CC BY
54
2005 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА №90(8)
серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники.
Безопасность полетов
УДК 621.396
ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ РАДИОЭЛЕКТРОННОГО КОМПЛЕКСА С ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ИЗБЫТОЧНОСТЬЮ
В.В. ФИЛИППОВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузьминым А.Б.
Рассматривается методика вычисления среднего времени безотказной работы и восстановления комплекса с функциональной избыточностью для различных вариантов работоспособных состояний. На приведенном примере сравниваются различные варианты применения комплекса по коэффициенту средних удельных потерь (затрат).
Введение
Перспективные и современные радиоэлектронные комплексы (РЭК) представляют собой интегрированные сложные системы, обладающие различной избыточностью: функциональной, структурной, информационной и т.д.
При эксплуатации таких комплексов появляется возможность их применения с неисправными системами, входящих в их состав. Безусловно, это приводит к определенному снижению качества или эффективности применения. С другой стороны, появляется возможность улучшения эксплуатационных показателей: коэффициента готовности,
коэффициента технического использования и т.п. Возникновение такой ситуации, когда необходимо повысить готовность всего летательного аппарата (ЛА) при снижении эффективности применения комплекса, связано с различными обстоятельствами: резкое увеличение заявок на применение ЛА, нехватка или отсутствие необходимых запасных инструментов и принадлежностей, уменьшение численности персонала по обслуживанию и восстановлению комплекса и т. д.
В процессе технической эксплуатации ЛА, оснащенный РЭК, может находиться в различных состояниях, для каждого из которых характерны различные интенсивности переходов в другие состояния как из-за отказов самих РЭК, так и из-за изменений потребности применения ЛА, пропускной способности ремонтных подразделений и других причин. В таком случае для определения показателей готовности необходимо рассматривать задачу о многоканальной (N ЛА, оснащенных РЭК) системе массового обслуживания, для которой
одними из входных данных являются интенсивность отказа 1РЭК = 1/Т0РЭК и интенсивность
,, л /г РЭК
восстановления ЦРЭК = 1/ ТВ комплекса в целом.
В данной статье рассматриваются вопросы возможности вычисления среднего времени безотказной работы Т0 и восстановления Тв для различных вариантов функционирования РЭК при эксплуатации до отказа.
Постановка задачи
Пусть в составе РЭК имеются S систем, способных по отдельности решать одну и ту же задачу с различной эффективностью, которую принято называть условной ЖУ (/). При этом каждая невосстанавливаемая в процессе применения всего РЭК 1 -я система может находиться в одном из двух состояний: х1 - работоспособное состояние, х1 - состояние отказа. Тогда для РЭК, как сложной системы, будет характерно наличие множества Е различных состояний. Это
множество состояний может быть разделено на два подмножества: Е+ е Е - область
работоспособных состояний и Е_ е Е - состояний отказа. Если какая-либо система может
находиться в состоянии временного отказа хг, тогда появляется подмножество Е± принадлежащего как подмножеству Е+, так и подмножеству Е_, т.е. Е+ и Е_ будут пересекаться Е+ П Е_^0. Граница разделения подмножеств определяется критерием
работоспособности (отказа) исходя из различных вариантов схем соединений систем РЭК по надежности, а также эффективностью функционирования Ж() для соответствующих вариантов. Предположим также, что эксплуатация осуществляется без восстановления отдельных систем до момента отказа всего комплекса, т.е перехода его из состояния Е + в состояние Е_. Переход РЭК из состояния Е+ ® Е_ - характеризуется средним временем безотказной работы Т0РЭК, а из состояния Е_ ® Е+ - определяется средним временем восстановления ТВрэк. Следовательно, для различных критериев работоспособности (отказа)
гр РЭК гр РЭК /~
показатели Т0 и 1В также будут различными.
г\ /- ГТ1 s ГТ1 s
Задача состоит в том, чтобы при известных 1() и 1 в систем для различных критериев работоспособности, исходя из анализа функционирования систем и РЭК в целом, определить показатели Т0РЭК и ТВрэк и сравнить (на примере) различные варианты работоспособности РЭК по показателю а = 1РЭК/ЦРЭК - коэффициенту средних удельных потерь, т.е. доли времени, которую комплекс проводит на восстановлении для обеспечения одного часа работы.
Математическая модель процесса перехода РЭК из состояния в состояние
Для расчета соответствующих показателей, прежде всего, необходимо составить модель надежности РЭК на основе его функциональной (электрической) схемы. В качестве моделей при расчетах наиболее часто применяют логические схемы надежности, схемы состояний (графы переходов) с составлением дифференциальных уравнений вероятностей состояний (уравнение Колмогорова) или в виде дискретного марковского процесса.
