Полные несимметричные ресурсные сети. Случай одного приемника Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.711.74

ПОЛНЫЕ НЕСИММЕТРИЧНЫЕ РЕСУРСНЫЕ СЕТИ. СЛУЧАЙ ОДНОГО ПРИЕМНИКА

© 2011 г. Л.Ю. Жилякова

Педагогический институт Pedagogical Institute

Южного федерального университета, of Southern Federal University,

пер. Днепровский, 116, г. Ростов н/Д, 344042, Dneprovskiy Lane, 116, Rostov-on-Don, 344042,

[email protected] [email protected]

Исследуются условия стабилизации процессов динамического распределения ресурсов в полных несимметричных ресурсных сетях с одним приемником. Доказано, что в таких сетях при любой величине ресурса предельное состояние существует и единственно. Получены формулы для координат вектора предельного состояния, выражающие зависимость количества ресурса в вершинах от параметров сети (пропускных способностей ребер и количества вершин) и от значения суммарного ресурса. Найдено пороговое значение суммарного ресурса, при превышении которого ресурсы всех вершин (кроме приемника) в предельном состоянии одинаковы и не зависят от суммарного ресурса; все излишки аккумулируются в приемнике. При ресурсе, меньшем порогового значения, все координаты вектора предельного состояния зависят от его количества линейно.

Ключевые слова: ресурсная сеть, динамическая модель, граф, пропускная способность, распределение, предельное состояние.

The processes of the dynamic distribution of resources in nonsymmetric bidirectional resource networks with one receiver are considered. The conditions of their stabilization are analyzed. The only limit state for the network with such a topology is proved to exist for every total resource value and its initial distribution. The formulae for coordinates of limit state vector are derived — for more complicated topologies the limit values can be obtained only by numerical computing. The threshold value T is proved to exist: when the total resource value exceeds T the limit recourse values in all the vertices except receiver are constant, the surplus is accumulated in the receiver. If the total recourse value does not exceed T, all the coordinates of limit state vector depend on the total recourse value linearly. The threshold value is unique for every connected network.

Keywords: resource network, dynamic model, graph, capacity, distribution, limit state.

В работе [1] была предложена динамическая модель сети (ресурсная сеть), в которой происходит перераспределение ресурса с выполнением закона сохранения. Модель отличается от классических моделей потоков в сетях [2, 3] и их динамических разновидностей [4] отсутствием источников и стоков: все вершины имеют одинаковый статус, и распространение ресурса происходит одновременно по всем направлениям. Ненаправленное распространение ресурса в сетях исследовалось в [5], но в ресурсной сети предложен принципиально иной подход: в отличие от [5], где ресурс в вершинах остается неизменным, в ресурсной сети количество ресурса в вершинах изменяется на каждом такте.

Однородная ресурсная сеть рассматривалась в [1], полные сети с произвольными пропускными способностями - в [6]. Доказано, что в сети, представленной полным графом, для любого начального распределения ресурса существует предельное, и исследованы его свойства.

Настоящая работа посвящена исследованию несимметричной сети с одним приемником. Такая конфигурация выбрана не случайно. Многочисленные

эксперименты показывают, что в несимметричных сетях произвольной конфигурации в подавляющем большинстве случаев излишек ресурса вблизи предельного состояния скапливается в одной вершине.

Ресурсная сеть используется в ряде прикладных задач, к которым относятся поиск в ассоциативной модели памяти [7], моделирование распространения веществ и пассивных гидробионтов в водной среде и другие, в которых не предполагается направленного течения ресурса от источников к стокам.

Основные определения

1. Ресурсной сетью называется двусторонний ориентированный граф с петлями, вершинам у, которого приписаны неотрицательные числа ql{t), изменяющиеся в дискретном времени t и называемые ресурсами, а дугам (у,, у) - неотрицательные числа Гу, постоянные во времени и называемые пропускными способностями.

Свойство двусторонности означает, что если существует дуга (у,, Уу) с ненулевой пропускной способностью Гу, то существует и противоположно направленная дуга (у, у,) с пропускной способностью Гу, Ф 0,

причем равенство гр = rji в общем случае не выполняется. В настоящей работе будем рассматривать только полные графы для любых i, р Гр Ф 0.

