Научная статья на тему 'Погружение слабокилеватого симметричного профиля в жидкость'

Погружение слабокилеватого симметричного профиля в жидкость Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
85
31
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Ученые записки ЦАГИ
ВАК
Область наук

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Лотов А. Б., Соколянский В. П.

Рассмотрена двухмерная задача погружения слабокилеватого профиля для моментов времени после пересечения скулой профиля поверхности жидкости (погружение со смоченной скулой). Полученные зависимости координаты основания брызговой струи, сопротивления и формы свободной поверхности от глубины погружения профиля сравниваются с экспериментальными результатами.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Погружение слабокилеватого симметричного профиля в жидкость»

Том V

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

197 4

№ 6

УДК 532.5

ПОГРУЖЕНИЕ СЛАБОКИЛЕВАТОГО СИММЕТРИЧНОГО ПРОФИЛЯ В ЖИДКОСТЬ

А. Б. Лотов, В. П. Соколянский

Рассмотрена двухмерная задача погружения слабокилеватого профиля для моментов времени после пересечения скулой профиля поверхности жидкости (погружение со смоченной скулой). Полученные зависимости координаты основания брызговой струи, сопротивления и формы свободной поверхности от глубины погружения профиля сравниваются с экспериментальными результатами.

Постановка задачи. Рассмотрим плоскую задачу о вертикальном погружении с постоянной скоростью V симметричного слабокилеватого профиля шириной 2Ь в жидкость (фиг. 1). Первая фаза погружения профиля характеризуется тем, что смоченная ширина днища профиля 2с<С_2Ь, вторая фаза, рассматриваемая в данной работе, протекает при смачивании скул, когда расстояние между основаниями струй 2с >26.

Помимо обычных допущений об идеальности, несжимаемости, ^

невесомости жидкости и отсутст- —-вии завихренности, примем ряд специфических предположений:

— углы килеватости и изгибы профиля малы, глубины погружения невелики;

— между скулой и основанием брызговой струи горизонтальные скорости частиц на поверхности постоянны и равны удвоенной горизонтальной скорости основания брызговой струи;

— вне основания струй потенциал на поверхности остается нулевым, а горизонтальные скорости отсутствуют.

Два последних предположения являются точными при предельном переходе /-»0 (время отсчитываем от начала второй фазы

Фиг. 1

погружения профиля) и подтверждаются экспериментальными данными при малых t.

Исследуем поля скоростей и давлений при малых глубинах ■погружения профиля. Математическая задача в линейной постановке заключается в определении гармонической функции потенциала скоростей у) в нижней полуплоскости, удовлетворяющей следующим граничным условиям, снесенным в силу первого предположения на ось Ох:

1 )\х\<Ь, %(х,0) =

dc

It

V,

2)Ь<\х\<с, ) = и-.

3) | х | > с, f(x,0)= 0.

Определение поля скоростей. Пусть №(г) = <р(х,у)-\-Щ(х,у) — комплексный потенциал скоростей абсолютного движения жидкости, рассматриваемого в неподвижной системе координат, связанной с невозмущенной поверхностью. Согласно третьему граничному условию и принципу симметрии Шварца функцию №{г) можно

аналитически продолжить в верхнюю полуплоскость, причем выполняются условия:

?(■*.— У) = -?(■*, У),

ду

ду

дх (Х>

-у)

(X, У), Ъх(х,уу

ду df

Фиг. 2

Рассмотрим функцию /(z) — ш(z)g(z), где «о {г)=й^\йг = и — 1<о — комплексно-сопряженная скорость, а g(z) = ^/rz2 — Ь2, причем знак перед корнем выбирается из условия положительности ^ (г) при г = х, х> Ь. Функция УР(г) аналитическая вне отрезка [—с, с] и

Нт^=0. Поэтому потенциал можно представить в виде ряда

г-юо аг

W(z)

ai I а2 I аз.., г "г" ¿2 ' г3 "г" ' • "

Функция /(г) —аналитическая вне отрезка [—с,с\, поэтому она представлена с помощью интеграла Коши

/(г):

2 ад

dZ

где y — замкнут ый малый контур, описанный вокруг точки С = z (фиг. 2).

Переходя к показанным на фиг. 2 новым контурам интегрирования С и С« и учитывая, что = 0, получаем:

f(z) =

2 ш

Л

il Z — z

Стягивая контур С к отрезку [—с, с], имеем ,, , '1 Г [/-(С)-/+(«],„

где /_ и /+ соответственно обозначают значения функции / на нижнем и верхнем берегах отрезка [—с,с].

Значения скоростей и функции g(z) вдоль оси Ох при подходе сверху и снизу приведены ниже:

и+ + О

и+ = и

= — V

и+

= — и

и+ =0

« = 0

и = - и

У'г 2

и_ — и g = У г2 - Ы

X

и =0

Заменим интегрирование по отрезку [—с, с] интегрированием по отрезкам [—с, —Ь], [—Ь, Ь\, [Ь, с]. Разности /_—/+ для этих отрезков равны

[Ь,с]: /--/+ = 2 [~Ь,Ь]: /_-/+ = 2

[—с, -Ь]: /_—/+ = 2 и Ух2 - ¿>2.

