Полиномиальные уравнения Вольтерра i рода в задаче моделирования нелинейных динамических систем с обратной связью Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

УДК 517.968

© С.В. Солодуша

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА I РОДА В ЗАДАЧЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ*

В статье рассматривается задача автоматического регулирования нелинейной динамической системы с обратной связью, описанная с помощью полиномиальных интегральных уравнений Вольтерра I рода. Приведены теоремы существования и единственности решений одного класса полиномиальных уравнений Вольтерра I рода.

Ключевые слова: уравнения Вольтерра I рода, нелинейные интегральные неравенства, задача Коши.

POLYNOMIAL VOLTERRA EQUATIONS OF THE FIRST KIND FOR MODELING NONLINEAR DYNAMIC SYSTEMS WITH FEEDBACK

We consider the problem of automatic control of nonlinear dynamic systems with feedback. This problem is described by polynomial Volterra integral equations of the first kind. Shows the existence and uniqueness of solutions of some class of polynomial Volterra integral equations of the first kind.

Keywords: Volterra equations of the first kind, nonlinear integral inequalities, Cauchy problem.

В теории моделирования систем управления традиционно используется аппарат дифференциальных уравнений. Тем не менее разработка альтернативных методов моделирования, связанных с приложением интегральных уравнений типа Вольтерра, является актуальной прикладной задачей (например, [1, 2]).

Как известно, одним из наиболее универсальных методов математического моделирования нелинейных динамических систем типа черного ящика является представление отклика системы у(^) на входной сигнал х(^) в виде полинома Вольтерра. Полином Вольтерра N -й степени, отображающий х(^) в у(^), имеет вид

S.V. Solodusha

Введение

N

я=1 !<>, <...<!„ £ p

* Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 09-01-00377.

Солодуша С.В. Полиномиальные уравнения Вольтерра I рода в задаче моделирования нелинейных динамических систем с обратной связью

где

г г п

/,...Л (г) = |...|К,...Л (г,)Пх , ге [0,Т], (2)

0 0 ]=1

г имеет физический смысл времени, х(г) = (х1(г),...,хр(г)) есть р -мерная

вектор-функция времени, у(г) - скалярная функция времени, причем

у(0) = 0, у (г) е С[0 т]. Ядра Вольтерра К. ^ в (2) симметричны лишь по

тем переменным, которые соответствуют совпадающим индексам. При построении модели (1), (2) в теории динамических систем надо уметь находить ядра Вольтерра. Для решения этой задачи можно использовать метод [3, 4], основанный на задании специальных тестовых входных сигналов.

Предположим далее, что задача идентификации ядер Вольтерра К. {

в (2) решена. Будем считать также, что возмущения х1 (г), 1 = 2, р в (2) известны. Помимо нужной гладкости исходных данных в (1), (2) будем предполагать, что К1(г,г) Ф 0 "ге [0,Т]. Рассмотрим наиболее интересный для приложений случай N = 2 в (1). В случае стационарной динамической системы вместо (1), (2) имеем р р р 1-1

XX х +1^2, , х] + ХХ^> (х., х) = у (г), г е [0, Т ], (3)

1=1 1=1 1=2 .=1

К.х, ° IК (г - s)хг (s)ds,

0

г г

^2,Л2 ° ||К (г - ^ ^ - S2)х )х (^2

v,,. (х>, х.) ° iiК. (г - Sl, г - S2)х. (^) х> (*$2 ,1 ф 1, ] = 1, р.

00

Рассмотрим задачу стабилизации (регулирования), связанную с поиском управляющего воздействия х1 (г) , поддерживающего выходной сигнал у(г) на заданном уровне у*. Такая постановка возникает в связи с задачами автоматического управления техническими объектами. В этом случае уравнение (3) является полиномиальным уравнением Вольтерра I рода, непрерывное решение которого, вообще говоря, носит локальный характер. В работах [5-8] приведены результаты в области теории и численных методов построения непрерывных решений полиномиальных уравнений (при N = 2,3 в (1)) для случая, когда х(г) - скалярная функция времени.