Каждая вершина обладает петлей с пропускной способностью, равной гй.

2. Состоянием Q(t) сети в момент t будем считать вектор значений ресурсов в каждой вершине Q(t) = (^(О, ..., qn(t)), полученный за t тактов из состояния Q(0) по правилам, описанным ниже.

3. Состояние Q = (ql , ..., qn) называется предельным, если для любого е > 0 существует tе такое, что V t > tе I qi - qi(t)\ < е, i = 1, 2, ..., п.

4. В сети имеются 2 правила распределения ресурса, которые применяются в зависимости от его величины в вершинах. На каждом такте в каждой вершине, исходя из ее текущего состояния, выбирается правило, по которому вершина отдаст часть имеющегося у нее ресурса.

В момент t вершина по дуге, соединяющей ее с вершиной ут, передаст:

п

- правило 1: гт ресурса, если (') > £ гу ;

j=l

- правило 2: | г£ гу^ (') в противном случае. По правилу 1 вершина отдаст за такт работы всего

п

£ гу ресурса.

у=1

По правилу 2 по всем дугам будет передано I £г,7 "£.Гц\ч1 (') = q, ('), т.е. вершина отдает весь

I j=l 7 j=l)

свой ресурс.

5. Суммарную пропускную способность входных дуг будем называть входной пропускной способно-

п

стью вершины и обозначать через гг1п = £ гу ; вы-

у=1

ходных - выходной пропускной способностью

г 0" = £ г у . Пропускная способность петли входит в

у=1

обе суммы.

Тогда всем вершинам сети можно сопоставить кортеж, состоящий из пар пропускной способности вида 5 = {¡г™; г™') (г™; г™' ),..(гПп; г™')}.

Суммарный ресурс, циркулирующий в сети, будем обозначать через Ш.

6. Ресурсная сеть называется однородной, если пропускные способности всех дуг одинаковы. В противном случае сеть называется неоднородной.

7. Ресурсная сеть называется симметричной, если симметрична ее матрица пропускной способности.

8. Ресурсная сеть называется квазисимметричной, если

V' г'п = г°"'. (1)

9. Сеть будем называть несимметричной, если она не удовлетворяет условию квазисимметричности (1), т.е. существуют по крайней мере 2 вершины, для которых выполняется г/ п - г°"'\ > 0 .

10. Обозначим через Дг,- разность между входной и выходной пропускными способностями вершины V:

Дт = г'" - г°"'

Тогда все вершины сети можно разделить на три типа: приемники Дri > 0; источники Дri < 0; нейтральные Дri = 0.

11. Суммарной пропускной способностью сети гшт назовем сумму пропускных способностей всех ее

п п

дуг: гшш = ££гу.

¡=1 У=1

Суммарный ресурс, находящийся во всех вершинах, обозначим через Ш. В сети выполняется закон сохранения: при ее функционировании ресурс не поп

ступает извне и не расходуется: V' £ q¡ (') = W .

¡=1

Обзор результатов, полученных для сетей, представленных полными графами

Однородные полные сети исследованы в [4]. Из определения 6 следует, что пропускные способности всех дуг однородной сети одинаковы. Обозначим их

через г. Заметим, что для всех вершин г'" = г°"' = гп,

i = 1, ...п .

Однородная сеть обладает следующими свойствами:

1. Процесс распределения ресурса в ней сходится при любом суммарном ресурсе сети и при любом его начальном распределении по вершинам.

2. Для однородной двусторонней полной сети с числом вершин п > 2 существует пороговое значение суммарного ресурса Т, при котором в предельном состоянии происходит выравнивание ресурса. Это означает, что если Ш < Т, то при любом начальном состоянии сети все вершины в предельном состоянии будут иметь одинаковое количество ресурса:

(2* = (К W К)

п п п

3. Если Ш > Т, то при любом начальном состоянии сети, в котором хотя бы в двух вершинах ресурсы не равны, выравнивания не происходит. В предельном состоянии каждая вершина, имевшая ресурс, не превосходящий гп, будет иметь ресурс гп. Весь излишек останется в тех вершинах, которые обладали им в начальном состоянии.

