Полный список полных k-дуг в проективной плоскости порядка 9 над правым почти-полем для k = 8, 9, 10 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.146.7

ПОЛНЫЙ СПИСОК ПОЛНЫХ к-ДУГ В ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ ПОРЯДКА 9 НАД ПРАВЫМ ПОЧТИ-ПОЛЕМ ДЛЯ к = 8, 9, 101

А.М. Шарафутдинова2

Найден полный список, с точностью до изоморфизма, полных k-дуг плоскости сдвигов порядка 9 для k = 8, 9, 10. Метод исследования основан на двойственности плоскости сдвигов и плоскости трансляций.

Ключевые слова: плоскость сдвигов порядка 9, плоскость трансляций порядка 9, полные дуги.

Одним из важных аспектов исследования конечной проективной плоскости (КПП) данного порядка является изучение к - дуг в данной КПП.

Определение 1. к - дугой КПП называется множество из к точек этой КПП, любые три из которых не лежат на одной прямой.

В трех известных проективных плоскостях порядка 9: дезарговой, трансляций и хьюзовой, полное исследование к - дуг было проведено ранее [1]. Для четвертой известной плоскости, плоскости сдвигов, аналогичное исследование осложнялось отсутствием необходимых сведений о группе коллинеаций этой плоскости.

Для решения указанной задачи мы применили метод исследования, основанный на двойственности плоскости сдвигов и плоскости трансляций. Наша цель - продолжить исследование к - сторонников, которое было проведено ранее для к = 1, 2, 3 в [2], до значений к = 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 с помощью метода поэтапных отождествлений [3]. На первом этапе мы получили список всех опорных к - сторонников в плоскости трансляций, с точностью до изоморфизма, затем по определенному правилу перехода [2] преобразовали их в к - дуги плоскости сдвигов.

Определение 2. к - сторонник называется полным, если он не является собственной частью (к +1) -сторонника.

Полнота к - сторонника возможна лишь в том случае, если множество допустимых прямых данного к - сторонника пусто.

Теорема 1. В плоскости трансляций порядка 9 имеются 45 типов полных восьмисторонни-ков, 1 тип полных девятисторонников, 1 тип полных десятисторонников.

Поскольку каждый опорный к - сторонник плоскости трансляций преобразуется в опорную к - дугу плоскости сдвигов, справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Плоскость сдвигов порядка 9 содержит 45 типов полных 8-дуг, 1 тип полных 9-дуг, 1 тип полных 10-дуг.

Результаты исследования полных к - дуг плоскости сдвигов порядка 9 приведены в таблице

1, где - полная опорная к - дуга с номером / (в лексикографическом порядке),

группы автоморфизмов к - дуги, N - общее число к - дуг, изоморфных .

Gk

порядок

Результаты исследования полных к - дуг плоскости сдвигов порядка 9 для к = 8, 9, 10

i sk Gk Nk

k = 00

1 да, 0, 00, 11, 23, 32, 4б, 75 1 311040

2 да, 0, 00, 11, 23, 32, 4б, S4 4 777б0

3 да, 0, 00, 11, 23, 4б, 52, б7 1 311040

4 да, 0, 00, 11, 23, 47, б4, 75 2 155520

1 Работа была поддержана грантом Министерства образования России в рамках государственного задания Челябинскому государственному педагогическому университету.

2 Шарафутдинова Анна Михайловна - аспирант, кафедра математики и методики обучения математике, лаборатория дискретной математики, физико-математический факультет, Челябинский государственный педагогический университет.

E-mail: [email protected]

