УДК 621.3
ПОИСК ОБЛАСТИ ЗАПРЕТА ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ МАРШРУТА В УСЛОВИЯХ ГОРИСТОГО БЕЗДОРОЖЬЯ
Ю.А. Абрамов, профессор, д.т.н., гл. научн. сотр., А. А. Тарасенко, докторант, к.т.н., Университет гражданской защиты Украины
Аннотация. Получена модель области запрета при движении автосредства в условиях гористого бездорожья по критерию устойчивости автосредства на поверхности рельефа. Модель может найти применение при создании навигационной системы.
Ключевые слова: маршрут движения, гористое бездорожье, области запрета.
Введение
Развитие навигационных систем (НС) и решение задачи отыскания оптимального маршрута по сети дорог требует логического продолжения в виде аналогичного решения задачи автоматизированного отыскания оптимального (в смысле некоторого критерия или множества критериев) маршрута движения автосредства (АС) в условиях гористого бездорожья.
Решение данного класса задач сопряжено с рядом ограничений, часть из которых может быть формализирована в виде пространственных областей запрета, являющихся непроходимыми для данного вида транспортного средства. В случае холмистого либо горного рельефа одним из видов пространственных областей запрета являются области с крутизной склона, превышающей некоторый уровень, допустимый для данного транспортного средства с точки зрения его устойчивости на склоне. Соответственно, решение задачи о нахождении оптимального маршрута должно учитывать данный вид ограничений.
Анализ публикаций
Традиционное описание поверхности рельефа использует триангуляционный алгоритм [1], предполагающий постоянные значений крутизны на элементарных триангуляцион-
ных полигонах, что исключает возможность аналитического нахождения границы области запрета.
Цель и постановка задачи
Целью работы является получение границ области запрета при движении транспортного средства в условиях гористого бездорожья, когда поверхность рельефа задается аналитической функцией.
Введем декартову систему координат ХОУ и на ориентированной вдоль осей прямоугольной ограниченной области О с гранями
*шт О = ^
хеО
хтах О = Эйр X ;
хеО
Утт О = У ; Утах О= §иР У зададим по-
уеО уеО
верхность рельефа 2 (х; у) в виде [2]
2(х,У) = Е Е 25,(х,У) х((х - х,) - П(х - -О)
5=0 ,=0
х((У - У,) -П( У - Ум)), (1)
где п(х), п(У) - функции Хэвисайда; 5, Т -количество узлов интерполяции по абсциссе и ординате; х:!, у, - значения абсциссы и ординаты векторизированных линий уровня в узлах регулярной ортогональной решетки (5 = 0...5; , = 0...Т ); 25,(х,у) - бикубические сплайны
4 4
z,i (х у) = EE ■ai (х - х )v-1 (y - yt)“
(2)
коэффициенты которых а^у получены из условий гладкой сшивки 2, (х, у) с использованием метода Кунса.
Множество точек области О, через которые не может пролегать маршрут движения по критерию устойчивости АС (превышения крутизной рельефа допустимого для данного АС уровня), образуют область запрета © (© с О). Допустимая область 5с О является дополнением © , т.е. Еи© = О. Области © и 5 могут быть односвязными, многосвязными или вообще несвязными. В последнем случае области распадаются на множества подобластей ©, и 5,, таких что
лярно ему - ниже. Два данных значения величины склона обозначим как а^ и ак1 . В
силу того, что акц < ак1, можно говорить о
запретах строгом (а>ак 1), когда любое положение АС приводит к его опрокидыванию, и нестрогом (а^ <а <ак1), когда возможна ориентация АС вдоль склона, но невозможна параллельно ему. Поэтому можно отдельно рассматривать отыскание областей строгого и нестрогого запретов.
Аналитичность функции 2 (х; у) позволяет найти крутизну поверхности склона а(х; у; ф) (рад) в любой его точке (х; у) и в
любом азимутальном направлении фе[0;2п] (ф откладывается от положительного направления оси ОХ)
и ©, =© и и 5; = 5 .
,=1 з=1
Очевидно, что возможность прокладки маршрута ЬЛБ из произвольной точки А в точку В внутри области 5 так, что ЬЛБ <х ©, существует лишь в случае связности области 5. Определение границ области 5 зависит от формы рельефа 2 (х; у) и параметров АС.
При построении модели границы области запрета введем допущение: будем рассматривать задачу в детерминированной постановке, т.е. случайные некартографируемые микронеоднородности рельефа не принимаются во внимание.
