Поиск подвижного объекта по информационному признаку «След». Ч. 2. Оптимизация поисковых траекторий Текст научной статьи по специальности «Математика»

У

правление подвижными объектами

УДК 517.977

ПОИСК ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА ПО ИНФОРМАЦИОННОМУ ПРИЗНАКУ «СЛЕД».

1

Ч. 2. Оптимизация поисковых траектироо

Т.Г. Абрамянц, Ю.А. Беланов, Е.П. Маслов, В.П. Яхно

В задаче об оптимизации поисковой траектории преследователя, осуществляющего обнаружение подвижного объекта и сближение с ним по информационному признаку «след», в явном виде найдены оптимальные траектории для различных начальных условий.

Ключевые слова: поиск подвижного объекта, поисковая ситуация, «след» объекта, оптимальная траектория поиска.

ВВЕДЕНИЕ

Постановка задачи об оптимизации программной поисковой траектории преследователя, осуществляющего обнаружение подвижного объекта (цели) и сближение с ним по информационному признаку «след», изложена в первой части статьи [1].

Задача решается при следующих предположениях:

— в начальный момент времени цель выбирает направление прямолинейной траектории, по которой движется с постоянной скоростью уе ; за целью тянется след постоянной длины Я;

— обнаружение следа поисковой системой (преследователем) происходит в момент tu пересечения следа траекторией преследователя; в случае обнаружения следа преследователь движется далее вдоль следа до момента встречи с целью.

Критерием служит максимальная длительность интервала времени до момента точечной встречи объектов.

В первой части статьи [1] была установлена общая структура оптимального управления преследователя — показано, что по траектории преследователь движется с постоянной скоростью vp, а оптимальная траектория поиска включает в себя

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Программы № 29 Президиума РАН «Математическая теория управления».

прямолинейные участки и может включать участок логарифмической спирали. Конкретный вид поисковой траектории зависит от соотношений между входными параметрами задачи, к которым относятся: начальное расстояние Б0; длина следа Я; скорости объектов уе и ур; расположение начальной ун и конечной ук границ диапазона возможных направлений движения цели А^ = [ун, ук].

В настоящей, второй, части статьи определяется конкретный вид оптимальных поисковых траекторий для произвольных сочетаний указанных величин.

Вводится неподвижная прямоугольная система координат X0У, начало которой совмещено с начальным положением преследователя Р0, а ось

0 У проходит через начальное положение цели Е0 (рис. 1); здесь и далее верхний индекс при обозначении позиций объектов указывает момент времени. Углы отсчитываются от оси 0 У; положительным считается отсчет по часовой стрелке.

В момент t = 0 цель выбирает направление движения у (угол между траекторией и осью 0У) из диапазона углов А^ = [ун, ук]. Далее символом (у)

обозначается луч, исходящий из точки Е под углом у к оси 0 У; символом Е(у) — цель, движущаяся вдоль луча (у); символом Е*(у) — положение цели, движущейся вдоль луча (у), в момент £ символом Р = Е*(у)— событие, состоящее в совпадении в момент t позиций преследователя и цели, движущейся вдоль луча (у) (точечная встреча).

Преследователь управляет направлением своего движения.

Решение задачи находится для случая, когда цель движется в полуплоскости х 1 0; 0 < у < п.

При движении по программной поисковой траектории для любого у е = [ун, ук] должны вы-

полняться следующие условия:

Ч’ /п = 1. !к(д|| < я,

(1)

(2)

где 1(1) — вектор, направленный от Р к Е в момент времени /; в1 — единичный вектор, коллинеарный

вектору г(/п), соединяющему позиции преследователя и цели в момент /п пересечения луча траекторией преследователя; — единичный вектор, коллинеарный вектору скорости цели в этот момент; <•, •> — скалярное произведение.

