Покоординатный поиск местоположения точечного источника сигнала Текст научной статьи по специальности «Математика»

Larkin Evgeny Vasilievich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 681.7

ПОКООРДИНАТНЫЙ ПОИСК МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА СИГНАЛА

Е.В. Ларкин, А. А. Аршакян

На основании сравнительного анализ двух методов поиска экстремума интеграла свертки, показано, что прямой метод поиска дает низкую точность, но обладает повышенным быстродействием. Показано, что совместить быстродействие и точность возможно за счет применения производной от согласованного фильтра при выделении точечного источника. Разработана покоординатная процедура поиска местоположения точечного источника.

Ключевые слова: сигнал, свертка, фильтрация, четная функция, нечетная функция, максимум, покоординатный поиск.

Одной из важных характеристик пеленгатора является точность определения координат точечного источника. Как следует из [1], при применении метода согласованной фильтрации задача оценки местоположения точечного источника сводится к задаче поиска экстремума функции, которая формируется на выходе согласованного фильтра.

Существует множество численных методов поиска экстремума, обладающих различной вычислительной сложностью и точностью, начиная от метода перебора и кончая численными градиентными методами [2]. Указанные методы могут быть разделены на два достаточно обширных класса: методы, связанные с прямым поиском максимума функции u(р), где р - обобщенная координата, и методы, связанные с поиском нуля производной ^(р). Проведем сопоставительный анализ точности, достигае-dр

мой при использовании методов данных классов (рис. 1).

Задача решается при условии, что на компьютерную обработку поступает цифровая модель сигнала, т.е. сигнал, прошедший процедуру дискретизации и квантования по уровню [3]. Выбор шага дискретизации по аргументу и квантования по уровню обусловлен в основном максимальной допустимой погрешностью измерения значения сигнала u. Будем считать, что указанная погрешность определяется интервалом квантования А^

Пусть сигнал и\р) представлен функцией Гаусса, которая в контексте задачи сопоставительного анализа для упрощения выкладок может быть представлена в виде

¿/(р) = ехр(-р2). (1)

Р

б ¿/и аР

Ар <-► А л, 1 г

0

Рис. 1. Сопоставительный анализ точности, достигаемой при прямом поиске максимума (а) и поиске максимума по производной (б)

Максимальное значение сигнала (1) достигается в точке р = 0. Значение сигнала, равное и{р) = 1-Дм, достигается в точке, которая может быть найдена из уравнения

ехр(-Д2р)=1-Д„, (2)

где Ар - значение координаты р, при котором сигнал равен величине 1 -V

Решение (2) относительно Ар, дающее абсолютную точность определения местоположения максимума функции, имеет вид

-Ар =Ь(1-А„) =>|др| = 7-1п(1-А|/). (3)

Найдем производную от величины г/(р):

^ф^ = -2рехр(-р2). (4)

Производная позволяет получить уравнение

-2Дрехр {-A'2p)=Adu (5)

относительно Д'р - абсолютной точности определения местоположения нуля производной от корреляционного интеграла. Считая, что для малых значений Д^ lim

ехр(- Д'р ]I = 1, можно получить простое выражение для

Д'п

д;

Adu

(6)

водной

Исходя из условия, что при поиске максимума и^ (р) и нуля произ-(р)

dp

обеспечивается одинаковая точность расчетов, можно по-

строить функцию соотношения точности Аи = Aju = А'и:

д;

, в которой аргументом будет значение

Д'п

2Л/-1п(1-д;/)

д'

(7)

Вид функции (7) приведен на рис. 2.

20 18 16 14 12 10 8

\ др А'р

\

\ \

\ X

ч

0,01 0.02 0,03 0.04 0,05 0,05 0,07 0,08 0,09 А'и

Рис. 2. Вид функции (7)

Из приведенного графика следует, что если ЭВМ обеспечивает точность расчета значения А'тп равную 1 %, то точность определения нуля производной около 20 раз выше, чем точность прямого поиска максимума самой функции. При повышении точности расчетов это соотношение уве-

172

личивается. И, наконец, при А' —> 0 lim

= lim

Ар Д'и->0 Ai

В любом случае с точки зрения достижения более высокой точности определения местоположения экстремума функции ?/(р) более рациональным является способ поиска, основанный на определении нуля производной от функции.

Оценим вычислительную сложность двух методов поиска максимального значения функции и(р).