2

00

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

1. Постановка задачи

В работе [9] рассмотрена численная схема решения полиномиального уравнения (3) для р = 2 при условии отсутствия обратной связи. Развивая исследование, начатое в [9], рассмотрим алгоритм получения управляющего воздействия х1(г) с учетом апостериорных данных об отклонении

выходной переменной у(г) от желаемого значения у*, так что х1(г) = и (г — И), и(Х) = 0, Хе [—И, 0], к - известное постоянное запаздывание. В этом случае задача регулирования нелинейного динамического объекта сводится к поиску непрерывного решения и* (г) полиномиального уравнения Вольтерра I рода

р р

У1Ли + +ХГ21и Х) + У2Ли2 +

1=2 1=2

Р

Р 1—1

+Е^,Л2 + Ц^, у (х}, х) = / (г),

1=2 1=2 у=2

(4)

где /(г) = е(г) — е(г — И), г е[0, Т]. Сигнал е(г) = у* — у(г), е(£) = 0, Хе [—И,0] считаем рассогласованием или ошибкой управления.

2. Полиномиальные уравнения Вольтерра I рода

Чтобы понять специфику полиномиального уравнения (3), рассмотрим случай постоянных ядер: К = к, к1 > 0, Кп = kji, 1 < у < 1 < р . Все функциональные пространства считаем вещественными.

Не уменьшая общности, зададим к1 = 1, так что (3) принимает вид

Р 1 I

1 + Хки |xi (s)ds |+ к111 |

1=2 0

V

0

0

= / (г), г е[0,Т ], (5)

/

где

/ (0 = у(г) — Е кг I х (№ — ЕЕ к у, 11 х (№ || I Ху №

1=2 0 1=2 у=2 V 0 ) V 0

Теорема 1. Пусть

/(г)е С^], /(0) = 0.

Тогда решение (5), (6) определяется формулой

/V) , 1 «V

Х*(г) = + О^1 + Ь(г)) — Ч,

а (г) 2к11 уа(г К )

1

(6)

(7)

(

Солодуша С.В. Полиномиальные уравнения Вольтерра I рода в задаче моделирования нелинейных динамических систем с обратной связью

где

t _

q (t) = J x (s)ds, i = 2, p, (9)

0

p

т=Е кл(о, (10)

1=2

а(г) = ^(1 + 0(())2 + 4ки/(г). (11)

Доказательство. Убедимся, что подстановка (8)-(11) в (5) обращает его в тождество. Имеем:

г 1 -Ь(г)+а(г) 1

I = | X* =- | ёы =-(-Ь(г) + а(г) -1), (12)

2ки 1 2ки

Р г

1+Z ки J x(s)ds

I+kill2 ° f (t).

отсюда, с учетом (9)-(11), ■Р.

x,.

i=2 0

Теорема 1 доказана.

Замечание 1. Условие f (0) = 0 использовалось для вычисления в (12) нижнего предела интегрирования, соответствующего замене u = —b(s) + a(s).

Для установления принадлежности решения к классу С[0 T ] нужны дополнительные предположения, обеспечивающие строгую положительность подкоренного выражения в (11).

Убедимся, что в некоторых случаях непрерывное решение уравнения (5), (6) носит глобальный характер. Следуя [6], рассмотрим следующую теорему.

Теорема 2. Пусть f (t) знакопостоянна на [0,T]. Если при этом

sign kn = sign f (t),

то

x* (t) e c[0,t] "T <¥ .

Доказательство немедленно следует из (8) - (11).

Теорема 2 доказана.

Заметим, что в линейном случае условие j(0) = 0 гарантирует отсутствие решений в классе обобщенных функций. Следующая теорема показывает, что при переходе к (5), (6) это заведомо не так.

Теорема 3. Если x* (t) — решение уравнения (5), (6), то

( 1 1 р ^ x** (t) = — x* (t) + — S(t) +—Z kl,xi (t) (13)

V

k11 k11 i=2

0

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

также решение (5), (6). Здесь d(t) есть S- функция Дирака. Доказательство. Покажем, что подстановка (13) в (5) обращает его в тождество. Действительно, в силу (13)

f ** f * 11 ^ f

I = J х** (s)ds = -J х* (s)ds----Zku J xt (s)ds ,

k11 k11 i=2 0

следовательно

P

1 + Z k1i J x(s)ds

i=2 0

I + k1112 =

i=2 0

p i i i 1 + Zkii Jxi(s)ds Jx*(s)ds + k111 Jx*(s)ds

° f (t),

поскольку х*(1) — решение (5), (6). Теорема 3 доказана.

Единственность решения (5), (6) в классе С[0 т ] обеспечивает следующая теорема.

Теорема 4. Если решение (5), (6) в С[о,т ] существует, то оно единственно.