1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

В первой части статьи [1] было установлено, что первым участком оптимальной поисковой траектории всегда является прямолинейный отрезок. В работе [2] было показано, что при определенных соотношениях между входными параметрами (^0; Я; уе, ур; ун; ук) существует прямолинейная оптимальная поисковая траектория, обеспечивающая минимально возможное время движения преследователя до момента реализации терминально-т т

го условия Р = Е (ун). Соответствующее программное управление преследователя имеет вид:

Фн = агс8т(р8тун); р = уе/ур ,

(3)

Оптимальная прямолинейная поисковая траектория существует, если справедлива система неравенств:

Ук т п - Ун (4)

тах Д/ фн, у) = ^0со8у*(фн) < Я, (5)

п н 0 н где (ф, у) — направления движения преследователя и цели, соответственно; символом ^(/п, ф, ф) обозначено расстояние между преследователем и целью в момент пересечения траекторией преследователя луча (у);

у*(фн) = фн + У (6)

— то направление движения цели, на котором достигается максимальное расстояние между объектами в момент пересечения луча прямолинейной траекторией преследователя, отвечающей формуле (3); у = агссоБр.

Рис. 1. Оптимальная прямолинейная траектория

В терминах параметров задачи неравенство (5) переписывается в виде:

агссоБ(Я/^0) — агссоБр < агс8т(р8тун).

Решение оптимизационной задачи для указанного случая иллюстрируется рис. 1, построенном для

предельного случая ук = п — ун. Здесь Р*п и Е*п —

положения преследователя и цели в момент Я-встре-

г/п к

чи с точкой Е(у*(фн)); Ркп — положение преследователя в момент точечной встречи Р п = Е п (фк). Все

остальные обозначения на рис. 1 совпадают с приведенными в тексте. Длительность интервала времени движения на прямолинейной поисковой оптимальной траектории

Т =

В п

VР(71 - р2 8ІП 2Ун - в 008 Ун)

Пусть

max

D(tn Фн v) - D0cosv%J > R

В этом случае оптимальной прямолинейной поисковой траектории не существует. В фазовом пространстве первый прямолинейный участок поисковой траектории заканчивается выходом текущего положения цели на ограничения (1) и (2). Решение задачи об оптимизации сводится к построению траектории, которая удовлетворяла бы ограничениям (1) и (2), и длина которой наименее отличалась бы от длины прямолинейной поисковой траектории.

Структура оптимальных траекторий зависит от соотношений между углами (направлениями движения) ун, у*(фн), ук.

Возможны три случая:

• ук < п — ун, у*(фн) < ук; сектор направлений движения цели у е А^ = [ун, ук], удовлетворяющий этой системе, далее называется сектором типа 1;

• ук < п — ун, ук < у*(фн); соответствующий сектор называется сектором типа 2;

• ук > п — ун; соответствующий сектор называется сектором типа 3.

1.1. Поиск в секторе типа 1

Справедлива система неравенств

у*(фн) т ук т п - ун

При фиксированных управлениях (ф, у) момент пересечения луча (у), удовлетворяющий условию (1), определяется по формуле [1]

— Do sin v

п

vP sin (v - ф)

(7)

а расстояние, разделяющее объекты в этот момент — по формуле

D(t , ф, v) - D01 e sin V - sin Ф I п 0 sin (v - ф)

(8)

Отмечалось [1], что решаемая в настоящей статье задача представляет собой задачу геодезического преследования на плоскости с выпуклым подвижным препятствием, где в качестве препятствия выступает логарифмическая спираль — огибающая семейства расширяющихся окружностей — геометрических мест концов следов, а терминальная точка принадлежит огибающей геометрических мест позиций цели. Из результатов работ [3—5] следует, что в том случае, когда экстремаль, лежащая внутри области возможных позиций цели, включает в себя участок спирали — границы

подвижного препятствия, прямолинейные отрезки экстремали являются касательными к этой границе.

В точке касания одновременно выполняются равенства

D | Р srn v - sin Ф1 - r 0 sin (v - ф)

Ф - Y,

где ф — направление движения преследователя,

v — vfa) — направление луча, на котором происходит касание спирали траекторией преследователя. Отсюда находим:

D0cos^ + y) — D0cosv^) — R.

Так как с ростом ф величина D0cos^ + y) уменьшается, а, по предположению,

max D(xn, фн, v) = D0cosv%H) > R,

Vh < V < Vk

R .

то найдется управление ф1 > фн, для которого справедливо равенство

D0cos( ф{? + y) = D0cosv*( ф{? ) = R. (9)

В силу равенства (9) это управление имеет вид

Ф1 — arccos(R/D0) — arccos(vE/vP) (10)

и зависит только от безразмерных величин; нижний индекс указывает номер участка программной поисковой траектории.