Прямой поиск экстремума корреляционного интеграла сводится к следующей последовательности операций:

вычисление значения функции м(р) для точки с координатой р=7/р;

сравнение полученного значения функции м(;/р) с текущим наи-

I % \ ^

лучшим значением м\р ), рассчитанным для точки р ;

если выполняется условие м(/7р) > г/*(р*), то замещение значений

р* и г/(р*)на 7/р и г/(7?р);

проверка критерия окончания поиска и завершение процедуры, в случае, если критерий выполняется, и повторение процедуры, если критерий не выполняется.

Поиск нулевого значения производной сводится к следующей последовательности операций:

вычисление значений функции и(р) для точек с координатами 77 р и

"р + ДР;

определение производной по зависимости н(/7 р + Др) - р);

сравнение модуля полученного значения конечной разности с величиной ошибки ;

если выполняется условие I м(7;р + Др) - и(;/р)| < Ато конец, в

противном случае продолжение процедуры поиска.

В том случае, если процедура поиска оптимального значения

(*7,*2) включает ТУ шагов, то при прямом поиске максимума функция и{р) * \

Г, У) вычисляется N раз, а при поиске нулевого значения производной функция и(р) вычисляется 27У раз, плюс находится разность значений функции в двух точках. Поэтому процедура поиска по производной, хотя и дает существенный выигрыш в точности, но имеет как минимум в два раза более высокую вычислительную сложность.

и (р) = и (-р);

/ (Р) = / (-Р)

(обе функции являются четными). Тогда в точке максимума

(9) (10)

^ - и '(р) * } (р) = 0. ар

где }(р)=Щ.

ар

(11)

Таким образом, местоположение центра симметричного точечного источника может быть найдено методом вычисления нулевого значения свертки сигнала, содержащего информацию о точечном источнике, с производной от оптимального фильтра.

Что касается метода поиска нуля, то в данном случае после вычисления корреляционного интеграла (8) может быть применен любой из быстрых методов решения нелинейных уравнение, например, метод чисел Фибоначчи, метод «золотого сечения» или метод дихотомии [2]. Последний представляет собой достаточно простую стратегию активного поиска, при которой на каждом шаге нулевое значение ищется на области допустимых решений, которая вдвое меньше предыдущей. Начальными значениями аргумента р являются границы области допустимых решений. В качестве критериев окончания выбирают, как правило, количество шагов и абсолютную величину значения корреляционного интеграла.

Пусть при согласованной фильтрации для функции /(р) выполняются условия (10), а для функции и (р) условия (9) не выполняются (функция и (р) не является четной). В этом случае функция и (р) всегда может

быть представлена в виде суммы двух составляющих: четной 0и(р) и нечетной 1и(р):

и (р) =0и(р) +1и(р). Для 0и(р) и 1и(р) справедливы следующие свойства:

°и(р)=°и (-р);

и

(12)

1г/(р)=—1г/(— р); Из (12), (13) м (14) следует, что

°"(p)_1"(p)="(_p); °м(рН1и(р) = и(р>

Таким образом,

О

,а(р)="л(-р);»Л(Р);

. (р)=!Ч(р)-»л(-Р)

Ju - - 2

Формирование выражения (12) показано на рис. 3.

1

0,75 0,5 0,25 0--0,25

/7 / / 1 \ »(р \ )

ч >) / ; / / \ \ \ \

// / \ \ \ \ \

/ / у / /(р) Ч \ ч.

(14)

(15)

(16)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 р Рис. 3. Представление г/(р) общего вида в виде суммы четной и нечетной функций

Определим свертку (8) для функции //(р) общего вида:

ЛрИМРНУР)]=[/(Р)*0«(Р)]+ |/(Р)*ЧР)]. (17)

Функция /(p)*°f/(p) представляет собой свертку нечетной и четной

функции, которая в точке р = 0 равна нулю (см. (11)). Функция /(p)*1i/(p) представляет собой свертку двух нечетных функций, которая в соответствии с принципом оптимальной фильтрации достигает в точке р = 0 отрицательного минимума, если 1г/(р) > 0 при р > 0, 1 г/(р) < 0 при р < 0. Функция /(р)*Ч/(р) достигает положительного максимума, если 1 //(р) > 0 при р < 0,

Ч/(р)<0 при р > 0. Поэтому в целом интеграл свертки /(р)*г/(р) в точке р = 0 оказывается не равным нулю.

