Полные коммутативные наборы полиномов на шестимерных разрешимых и семимерных нильпотентных алгебрах Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.745.82

ПОЛНЫЕ КОММУТАТИВНЫЕ НАБОРЫ ПОЛИНОМОВ НА ШЕСТИМЕРНЫХ РАЗРЕШИМЫХ И СЕМИМЕРНЫХ НИЛЬПОТЕНТНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ

А. А. Короткевич1

На коалгебре каждой вещественной шестимерной разрешимой ненильпотентной алгебры и каждой вещественной семимерной нильпотентной алгебры Ли методом Садэтова построен полный коммутативный набор полиномов.

Ключевые слова: полные коммутативные наборы полиномов, метод Садэтова, конструкция Болсинова, гипотеза Милованова.

A full commutative set of polynomials is constructed using Sadetov's method on the coalgebra of each real 6-dimensional solvable non-nilpotent algebra and of each real 7-dimensional nilpotent Lie algebra.

Key words: full commutative sets of polynomials, Sadetov's method, Bolsinov's construction, Milovanov's conjecture.

Введение. Рассмотрим произвольную конечномерную алгебру Ли g над полем K нулевой характеристики. Пусть g* — соответствующая ей коалгебра. Тогда на g* определена естественная структура — скобка Пуассона-Ли.

Определение. Скобка Пуассона-Ли {f,g} двух полиномов f и g на g* определяется следующим образом:

1) если f и g — линейные полиномы, то их можно рассматривать как элементы алгебры Ли g, тогда {f,g} = [f,g], где [•, •] — коммутатор в алгебре g;

2) на произвольные полиномы операция распространяется с помощью тождества Лейбница {f,gh} = g{f,h} + h{f,g}.

Скобка Пуассона-Ли является кососимметрической билинейной операцией, и относительно нее множество всех полиномов на g* образует бесконечномерную алгебру Ли.

Определение. Набор полиномов fi,...,fk на g* называется полным коммутативным, если выполнены следующие условия: 1) fi,..., fk алгебраически независимы; 2) {fi, fj} = 0 для любых i,j Е l,...,k; 3) к = \ (dim g + ind g).

Полные коммутативные наборы полиномов представляют большой интерес для теории интегрируемых гамильтоновых систем, поскольку в случае, когда алгебра Ли g является вещественной или комплексной, каждый полный коммутативный набор полиномов задает интегрируемую гамильтонову систему с полиномиальными первыми интегралами на любой регулярной орбите коприсоединенного представления соответствующей группы Ли. Однако заранее неизвестно, на любой ли коалгебре g* существует полный коммутативный набор полиномов.

Гипотеза (А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко, 1978 [1]). Пусть g — произвольная конечномерная вещественная или комплексная алгебра Ли, тогда на g* существует полный коммутативный набор полиномов.

Этими же авторами была предложена универсальная конструкция — метод сдвига аргумента, позволяющая строить полные коммутативные наборы на коалгебре любой редуктивной алгебры Ли.

Теорема (А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко, 1978 [1]). Пусть g — произвольная конечномерная редук-тивная алгебра Ли, тогда на g* существует полный коммутативный набор полиномов.

В более общей формулировке гипотеза Мищенко-Фоменко была доказана С.Т. Садэтовым в 2004 г.

Теорема (С.Т. Садэтов, 2004 [2]). Пусть g — произвольная конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики, тогда на g* существует полный коммутативный набор полиномов.

Доказательством гипотезы Мищенко-Фоменко является индуктивная процедура, позволяющая свести задачу построения полного коммутативного набора полиномов на исходной алгебре Ли к построению полного коммутативного набора полиномов на некоторой алгебре Ли меньшей размерности, но, возможно, над расширенным полем.

1 Короткевич Александр Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: korotkevich aa@mail.ru.

Чтобы непосредственно использовать данную теорему для построения полных коммутативных наборов полиномов на конкретных алгебрах Ли, ее оригинальное доказательство целесообразно изложить на более наглядном языке геометрических структур. В статье [3] А.В. Болсиновым проделана большая работа по переформулировке доказательства С.Т. Садэтова в терминах пуассоновой геометрии. Для наших целей данный подход более удобен. Поэтому изложим ключевые моменты конструкции А.В. Болсинова.