Краткие сообщения

5 ®, 0, 00, 11, 23, 47, 64, 82 3 103680

6 0, 00, 2, 01, 13, 14, 38, 45 2 155520

7 0, 00, 2, 01, 13, 14, 38, 82 2 155520

11 0, 00, 2, 01, 13, 17, 38, 55 2 155520

12 0, 00, 2, 01, 13, 17, 38, 66 2 155520

13 0, 00, 2, 01, 13, 17, 38, 82 1 311040

14 0, 00, 2, 01, 13, 17, 42, 45 2 155520

16 0, 00, 2, 01, 13, 34, 35, 77 1 311040

17 0, 00, 2, 01, 13, 34, 56, 62 1 311040

18 0, 00, 2, 01, 32, 33, 65, 67 8 38880

19 0, 00, 2, 01, 32, 33, 76, 87 2 155520

20 0, 00, 2, 01, 32, 35, 74, 76 2 155520

21 0, 00, 2, 01, 32, 38, 44, 45 4 77760

22 0, 00, 2, 01, 32, 38, 66, 67 16 19440

23 0, 00, 2, 01, 32, 38, 76, 87 4 77760

24 0, 00, 2, 01, 32, 44, 67, 83 4 77760

25 0, 00, 2, 11, 13, 24, 35, 72 1 311040

26 0, 00, 2, 11, 13, 27, 62, 68 2 155520

27 0, 00, 2, 11, 13, 34, 35, 87 1 311040

28 0, 00, 2, 11, 13, 34, 37, 45 1 311040

29 0, 00, 2, 11, 13, 35, 37, 72 1 311040

30 0, 00, 2, 11, 13, 35, 64, 68 2 155520

31 0, 00, 2, 11, 23, 24, 35, 72 1 311040

32 0, 00, 2, 11, 32, 37, 43, 45 2 155520

33 0, 00, 2, 11, 32, 43, 45, 76 1 311040

34 0, 00, 2, 11, 34, 35, 86, 87 4 77760

35 0, 00, 2, 13, 14, 38, 82, 87 1 311040

37 0, 00, 2, 13, 16, 37, 38, 51 1 311040

38 0, 00, 2, 13, 18, 34, 42, 86 1 311040

39 0, 2, 10, 11, 32, 33, 75,76 6 51840

40 0, 2, 10, 11, 32, 34, 75, 78 2 155520

43 0, 2, 10, 11, 32, 36, 54, 55 8 38880

44 0, 2, 10, 11, 32, 54, 63, 88 2 155520

46 0, 2, 10, 13, 34, 35, 56, 57 3 103680

47 0, 2, 10, 13, 34, 35, 56, 72 2 155520

48 0, 2, 10, 13, 34, 35, 57, 78 2 155520

49 0, 2, 10, 13, 34, 45, 47, 68 2 155520

50 0, 2, 10, 13, 34, 45, 51, 62 2 155520

51 0, 2, 10, 21, 32, 44, 65, 88 6 51840

52 0, 2, 10, 23, 31, 42, 65, 84 4 77760

53 0, 2, 10, 23, 34, 45, 56, 88 1 311040

к = 9

3 0, 2, 10, 11, 32, 36, 43, 44, 78 4 77760

к = 10

1 0, 00, 2, 01, 13, 16, 24, 27, 35, 68 32 9720

78

Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика»

Шарафутдинова А.М.

Полный список полных к-дуг в проективной плоскости порядка 9 над правым почти-полем для к = 8, 9, 10

Литература

1. Васильков, В.И. Опорные дуги и группы их автоморфизмов проективных плоскостях малых порядков: справочное пособие / В.И. Васильков, Ю.Н. Зверева, Г.В. Масленников. - Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2005. - 261 с.

2. Васильков, В.И. О строении проективных плоскостей порядка 9: дис. канд. физ-мат. наук / В.И. Васильков. - Екатеринбург, 1995. - 189 с.

3. Гонин, Е.Г. Метод поэтапных отождествлений / Е.Г. Гонин, Е.Е. Гонина // Известия научно-образовательного центра «Математика». - Вып. 3. - Пермь: ПГТУ, 2006. - С. 16-38.

Поступила в редакцию 20 февраля 2014 г.

Bulletin of the South Ural State University Series “Mathematics. Mechanics. Physics” _________________2014, vol. 6, no. 2, pp. 77-79

FULL LIST OF COMPLETE k-ARCS IN THE RIGHT NEARFIELD PLANE OF ORDER 9 FOR k = 8, 9, 10

A.M. Sharafutdinova

There is a full list of complete k-arcs of the right nearfield plane of order 9 for k = 8, 9, 10 up to isomorphism. The research method is based on a duality of the right nearfield plane and the left nearfield plane.

Keywords: the right nearfield plane of order 9, the left nearfield plane of order 9, complete arcs.

References

1. Vasil'kov V.I., Zvereva Yu.N., Maslennikov G.V. Opornye dugi i gruppy ikh avtomorfizmov proektivnykh ploskostyakh malykh poryadkov: spravochnoe posobie (Support arcs and groups of their automorphism of projective planes of small orders: reference book). Chelyabinsk, Chelyabinskiy Gosu-darstvennyy pedagogicheskiy universitet Publ., 2005. 261 p. (in Russ.).

2. Vasil'kov V.I. O stroenii proektivnykh ploskostey poryadka 9: dis. kand. fiz-mat. nauk (Projective plane of order 9 structure: thesis of Cand. Sc. (Physics and Mathematics)). Ekaterinburg, 1995. 189 p. (in Russ.).

3. Gonin E.G., Gonina E.E. Izvestiya nauchno-obrazovatel'nogo tsentra «Matematika». Issue 3. Perm': PGTU, 2006. pp. 16-38. (in Russ.).

Received 20 February 2014

1 Sharafutdinova Anna Mikhajlovna is Post-graduate Student, Department of Mathematics and Mathematics Training Technique, Laboratory of Discrete Mathematics, Chelyabinsk State Pedagogical University.

E-mail: [email protected]