Оценим, в какой стороне от точки, в которой интеграл свертки равен нулю, находится максимум несимметричной функции и (р). Для этого рассмотрим два следующих случая.

Случай 1: 1и(р) > 0 при р < 0, 1и(р) < 0 при р > 0.

В этом случае и(р)* /(р) = 0 при р < 0 и

аи(р) < 0. (18) Л^[и(р)* /(р) = 0.

dp

Случай 2: 1м(р)> 0 при p < 0, 1м(р)< 0 при p > 0. В этом случае и(р)* f (р) = 0 при р > 0 и

du(p)

dp

Arg[u(p)* f (р) = 0]

>0.

(19)

Таким образом, максимум интеграла свертки и (р) * f (р) лежит справа по оси р от точки Arg и (р) * f (р) = 0, если в указанной точке выполняется условие (18), и слева от указанной точки, если выполняется условие (19). Полученное свойство интеграла свертки учтено в следующем методе покоординатного поиска максимального значения свертки сигнала с оптимальным дифференцирующим фильтром.

С применением полученных результатов может быть построен метод поиска экстремума двумерной функции u(Y, Z). Метод предполагает выполнение следующих процедур (рис. 4).

1. Выбор отправной точки для покоординатного поиска, например, точки Y1 = (Ymin, Zmin).

2. Вычисление корреляционного интеграла и(Y1, Z) * f (Z) вдоль координаты Z при значении Y = Y1.

3. На интервале (Zmin < Z < Zmax) при Y = Y1 поиск нулевого значения интеграла свертки Arg и (Z) * f (Z ) = 0 методом дихотомии, присвоение значения Z1 := Arg и (Z) * f (Z ) = 0.

4. Вычисление производной

d

и

(Y1, Z1)

dZ

Y +e7

f u(Y , Z )fY (Y - Y1 )dY

Y1 -£y

(20)

Z = Z

1

где фу (У - 71) - весовая функция для координаты У; 2еу - апертура сглаживающего фильтра по координате У.

Проверка критерия окончания поиска по координате 2:

и(У1,)< А^, (21)

176

где Ddu - требуемая точность определения значения u(Y1,Z1) (см. рис. 1).

В том случае, если условие выполняется, считается, что точка Z1 для построения плоскости вдоль координаты Y найдена, переход к п. 6.

5. Присвоение Z1 := Z1 + Ар (см. рис. 1), переход к п. 4.

6. Вычисление интеграла свертки и (Y, Z1) * f (Y) вдоль координаты Y при значении Z = Z1 .

7. На интервале (Ymin < Y < Ymax) при Z = Z1 поиск нулевого значения интеграла свертки Arg u(Y) * f (Y ) = 0 методом дихотомии, присвоение значения Y2:= Arg u(Y) * f (Y ) = 0.

8. Вычисление производной

u

'(Y2, Z1 ) =

d

dY

21 +е 2

I и (У, 2 )ф2 (2 - 21 )^У , (22)

_ 21 -е 2 ] У = У2

где ф2 (2 - 21) - весовая функция для координаты 2; 2е2 - апертура сглаживающего фильтра по координате 2:

Проверка критерия окончания поиска по координате 2,

и(У2,21 )< А , (23)

где А- требуемая точность определения значения и(У2,21).

В том случае, если условие выполняется, считается, что точка 22 для построения плоскости вдоль координаты У найдена, переход к п. 10.

9. Присвоение У2 := У2 + Ар, переход к п. 8.

10. Повторение пп. 2 - 9 до достижения требуемой точности опреде-

/ * * \

ления координат У , 2 ] точечного источника.

Отметим, что в приведенном методе применена пошаговая методика поиска максимума функции и(У,2 ) после нахождения нулевого значения корреляционного интеграла. Использование при поиске максимального значения корреляционного интеграла процедуры вычисления производной обусловлено необходимостью обеспечения требуемой точности.

Вычисление собственно производных по зависимостям (20) и (22) обусловлено наличием аддитивного шума в сигнале и (У, 2). Выражения

d

dZ

Y +е7

f u(Y, Z )fY (Y - Y1 )dY Y1 -£y

d

dY

Z1 z

f u(Y,Z)f Z (Z - Z1 )dY

Z1 -e г

являются

обобщением фильтра Собеля (СоЬе1) [4] для случая непрерывного, а не дискретного сигнала и^ (У, 2) и весовой функции ф2 (2 - 21) произвольного вида. Интеграл под знаком производной выполняет функцию подавления высокочастотного шума по координате, ортогональной координате, по которой производится дифференцирование. Косвенно при этом выпол-

няется сглаживание сигнала по координате дифференцирования за счет усреднения сигнала в окрестностях точки дифференцирования. Подавление шума позволяет повысить точность оценки значения производной, а следовательно, и точность определения текущего приближения к значениям координат точечного источника на данном шаге покоординатного поиска.