Конструкция А.В. Болсинова. Индуктивная процедура построения полного коммутативного набора полиномов основывается на следующей лемме.

Лемма (А.В. Болсинов, 2005 [3]). Любая алгебра Ли д над полем К характеристики нуль удовлетворяет одному из следующих условий: 1) д имеет коммутативный идеал Ь, не являющийся одномерным центром алгебры д; 2) д имеет идеал Ьт, изоморфный алгебре Гейзенберга, и при этом центр д совпадает с центром идеала Ьт; 3) д = Ь ф К, где алгебра Ь полупроста; 4) д полупроста.

Если для алгебры Ли д имеют место альтернативы 3 или 4, то полный коммутативный набор полиномов получается методом сдвига аргумента. Оказывается, что в случаях 1 и 2 возможна редукция к алгебре Ли меньшей размерности.

Рассмотрим случай, когда реализована первая альтернатива. Пусть Ь — коммутативный идеал алгебры Ли д, не совпадающий с одномерным центром. В силу коммутативности идеала Ь на Ь* существует полный коммутативный набор линейных полиномов, таким, например, является набор координат на Ь* относительно произвольного фиксированного базиса. Дополним полный коммутативный набор полиномов на Ь* до полного коммутативного набора полиномов на всей коалгебре д*.

Присоединенное представление алгебры аё можно ограничить на идеал Ь. Обозначим ограничение через аё Рассмотрим двойственное к нему представление (аё |^)*: д ^ (^*). Для каждого элемента х € д* определен образ Н = рг^»(х) при естественной проекции рг^»: д* ^ Ь*. В свою очередь каждому элементу Н € Ь* соответствует стационарная подалгебра Я^Н) С д относительно представления (аё |^)*.

Рассмотрим множество всевозможных рациональных функций Ф: Ь* ^ д, таких, что Ф(Н) € Я^Н) для УН € Ь*, т.е. множество всех рациональных сечений расслоения стационарных подалгебр. Данные сечения образуют алгебру Ли относительно поточечного коммутатора: [Ф1, Ф2](Н) = [Ф1(Н), Ф2 (Н)]. Обозначим эту алгебру Ь.

Алгебра Ь бесконечномерна над исходным полем К, но является алгеброй и над полем К(Ь*) рациональных функций на Ь*. Над расширенным полем К(Ь*) алгебра Ь конечномерна.

По каждому такому рациональному сечению построим функцию на коалгебре следующим образом: /ф(х) = (Ф(рг^»(х)),х). Функции /ф, вообще говоря, рациональные. Легко проверить, что функции /ф образуют подалгебру Ь в алгебре всех рациональных функций на д*, а отображение Ф ^ /ф задает гомоморфизм алгебры Ь на алгебру Ь. Как и в случае алгебры Ь, алгебра Ь бесконечномерна над полем К, но конечномерна над расширенным полем К(Ь*).

Лемма (А.В. Болсинов, 2005 [3]). Имеет место следующая формула: Ь = Я^Н) —

Ь + 1, где Я^Н) — стационарная подалгебра элемента Н общего положения относительно действия (аё |ь)*.

Таким образом, размерность алгебры Ли Ь над полем К(Ь*) строго меньше размерности первоначальной алгебры Ли д над полем К.

Лемма (А.В. Болсинов, 2005 [3]). Объединение полного коммутативного набора полиномов на Ь* и полного коммутативного набора полиномов на Ь* является полным коммутативным набором функций

на д*.

Заметим, что полный коммутативный набор полиномов на Ь* состоит из полиномов над расширенным полем К(Ь*), которые, вообще говоря, не являются полиномами над первоначальным полем К. Тем не менее полученный полный коммутативный набор функций на д* легко преобразовать в полный коммутативный набор полиномов. Действительно, полиномы над К(Ь*) будут рациональными функциями над исходным полем К, причем знаменатели — исключительно полиномы на Ь*. Поэтому каждую рациональную функцию можно умножить на некоторый полином на Ь* так, чтобы она стала полиномом на д*, при этом набор останется полным и коммутативным в силу того, что координаты на Ь* входят в наш полный коммутативный набор.