Из равенств (6) и (9) следует важный вывод: при фиксированном управлении ф в точке касания спирали траекторией преследователя достигается максимум расстояния между объектами.

Из формулы (8) следует, что с ростом ф увеличивается угол vmW, соответствующий тому направлению движения цели, при котором реализуется точечная встреча ее с преследователем, движущимся по направлению ф. В частности, точечной встрече преследователя с целью, движущейся вдоль граничного луча (vK) диапазона А^ — [vH, vK], соответствует управление фк — arcsin(psinvK).

Возможны два случая:

R

Ф1

m

фк — траектория преследователя, соот-я

ветствующая управлению фх , пересекает след, расположенный на луче (фк);

я

фх > фк — траектория преследователя, соот-

я

ветствующая управлению фх , пересекает луч (ук) в области, где след существовать не может; в момент пересечения луча (ук) указанной траекторией <ег, в_>( = —1.

Vh < V < V

Пусть ф 1 < фк.

В этом случае первый прямолинейный участок заканчивается Я-встречей с некоторой точкой

Еп (ф), т. е. реализацией равенства Ц^, у)|| — Я = 0. Направление движения преследователя на первом прямолинейном отрезке определяется формулой (10). Далее текущее положение цели перемещается в фазовом пространстве по окружности (что соответствует движению преследователя по спирали в неподвижной системе координат) до момента схода на заключительный прямолинейный участок, касающийся спирали в точке схода и проходящий

через терминальную точку Рт = Ет(ун). Следовательно, в рассматриваемом случае поисковая траектория содержит три участка, отличающихся характером движения — первый прямолинейный участок, спиральный участок, заключительный прямолинейный участок. Первый и заключительный прямолинейные участки являются касательными к логарифмической спирали.

Длительность интервала времени движения на первом прямолинейном участке поисковой траектории, вычисленная по формуле (7) с учетом выражений (9) и (10),

T =

Р2 - R2

2 2 ' I v p - v е

(ll)

Длительности интервалов времени движения на двух других интервалах определяются формулами (17) и (19) первой части [1] статьи.

Пусть теперь ф> фк.

В этом случае направление движения преследователя на первом прямолинейном участке выбирается из условия точечной встречи Р* = Е(фк) преследователя с целью, движущейся вдоль луча (фк):

ф1 = фк

arcsin^si^A

Обозначим символом 0 момент точечной встречи Р0 = Е0(фк). Длительность первого прямолиней-

ного участка

е =

D0

vP( cos фк - р cos у к)

(l2)

В момент 0 преследователь изменяет направление движения и далее движется по направлению ф2 до момента 7п пересечения некоторого луча (ф): ф < фк. Соответствующий фрагмент поисковой траектории изображен на рис. 2. Здесь: Р0 = Е0(фк) — позиция объектов в момент излома поисковой тра-

Y E tn(v) P tn

_ V

" ^к ф2

■ ■ VE

Ф, ' PЄ = E Vk ) X

Рис. 2. Фрагмент кусочно-прямолинейной поисковой траектории

ектории; Р п, Е п (у) — позиции объектов в момент пересечения луча (у). Остальные обозначения на рис. 2 совпадают с обозначениями, приведенными в тексте.

Так как лучи (ук) и (у) исходят из одной точки

Е0, то условие пересечения произвольного луча (у) в момент ґ > 0 записывается в виде:

tgу

= |^АХ) = Уе tn sin у - УеЄ sin у к - v P ш sin ф 2

А У ^ v E tn cos у - v E е cos у к - v p ш cos ф 2

где ш — длительность интервала времени от момента 0 излома поисковой траектории до момента 7п. Отсюда находится длительность второго прямолинейного участка:

ш

ре sin ( у к - у )

sin (у - ф2)

(13)

Расстояние между точками Pп и Eп (у) в мое + ш

A(tn, у, ф2) = V(A x)2 + (А у)2 =

мент tn = е + ш

= VEе

l+

Р sin(ук - у) - sin(ук - ф2)

sin (у - ф2)

(14)

При этом

max D(tn, у, ф2) = vE0[1 + cos^K - у*)],

где единственный максимум достигается в точке у* = у*(ф2) = ф2 + у, cosy = р. (15)

о

о

Управление ф2, реализующее Я-встречу с лучом ф*(ф2), находится как корень уравнения

Ур0[1 + соб(фк - ф*)] = Я.