Доказательство. Сделаем противоположное предположение, что существуют два решения х* (1), х** (1) Ф х* (1), принадлежащие С[0 т]. Тогда

разность х* (г) — х** (1) удовлетворяет тождеству

где

u(t)J(x*(s) - x**(s))ds ° 0, t e [0,Г]:

u(t) = 1 + ß(t) + k11 J(x* (s) + x** (s))ds .

(14)

В силу непрерывности х* (г) и х** (г) значение и(г) в (14) не может тождественно равняться нулю, так как и(0) = 1. Следовательно,

t

J(x*(s) - x**(s))ds ° 0, t e [0,Г],

а значит, x*(t) ° x**(t), что противоречит предположению.

Теорема 4 доказана.

0

0

2

0

0

У

0

0

0

Солодуша С.В. Полиномиальные уравнения Вольтерра I рода в задаче моделирования нелинейных динамических систем с обратной связью

3. Мажорантные уравнения

Предположим далее, что допустимые входные возмущения есть X,(0е X, = {Л,е(г), Л, е Я, ге [0,Т]}, , = , здесь е(г) - функция Хевисайда.

По аналогии с [5-8], рассмотрим мажорантное интегральное уравнение для (5), (6) в виде

\ - £миЦ 1} -Ми (}<р(8)Ж 1 = Рг + еУ УМ,Ц/,, (15)

1=2 1=2

где

М, = \к\ > 0, Ц = \Л\ > 0, М, = \к.\ > 0, 1 < 1 < , < р,

1 | 1 \ 7 1 | 1 | 7 11 11 7 ^ -I 7

р

Р = Р + У МЦ , Р = шах| у '(г)| > 0.

1=2

Заменой вида (9) решение уравнения (15) может быть сведено к нахождению решения задачи Коши

р 1 р р + 2гУ У МЦЦ + в(г)У МиЦ

в'(г) =--р-—-, 0(0) = 0, г е [0, т] (16)

1 - 2Мив(г) - гУм1Ц1

1=2

и его дифференцированию. Так как замена вида (9) сводит (15) к квадратному относительно в(г) уравнению

( р 1 р '

1 -гУМиЦ 0(0-Мцв(г)2 = Рг + г2УУМЦЦ,

V 1=2 / 1=2 1=2

то его решение, удовлетворяющее условию 0(0) = 0, имеет вид

1

(

е* (г) = ^Т 1 - гУ МиЦ-С(г)

2М11 V ,=2

Л

где

Х(г) =

у

г У МиЦ -1

- 4М,,

р + г УУ М1

1=2 1=2

(17)

(18)

Ясно, что (17), (18) и является точным решением мажорантной задачи Коши (16).

Таким образом, если исходным данным в (5), (6) отвечает набор (Р,М1,М,,Ц), 1 < 1 < 1 < р , то непрерывное решение уравнения (5), (6)

х* (г) заведомо существует и единственно на [0,Т ], где

0

0

2

\

1=2

/

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

1 ( р Л

т <т*=-|ХМиЦ + 2Мц] — 2Г

-V 1=2

V

, - Л Р

МП]|Х Миц + Мц] + Мп ХХ МЩ

У 1=2 >=2

Л2

- = |Х МиЦ — 4МП ХХМ;!

V 1=2 У 1=2 >=2

причем справедливо неравенство

|х*(г)| <ф*(г), ге [0,т*),

где, с учетом (18), (19),

( (г) =

1

2Мих(г)

X МиЦ — - + 2 ]Мц — X М1А .

1

11 1=2

(19)

4. Численный алгоритм учета обратной связи

Допустим, что численное решение полиномиального уравнения (4) существует. Найдем его кубатурным методом средних прямоугольников.

Введем сетку узлов г. = 1к , г 1 =(1 —к, 1 = 1, п , пк = т . Аппроксими-

' 1—2 V 2 У

руем интегралы в (4) суммами. Для нахождения аппроксимации и* (г) в

(. 1Л к

1 — — 1 -м узле получим квадратное уравнение относительно и 1 :

2

к2 ^„К*! Л

22 V 1 2 У

2

+ к

Л

1 Р 1

+ 2кХ К 1 + кХХ 1 х^ 1

- ■ 0 1 , —1 1—>+ о ( 1 -,к— 1—к+-

_ 2 >=2 2,1 2 ■'2 т=2 к=1 2 2 2 У

ик 1 =

г— 2

Р 1

\

=т—т—кХ к, + кхкп 1 1 и* + кХХк.^ —1—,

ик 1, (20)

