Показатели эффективности функционирования узла телекоммуникационной сети Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 681.324

ПОКАЗАТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ УЗЛА ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОЙ СЕТИ

© 2013 г. Д.Е. Рудь

Рудь Дмитрий Евгеньевич - аспирант, Южный федеральный университет, Таганрогский технологический институт. E-mail: vacuum1987@mail.ru

Rud Dmitry Evgenyevich - post-graduate student, Taganrog Institute of Technology, Southern Federal University. E-mail: vacuum1987@mail.ru

Предложен интегральный показатель эффективности функционирования узла телекоммуникационной сети в виде коэффициента готовности, учитывающего как параметры трафика, так и структурные свойства системы. Интегральная модель исследуемого объекта получена посредством комплекси-рования двух подмоделей, соответственно отражающих функционирование объекта при различных ограничениях показателей надежности и производительности. Получены выражения для оценки системных показателей узла телекоммуникационной сети. Приведены рекомендации по оптимальному управлению ресурсами системы.

Ключевые слова: система массового обслуживания; пуассоновский поток событий; граф состояний системы; коэффициент готовности; абсолютная пропускная способность.

This article proposes an integral efficiency indicator of a telecommunications network functioning as an availability factor, which takes into account the traffic parameters as well as properties of the system. Integrated model of the object is obtained by interconnecting the two sub-models, reflecting the operation of the object respectively under various constraints of reliability and performance. Expressions are obtained for system performance evaluation of telecommunications network node. Recommendations for optimal management of system resources are also given.

Keywords: queuing system; Poisson flow of events; system state graph; availability ratio; absolute capacity.

Введение

В прикладных областях на процесс функционирования любой телекоммуникационной системы накладывают ограничения в виде предельных значений ее показателей эффективности, но поскольку они взаимосвязаны, то оптимальное управление одним, как правило, приводит к выходу за пределы допустимого диапазона другого. Решением данного противоречия может стать формулировка общих требований к функционированию в виде условий оптимальности единого интегрального показателя, с помощью которого можно осуществлять управление системой.

В известных работах [1 - 4] описывается изменение частных параметров, поэтому представляет интерес поиск интегральной модели, которая позволит оценить эффективность управления в зависимости от ряда параметров: интенсивности и характера информационного потока, внутренней структуры и ресурсов системы (быстродействие, число обслуживающих устройств и объем буферной памяти каждого из них), надежностных характеристик (степень инвариантности информационной системы к отказам).

Наличие нескольких потоков приводит к мысли считать ее условно состоящей из ряда подсистем, выделенных или по числу обслуживающих устройств, или по характеру потоков, или по структуре и методу диагностического сервиса, предназначенного для поддержания работоспособности системы.

Синтез модели

Рассмотрим модель узла телекоммуникационной системы (УС), отражающую влияние интенсивностей входных и выходных информационных потоков, а также потоков отказов и восстановления на функционирование системы. Для описания состояний такой модели будем использовать математический аппарат теории систем массового обслуживания (СМО). Заявки на обслуживание - это ожидающие обработки протокольные блоки (пакеты, кадры). Будем считать, что входной информационный поток является простейшим, а время обработки блока имеет экспоненциальное распределение вероятностей.

Представим исследуемый УС моделью многоканальной СМО типа М/М/т/К/М с отказами (система с экспоненциальным распределением промежутков времени между поступающими требованиями и экспоненциальным распределением времени их обслуживания), которая имеет диагностический сервис, предназначенный для поддержания ее в рабочем состоянии. Характеристикой функционирования данного сервиса будем считать интенсивность восстановления системы цв после аппаратного (или программного) отказа, описываемого интенсивностью ^отк. Для исследования данной системы предположим, что подсистема диагностического сервиса УС является абсолютно надежной, чтобы исключить влияние ошибок первого и второго рода на достоверность диагности-

ки. Специфика работы подсистемы диагностического сервиса заключается в том, что при возникновении аппаратного (или программного) отказа вся система переводится в режим тестирования для нахождения и устранения неисправности, в течение которого информационные потоки частично не обслуживаются [5]. Исследуемая система имеет контрольные точки, что позволяет предотвратить потери уже поступивших на обслуживание информационных блоков в случае аппаратного отказа.