Третьим участком оптимальной поисковой траектории является участок логарифмической спирали, начинающийся на луче (ф*), определяемом формулой (15). Траектория на втором прямолинейном участке является касательной к спирали. Таким образом, в рассматриваемом случае оптимальная поисковая траектория содержит четыре участка — двухзвенную ломаную (первый прямолинейный участок — до момента точечной встречи Р* = Е*(фк), второй прямолинейный участок —

до момента пересечения луча (ф*(ф^))), спиральный участок и заключительный прямолинейный участок.

1.2. Поиск в секторе типа 2

Справедливы неравенства

фк т п - фн Фк т ф*(фн).

Так как, по определению, в интервале [ф: ф > фк] траектории цели отсутствуют, то при фк < ф*(фн) максимальное расстояние между объектами на прямолинейной поисковой траектории, соответствующей равенству фн = агс8т(р8Шфн), достигается в момент пересечения луча фк. Функция ^(?п, ф, фн) является убывающей функцией аргумента ф на интервале [фн, фк]. Поэтому

... та*. ^(?п, ф, фн) = А?п, фк, фн) =

= D I e sin у к - sin ф н | sin ( у к - ф н )

0

Для существования оптимальной прямолинейной поисковой траектории достаточно выполнение неравенства

D(tn, ук, фн) m R.

(16)

Длительность интервала времени движения по оптимальной прямолинейной траектории определяется по формуле (7).

Пусть неравенство (16) не выполняется. Тогда управление ф1 на первом прямолинейном участке находится из условия R-встречи преследователя с лучом (ук):

д, ф у) = D01 в sin ук - si" ф ■ I = R, (17)

(Г Фl, 4V 0 sin ( у к - фх ) , ( )

где ?1 — длительность первого участка. Решение уравнения (17) имеет вид:

si^1

smw

- Р(8 cos фк - 1) - 8^ 1 + 82 - 28 cos фк - р2 si

2 . 2 Sin фк

1 + 8 - 28 cosфк

где 8 = Я/^0. Длительность первого участка находится по формуле

?1

Do sin у к

Vp sin (ук - ф1)

(18)

В момент t1 происходит переход к следующему участку поисковой траектории.

Возможны два случая:

— существует прямолинейная траектория, про-

T T

ходящая через точки P (ук) и P = E (ун); тогда оптимальная поисковая траектория состоит из двух прямолинейных отрезков;

— не существует прямолинейной траектории,

?1 T T

проходящей через точки P (ук) и P = E (ун); тогда оптимальная поисковая траектория содержит участок логарифмической спирали.

Рассмотрим первый случай. Пусть ф2 — направление движения преследователя на втором прямолинейном участке.

Условие пересечения траекторией преследователя луча (ун) в некоторый момент T > t1 определяется по формуле

= v ETsinу н - ( vE^l - R) Sin ук - vP«sin^2 (19)

н vE Tcos ук - (vEt1 - R) cos у к - vPЮ cos ф2 ’

где символом ю обозначена длительность второго прямолинейного участка. Из формулы (19) находим:

_ ( ve4 - R) sin (ук - ун )

ю =

(20)

vp sin (ун - ф2 )

Направление движения преследователя ф2, реа-

TT

лизующее точечную встречу P = E (ун), находится из уравнения

+ (vE^1 R)

D(T ф^ ун) = vEt1 +

Рsin(ук - ун) - sin(ук - ф2)

sin(ун - ф2)

= 0,

где ?1 определяется формулой (18). Если на интервале [фн, фк] справедливо неравенство

max D(tп, ф2, у) m R,

(21)

н

н

то кусочно-прямолинейная траектория, второй участок которой соответствует управлению ф2, является оптимальной поисковой траекторией.

Полное время движения по оптимальной двухзвенной поисковой траектории Т = /^ + ш, где слагаемые определяются формулами (18) и (20).

Пусть неравенство (21) несправедливо. Так как в момент /1 реализуется Я-встреча преследователя с лучом (фк), т. е. текущее положение цели уже находится на границе допустимого множества, то вторым участком оптимальной поисковой траектории является спиральный участок, начинающийся на луче (фк); третьим участком — прямолинейный отрезок, касающийся спирали и проходя-тт

щий через точку Р = Е (фн).