По-видимому, наиболее полным и корректным определением технического состояния РЭК будет значение показателя эффективности функционирования РЭК [1]
№ (()=рт ((№ (), (1)
где р (<) - вектор вероятностей состояний РЭК в момент времени t;
- вектор условных показателей эффективности функционирования РЭК в различных состояниях
Вектор Р () в общем случае может быть определен из уравнения
— Р ( )= Ат Р (), (2)
—
где
= [ач
( )] i,j = 1М - матрица интенсивностей переходов;
М
агг ()=_ £ а-()£ 0 а-(°.
-=1-+1
Общее число несовместных состояний комплекса М будет определяться выражением
М =ГЫг' 5 = 1^, (3)
г=1 г=1
где 5 - число систем, входящих в комплекс;
g - количество несовместных состояний системы;
I - количество групп систем с разным количеством состояний системы.
Количество несовместных состояний системы может быть равно g = 2, 3,___________В нашем случае
gt = 2 для всех систем, т.е. модель системы с двумя состояниями: xt - работоспособным состоянием и состоянием полного отказа X.
Общее решение уравнения (2) с начальными условиями P(t0) = P0 при A(t) = A const имеет вид матричной экспоненты
P(t) = eA,'P„, (4)
где eA 1 - матричная экспоненциальная функция.
При этом предполагается, что интенсивности отказа ls и восстановления ms систем, входящих в состав комплекса, зависят только от состояния самих систем (работает - не работает), не зависят от момента времени и от того, сколько времени до этого работает или ремонтируется система. При этом время безотказной работы и время восстановления каждой системы имеют экспоненциальное распределение.
Будем считать, что если комплекс неисправен, то дополнительные отказы не могут перевезти его в исправное состояние. При данном ограничении вероятность безотказной работы комплекса p(t) в течение наработки [t0 ,Т ] будет определяться суммой вероятностей Pj (t)
нахождения системы в к работоспособных состояниях [2]:
к
P(t ) = Z Pj (t) ■ к е E+ (5)
j=1
ГТ1 f гр РЭК
Тогда средняя наработка до отказа комплекса То равна сумме средних времен
пребывания в работоспособных состояниях и может быть определена по формуле
к
гр РЭК Л. ' гр РЭК /¿тч
Т0 = Z Т0 j , (6)
j=1
где T0Pj3K - среднее время пребывания в j -м состоянии, определяемое выражением
¥
j = i P, (t )dt (7)
0
или
¥
,0™ = iz P, (t )d< (8)
0 jeE+
На практике, при анализе процесса переходов РЭК из одного состояния в другие, наряду с вектором и матрицей технического состояния, при сравнительно небольшом числе несовместных состояний комплекса удобно пользоваться размеченным (ориентированным) графом состояний. Размеченный граф состояний геометрически отображает возможные переходы комплекса из данного состояния в другие. Для более полного описания процесса переходов у стрелок графа проставляются соответствующие интенсивности переходов.
Для примера на рис. 1 представлен граф состояний комплекса, состоящего из двух независимых и невосстанавливаемых в процессе применения систем с интенсивностями отказа l1 для первой системы и l 2 для второй системы.
Состояние 1 - все две системы работоспособны; Состояние 2 - работоспособна 2-я система, отказ 1 -й; Состояние 3 - работоспособна 1 -я система, отказ 2-й; Состояние 4 - отказ всех систем
Рис. 1. Граф состояний комплекса из двух систем
На основе ориентированного графа (рис. 1) можно составить следующую систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей соответствующих состояний
^ = -(li + 12 )Pi (t ),
dt
— = -12?! (t) + 1lP(t)
dt (9)
— = -VP (t ) + 12 P^ )
dt
^ = 1i?3 (t)+12P2 (t)
dt
Для расчета среднего времени безотказной работы возможно также применение метода, с применением логических схем надежности. Обычно логические схемы представляют собой последовательно-параллельные соединения систем, для которых в общем случае среднее время безотказной работы определяется выражением
TF3K =jji-П[1 - R(' )]jdt (10)
для случая, когда отказ комплекса наступает при отказе всех S систем и
¥ S
ТоГЖ = i IWt )dt, R, (t ) = e-1', (11)
0 ,=1
в случае, если отказ комплекса наступает при отказе любой одной системы.
Применение формул (10) и (11) возможно лишь для систем с количеством несовместных состояний g = 2, т.е. для систем, которые могут находиться либо в работоспособном состоянии, либо в состоянии отказа.
Таким образом, имея модель функционирования РЭК, составленной на основе функциональной (электрической) схемы, среднее время безотказной работы РЭК возможно рассчитать с применением вышеперечисленных методов для различных ситуаций.