Имеется конечное число M источников требований (виртуальных каналов, агрегированных в единый поток), причем интенсивность поступления каждого требования равна Ар. Кроме того, система содержит m обслуживающих по дисциплине FIFO приборов, каждый из которых описывается параметром цр. Наконец, в системе имеется буферная память конечного объема, такого, что общее число требований в системе (очередь плюс обслуживаемые требования) не превышает K. Предполагается, что M > K > m . Требования, поступающие в систему при занятых приборах обслуживания и полностью заполненном буфере, т.е. когда в ней уже имеется K требований, теряются (перегрузка системы).

Диаграмма интенсивностей переходов для системы M/M/m/K/M с аппаратными и программными отказами будет представлять собой конечный размеченный граф состояний (рис. 1).

стояние контролируемого УС, адекватно отображается системой дифференциальных уравнений Колмогорова:

= -( M Ь р + Ь отк ) Р00 ( t ) + Ц р Р01 ( t ) + Ц в Р10 ( t ) ; j = ( M - j + 1)Ь р Ро( j-1)( t )-

-((M - j)Ь р + Ьотк + jV-р ) p0 j (t ) +

+(j+1)Ц р Ро( j+1)(t )+Ц в Pi j (t ), 0 < j < m j = ( M - j + 1)Ь р Ро( j-1)( t )-

-((M - j)Ь р + Ьотк + тЦр ) p0 j (t ) +

+тцрР0(j+1) (t)+цв P1 j (t ), m <j < K ; dpdP- = ( M - K + 1)Ь р Р0( к-1)( t )--(Ьотк + тЦр ) Р0к (t) + ЦвР1К (t); dPXl (11> - ЬоткPоJ (t)-ЦвР1 j (t), 0 < j < К,

(1)

dt

K 1

H Pij = 1.

j=0i=о

Рис. 1. Граф состояний системы M/M/m/K/M с отказами

Вершины графа соответствуют состояниям системы: $оо - система исправна и находится в дежурном режиме; Б0у - система исправна и находится в рабочем режиме (количество информационных блоков, находящихся в системе, равно у); 810 - система неисправна и находится в дежурном режиме; - система неисправна и находится в рабочем режиме (количество информационных блоков, находящихся в системе, равно у).

Дуги оцениваются интенсивностями переходов из одного состояния в другое: - интенсивность поступления информационных блоков; цр - интенсивность их обработки; ^отк - интенсивность аппаратных (программных) отказов системы; цв - интенсивность восстановления системы.

Причем каждое состояние соответственно оценивается вероятностью пребывания УС в том или ином состоянии. Вероятностный граф, описывающий со-

Решив систему (1) в статическом режиме при / ^ го методом определителей для нескольких частных случаев с различными значениями т и К, можно проследить функциональную зависимость, на основании которой сформулировать выражения, описывающие статические вероятности состояний системы:

Pj =

Cm PJ

CM

v

отк

p00 при 0 < j < m, 0 < i < 1;

(2)

m!mj

p00 при m < j < K, 0 < i < 1,

v ^в j

А р

где p = — - коэффициент использования (загрузки) ^ р

„к M !

системы; CM =-циенты;

к !(M - к) !

- биномиальные коэффи-

в

А

P

Роо =

1 Гх

Z от

i=01 Цв

Л

Г m_1 K

Z CM р7 + Z cm р 7

V 7=0 7=m

7!

m!m7

- гДе Роо =

Р07 = i

cmр7 Роо пРи 0 < j < m; 7!

