CC BY
33
Теорема 3. Пусть бесконечное множество точек S Ç Rk, k ^ 2, лежащих в общем положении, обладает следующим свойством: существует непрерывная замкнутая плоская кривая, содержащая S и ограничивающая выпуклое плоское множество. Тогда сужение любого протокола распределения укрытий между n ^ 2 участниками на множество S не может быть ограниченным. Кроме того, если множество S более чем счётно, то сужение любого протокола распределения укрытий между n ^ 2 участниками на множество S не может быть ограниченным по сообщениям.
В рамках исследования криптографического аспекта задачи RinS будем считать, что входные данные (координаты роботов и укрытий) берутся из некоторого конечного множества точек в пространстве Rk, k ^ 2, все координаты которых — числа, заданные конечным числом разрядов в какой-либо (фиксированной) позиционной системе счисления. Заметим, что в этом случае смысл протокола распределения укрытий состоит в вычислении некоторой функции координат роботов и укрытий, значением которой является искомое распределение. В силу теоремы о конфиденциальных вычислениях (Oblivious Transfersecure multi-party computation) [5, 6] существует способ вычисления этой функции, при котором участники не получат никаких дополнительных сведений о входных данных друг друга.
Теорема 4. Пусть S С Rk — произвольное конечное множество точек, все координаты которых — числа с фиксированным числом разрядов в некоторой фиксированной позиционной системе счисления. Тогда
1) существует сужение на множество S основанного на простом щелчке протокола распределения укрытий, в котором агенты не сообщают друг другу свои координаты;
2) существует сужение на множество S основанного на щелчке со сравнениями протокола распределения укрытий, в котором агенты не сообщают друг другу свои расстояния до укрытий.
ЛИТЕРАТУРА
1. Таненбаум Э., ван Стеен М. Распределённые системы. Принципы и парадигмы. СПб.: Питер, 2003.
2. Тель Ж. Введение в распределённые алгоритмы. М.: МЦНМО, 2009.
3. Wooldridge M. An Introduction to Multiagent Systems. John Willey & Sons Ltd, 2002.
4. Бодин Е. В., Гаранина Н. О., Шилов Н. В. Задача о роботах на Марсе (мультиагентный подход к задаче Дейкстры) // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18. №2. С. 113-128.
5. Шнайер Б. Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Си. М.: Триумф, 2002.
6. Goldreich O. Foundations of Cryptography — A Primer // Foundations and Trends in Theoretical Computer Science. 2005. V. 1. No. 1. P. 1-116.
УДК 004.056.53
ПОИСК МОСТОВ В МОДЕЛИ БЕЗОПАСНОСТИ TAKE-GRANT
Д. М. Бречка
В настоящее время для разработки и исследования защищённых компьютерных систем широко используются дискреционные модели безопасности. Такие модели основаны на субъектно-объектном подходе, согласно которому система представляется
в виде активных сущностей (субъектов) и пассивных сущностей (объектов), при этом множество субъектов является подмножеством множества объектов (S С O). Дискреционные модели безопасности в явном виде задают разрешённые (запрещённые) правоотношения для каждой пары субъект — объект компьютерной системы.
Разновидностью дискреционных моделей безопасности является модель TakeGrant [1-3]. В этой модели система правоотношений содержит два особых права: take (t) — брать права на объект (субъект) у другого объекта (субъекта) и graut (g) — давать права на объект (субъект) другому объекту (субъекту). Сама компьютерная система представляется в виде ориентированного графа (графа доступов), в котором вершинами являются субъекты и объекты, а дугами — права доступов, установленные между соответствующими субъектами и объектами. Анализ информационной безопасности в модели Take-Grant проводится путем исследования графа доступов и поиска в нем определенных структур. Примеры таких структур — острова и мосты.
Определение 1. Островом в графе доступов называется подграф, состоящий из вершин-субъектов, причём эти вершины соединены между собой дугами, содержащими права take либо graut (направление дуг не учитывается).
Определение 2. Мостом в графе доступов называется проходящий по вершинам-объектам путь, каждая дуга которого содержит право take или graut, при этом словарная запись пути имеет вид t *, t *, t *~g' t * либо t *^g t *.