Тем самым в случае, когда реализуется возможность 1, построение полного коммутативного набора полиномов на исходной алгебре сводится к построению полного коммутативного набора полиномов на алгебре Ь над расширенным полем.

Теперь предположим, что реализуется альтернатива 2. Пусть Ьт = {%) + У2т — идеал, изоморфный алгебре Гейзенберга. Существование полного коммутативного набора линейных полиномов на Ьт очевидно, в качестве такого набора можно взять, например, координатные функции г,р1,... ,рт, где Р1,... ,рт —

базис некоторого лагранжева подпространства V2m. Дополним полный коммутативный набор линейных полиномов на hm До полного коммутативного набора полиномов на всей коалгебре g*.

Лемма. Существует подалгебра b С g, такая, что b + hm = g и b П hm = (z). При этом подпространство V2m С hm инвариантно относительно присоединенного действия b и b действует на V симплектическими преобразованиями.

По каждому элементу в G b построим квадратичный полином fp: g* ^ K следующим образом:

ffs{x) = (p,x)(z,x) + ^{uj~l{{&dfs)*wv{x)),x),

где x — произвольный элемент из g*; pry: g* ^ V* — проекция; (ad в)*: V* ^ V* — оператор, двойственный к оператору ad в: V ^ V; и — симплектическая структура на V, рассматриваемая как отображение из V в V*; и-1: V* ^ V — обратный оператор.

Несложно показать, что многочлены fe образуют алгебру Ли, изоморфную подалгебре b. Предположим, что на b* найден полный коммутативный набор полиномов, тогда каждая функция из данного набора является полиномом от координат @i,...,@s на b* относительно некоторого фиксированного базиса (s = dim b*). Координаты в1, ■■■,@s можно рассматривать как элементы подалгебры b. Поэтому, заменив в каждом полиноме из полного коммутативного набора на b* все вг, i = 1,...,s, на соответствующие им квадратичные полиномы fet, i = 1,...,s, мы получим набор полиномов на исходной коалгебре g*.

Лемма (А.В. Болсинов, 2005 [3]). Объединение полного коммутативного набора линейных полиномов на hm и полного коммутативного набора полиномов на b*, в котором все вг G b заменены на соответствующие им квадратичные полиномы fei, является полным коммутативным набором полиномов на первоначальной коалгебре g*.

Таким образом, построение полного коммутативного набора полиномов на первоначальной алгебре Ли g можно свести к построению полного коммутативного набора полиномов на подалгебре b, а так как dim b < dim g, то это и есть редукция к алгебре Ли меньшей размерности.

Ш^естимерные разрешимые и семимерные нильпотентные алгебры Ли. Нашей целью является построение полных коммутативных наборов полиномов методом Садэтова на коалгебрах всех вещественных шестимерных разрешимых ненильпотентных и вещественных семимерных нильпотентных алгебр Ли.

В работе была использована классификация вещественных шестимерных разрешимых ненильпотент-ных алгебр Ли, полученная Г.М. Мубаракзяновым в [4], а также классификация вещественных семимерных нильпотентных алгебр Ли, полученная Э.Н. Сафиуллиной в [5]. Каждый элемент классификации является либо некоторой конкретной алгеброй Ли, либо семейством алгебр, зависящим от параметров. Мы будем придерживаться обозначений, введенных в работах [4, 5], и каждой алгебре Ли сопоставим ее символ gi,j, где i — это размерность алгебры, а j — ее порядковый номер в классификации.

Поскольку метод Садэтова является индуктивной процедурой и на каждом шаге возможны различные альтернативы, то для различных алгебр Ли возможны различные сценарии метода Садэтова. Мы разобьем все исследуемые алгебры Ли на классы и к одному классу причислим алгебры, для которых сценарии метода Садэтова совпадают.

В работе [6] для всех алгебр Ли малой размерности (а именно для вещественных алгебр Ли до размерности пять включительно и для шестимерных нильпотентных) методом Садэтова были построены полные коммутативные наборы полиномов на соответствующих коалгебрах и все алгебры Ли малой размерности были разбиты на семь классов по сценариям метода Садэтова. Оказывается, что для шестимерных разрешимых и семимерных нильпотентных алгебр Ли новые классы не появляются, поэтому, сохраняя обозначения классов статьи [6], каждую шестимерную разрешимую и семимерную нильпотентную алгебру Ли отнесем к одному из семи классов.