CM , . m Р 7Роо пРи m < 7 < К> m!mJ

где Роо =

m_1

Z CM Р7 + Z CMM р7

7!

j=о

!m7_m

m!m

вероят-

7=о

C

K!

= 1 _

M . K _m

m!mA m

m_1

Z CM p 7 + Z CM Р7

7!

7=0

7=m

m!m7

Теперь рассмотрим идеальную по быстродействию СМО, приняв р^ 0 [6]. Тогда выражения (2) примут вид:

Рю =

А \

отк

Роо при 0 < i < 1 ,

ZZ f Хотк

i=01 Цв ,

V У

вероятность состояния

вероятность дежурного и исправного состояния (простоя).

Полученное выражение (2) является обобщением формулы Эрланга, описывающей предельный закон распределения числа занятых каналов в зависимости от характеристик потока заявок и производительности системы обслуживания [2]: при отсутствии аппаратных отказов двумерный граф состояний (рис. 1) превращается в классическую схему «гибели и размножения», что и говорит о достоверности предложенной математической модели при оговоренных допущениях.

Рассмотрим показатели эффективности такой СМО.

Протокольный блок не будет принят системой в случае занятости всех обслуживающих приборов и переполнения буферной памяти, а также во время тестирования и восстановления системы после отказа. С учетом вышесказанного, становится очевидно, что получить выражения для интегрального коэффициента готовности системы возможно, осуществив декомпозицию исследуемой СМО на две подсистемы: идеальной в смысле надежности и идеальной по быстродействию (с отсутствием очереди на обслуживание). Эти подсистемы могут быть представлены отдельными графами и описаны системами линейных дифференциальных уравнений первого порядка (обыкновенных дифференциальных уравнений - ОДУ), решение которых в статическом режиме приведет к следующим результатам.

Рассмотрим идеальную в смысле надежности СМО, приняв Хотк ^ 0 [1]. Тогда выражения (2) примут вид:

ожидания подсистемы.

Эффективность такой подсистемы можно оценить коэффициентом готовности в следующем виде:

К Г2 = Р00 =

Z f Хотк

i=0 V Цв

Цв + Х о

Тогда интегральный коэффициент готовности исследуемой системы, описанной графом состояний на рис. 1 и уравнениями (1), может быть представлен вероятностью возникновения одновременно двух совместных событий (наличия свободных мест в системе для приема очередного протокольного блока и исправности всех обслуживающих приборов), характеризующихся коэффициентами готовности входящих в ее состав подсистем, описанных выше. С учетом вышесказанного интегральный коэффициент готовности можно записать в следующем виде:

КГ = КГ1КГ2 =

C

M '

1 _-

K! рк

■ К _m Р

m!m

Z CM Р7 + Z CM Р7

7=о

m! m

7!

!m 7 _m

Цв + Хо

(3)

При раздельной реализации указанных событий интегральный коэффициент готовности может быть определен как сумма коэффициентов готовности подсистем, умноженных на соответствующие весовые коэффициенты а. Значения этих коэффициентов являются результатом экспертных оценок, полученных по результатам эксплуатации реальной системы (УС) в определенных условиях информационной среды [7].

КГ = а1КГ1 +а 2 КГ2 при а1 +а2 = 1.

(4)

ность состояния простоя подсистемы.

Эффективность такой подсистемы оценивается коэффициентом готовности в следующем виде:

К-1

КГ1 = Е Ро ■ = 1 - Ро К =

Таким образом, приведенные выражения коэффициентов (3) и (4) являются интегральной оценкой системы, оценивающей готовность системы решить потенциальную задачу при различных условиях эксплуатации.

Абсолютную пропускную способность многоканальной СМО с информационными и аппаратными отказами можно определить как среднее количество заявок, которое система способна обслужить в единицу времени:

( т^, Л

A = Х р Кг =

CK

К!

1_

m!m

К _m

Р

m_1 К

Z CM Р7 +Z CM Р7-

1=0 1 =m

7!