Необходимо в данных допущениях получить описание границы области запрета.
Поиск области запрета
Введем критическое значение ак для величины уклона местности 2(х;у), подразумевая под ним такое значение склона, которое не приводит к опрокидыванию АС. Очевидно, что для различных видов АС данная величина будет принимать различные значения, определяемые местоположением центра тяжести по отношению к конфигурации его колесной базы. Устойчивость АС (в силу его формы) определяется также его ориентацией относительно градиента склона - при ориентации вдоль склона она выше, перпендику-
а( х; у; ф) =
(
= arctan
dZ (х; у) дх
cos ф +
dZ (х; у)
ду
sin ф; 1
. (3)
В случае, когда траектория маршрута заранее намечена, можно, пользуясь (3), определить крутизну склона в касательном направлении к траектории и перпендикулярно ей.
Очевидно, что в точке (х; у) в направлении у градиента 2(х; у) крутизна а(х; у; у) будет принимать максимальное значение а(х;у; у) = атах (х; у). Данное направление можно найти как
у (х; у) = arctan
dZ (х; у); dZ (х; у) ду ’ дх
Л
(4)
Подставляя (4) в качестве ф в (3), найдем данную максимальную крутизну
аmax (х; у ) =
= arctan
'0Z(х; у) У ¡(dZ(х; у) ^2 ^
дх
ду
(5)
Границу допустимой области 5 найдем, приравнивая
amax(х;у) =ак ,
что эквивалентно разрешению уравнения
д2 (х; у) У +Г д2 (х; у) дх ) [ ду
(7)
относительно у = у(х). Поскольку такое решение для функции (2) не может быть получено аналитически (уравнение (7) - уравнение шестого порядка), то возможно численное его решение с последующей интерполяцией полученных данных.
Существует и другая техническая возможность получения границ областей запрета - в виде векторных графических объектов - массивов Л, вершин полилиний, допускающих как линейную, так и гладкую кубическую интерполяцию. Границы областей 5 ■ в таком виде могут быть получены как результат сечения поверхности атах(х; у) плоскостями, задаваемыми значениями аппликат, равными ак =ак(' = 1...1) в каком-либо графическом редакторе
[[х 11; у 11],...,[х 1ЛТ1; у 1ЛГ! ]] [[х 21;у 21],...,[х 2Л2 ;у 2Л2 ]]
А =
, (8)
[[х/-11; У J-\\],...,\-X J-lNJ-l; У ,/-1Л/-1]] [[ х /1; у /1],...,[ х /Л/ ; у /Л/ ]]
где [ х']п; у' ]п ], (п = 1...Л;, у = 1../) - координата п -ой точки у -ой полилинии при 7-ом значении аы; / - количество полилиний (областей 5 ■); N ■ - количество точек в у -ой полилинии.
Рис. 1. Поверхность рельефа 2 (х; у)
В качестве иллюстрации предложенной модели рассмотрим нахождение границ областей запрета для реального рельефа. На рис. 1 представлен график поверхности рельефа, полученной в виде (1) - (2).
Задавая различный уровень значений ак , получены границы области запрета для движения различных видов АС в виде сечений поверхности атах(х; у).
Рис. 2. Области запрета для данного рельефа: □ - область строгого запрета; □ - область нестрогого запрета; □ - область безопасного проезда
Из анализа сечений (рис. 2) видно, что имеется несколько возможных проходов по нестрогой области запрета.
Выводы
Задавая уровень ак (что равнозначно выбору того или иного транспортного средства) для данного вида рельефа 2(х;у), можно получать различные варианты области запрета для движения автосредства в условиях гористого бездорожья и в дальнейшем решать вариационную задачу прокладки оптимального маршрута с учетом прочих видов ограничений.
Литература
1. Костюк Ю.Л., Фукс А.Л. Представление
рельефа земной поверхности в геоин-формационных системах // Геоинформатика-2000: Труды МНПК. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2000. - С. 110 - 118.
2. Абрамов Ю.А., Тарасенко А.А. Формиро-
вание априорной информации для системы ликвидации последствий чрезвычайной ситуации // Проблеми надзви-чайних ситуацш: Зб. наук. пр. УЦЗ Украши. - Харюв: УЦЗУ, 2007. - Вип. 6. - С. 11 - 22.
Рецензент: О.П. Алексеев, профессор, д.т.н., ХНАДУ.
Статья поступила в редакцию 23 декабря 2008 г.