1.3. Поиск в секторе типа 3

Справедливо неравенство

фк > п - фн-

Этот случай анализируется с помощью ряда формул, полученных ранее в п. 1.2.

Прямолинейной поисковой траектории не существует. Направление движения преследователя на первом прямолинейном участке выбирается из

условия точечной встречи Р* = Е*(фк) преследователя с целью, движущейся вдоль луча (фк):

ф1 = фк = агс8т(р8Шфк)

Обозначим символом 0 момент точечной встре-

00

чи Р = Е (фк). Длительность первого прямолинейного участка определяется формулой (12).

В момент 0 преследователь изменяет направление движения и далее движется по направлению ф2 до момента /п пересечения траекторией преследователя некоторого луча (ф): ф < фк.

В зависимости от соотношений между параметрами задачи возможны два случая:

— на управлении ф2 реализуется точечная встреча Рт = Ет(фн);

— на управлении ф2 реализуется Я-встреча с лучом ф*(ф2).

Обозначим символом ф2 = ф0 управление, реализующее точечную встречу с лучом (фн). Длительность второго прямолинейного участка определяется по формуле (13), а расстояние между

точками Рп и Еп (ф) в момент /п = 0 + ш — по формуле (14).

Управление ф0 удовлетворяет равенству D(tn, ун, ф2) = 0. Отсюда получается уравнение для нахож-

0

дения ф 2:

cos (^H+^S _ ф 0) = pcos (^lH^S) . (22)

Управление ф 2 реализует прямолинейную поисковую траекторию, проходящую через точки

P9 = Е9 (фк) и PT = Ет(Ун).

Рис. 3. Оптимальные траектории поиска в секторе типа 1:

а — прямолинейная поисковая траектория, 5 = 0,36, уН = 30°, уК = 150°; б — трехзвенная поисковая траектория, 5 = 0,14, уН = 20°, уК = 120°; в — четырехзвенная поисковая траектория, 5 = 0,14, уН = 20°, уК = 150°

Обозначим символом ф2 = ф ^ управление, на котором реализуется Я-встреча с лучом ф*(ф2). Направление этого луча определяется уравнением

тах(/п, ф, ф2) = vE0[1 + со8(фк - ф*)] = Я.

Рис. 4. Оптимальные траектории поиска в секторе типа 2:

а — прямолинейная поисковая траектория, 5 = 0,34, уН = 20°, уК = 50°; б — двухзвенная поисковая траектория, 5 = 0,14, уН = 20°, уК = 50°; в — трехзвенная поисковая траектория, 5 = 0,1, уН = 5°, уК = 50°

Рис. 5. Оптимальные траектории поиска в секторе типа 3:

а — двухзвенная поисковая траектория, 5 = 0,3, уН = 45°, уК =150°; б — четырехзвенная поисковая траектория, 5 = 0,08, УН = 45°, уК = 150°

Если фЯ < ф0, то оптимальной поисковой траекторией является двухзвенная кусочно-прямолинейная ломаная РоР0Рт.

Время движения по оптимальной двухзвенной траектории вычисляется по формуле

Т = 0 + ш = 0

1 + в

8 Щ ( ф к - ф н ) вШ(фн - ф2)-

где длительность 0 определяется формулой (12), а угол ф 2 — уравнением (22).

т- 0 . Я

Если ф 2 < ф2 , то оптимальная поисковая траектория состоит из четырех участков, включая спиральный участок. Анализ этого случая аналогичен изложенному в п. 1.2.

Результаты проведенного анализа иллюстрируются рис. 3—5. На этих рисунках изображены типовые оптимальные поисковые траектории, соответствующие различным соотношениям между параметрами задачи. Траектории на рис. 3 соответствуют поиску в секторе типа 1; траектории на рис. 4 — поиску в секторе типа 2; траектории на рис. 5 — поиску в секторе типа 3.