Таким образом, при Ш > Т предельное состояние сети зависит от начального. При Ш < Т система является глобально устойчивой: предельное состояние не зависит от начального.

4. Для однородной сети значение Т найдено в яв-

т 2

ном виде: 1 = гп , т.е.

Т гшт. (2)

5. При Ш = Т все вершины сети в предельном состоянии имеют величину ресурса, равную их входной/выходной пропускной способности: qi = г/ п =

6. Для Ш > Т в явном виде найдена формула для определения координат вектора предельного состояния по начальному.

В [5] исследованы сети с произвольными пропускными способностями. Показано, что симметричные и

n

n

out

= r = rn.

квазисимметричные сети обладают свойствами однородных сетей. В несимметричных сетях пороговое значение Т существует, но при оценке его величины оказывается, что равенство (2) не выполняется. Для несимметричных сетей Т < rmm.

Доказаны теоремы о существовании предельного состояния в полных несимметричных сетях. Единственность предельного состояния достигается только при наличии дополнительных условий на пропускные способности.

Несимметричная сеть

Структура несимметричной сети «1 источник -1 приемник». Сеть, рассматриваемая в настоящей работе, представляет собой полный граф со следующим ограничением: пропускные способности всех дуг, кроме одной, одинаковы.

Пусть пропускные способности всех дуг сети, кроме выделенной, равны r. Пропускная способность выделенной дуги равна or, а> 1.

Такая сеть обладает одним источником и одним приемником.

Без ограничения общности положим, что приемник имеет номер 1, а источник - номер 2. Тогда двусторонняя пара, соединяющая вершины v1 и v2, несимметрична, и r12 = аг, в то время как r21 = r. В такой сети для всех вершин, кроме вершины-источника,

n

out тт

ri = ^ Гу = rn. Для источника выходная пропуск-

J=1

n

ная способность r°ut = ^Г> = r(n + а -1).

j=i

Сети такого типа соответствует кортеж S (рисунок): S = ({r(n + а- 1), rn}, {rn, r(n + а - 1) }, {rn, rn},...{rn, rn}). (3)

Источник

Приемник

Несимметричная ресурсная сеть с 5 вершинами; а> 1

Свойства несимметричной сети (а > 1). Для нейтральных вершин и источника (/,] = 2, 3, ..., п) выполняются следующие свойства:

1. Если для некоторого г' д(') < гп, то для всех г > г qi(г) < гп.

Это следует из того, что если вершина у, имеет ресурс, не превосходящий гп, она функционирует по правилу 2, и в каждый момент г > г' отдает весь свой ресурс, а получить от других п - 1 вершин и из своей петли может не больше гп ресурса.

2. Если для некоторого г' д(') < гп и qi(г') = ^(г'), то для всех г > г' qi(г) = qj(í).

Это следует непосредственно из свойства 1: с момента г' обе вершины отдают всё, а получают одинаковый ресурс, не превосходящий гп.

Свойство 2 говорит о том, что при функционировании по правилу 2 ресурсы в вершине-источнике и нейтральных вершинах изменяются одинаково: при qi(г) < гп эти вершины отдают всё, а входящий в них ресурс одинаков.

Предельное состояние сети при Ж > Т. Определим пороговое значение Т для несимметричных сетей.

Если ресурс, циркулирующий в сети, больше, чем ее суммарная пропускная способность: Ж > г(п + а- 1), то по принципу Дирихле хотя бы одна вершина будет иметь ресурс, достаточный для функционирования по правилу 1. Если же ресурс достаточно мал, например, меньше г, то вся сеть будет функционировать по правилу 2. Тогда существует пороговое значение ресурса, при котором по крайней мере одна вершина переходит с правила 2 на правило 1. Обозначим его через Т. Ясно, что Т < г(п + а - 1).

Множество вершин, у которых qi(г) < г°"и, будем

называть зоной ^(г), qi(г) > т°"и - зоной 7^(г). Вершины из 2Г(г) функционируют по правилу 2; вершины из ¿+(г) - по правилу 1.

В теореме 1 будет доказано, что в полной сети, соответствующей кортежу (3), при Ж > Т в зоне 7^(г) через конечное число тактов может оказаться единственный приемник у1 .