Теорема. На коалгебре g* каждой вещественной шестимерной разрешимой ненильпотентной алгебры Ли g методом Садэтова построен полный коммутативный набор полиномов (см. табл. 1).

Теорема. На коалгебре g* каждой вещественной семимерной нильпотентной алгебры Ли g методом Садэт,ова построен полный коммутативный набор полиномов (см. табл. 2).

Таблица 1 состоит из трех столбцов. В первом столбце указаны символ алгебры Ли и обозначаемый римскими буквами класс, которому она принадлежит. Некоторые шестимерные разрешимые алгебры Ли зависят от параметров и при различных значениях параметров принадлежат различным классам. В этом случае в первом столбце представлены все классы, которым принадлежат алгебры из данного семейства. Второй столбец содержит ограничения на параметры, если они есть. В третьем столбце указан полный коммутативный набор полиномов, построенный методом Садэтова.

Таблица 1

Все вещественные шестимерные разрешимые ненильпотентные алгебры Ли

Символ, класс Параметры Полный коммутативный набор

06Д, II о<Н< М, |7К1/?КН, Н<1 XI, Х2, Хз, Х4, хъ

06,2, II 0<I<5I<I7I, XI, Х2, хз, Х4, хъ

06,3, II 0 < |<5| < 1 XI, Х2, Хз, Х4, Хъ

06,4-06,6, II — XI, Х2, Хз, Х4, Хъ

06,6, II в < ¡г XI, Х2, Хз, Х4, Хъ

06,7, II а2 + /З2 / 0 XI, Х2, Хз, Х4, Хъ

06,8, II 0<М< \Й, И XI, Х2, Хз, Х4, Хъ

06,9, II аф 0 XI, Х2, Хз, Х4, Хъ

06,10, II — XI, Х2, Хз, Х4, Хъ

06,11, II 0,8 Ф 0 XI, Х2, Хз, Х4, Хъ

06,12, II аф 0 XI, Х2, Хз, Х4, Хъ

06,13-06,16, II — XI, Хз, Х4, Хъ

06,17, II а2 + е2 ф 0, ае = 0 XI, Хз, Х4, Хъ

06,18, II /3/0 XI, Хз, Х4, Хъ

06,19, II — XI, Хз, Х4, Хъ

06,20, II /Зф 0 XI, Хз, Х4, Хъ

06,21, II ¡гф 0 XI, Хз, Х4, Хъ

06,22, II — XI, Хз, Х4, Хъ

06,23, II еН = 0 XI, Хз, Х4, Хъ

06,24-06,26, II — XI, Хз, Х4, Хъ

06,27, II а2 + /З2 ф 0, еа = 0 XI, Хз, Х4, Хъ

06,28-06,31, II — XI, Хз, Х4, Хъ

06,32, IV 2а + ¡г > 7, еН = 0 XI, Х2, Х4, Хъ

06,33, IV ¡3 < 2а XI, Х2, Х4, Хъ

06,34, IV еН = 0 XI, Х2, Х4, Хъ

06,36, IV а2 +02 ф0 XI, Х2, Х4, Хъ

06,36, IV — XI, Х2, Х4, Хъ

06,37, IV в/0 XI, Х2, Х4, Хъ

06,38, IV — XI, Х2, Х4, Хъ

06,39, II 7/0 XI, Х2, Хз, Х4

06,40-06,43, II — XI, Х2, Хз, Х4

06,44, II 7/0 XI, Х2, Хз, Х4

06,46-06,46, II — XI, Х2, Хз, Х4

06,47, II 7/0, £ = 0,±1 XI, Х2, Хз, Х4

06,48, II — XI, Х2, Хз, Х4

06,49, II е = 0, ±1 XI, Х2, Хз, Х4

06,60, II е = 0, ±1 XI, Х2, Хз, Х4