Среднее время восстановления
Как было определено выше, переход РЭК из E+ ® Е_ будет характеризоваться средним
временем безотказной работы Т0РЭК, которое может быть вычислено с применением формул
(8), (10), (11), т.е. считается, что в момент времени t = Т0РЭК комплекс откажет. Также очевидно, что среднее время восстановления (отказа) будет разным для различных критериев работоспособности (отказа) комплекса. Предположим, что РЭК эксплуатируется до отказа без
^ гр РЭК
восстановления отдельных неисправных систем до момента времени г = 1() , т.е. отказа всего
РЭК и перехода его из состояния Е+ ® Е_. Тогда длительность восстановления РЭК будет определяться временем, необходимым на ремонт тех систем, которые будут находиться в отказе в этом состоянии. Состояния отказа, в которые переходит РЭК из состояния Е+ в состояние Е_ назовем граничными Е_гр. При этом количество таких состояний будет либо
меньше, либо равно количеству всех возможных состояний отказа в зависимости от сформулированного критерия отказа ,гр < ,, , е Е_. Таким образом отказ РЭК к моменту
У гр РЭК
времени I = 10 является случайным следствием одного из несовместных состояний ]гр , которые входят в некоторую полную группу отказа, принадлежащей подмножеству Е_ . Тогда
гр
условная вероятность перехода РЭК в то или иное граничное состояние отказа, при
> гр РЭК г-
предположении, что отказ произошел в случайный момент времени I = Т , будет определяться по теореме гипотез (формула Байеса) выражением
р, (0 -
Ч, =-------------, при г = ТоРЭК , (12)
'гр I ,(г)
> гр іеЕ
•> ~гр
где гр () - вероятность перехода из Е+ ® Е_гр ;
I Р() - безусловная вероятность отказа РЭК.
3*Е. гР
-гр
Тогда, зная условную вероятность, по формуле полного математического ожидания
ТВРЭК = I Ч,Ж . (13)
,еЕ_гр
где ТВр'Эк - время, необходимое на восстановление работоспособности РЭК для ,гр -го состояния, т.е. перехода комплекса из состояния Е_гр ® Е+. Длительность ТВрЭ1С будет определяться суммарным временем восстановления систем, находящихся в ,'гр -м состоянии в отказе
£
трэк___х-'
1В
Тв?* = I ТвЛ (') ■ (14)
і=1
гр 8 V *“*
где 1Ві - время восстановления і - и системы;
, ч 10, если і _ я система исправна в момент V,
а()=I . ,
[1, если і _ я система неисправна в момент V,
8 - количество систем в комплексе.
Тогда формулу (13) можно представить в общем виде
Г 8
~РЭК ^ I
Таким образом с помощью формул (8), (10), (11), (15) при известных Т^ и ТВ можно
гр РЭК гр РЭК тї^т/* ти
определить в явном виде І и 1в для различных вариантов применения РЭК. На
гр РЭК гр РЭК
достаточно простом примере рассмотрим методику вычисления 1 и 1в .
Пример. На рис. 2 представлена модель функционирования РЭК для решения какой-то
определенной задачи. При этом известны интенсивности отказа 11з 12, 13, 14 и
интенсивности восстановления т1з т2, т3, т4 всех четырёх систем комплекса, способных по отдельности решить задачу.
Сформулируем возможные критерии работоспособности РЭК как сложной системы, полагая, что подмножества Е+ и Е_ не пересекаются, т.е. системы могут находится либо в
работоспособном состоянии, либо в состоянии отказа gi = 2. Будем считать, что РЭК
работоспособен, если он:
1. Может решить задачу, работая при этом в любом из возможных режимов функционирования и реализуя любой из методов каждого режима.
2. Может решить задачу, работая при этом хотя бы в одном из возможных режимов и реализуя любой из методов.
3. Может решить задачу, работая при этом в любом из возможных режимов и реализуя хотя бы один из методов для этих режимов.
4. Может решить задачу, работая при этом в одном из возможных режимов и реализуя хотя бы один из возможных методов.
Рис. 2. Модель функционирования РЭК
Каждому из приведенных критериев соответствует своё подмножество Е+ работоспособных состояний комплекса. Так как число систем невелико, решим задачу по
гр РЭК гр РЭК 1
определению У0 и 1В с помощью графа состояний и с применением логических схем соединений по надежности для сформулированных критериев.
Среднее время безотказной работы
Из анализа приведённых выше критериев работоспособности РЭК следует, что выражениям “любой из ...”, “любую из ...” можно поставить в соответствие операцию логического умножения (событие «И»), а выражениям “хотя бы одну из ...”, “хотя бы одну из ...” - операцию логического сложения (событие «ИЛИ»).