Теорема 1. В сети типа = ({г(п + а- 1), гп}, {гп, г(п + а- 1) }, {гп, гп},...{гп, гп}), где а> 1 для любого начального распределения О(0) = ^(0), q2(0), ... qи(0)) суммарного ресурса Ж > Т существует такой момент времени г', что для любого г > г' выполнятся неравенства:

qi(г) < гп, I = 2, 3,. п . (4)

Доказательство. Если в начальном состоянии О(0) = (^(0), q2(0), ... qи(0)) некоторые qi(0) (, * 1) не превосходят значение гп, то неравенство (4) в вершинах у, выполняется для любого г. Это следует непосредственно из свойства 2.

Пусть существуют вершины с ресурсом, превосходящим гп.

Рассмотрим отдельно 2 случая:

1. Ресурс в вершине-источнике больше гп: q2(0) > гп.

Для этого случая возможны 2 варианта:

1.1. q2(0) > г(п + а- 1).

В этом случае источник отдает ресурс по первому правилу: в каждую дугу уходит по полной пропускной способности. Тогда он отдает по г(п+а-1) ресурса на каждом такте. Принимает он не больше гп (такова его входная пропускная способность). Таким образом, за каждый такт ресурс в источнике уменьшается не менее чем на г(а - 1), и наступит момент времени г", для которого q2(г") < г(п + а - 1). Тогда произойдет переход к 1.2.

1.2. гп < q2(0) < г(п + а- 1).

В этом случае ресурс в вершине меньше порогового значения, и поэтому по правилу 2 вершина отдает весь ресурс, причем в петлю поступит ресурс, меньший ее пропускной способности г. Тогда на следую-

r

щем такте эта вершина получит ресурс, строго меньший гп. V t > t": q2(t) < гп.

2. Ресурс в нейтральной вершине больше гп: q2(0) > гп, i = 3, ... п.

Рассмотрим динамику ресурса в этой вершине после момента времени t", когда вершина-источник уже переходит в функционирование по правилу 2.

Выделенная нейтральная вершина, имея ресурс, больший порогового значения, отдает по правилу 1. На каждом такте она отдаст гп ресурса. Получит же, как максимум, г(п - 1) + Дq2, где Дq2 < г - ресурс, полученный от источника.

Таким образом, на каждом такте ресурс qi(t) нейтральной вершины будет уменьшаться по крайней мере на величину г - Дq2 > 0, и наступит такой момент ti, для которого qi < гп.

' = тах(''), i = 3, ... п.

1

Для начального состояния Q(0)=(W, 0, 0, ... 0) найдем пороговое значение Ш=Т, при котором вершина в предельном состоянии имеет ресурс, равный своей выходной пропускной способности гп; докажем сходимость процесса распределения ресурса при Ж > Т и опишем предельное состояние.

Теорема 2. В сети типа 5 = ({г(п + а- 1), гп}, {гп, г(п + а- 1) }, {гп, гп},...{гп, гп}), где а> 1:

1) T = rn

n2 + (n + 1)(а-1)

(5)

где q = rn

n + (а -1)

(7)

п + 2(а -1)

Доказательство. В силу свойств 1 и 2 нейтральные вершины и вершина-источник имеют на каждом такте одинаковый ресурс, меньший гп. Обозначим его через q(t), ресурс приемника - q1(t).

По тактам, начиная с нулевого, проследим процесс распределения ресурса.

Нейтральные вершины и вершина-источник. На каждом такте эти вершины отдают всё. Таким образом, количество ресурса в них складывается из суммарного входа.

Входной ресурс источника и нейтральных вершин

, ^ п - 2 , ч 1

q(' +1) =-q(') +-- q(') + г =

п п + а-1

,J n - 2

= q(t)|-+

1

n n + а -1

+ r.

(8)

Формула (8) для вершин разного типа имеет разный смысл.

Для нейтральных вершин первое слагаемое состоит из ресурса, пришедшего из остальных нейтральных

п - 3

вершин--q('), и ресурса, вернувшегося по петле -

п

1

— q('); -q(') приходит от источника, г - от

п п + а-1

приемника.