06,61, II е = ±1 XI, Х2, Хз, Х4

06,62, II £ = 0,±1 XI, Х2, Хз, Х4

06,63-06,67, II — XI, Х2, Хз, Х4

06,68, II Я = 0,1 XI, Х2, Хз, Х4

06,69, II — XI, Х2, Хз, Х4

06,60, II Я = 0,1 XI, Х2, Хз, Х4

06,61, II — XI, Х2, Хз, Х4

06,62, II Я = 0,1 XI, Х2, Хз, Х4

06,63-06,72, II — XI, Х2, Хз, Х4

06,73, II £ = ±1 XI, Х2, Хз, Х4

Символ, класс Параметры Полный коммутативный набор

06,74-06,76, II — XI, Х2, хз, Х4

06,76, Ш — XI, Х2, Хз, Х1Х4 — ХзХъ

06,77, Ш £ = ±1 XI, Х2, Хз, Х1Х4 — ХзХъ

06,78-06,80, III — XI, Х2, Хз, Х1Х4 — ХзХъ

06,81, Ш £ = ±1 XI, Х2, Хз, Х1Х4 — ХзХъ

06,82, II, Ш к = 0,1 XI, Х2, Хз при к = 1; XI, Х2, хз, хххе — ¡1x2X4 — 1хзхъ при к = 0

06,83, II, Ш — XI, Х2, хз при к ф 0; XI, Х2, Хз, Х1Хв — ¡1x2X4 — Х3Х4 — ¡гхзхъ при к = 0

06,84, III — XI, Х2, хз, хххе — Х2Х4

06,86-06,86, II — XI, Х2, хз

06,87, II — XI, хз, Х4

06,88, II, Ш — XI, Х2, хз при к ф 0; XI, Х2, хз, Х1Х6 - (к + р)х ХХ2Х4 — дхзх4 — (к + р)хяхъ+дх2хъ при к = 0

06,89, IV, V — XI, Х2, хз при к ф 0; XI, Х2, Хз, Х1Хв — вх2Х4 - \я{х2з + ж|) при к = 0

06,90, IV, V д ф 1 при к = 0 XI, Х2, хз при к ф 0; XI, Х2, хз, Х1Х6 + |(Ж2 - цх\ -х24-при к = 0

06,91, V — XI, Х2, хз, Х1Х6 + ±{х1 - Х2з - Х24 - Х2ъ)

06,92, II, Ш — XI, Х2, хз при к ф 0; XI, Х2, хз, Х1Х6 - джз®4 + рх2хъ при к = 0

06,93, VI, V — XI, Х2, хз при к ф 0; XI, Х2, хз, Х1Х6 - дх2хз - дХ4Хъ + Х2 — х2) при к = 0

06,94, II, Ш — XI, Х2, хз при д ф —2; XI, Х2, хз, х\х& + Х1Х2Хъ + 2X1X3X4 — Х2Х4 при д = -2

06,96-06,99, II — XI, Х2, хз

06,100, II Ф 0, 72 + V2 ф 0 XI, Х2, хз, Х4

06,101, II 7" + Г Ф 0 XI, Х2, хз, Х4

06,102, II 02 + У2 Ф 0, 72 + V2 ф 0 XI, Х2, хз, Х4

06,103-06,104, II — XI, Х2, хз, Х4

06,106, II 7" + !32 ф 0 XI, Х2, хз, Х4

06,106, II в/0 XI, Х2, хз, Х4

06,107-06,109, II — XI, Х2, хз, Х4

06,110, II 7/0 XI, Х2, хз, Х4

Окончание таблицы 1

Символ, класс Параметры Полный коммутативный набор

06,111-06,118, II — XI, Х2, Хз, Х4

06,119-06,120, II 7/1 XI, Х2, Хз, Х4

06,121-06,122, II + ,зг ф 0 XI, Х2, Хз, Х4

06,123-06,126, II — XI, Х2, Хз, Х4

XI, Х2, Хз при /3/7;

06,127, II, Ш ß2 + 72 / 0 XI, Х2, хз, Х1Х6 — Х1Хь — Х3Х4 при /9 = 7

06,128-06,129, II — XI, Х2, хз

XI, Х2, хз при 7 / 0;

06,130, IV, VI ß2 + 72 / 0 XI, Х2, хз, Х1Х6 + + х\) при 7 = 0

06,131-06,132, II — XI, Х2, хз

06,133, IV — XI, Х2, хз

XI, Х2, хз при а ф —1;