Рис. 4. Покоординатный поиск экстремума

В качестве весовой (оконной) функции ф^ [I - ) может быть использовано нормированное по объему: прямоугольное окно

1 Г1при|7|<е7; 1 11 при \7\ < г^;

2гу [Опри У <бу;

282 0при 7\<гг:

треугольное окно (окно Барлетта)

ф72(г)=

7 1

— + — при - £у < Г < 0; £у е7

У 1

+ —приО<Г<£у;

£у еГ + — при - г2 < I < 0;

4

^ + — при 0 < I < г2:

косинус-окно -

Фг 1(г ) = Р

I I

ооб-при Г <е7; р

2е7 Г; Фл(7 ) = р

0 при 7 <8г;

ы^

ооб-при Щ < е2;

2е щ

0 при Щ <е щ ;

окно Ханна

Фг1 (г ) =

2

1 + ооб

ег

0 при 71 <ег;

при Г < 87;

Ф 21 (Щ ) = 2 *

' р2л 1 + 008-

8 2

0 при Щ < е щ ;

при 2 <е Щ;

окно Хемминга

Ф71(7 ) =

2

Ф Щ1(2 ) = \ *

0,54 + 0,46ООБ

0 при 7\ <8у;

(г

0,54 + 0,46ООБ 0 при Щ < е 2;

е7

при 7 <8у;

р2 8 2

при Щ <8 2

(26)

(27)

(28)

и другие.

Предложенный метод позволяет эффективно производить поиск координат точечного источника и обладает достаточно низкой вычислительной сложностью.

1

1

Список литературы

1. Купер Дж. Макгллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. М.: Мир, 1989. 378 с.

2. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В. С. Методы оптимизации. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003. 439 с.

3. Котов В.В., Ларкин Е.В., Устинов Л. А. Основы проектирования наземных комплексов. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. 210 с.

4. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2005. 1072 с.

Ларкин Евгений Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, е1агк1п@,таИ ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

179

Аршакян Александр Агабегович канд. техн. наук, доц., докторант, elarkinamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

COORDINA TEWISE SEARCH OF LOCATION OF POINT SIGNAL SOURCE

E. V. Larkin, A.A. Arshakyan

On the base of comparative analysis of two methods of maximum search of convolution integral it is shown that direct method o search has low accuracy and high performance. It is shown that to combine accuracy and performance one must to use derivative of optimal filter when allocate point signal source. Coordinatewise procedure of search of point signal source allocation is worked out.

Key words: signal, convolution, filtering, even function, odd function, maximum, coordinatewise search.

Larkin Eugene Vasilyevich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, elarkina mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Arshakyan Alexander Agabegovich, candidate of technical science, docent, postgraduate, elarkina mail. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 007: 681.518.2

ПОДГОТОВКА ШКОЛЬНИКОВ ДЛЯ ПОСТУПЛЕНИЯ В ВУЗ НА ТЕХНИЧЕСКИЕ СПЕЦИАЛЬНОСТИ

Л.А. Лучанская, О.И. Секачева

Рассматриваются возможности применения современных образовательных технологий при подготовке выпускников школ для поступления в технические вузы.

Ключевые слова: инновация, информационно-коммуникационные технологии, интегральные технологии.

Сложное экономическое положение, новые рыночные отношения поставили перед школой задачу воспитать и вооружить учащихся такими знаниями, чтобы он мог занять достойное место в обществе и приносить ему максимальную пользу. Одним из важнейших направлений решения этой проблемы является интенсификация учебного процесса, т.е. разработка и внедрение таких форм и методов обучения, которые предусматривали бы целенаправленное развитие мыслительных способностей учащихся, развитие у них интереса к учебной работе, самостоятельности и творчества. Вследствие этого возникает необходимость постоянно совершенствовать структуру учебного процесса, его методы и организационные формы, вносить элементы новизны в способы выполнения учебных задач. Внедрение в практику работы демократизации, гуманизации, интенсификации и других принципов, направленных на «раскрепощение» ученика, развитие

180