! m 7 _

ХрЦв

Цв + Хо

(5)

Полученное выражение (5) показывает, что на абсолютную пропускную способность СМО оказывают

М-

в

х

в

К

Р

m

Ц

\ I в /

влияние не только параметры потока трафика и надежностные характеристики системы, но и количество задействованных обслуживающих приборов и размер буферной памяти.

Для выбора оптимального режима работы УС представляет интерес получение функциональных зависимостей абсолютной пропускной способности от характеристик системы при различных режимах работы.

В качестве примера оценки влияния количества обслуживающих приборов на абсолютную пропускную способность проведем расчет характеристик модульного коммутатора Cisco Catalyst 6506-E, на вход которого поступают информационные потоки от M источников, интенсивность каждого из которых равна Xр . Для наглядности предполагаем, что буферная

память каждого из обслуживающих приборов может вместить до 20 ожидающих обслуживания протокольных блоков. Семейство зависимостей абсолютной пропускной способности от количества подключенных модулей (обслуживающих приборов) при различных значениях коэффициента загрузки системы приведены на рис. 2.

диагностики и восстановления работоспособности УС. Если аппаратная надежность элементов является совокупностью условий производства, монтажа и обслуживания изделия, которая косвенно отражена в определенном производителем времени наработки на отказ (mean time between failures - MTBF), то интенсивность восстановления системы напрямую зависит от организации диагностического сервиса, квалификации обслуживающего персонала и степени автоматизации. То есть провайдер услуг имеет возможность сохранения на заданном уровне производительности УС, в том числе и с помощью управления надежностью системы. В качестве примера такого управления на рис. 3 показано семейство зависимостей абсолютной пропускной способности УС от интенсивности восстановления при различных значениях коэффициента загрузки системы.

Рис. 3. Семейство зависимостей абсолютной пропускной способности от интенсивности восстановления системы при: р1 = 0,5; р2 = 0,4; р3 = 0,3; р4 = 0,2; р5 = 0,1;

Цр = 5 • 107 с"1; Ха

: 10"4 с"1; m = 8 ; K = 20m ; M = K + 5

Рис. 2. Семейство зависимостей абсолютной пропускной способности от количества обслуживающих приборов при: р1 = 0,5; р2 = 0,4; р3 = 0,3; р4 = 0,2; = 5-107с_1;

^ = 10 с ; ц = 10 с ; K = 20 m; M = K + 5

При анализе графиков, изображенных на рис. 2, можно заметить, что при увеличении количества обслуживающих приборов прирост производительности

дЛ

системы стремится к нулю: lim — = 0 . Причем ко-

m^w dm

личество обслуживающих приборов, превышение которого становится экономически нецелесообразным, зависит от загрузки системы и количества источников нагрузки. Так, при р = 0,4 достаточным является m = 6, а при р = 0,2 можно ограничиться и m = 3 без снижения пропускной способности.

Согласно выражению (5), еще одним фактором, влияющим на эффективность функционирования УС, является надежность входящих в его состав элементов и количество времени, необходимое для проведения

Для решения задачи управления эффективностью функционирования УС из семейства зависимостей А = f (ц в) выбирается характеристика в соответствии

с текущим значением коэффициента загрузки системы р исходя из параметров трафика. Затем по этой характеристике определяют верхнее значение диапазона быстродействия системы диагностического сервиса (значение, при достижении которого дальнейшее повышение цв становится нерациональным) в соответствии со следующим условием [8]:

= Ц в ПРИ

DA

Ф в

0.

