CC BY
38
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.925
ПОЛНОСТЬЮ ВЫРОЖДЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
Ю.П. Вирченко, А.В. Субботин
Белгородский государственный университет,
ул. Студенческая, 14, Белгород, 308007, Россия, e-mail: virchObsu.edu.ru
Аннотация. Вводится понятие о полностью вырожденных гамильтоновых системах. Посредством явной конструкции доказывается, что такие системы могут иметь произвольное число степеней свободы.
Ключевые слова: гамильтоновы системы, жорданово представление, собственное число, число степеней свободы.
Рассмотрим линейную гамильтонову систему
р- — о-— (1)
Р = (р 1, ...,рп), Q = (^1,5„), где п - число степеней свободы этой системы и Н - ее квадратичный по динамическим переменным Р и Q гамильтониан,
н = -2{р,АР) + {р,ъя) + -2{я,ея).
Здесь А, в, С - вещественные п х п-матрицы, причем матрицы а и С - симметричны. Система уравнений (1) представима в виде
<э) = 3 ( Q
где генератор сдвига по времени — 2п х 2п-матрица О имеет специальную форму
о=("Г )• (2)
В этом сообщении мы, в отличие от предыдущего [1] (см. также [2]) займемся исследованием спектральных свойств матрицы 3 в вырожденном случае.
Линейную гамильтонову систему назовем вырожденной, если ёе! О = 0. При этом мы будем называть ее полностью вырожденной, если матрица О имеет единственное собственное число. Иными словами, линейная гамильтонова система - полностью вырожденна, если в жордановом представлении матрица О представляется 2п х 2п-клеткой Жордана с нулевой диагональю.
Можно доказать, что в составе любой линейной вырожденной гамильтоновой системы может находиться не более одной полностью вырожденной. Однако, мы в настоящем сообщении не будем на этом останавливаться. Нашей целью является доказательство утверждения о том,
что существуют линейные полностью вырожденные гамильтоновы системы с произвольным числом степеней свободы. Доказательство состоит в явном предъявлении 2п х 2п-матрицы С с произвольным фиксированным значением числа п € N степеней свободы и доказательства, что эта матрица представляет собой клетку Жордана с нулевой диагональю.
Рассмотрим матрицу
3 = (? -Я, (3)
где 0,1 - соответственно нулевая и единичная матрицы, а § - п х п-клетка Жордана, то есть (§)у = 1 при ] = г + 1, г = 1 ^ п — 1 и (8)^ = 0 в противном случае Справедливо утверждение
Теорема. Имеет место равенство 32п = 0 и при этом 32п-1 = 0.
□ Мы приведем два доказательства. Одно из них аналитическое и основано на линейной гамильтоновой системе, порождаемой матрицей (3), у которой, таким образом, С = 0, А = 1, В = - §т. Второе доказательство является чисто алгебраическим.
1. Достаточно доказать, что асимптотика решения
~ г1
указанной гамильтоновой системы
(рЧг)\ = ( р (г)\
пропорциональна г2п 1 в общем положении. Это устанавливается явным построением общего решения этой системы, то есть системы уравнений
Р>(г) = §р (г), <(г) = р (г) — (§т <)(г).
Первое уравнение, ввиду нильпотентности порядка п матрицы §, §п = 0, дает
I П
п-1 г'
= (4)
1=0
п- 1
причем, так как §п-1 = 0, то в этой сумме присутствует слагаемое с наибольшей степенью, пропорциональное гп-1.
Из второго уравнения следует, что
ь
<(г) = ехр(—г§т )<(0) + ^ ехр(—§т (г — г'))р (г')^г' =
ь
= ехр(—г§т)<(0) + ^ ехр(—§т(г — г')) ехр(г'§)сМ'Р(0).
Матрица §т нильпотентна порядка п, так как (§т)п = (§п)т = 0 и (§т)п 1 = (§п 1)т = 0. Тогда первое слагаемое в правой части имеет такой же вид как и (4),
п-1 г1
ехр(-*§т)д(0) = Е(-1)'л 1=0 '
с ненулевым коэффициентом при ¿п 1. Второе же слагаемое, после разложения матричных экспонент в ряд, принимает вид
П-1 (§Т)г§т '
''_* готлкгт, г
£ 1ЙГ /«'"О'4""^«»-
\1+!т,
1,т=0
Интеграл, входящий в коэффициенты этого ряда равен
г „та.
где коэффициент при ¿г+т+1 не равен нулю (имеет знак (—1)т). В частности, при I = т = (п — 1) получаем утверждение теоремы, так как = ¿¿+1^-, то есть (§п-1)г^- = ¿¿+п_1а- = ¿^¿д, и ([§Т]п-1)г^ = ([8п]Т)^ = поэтому
([§Т]п_18п_%- = ^]([§Т]п_%(§п-1)й^ = ^ = diag{1,0,...., 0} =0.
к=1 к=1
2. Для матрицы вида (3) индукцией по I = 1, 2, 3,... доказывается, что
31=(А (—у),
и при этом матрицы Аг связаны рекуррентным соотношением
1
при А1 = 1. В самом деле,
Аг+1 = §г — ВТ Аг (5)
3г+1 = ссг = [в 0 \ /§г 0 \ = / §1+1 0 \
3 = 33 = —^Аг (—§Т)7 = ^ — §ТАг (—§Т)г+У .
Индукцией по I проверяется, что решением разностного уравнения (5) с начальным условием А1 = 1 является
г_1
Аг = 1)к(§Т)к§1-1-к , (6)
к=0
так как подстановка этого выражения для Аг в (5) дает
г_1 г_1
Аг+1 = §г — §Т ^(—1)к(§Т)к§г_1_к = §г + £(—1)к+1(Вт)к+1§г_1_к = к=0 к=0
гг
= §г — ^( —1)к(§Т)к§г_к = — 1)к(§Т)к§г_к . к=1 к=0 Из (5) следует, что Аг = (—1)г_п(ВТ)г_пАп при I > п, так как Вп = 0. Тогда из (6) следует, что
п_ 1
А2п_1 = (—1)п_1(§Т )п_1Ап = (—1)п_1(ВТ )п_^ (—1)к (§Т )к §п_1_к = (—1)п_1(ВТ )п_1Вп_1,
п
п
так как все остальные слагаемые в сумме обращаются в нуль в силу (ST)n = 0. Наконец, так как (ST)n-1Sn-1 = diag{1,0,..., 0} = 0 и a2.n = -sta2n-\ = (-1)n(ST)nSn-1 = 0, то получаем справедливость требуемого утверждения. ■
Свойство матрицы, утверждаемое в формулировке теоремы, является характеристическим для клетки Жордана порядка n.
Литература
1. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Симметричность спектра линейных гамильтоновых систем // Belgorod State University Scientific Bulletin. - 2011. - 17(112);24. - C.179-180.
2. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Свойство локальной обратимости гамильтоновых динамических систем // Материалы Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» Белгород, 17-21 октября 2011 / C.37-38.
COMPLETELY DEGENERATE LINEAR HAMILTONIAN SYSTEMS Yu.P. Virchenko, A.V. Subbotin
Belgorod State University, Studencheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail:virchObsu.edu.ru
Abstract. The concept of completely degenerate hamiltonian systems is introduced. It is proved by explicit construction that such systems may have arbitrary number of freedom degrees.
Key words: hamiltonian systems, Jordan representation, eigenvalue, number of freedom degrees.
