267-287. DOI: 10.1007/s10569-006-9064-3

3. Сарычев В.А., Гутник С.А. Динамика спутника под действием гравитационного и аэродинамического моментов. Исследование положений равновесия // Космические исследования. 2015. Т. 53, № 6. С. 488-496. DOI: 10.7868/S0023420615060072

4. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965. 416 c.

5. Belokonov I.V., Kramlikh A.V., Timbai I.A. Low-orbital transformable nanosatellite: Research of the dynamics and possibilities of navigational and communication problems solving for passive aerodynamic stabilization // Advances in the Astronautical Sciences. 2015. V. 153. P. 383-397.

6. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966. 300 c.

7. Shakhmatov E., Belokonov I., Timbai I., Ustiugov E., Nikitin A., Shafran S. SSAU project of the nanosatellite SamSat-QB50 for monitoring the Earth's thermosphere parameters // Procedia Engineering. 2015. V. 104. P. 139-146. DOI: 10.1016/j.proeng.2015.04.105

8. ГОСТ 4401-81. Атмосфера стандартная. Параметры. М.: Издательство стандартов, 1981. 181 с.

RELATIVE EQUILIBRIA OF DYNAMICALLY SYMMETRIC CUBESAT NANOSATELLITE UNDER THE ACTION OF AERODYNAMIC

AND GRAVITATIONAL TORQUES

© 2019

E. V. Barinova Candidate of Science (Engineering), Associate Professor of the Department of Higher Mathematics;

Samara National Research University, Samara, Russian Federation; [email protected]

I. A. Timbai Doctor of Science (Engineering), Professor, Professor of Inter-University Department of Space Research;

Samara National Research University, Samara, Russian Federation; [email protected]

Motion of a dynamically symmetric CubeSat nanosatellite around the mass center on the circular orbit under the action of aerodynamic and gravitational torques is considered. We determined the nanosatellite equilibrium positions in the flight path axis system. We took into account the fact that the CubeSat nanosatellite has a rectangular parallelepiped shape and, therefore, the aerodynamic drag force coefficient depends on the angles of attack and proper rotation. We obtained formulae which allow calculating the values of the angles of attack, precession and proper rotation that correspond to the equilibrium positions, depending on the mass-inertia and geometric parameters of the nanosatellite, the orbit altitude, and the atmospheric density. It is shown that if the gravitational moment predominates over the aerodynamic one, there are 16 equilibrium positions, if the aerodynamic moment predominates over the gravitational one, there are 8 equilibrium positions, and in the case when both moments have comparable values there are 8, 12 or 16 equilibrium positions. Using the formulae obtained, we determined the equilibrium positions of the SamSat-QB50 nanosatellite. We calculated the ranges of altitudes where SamSat-QB50 nanosatellite has 8, 12, or 16 relative equilibrium positions.

CubeSat nanosatellite; angular equilibrium positions; aerodynamic moment; gravitational torque; angle of attack; angle ofprecession; angle ofproper rotation.

Citation: Barinova E.V., Timbai I.A. Relative equilibria of dynamically symmetric CubeSat nanosatellite under the action of aerodynamic and gravitational torques. Vestnik of Samara University. Aerospace and Mechanical Engineering. 2019. V. 18, no. 2. P. 21-32. DOI: 10.18287/2541-7533-2019-18-2-21-32

References

1. Sarychev V.A., Gutnik S.A. Dynamics of an axisymmetric satellite under the action of gravitational and aerodynamic torques. Cosmic Research. 2012. V. 50, Iss. 5. P. 367-375. DOI: 10.1134/S0010952512050061

2. Sarychev V.A., Mirer S.A., Degtyarev A.A., Duarte E.K. Investigation of equilibria of a satellite subjected to gravitational and aerodynamic torques. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2007. V. 97, Iss. 4. P. 267-287. DOI: 10.1007/s10569-006-9064-3

3. Sarychev V.A., Gutnik S.A. Dynamics of a satellite subject to gravitational and aerodynamic torques. Investigation of equilibrium positions. Cosmic Research. 2015. V. 53, Iss. 6. P. 449-457. DOI: 10.1134/S0010952515060064

4. Beletskiy V.V. Dvizhenie iskusstvennogo sputnika otnositel'no tsentra mass [Motion of an artificial satellite relative to the center of mass]. Moscow: Nauka Publ., 1965. 416 p.

5. Belokonov I.V., Kramlikh A.V., Timbai I.A. Low-orbital transformable nanosatellite: Research of the dynamics and possibilities of navigational and communication problems solving for passive aerodynamic stabilization. Advances in the Astronautical Sciences. 2015. V. 153. P. 383-397.

6. Gantmakher F.R. Lektsii po analiticheskoy mekhanike [Lectures on analytical mechanics]. Moscow: Nauka Publ., 1966. 300 p.

7. Shakhmatov E., Belokonov I., Timbai I., Ustiugov E., Nikitin A., Shafran S. SSAU project of the nanosatellite SamSat-QB50 for monitoring the Earth's thermosphere parameters. ProcediaEngineering. 2015. V. 104. P. 139-146. DOI: 10.1016/j.proeng.2015.04.105

8. GOST 4401-81. Standard atmosphere. Parameters. Moscow: Izdatel'stvo Standartov Publ., 1981. 181 p. (In Russ.)