1—1

где

т—1 1

^й) = кХХ Кт ± + кХКт 1 1 1 + кХХКт , 1 ^ ^

т=21=1

к=1 1—7,к—2 1 —к+2 п=2 к=1

1—,к— 1 —к+-2 2 2

т 1

1—1+2

(

л

у(/к) = кХ К 1 + кХК11 1 1 ик 1 + кХХК1т 11 хт 1 ик 1 — 2(1к),

■ -1 1— ; -1 1—,к— 1—к----- > , 1—,к— 1 —к+— 1— 1--

1=2 V 2 к =2 7 2 2 2 т=2 к=1 7 2 2 2 У ^2

у(к)=г(к), /(к) = е(к), /(/к) = е(/к) — е((/ — 1)к), ф) = у*— у(1к), / = 2п.

\

р

р

=2

г

к

х

т . 1

\

к

Солодуша С.В. Полиномиальные уравнения Вольтерра I рода в задаче моделирования нелинейных динамических систем с обратной связью

Выбор нужного корня в (20) определяется условием

иЧ —5-5® и(0) = А.

1 н®° у > к1(0)

Дальнейшее развитие работы связано с исследованием нелинейных процессов теплообмена. В качестве эталонной динамической системы будет рассмотрена математическая модель переходного процесса в элементе теплообменного аппарата, предложенная в [10].

Заключение

В работе исследуется один класс нелинейных интегральных уравнений Вольтерра I рода, связанный с задачей моделирования нелинейной динамики в векторном случае. Разработан адаптивный алгоритм учета обратной связи для применения полиномов Вольтерра в задачах автоматического управления нелинейными динамическими системами типа черного ящика. Для установления области существования непрерывного решения применена техника получения неулучшаемых оценок решений нелинейных интегральных неравенств, разработанная в [5-8]. Также показано, что, несмотря на условие j(0) = 0, данные полиномиальные уравнения Вольтерра I рода заведомо имеют решение в классе обобщенных функций.

Литература

1. Верлань А.Ф., Миргород В.Ф., Контрерас Д.Э. Моделирование систем автоматического управления с реальной обратной связью на основе ин-тегро-дифференциальных уравнений Вольтерра // Труды Одесского политехнического университета. - 2000. - № 3. - С. 120-123.

2. Belbas S.A., Bulka Yu. Numerical solution of multiple nonlinear Volterra integral equations // Applied Mathematics and Computation. - 2011. - Vol. 217. - P. 4791-4804.

3. Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра первого рода: теория и численные методы. - Новосибирск: Наука, 1999. - 193 с.

4. Апарцин А.С., Солодуша С.В. К идентификации несимметричных ядер Вольтерра в интегральных моделях нелинейной динамики // Тр. Сиб. конф. по прикладной и индустриальной математике. - Новосибирск, 1997. Т. 1. - С. 1-13.

5. Апарцин А.С. О полилинейных уравнениях Вольтерра I рода // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 2. - С. 118-125.

6. Апарцин А. С. Полилинейные интегральные уравнения Вольтерра I рода: элементы теории и численные методы // Известия ИГУ. Серия: Математика. - 2007. - Т. 1. - № 1. - С. 13-42.

7. Апарцин А.С. О сходимости численных методов решения билинейного уравнения Вольтерра I рода // ЖВМиМФ. - 2007. - № 8. - С. 1380-1388.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

8. Апарцин А.С. Полилинейные уравнения Вольтерра I рода и некоторые задачи управления // Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 4. - С. 316.

9. Солодуша С.В. Приложение нелинейных уравнений Вольтерра I рода к задаче управления динамикой теплообмена // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 6. - С. 133-140.

10. Таиров Э.А. Нелинейное моделирование динамики теплообмена в канале с однофазным теплоносителем // Изв. АН СССР: Энергетика и транспорт. - 1989. - № 1. - С. 150-156.

Солодуша Светлана Витальевна - кандидат физико-математических наук, доцент, зав. лабораторией «Неустойчивые задачи вычислительной математики» Института систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН; тел. (3952) 428440, e-mail: [email protected]

Solodusha Svetlana Vitalievna - candidate of sciences in physics and mathematics, assistant professor, head of the laboratory of «Ill-posed problems of computational mathematics» of Melentiev Energy Systems Institute SB RAS.