06,134, II,Ш XI, Х2, хз, Х1Хб + Х3Х4 при а = — 1

Все вещественные семимернь

Символ, класс Параметры Полный коммутативный набор

06,136, II — XI, Х2, хз

06,136, IV,VI — xi, Х2, хз при s ф 0; Xl, Х2, хз, Х!Хб + + xl) при s = 0

06,137, II — XI, Х2, хз

06,138-06,139, II — Xl, Х2, хз, Х4

06,140, II ß'+у'фО Xl, Х2, Хз, Х4

06,141, II — Xl, Х2, Хз, Х4

06,142, II ß'+у'фО Xl, Х2, Хз, Х4

06,143-06,144, II — Xl, Х2, Хз, Х4

06,146, Ш — Xl, Х2, Хз, Х2Хъ — Х3Х4 — Х2Хв

06,146, VI — Xl, Х2, Хз, х2хв + + х\)

06,147, III — Xl, Х2, Хз, XlXg — Х3Х4

06,148, VI s = ±1 Xl, Х2, Хз, XlXe + ±(ж| + xl)

Таблица 2

Символ Полный коммутативный набор

07,1-07,4, II Х2, Хз, Х4, Хъ, Хв, Х7

07,6-07,66, II Хз, Х4, хв, Хв, Х7

07,67-07,91, II Х4, Хъ, Xg, Ху

07,92, II Xl, Х2, Хз, Хв, Х7

07,93, Ш Хз, Х4, Хв, Ху, Х1Х7 — Х2Хв

07,94, III Х2, Хъ, Хв, Х7, Х3Х7 — XlXe — Х4Хъ

07,96-07,97, III 2 2 Х4, Хъ, Хв, Х7, XlXeX7 — Х2Хв — Х3Х7

07,98-07,104, III Х4, Хъ, Хв, Х7, Х1Х7 — ХзХв

07,106-07,106, III Х4, Хъ, Хв, Х7, Х2Х7 — ХзХв

Символ Полный коммутативный набор

07,107, IV Х4, Хъ, Хв, Х7, Х1Х7 — ХзХъ

07,108-07,111, II Хз, Х4, Хъ, Хв, Х7

07,112-07,121, II Х4, Хъ, Хв, Х7

07,122-07,126, Ш Х4, Хъ, Хв, Х7, Х2Х7 — ХзХв

07,127-07,134, II Х4, Хъ, Хв, Х7

07,136-07,139, III Х4, Хъ, Хв, Х7, Х1Х7 — ХзХъ

07,140-07,144, III Х4, Хъ, Хв, Х7, Х1Х7 + Х2Хв — ХзХъ

07,146-07,148, III Х4, Хъ, Хв, Х7, 2 | 2 Х1Х7 + Х2ХвХ7 — ХзХъХ7 — ХзХ6

07,149-07,160, III Х4, Хъ, Хв, Х7, Х2Х7 — ХзХв

Таблица 2 состоит из двух столбцов. Первый столбец содержит символ алгебры Ли и класс, которому она принадлежит, второй столбец — полный коммутативный набор полиномов, построенный методом Садэтова.

Классы алгебр Ли. Опишем разбиение исследуемых алгебр Ли на классы.

Класс I: полупростые и редуктивные алгебры Ли. (Данному классу не принадлежит ни одна из исследуемых алгебр Ли.) На алгебрах из этого класса метод Садэтова совпадает с методом сдвига аргумента.

Класс II: алгебры, в которых существует большой коммутативный идеал. (Данному классу принадлежат 122 шестимерные разрешимые алгебры и 114 семимерных нильпотентных алгебр Ли.) У алгебр из этого класса на первом шаге метода Садэтова выбирается коммутативный идеал, а алгебра L, к которой совершается редукция, оказывается одномерной, т.е. координатных функций на коммутативном идеале уже достаточно для полного коммутативного набора.

Класс III: алгебры, в которых существует коммутативный идеал, а алгебра рациональных сечений двумерна. (Данному классу принадлежит 16 шестимерных разрешимых и 35 семимерных нильпотентных алгебр Ли.) У алгебр из этого класса на первом шаге метода Садэтова выбирается коммутативный идеал, а алгебра L, к которой совершается редукция, оказывается двумерной. Но так как в алгебре рациональных сечений всегда есть центр, то двумерная алгебра L обязательно коммутативна и на втором шаге метода Садэтова достаточно взять некоторый базис алгебры L.