Согласно [1], отыскание данных структур в графе доступов необходимо для анализа информационной безопасности, однако в классической модели Take-Grant методы поиска не описаны. Ниже приводится алгоритм поиска мостов, если острова в графе уже найдены.
Пусть в графе доступов G = (V,E) (где V = O — множество вершин, E — множество дуг) уже известны острова и необходимо найти мост между островами І\ С S и І2 С S. Будем искать мост между вершинами s Є 1\ и f Є І2. Опишем алгоритм поиска моста, основанный на поиске в глубину [4].
Введем шесть цветов для раскраски вершин: красный, зеленый, спнпи, белый, серый и чёрный. Пусть в начале работы алгоритма все вершины графа G окрашены в белый цвет. Окраску вершины будем обозначать c(x).
В ходе работы алгоритма требуется временно запоминать некоторые посещённые вершины. Для этих целей удобнее всего использовать память, организованную как стек: первым пришёл — последним вышел.
Утверждение 1. Алгоритм 1 корректно распознает наличие моста в графе доступов и заканчивает свою работу за конечное число шагов, независимо от того, существует мост в графе или нет.
Доказательство. Покажем, что алгоритм закончит свою работу, если в графе не существует моста. Число вершин и дуг в графе не меняется в ходе работы алгоритма. Алгоритм просматривает каждую вершину не более одного раза, это гарантируется проверкой условия на шагах 5, 6 и 7 (просматриваются только белые вершины). Если на некотором шаге рекурсии алгоритм не обнаружит для текущей вершины смежной с ней вершины и, которую еще можно посетить (шаг 8), то алгоритм окрашивает текущую вершину в чёрный и возвращается к предыдущему шагу рекурсии. Таким образом, если в графе не существует моста, то за некоторое число шагов вершина s будет окрашена в чёрный цвет и алгоритм остановит свою работу. При этом будет просмотрено не более | O | вершин.
Алгоритм 1. Поиск моста
1: Сделать текущей вершину в.
2: Окрасить текущую вершину в серый.
3: Если вершина f не белая, то
завершить алгоритм — мост существует.
4: Для всех вершин и, смежных с текущей, выполнить:
5: Если с(и) = белый и текущая вершина серая или красная, и существует дуга і
от текущей вершины до и, то
окрасить и в красный и перейти на шаг 11.
6: Если с(и) = белый и текущая вершина серіал или красная, и существует дуга *—
или дуга ~д от текущей вершины до и, то окрасить и в зелёный и перейти на шаг 11.
7: Если с(и) = белый и текущая вершина серая или зелёная, или синяя, и суще-
ствует дуга і от текущей вершины до и, то окрасить и в синий и перейти на шаг 11.
8: В остальных случаях окрасить текущую вершину в чёрный.
9: Если с(в) = чёрный, то
завершить алгоритм — моста не существует,
10: иначе
сделать текущей первую вершину из стека, перейти на шаг 3.
11: Положить текущую вершину в стек, сделать текущей вершину и, перейти на
шаг 3.
Предположим теперь, что в графе существует мост типа t *. Такой мост будет распознан путём последовательного выполнения шага 5. Все вершины, входящие в этот мост, будут окрашены в красный цвет.
Аналогично, если в графе существует мост типа t *, то он распознаётся путём последовательного выполнения шага 7, и все вершины, входящие в этот мост, будут окрашены в синий цвет. Мосты t *~д t * и t *^д~ t * распознаются путем последовательного выполнения шагов 5, 6 и 7. ■
Разработка алгоритма поиска мостов является важным вкладом в развитие классической модели Take-Grant. Представленный алгоритм позволяет решать задачу поиска моста между известными островами графа доступов за полиномиальное время и может быть применен для автоматического анализа безопасности компьютерных систем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Lipton R. J. and Richard J. A Linear Time Algorithm for Deciding Subject Security // J. ACM. 1977. No. 3. P. 455-464.
2. Девянин П. Н. Модели безопасности компьютерных систем: учеб. пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Академия, 2005. 144 с.
3. Гайдамакин Н. А. Разграничения доступа к информации в компьютерных системах. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2003. 328 с.
4. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦНМО, 2000. 960 с.