У источника первое слагаемое - суммарный вход из нейтральных вершин, второе - вклад петли. Третье -вклад приемника.

Приемник. На каждом такте приемник отдает в

п - 2

(п -1) вершин г(п -1) ресурса. Получает -q(') от

п

(n - 2) нейтральных вершин,

а

n + а -1

q(t) - от источ-

п - 2

ника. Таким образом, q1(t) = W - tr(n -1) +-q(t) +

n

+ -

n + а -1

q(t).

Выпишем значения ресурса в нейтральных вершинах и источнике для первых тактов работы сети. ¡=0. q(0) = 0. t=1. q(1) = г. (=2. q(2) =

n - 2

1

n + а -1

r + r=

n - 2

1

n + а -1

- +1 Ir

n_2

Пусть A = |-+

1

n + а -1

п + 2(а -1)

2) для начального распределения Q(0) = (Ш, 0, 0, ... 0) при Ш > Т процесс распределения ресурса сходится, предельное состояние

Q*=(W - (п - 1)^, q*), (6)

Тогда q(2) = (А+1)г.

t=3. q(3) = г(А+1)А + r = r(A2 + A + 1).

t=4. q(4) = r(A2 + A + 1)А + r = r(A3 +A2 + A + 1).

Для произвольного момента t имеем q(t) = г(А- + +А^2 + ...+ А + 1). Поскольку нетрудно убедиться, что 0 < А < 1, имеем бесконечно убывающую геометри-

* 1

q = г-=

1 - А

п + (а -1) = гп-, что

ческую прогрессию. При t ^ ж 1

= r

1 -((n -2)/n + 1/(n + а -1)) n + 2(а -1)

и является формулой (7).

Заметим, что q зависит только от параметров сети и не зависит от циркулирующего в ней ресурса. q < гп для любого Ш.

Пороговое значение Т найдем из условия Т = = (п - + гп, где гп - пороговая пропускная способность приемника, при которой происходит смена правил его функционирования. Подставив значение q , получим (5).

Условие Ш > Т гарантирует, что вблизи предельного состояния приемник будет по-прежнему функцио-

1 *

нировать по правилу 1, поскольку для q1 выполняется: q1 = Ш- (п - > Т - (п - = гп.

Таким образом, для любого Ш > Т предельное состояние существует, и ресурс во всех вершинах, кроме приемника, не зависит от величины Ш:

Q*=(W - (п - 1)^, q').

Обобщим теорему 2 на любое начальное состояние.

Теорема 3. В сети 5 = ({(п+а-1)г, пг}, {пг, (п+а-1)г}, {пг, пг},...{пг, пг}), где а> 1, для любого начального распределения Q(0) = ^(0), q2(0), ..., qn(0)) при Ш > Т процесс распределения ресурса сходится, и в предельном состоянии ресурсы всех нейтральных вершин и источника равны между собой:

Q*=(W - (п - 1)q*, q*).

Доказательство. По теореме 1 существует такой момент времени (, что для любого t > t' выполнятся неравенства qi(0 < гп, i = 2, 3,. п.

Примем за новую точку отсчета момент (.

Q(t')= (/*), q2(t'), ., qn(t')), q2(t'), ., qn(f) < гп.

а

+

n

n

n

Тогда вершины, начиная со второй, функционируют по правилу 2, и на каждом следующем такте они отдают весь свой ресурс. Их ресурс складывается из суммарного входа.

На такте г'+1 значения ресурса в вершине у, находится по формуле

(/'+1) = г + ^(/')у7 + д2(/')/(и + а -1).

1-е слагаемое - значение ресурса, пришедшего из приемника, 2-е - из (п - 2) нейтральных вершин (включая собственную петлю), 3-е - из источника.

Из формулы видно, что правая часть не зависит от Следовательно, как только ресурс во всех вершинах становится меньше гп, он выравнивается.

Следствие. В сети 5 = ({(п+а-1)г, пг}, {пг, (п+а-1)г}, {пг, пг},...{пг, пг}), где а > 1, для любого начального распределения 0(0) = ^(0), q2(0), ..., qи(0)) при Ж> Т в предельном состоянии 0 = (Ж - (п - , q ,... q ) ресурсы нейтральных вершин и источника рассчитываются по формуле (7).