На каждом из рисунков изображены начальное

и конечное положения объектов Р0 и Е0 и оптимальные поисковые траектории. Дуги окружностей есть геометрические места положений цели (на всех рисунках обозначены буквой «ц» и изображены полужирными линиями) и конца следа (обозначены буквой «с» и изображены тонкими

линиями); номера при обозначениях соответствуют номеру участка поисковой траектории. Точками обозначены позиции преследователя в момент перехода от одного участка поисковой траектории к другому. Все рисунки построены для случая в = уе/ур = 0,5. Значения остальных безразмерных параметров 8 = Я/^0, ун и ук указаны на рисунках.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей статье (части 1 и 2) даны постановка и решение задачи об оптимизации программной поисковой траектории преследователя, осуществляющего обнаружение подвижного объекта и сближение с ним по информационному признаку «след». Установлена общая структура оптимальной поисковой траектории. Показано, что оптимальная поисковая траектория состоит из одного или нескольких прямолинейных участков и не более, чем одного спирального участка. При этом спиральный участок может отсутствовать, а в том случае, когда спиральный участок есть, он находится между прямолинейными участками траектории. В зависимости от соотношений между параметрами задачи возможны восемь сценариев развития поисковых ситуаций, реализующихся на четырех типах оптимальных поисковых траекторий, содержащих один, два, три и четыре участка.

Авторы выражают признательность рецензенту за сделанные замечания, учет которых позволил существенно улучшить изложение материала статьи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Поиск подвижного объекта по информационному признаку «след». Ч. 1. Общая структура оптимальной поисковой траектории / Т.Г. Абрамянц, Ю.А. Беланов, Е.П. Маслов,

B.П. Яхно // Проблемы управления. — 2009. — № 5. —

C. 61—68.

2. Кинематическая задача поиска подвижного объекта по информационному признаку «след» / Т.Г. Абрамянц, Ю.А. Беланов, Е.П. Маслов, В.П. Яхно // Подводное морское оружие. — 2008. — Вып. 12. — С. 95—102.

3. Вишневецкий Л. С., Меликян А.А. Оптимальное преследование на плоскости при наличии препятствия // Прикладная математика и механика. — 1982. — Т. 46. — Вып. 4. — С. 613—620.

4. Glizer Y. Y. Optimal Planar Interception with Fixed End Conditions: Closed-Form Solution // Journal of Optimization Theory and Applications. — 1996. — Vol. 88, N 3. — P. 503—539.

5. Hybrid Geodesics as Optimal Solutions to the Collision-Free Motion Planning Problem / J. Hu, М. Prandini, R. Johansson, S. Sastry // Lecture Notes in Computer Science. — Berlin: Springer, 2001. — Vol. 234. — P. 305—318.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Б.В. Павловым.

Абрамянц Тамара Гургеновна — канд. техн. наук,

ст. науч. сотрудник, ®(495) 334-91-81, И abramnc@ipu.ru,

Беланов Юрий Арсеньевич — д-р техн. наук, пенсионер, работал в ЦНИИ автоматики и гидравлики, г. Москва,

Маслов Евгений Петрович — д-р техн. наук,

зав. лабораторией, ®(495) 334-91-81, И maslovep@ipu.ru,

Яхно Виктор Павлович — канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, ®(495) 334-88-91,

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва.

Содержание сборника "Управление большими системами",

вып. 26, http://pu.mtas.ru

•/ Болотова Л.С., Мороз Ю.В. Игровые подходы к обучению инженера по знаниям

•/ Гусев В.Б., Павельев В.В., Павельев С.В. Выбор оптимального механизма саморегулирования системы защиты центра обработки данных от аварий и катастроф

^ Тукубаев З.Б. Моделирование и исследование алгоритмов динамического управления потоками и очередями сообщений в компьютерных сетях

•/ Гонтарев А.В., Чхартишвили А.Г. О явных и скрытых коалициях в рефлексивных играх

•/ Горбанева О.И., Угольницкий Г.А. Модели распределения ресурсов в иерархических системах управления качеством речной воды

•/ Золотова Т.В. Вопросы согласования интересов в региональной иерархической модели сохранения природных ресурсов

•/ Генкин А.Л. Комплект алгоритмических и программных модулей для системы управления энергосберегающей технологией при горячей прокатке полос

•/ Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Адаптивное управление летательным аппаратом с идентификацией на скользящих режимах

•/ Корепанов В.О. Имитационные модели тактического поведения агентов

•/ Крайванова В.А. Модель естественно-языкового интерфейса для систем управления сложными техническими объектами и оценка эффективности алгоритмов на ее основе