(6)

На рис. 3 показано, что, установив минимальное значение абсолютной пропускной способности системы при текущей загрузке, возможно получить минимальное значение интенсивности восстановления, а с учетом условия (6) - диапазон быстродействия и отказоустойчивости. Например, для исследуемого УС с

заданными выше характеристиками и условием Атп = 0,97А,р , диапазоны цв будут равны:

Р1 = 0,5; Цв1шт = 16,7 '10-3с-1; Цв1тах - 40 '10-3с-1; Р2 = 0,4; Цв2шт = 16,3 '10-3с-1; Цв2тах - 30 '10-3с-1; Рз = 0,3; Цв3шт = 16,2 -10-3с-1; Цв3тах - 25 -10-3с-1 ; Р4 = 0,2; Цв4шт = 16 '10-3с-1 ; Цв4тах - 22 '10-3с-1;

Р5 = 0,1; Цв5шт = 16 •10_3С_1

Цв5т

- 20 40_3c_.

Другой важной характеристикой СМО с отказами является среднее число протокольных блоков, находящихся в системе k . Величину k можно вычислить через вероятности состояний СМО по формуле

_ К К

к = Z 7Ро 7 + Z Р 7

7=о 7=о

(7)

как математическое ожидание дискретной случайной величины количества заявок в системе.

Среднее число информационных блоков, находящихся в очереди, состоит из числа блоков, ожидающих обслуживания, и блоков, стоящих в очереди, вызванной отказом системы, и ожидающих сервисного восстановления системы (диагностического обслуживания):

_ К К

kоч = Е (т - ■ ) Р0■ + Е (т - ■ ) Р1 ■

■=т+1 ■=т+1

Среднее время занятости одного из т каналов

t з.к. = "

К

х р +хотк

7р +

х р +х отк

-t в

(8)

(9)

1

где tр =--среднее время обработки протокольно-

Ц р

го блока; tв = — - среднее время восстановления

Ц в

системы.

А среднее время ожидания в очереди протокольного блока с учетом выражений (7) - (9) может быть

оценено выражением tож = tз.к. (k - kоч).

Выводы

Для эффективного управления функционированием узла телекоммуникационной сети использован интегральный показатель в виде коэффициента готовности к выполнению задач обработки информацион-

ного потока с учетом параметров трафика и надежности аппаратно-программного обеспечения.

В качестве интегральной модели использовано комплексирование двух моделей с учетом варьирования соответственно значениями параметров информационной загрузки и уровня надежности, оцениваемых частными коэффициентами готовности. Достоверность проведенного исследования доказывается получением известной формулы Эрланга для частной подсистемы. Интегральные показатели эффективности определены как при одновременном, так и при раздельном воздействии информационной и окружающей сред на процесс функционирования УС.

Получены выражения для оценки системных показателей УС: абсолютная пропускная способность, усредненные характеристики загрузки буферной памяти и времени ожидания обслуживания единицы информационного потока.

Приведены практические рекомендации по определению диапазонов варьирования системных параметров, а именно числом обслуживающих приборов и интенсивностью диагностического сервиса как необходимых атрибутов обеспечения робастности УС к воздействиям информационной и окружающей сред при априорно заданных ограничениях.

Литература

1. Половко А.М., Гуров С.В. Основы теории надежности. СПб., 2006. 704 с.

2. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М., 1979. 432 с.

3. Пуртов Л.П. Элементы теории передачи дискретной информации. М., 1972. 232 с.

4. Зацаринный А.А., Гаранин А.И., Ионенков Ю.С. Методический подход к обоснованию требований к надежности информационно-телекоммуникационных сетей // Системы и средства информатики. 2010. Т. 20, № 3. С. 157 -173.

5. Панфилов И.В., Половко А.М. Вычислительные системы. М., 1980. 304 с.

6. Мачулин В.В., Пятибратов А.П. Эффективность систем обработки информации. М., 1972. 280 с.

7. Денисов А.А., Колесников Д.Н. Теория больших систем управления: учеб. пособие для вузов. Л., 1982. 288 с.

8. Рудь Д.Е., Самойленко А.П. Моделирование систем управления телекоммуникационным комплексом: лабораторный практикум по дисциплине «Сетевые информационные технологии». Таганрог, 2012. 63 с.

Поступила в редакцию

22 января 2013 г.