Класс IV: алгебры, в которых существует коммутативный идеал, а алгебра рациональных сечений трехмерна. (Данному классу принадлежит 14 шестимерных разрешимых и одна семимерная нильпотент-ная алгебра Ли.) У алгебр из этого класса на первом шаге метода Садэтова выбирается коммутативный идеал, а алгебра L, к которой совершается редукция, оказывается трехмерной.

Класс V: алгебра, в которой существует идеал, изоморфный алгебре Гейзенберга, а подалгебра b двумерна. (Данному классу принадлежат 4 шестимерные разрешимые алгебры Ли.) У алгебр из этого

класса на первом шаге метода Садэтова выбирается идеал, изоморфный алгебре Гейзенберга, а редукция совершается к двумерной алгебре Ли b.

Класс VI: алгебры, в которых существует коммутативный идеал, не совпадающий с одномерным центром,, а алгебра рациональных сечений содержит идеал, изоморфный алгебре Гейзенберга. (Данному классу принадлежат 4 шестимерные разрешимые алгебры Ли.) У алгебр из этого класса на первом шаге метода Садэтова выбирается коммутативный идеал, а алгебра L, к которой совершается редукция, изоморфна алгебре Гейзенберга.

Класс VII: алгебры, в которых существует одномерный коммутативный идеал, не совпадающий с одномерным центром, а алгебра рациональных сечений редуктивна. (Данному классу не принадлежит ни одна из исследуемых алгебр Ли.) У алгебр из этого класса на первом шаге метода Садэтова выбирается одномерный коммутативный идеал, а алгебра L, к которой совершается редукция, оказывается редуктивной и второй шаг метода Садэтова совпадает с методом сдвига аргумента.

Степени полиномов и гипотеза Милованова. Известна гипотеза, выдвинутая М.В. Миловано-вым относительно полных коммутативных наборов полиномов на разрешимых алгебрах Ли.

Гипотеза (М.В. Милованов, 1999). На любой разрешимой алгебре Ли существует полный коммутативный набор из линейных и квадратичных полиномов.

В работе [6] доказано, что для алгебр Ли малой размерности гипотеза Милованова верна. Среди всех рассматриваемых алгебр Ли только на одной шестимерной разрешимой и на семи семимерных нильпо-тентных построенный полный коммутативный набор содержит полиномы степени выше второй. Поэтому верна следующая

Теорема. Контрпримером к гипотезе Милованова среди разрешимых ненильпотентных алгебр Ли до размерности шесть включительно может быть только алгебра g6,94. Контрпримером к гипотезе Милованова среди нильпотентных алгебр Ли до размерности семь включительно могут быть только алгебры g7;95, ß7)96, Q7,97, ß7,145, 07,146, ß7,147, 07,148.

Работа выполнена при поддержке программы "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-3224.2010.1; РФФИ, грант № 10-01-00748-а; аналитической ведомственной целевой программы (АВЦП) "Развитие научного потенциала высшей школы", проекты № 2.1.1.3704**, 2.1.1/6827; ГК Рособразование, проекты П268, 943.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерных алгебрах Ли // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1978. 42, № 2. 396-415.

2. Садэтов С.Т. Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко // Докл. РАН. 2004. 397, № 6. 751-754.

3. Болсинов А.В. Полные инволютивные наборы полиномов в пуассоновых алгебрах: доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко // Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу. Вып. 26. М.: Изд-во МГУ, 2005. 87-109.

4. Мубаракзянов Г.М. О разрешимых алгебрах Ли // Изв. вузов. Математика. 1963. № 1. 114-123.

5. Сафиуллина Э.Н. Классификация нильпотентных алгебр Ли 7-го порядка // Сб. аспирант. работ (точные науки). Казань: Изд-во КГУ, 1963. 103-105.

6. Короткевич А.А. Интегрируемые гамильтоновы системы на алгебрах Ли малой размерности // Матем. сб. 2009. 200, № 12. 3-40.

Поступила в редакцию 18.06.2010