Для построения моделей функционирования РЭК по надежности воспользуемся методикой, рассмотренной в [3]. Соответствующие схемы соединений по надежности для сформулированных критериев работоспособности представлены соответственно на рис. 3, 4, 5 и 6.
Рис. 4. Модель функционирования РЭК
Рис. 5. Модель функционирования РЭК
Рис. 6. Модель функционирования РЭК
Тогда на основе соответствующих схем соединений по надежности среднее время безотказной работы РЭК для четырех критериев работоспособности будет определяться соответственно [3]:
ГогаК'= /{П Я )]*, (16)
Т
РЭК
Т
РЭК
=I
0
¥
=I
1 -
1 -П я, (‘)
І=1
1 -П Я (1)
і=3
&
1 -П[1 - я (<)]
І=1
1 -П[1 - я (<)]
І=3
Торэк = !|і -гг[1 - я, (і )]
(17)
(18) (19)
_i.it
где Я, (t )= е - вероятность безотказной работы.
Среднее время восстановления
При вычислении соответствующего показателя воспользуемся методом перебора состояний на основе ориентированного графа. Для этого отобразим все возможные состояния РЭК (рис. 7). Если все системы работоспособны, то комплекс находиться в 1-м состоянии, если отказала 1-я система, то комплекс переходит и находится во 2-ом состоянии и т.д.
Поглощающим будет 16-е состояние, когда к моменту времени t = Т0РЭК откажут все системы РЭК. Чтобы воспользоваться формулой (15) необходимо определить граничные состояния отказа ]гр для каждого критерия работоспособности на основе анализа схем надежности
(рис. 3-6). Тогда очевидно, что для первого критерия подмножеству Е_ будут принадлежать
гр
состояния ]гр ={2,3,4,5}, а работоспособным будет только 1-е состояние. Тогда, решив
систему дифференциальных уравнений для нахождения вероятностей этих состояний, определим по формуле (15) и (16) среднее время восстановления РЭК для 1-го критерия работоспособности.
Для 2-го критерия подмножеству
]гр ={7,8,9,10,12,13,14,15}.
Е
~гР
будут принадлежать состояния
о
оо
Для 3-го критерия подмножеству Е_ будут принадлежать состояния
гр
]гр ={6, 11,12, 13, 14, 15}.
В случае 4-го критерия работоспособности здесь очевидно, что время восстановления будет равно сумме всех средних времен ремонта систем, так как придется восстанавливать все системы.
Примем 1 = 1 = 1 = 14 = 0.05 1/ч , а т = т2 = т3 = т = 05 1/ ч для наглядности сравнения различных вариантов работоспособности РЭК при его эксплуатации до отказа. Полученные расчеты с применением ПЭВМ приведены в табл. 1.
Таблица 1
Показатели надежности для различных вариантов
" ■—-—Вариант Показатели ' ■—-— Варианты критерий работоспособности
1 2 3 4
^РЭК Т0 , час 5.0 14.9 18.2 41.7
^РЭК ТВ , час 2.0 5.1 5.3 8.0
а = 1 РЭК /тРЭК 0.4 0.34 0.29 0.19
Таким образом, из табл. 1 видно, что эксплуатация РЭК с функциональной избыточностью до полного отказа без восстановления отдельных систем позволит увеличить эффективность технического использования РЭК за счет меньшего простоя на восстановлении. Но, все это, безусловно, приведет к снижению эффективности Ж(V) решения задачи или сузит круг возможных решаемых задач, т.е. неизбежно возникает оптимизационная задача: при каком количестве отказавших систем считать РЭК отказавшим при ограничениях на эффективность его применения.
Рис. 7. Граф всех возможных состояний РЭК
ЛИТЕРАТУРА
1. Ярлыков М.С., Богачев А.С. Авиационные радиоэлектронные комплексы. - М.: ВАТУ,
2000.
2. Барзилович Е.Ю., Беляев Ю.К., Каштанов В.А. и др. Вопросы математической теории надежности; Под ред. Б.В. Гнеденко. - М.: Радио и связь, 1983.
3. Васильев В.Н., Милитов С.Б. Модели функционирования РЭК по надежности при различных критериях работоспособности. - М.: МГТУ ГА, 1999.
PARAMETERS OF RELIABILITY OF A RADIOELECTRONIC COMPLEX WITH FUNCTIONAL
REDUNDANCY
Filippov V.V
The technique of calculation of average time of non-failure operation and restoration of a complex with functional redundancy for various variants of efficient condition is considered. On the given example the various variants of application of a complex on factor of average specific losses (expenses) are compared.
Сведения об авторах
Филиппов Вадим Валерьевич, 1974 г.р., окончил Тамбовское высшее военное авиационно-инженерное училище (1996), адъюнкт ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор 1 научной работы, область научных интересов - эксплуатация сложных технических систем.