Непосредственно из (7) следует, что при увеличении коэффициента пропускной способности а значе-

и + (а -1)

ние q уменьшается, т.е. q (а) = rn-

- убы-

и + 2(а -1)

вающая функция от а. Это означает, что при увеличении а уменьшается пороговое значение насыщения вершин сети Т.

Однако q (а) уменьшается до некоторого предельного значения, отличного от нуля. Это значит, что весь ресурс сети не может скопиться в приемнике. Утверждение 1. Функция q (а) ограничена снизу. Доказательство.

*, ч n + (а -1) (а -1) q (а) = rn-= rn -

- +1

n + 2(а-1)

(а -1)

- + 2

TT V Л 1 rn

При а-—ж q (а) — rn = •

Нижняя граница порогового значения суммарного

rn

ресурса Г ^ = (И -l)q + ™ = (й -1) - + ™ =

= r

n(n + 1) 2

Предельное состояние сети при Ж < Т. Формулы для координат вектора предельного состояния сети при Ж < Т приведем без доказательства.

Теорема 4. В сети 5 = ({(п+а-1)г, пг}, {пг, (п+а-1)г}, {пг, пг},...{пг, пг}), где а >1, для любого начального распределения 0(0) = ^(0), q2(0), ., qи(0)) при Ж < Т процесс распределения ресурса сходится, и

предельное состояние Q =(q1 , q ,..., q ) описывается

. n+(«-1) , n + 2(a-1) формулами q = w —-; q1 = Ж—-.

n2 + (n+1)(«-1) n + (n + 1X«-1)

Замечание. Из формул видно, что пропорциональное увеличение или уменьшение всех пропускных способностей сети никак не отразится на векторе предельного состояния, пока неравенство Ж < T продолжает выполняться. Если же r уменьшится настолько, что станет верным Ж > T, предельное состояние начнет описываться формулами (6), (7).

Выводы

Конфигурация сети с одним источником и одним приемником достаточно проста и позволяет получить координаты вектора предельного состояния и пороговое значение ресурса Т аналитически.

Для сетей произвольной топологии координаты вектора предельного состояния могут быть получены лишь с применением численных методов.

Для исследования поведения ресурсных сетей автором написана программа, рассчитывающая предельное состояние в сетях, представленных графами любой конфигурации, и для любой величины ресурса Ж и его начального распределения.

При поиске в ассоциативных ресурсных сетях концентрация ресурса в одной вершине соответствует отысканию «центра образа»; в такой модели становится возможным осуществлять поиск по неполным данным, восстанавливать образ по его части и определять близкие понятия.

Автор выражает искреннюю благодарность проф. О.П. Кузнецову за полезные обсуждения в ходе написания статьи.

Литература

1. Кузнецов О.П. Однородные ресурсные сети. I. Полные графы // Автоматика и телемеханика. 2009. № 11. С. 136 - 147.

2. Форд Л.Р., Фалкерсон Д. Потоки в сетях. М., 1966. 276 с.

3. Ahuja R.K., Magnati T.L., Orlin J.B. Network Flows: Theory, Algorithms and Applications. New Jersey, 1993. 864 p.

4. Fleischer L., Skutella M. Minimum Cost Flows Over Time without Intermediate Storage // Proc. 35 th ACM/SIAM Symp. Discrete Algorithms (SODA), January 2003, Baltimor, 2003. P. 66 - 75.

5. Ерзин А.И., Тахонов И.И. Равновесное распределение ресурсов в сетевой модели // Сиб. журн. индустриальной математики. 2005. Т. 8, № 3(23). С. 58 - 68.

6. Кузнецов О.П., Жилякова Л.Ю. Двусторонние ресурсные сети - новая потоковая модель // Докл. РАН. 2010. Т. 433, № 5. С. 609 - 612.

7. Жилякова Л.Ю. Реализация рекурсивных запросов в динамической ассоциативной ресурсной сети // Тр. 12-й национальной конф. по искусственному интеллекту с между-нар. участием КИИ'2010. Т. 1. М., 2010. С. 335 - 343.

Поступила в редакцию

9 ноября 2010 г.

n