В силу (1) при стремлении точки М (2) снизу к отрезку [—Ь, Ь] получаем

.ЛГГТ,-. ч IV ~с" У& — Ы ,г IV Г 1/62—^2

2тм

Г

Л-о ,

/б» —Е»

С — х

где обозначает бесконечно малый полуконтур, охватывающий ■сверху особую точку \ = х.

После интегрирования и разделения действительной и мнимой частей находим следующее распределение скоростей на отрезке 1 -Ь, Ь\.

Ух

и_ (*, 0) =

У № — Х 2

И

г>_ = — 1Л

и

= 0.

откуда

и=

2 1п

С 4- |ЛС2 _ ¿,2

1п —4-— аг^ ■■-

Для конечности и—(х, 0) в точке л: = ¿> необходимо, чтобы выполнилось равенство

| С—{— ]/"с2 —

6 =

Фиг. 3

так что

/ лч 2£/ , х Ус2 - &

ы_ (х, 0) = — аг^е —-г--.

4 ' * & сУьз-х*

При Ь <С,\х\<С.с аналогичным образом получаем

и- = ± и,

V- (х, 0) =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V

я Ух-

-ь> /

V ь 2 — с2 С-х

2 их

V.

р.] —

(К.

Знак м_ выбирается в зависимости от того, находится точка М (г) на отрезке [Ъ, с] или [—с, —Ь]. После интегрирования имеем

и- = +и,

V

21п

1п

хУс* — Ь* — сУх1—№

X У С* — 62 + с Й2

При |л;|><7 горизонтальные скорости равны нулю, а распределение вертикальных скоростей имеет тот же вид, что и для ¿><[л:|<с:

и_ = 0,

V

С + У с2 - й2 21 п -г-

1п

X ус2 — ь* — с У

хУ& — 62 -)- с — б2

Распределение скоростей частиц на профиле и поверхности жидкости показано на фиг. 3.

Определение давления и силы сопротивления профиля. Потенциал на поверхности профиля в силу предположения о малости глубин погружения и слабой килеватости профиля представляется выражением

где

V Ж Ус2 - 62

/«-Л«-/

1п

с + Уф - 62

аг^ -

/б2-

йх.

Обозначая этот интеграл через Ф(я, с) и вводя безразмерные переменные X = с/Ь, х — х/Ь, ¿ = 1п(Х + ]А2—1), имеем

V

Ьхагак

А У 1 — л;2

' V" ха"

Примем следующие обозначения: давление на профиле р, давление на скуле профиля, равное атмосферному р0, и приравняем левые части интегралов Лагранжа для произвольной точки профиля и его скулы:

5Ф (лг, с) дгу)

¿г

дФ(ь, с) . а/7^) .

дt

Отсюда получаем избыточное давление на днище профиля:

дФ (х, с)

дt

Учитывая, что

дФ^_дФ_йс _ дФ и дt ~дс~М ~~дс

дФ

~дс

+

V

кУ\з _

* , х VI? — 1 , -¡Г агс^ —= +

VI

окончательно имеем

р — Ро __ л

РК2

^-аг^—!—

4£2 ]/ - | [ к <=> х у 1 _ -2

\--/X* - 1)ап^

V 1-х2

+

1 , X -

IV\ -X? '

Безразмерная сила сопротивления Р —

р К2 Ь ' ь

Полная сила

сопротивления определяется интегралом Р=2|(/? — />0) <1х или

о

в безразмерных величинах:

2£2 V

здесь

aгctg

йх =

x

1 ____ = ¡V\-х2с1х= "4" ,

/4-

Х]/1—Х2

4

0.

1,0 1,1 1,2 1,3 1,1- 1,5 1,6 Л Фиг. 4

Результаты численного определения /4 приведены на фиг. 4. Зависимость координаты основания брызговой струи от глубины погружения профиля. Граничное условие V— 2^ после подстановки значения II приобретает вид

V*

с1с

Учитывая, что глубина погружения А связана со скоростью погружения, кк= УМ, имеем

где к = Н/2Ь.

Принимая во внимание, что при t — 0, й = 0 и Х=1, после интегрирования получим

й = —[Х1п(ХЦ-1/Х«- 1) - ]Л2- 1 ].

(3)

Выражения (2) и (3) дают параметрическую связь между глубиной погружения профиля и сопротивлением.

Форма свободной поверхности. Форма свободной поверхности определяется равенством

Для части свободной поверхности, лежащей вне брызговых струй (|х]>Х) после замены переменной Ь на X согласно соотношению

= ^ (И, интеграл в правой части равенства был вычислен для значений х от X -¡-0,001 до 4.

Сравнение теоретических и экспериментальных результатов.

Экспериментально погружение профилей исследовалось на установке „Брызговой бассейн", предложенной Кикухарой [1]. „Брыз-

уроднемер /Воздух

— из ресиоера

■Модель

^ Гидро-сопротиоление

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ь 0,3

0,2

0,1

-расчет

о*

Фиг.^5

V V V 'Л V А

Фиг. 6

р

12 10 6 6 £ 2

э о «м» МП 3/(Слер11мемт • клин &=25в\

с - расчет

\

\ 1

»

» V •

о » »

о к о • •

О ®

02

0,1

0

\ -расчет

\ о эксперимент

\ мам, /} =15"

V

\ N

V \ и

Уо \

Л \

\

Ч к

V

0,2 Фиг. 7

1.0

1,5

2,0 Фиг. 8

2,5 £

говой бассейн" представляет собой систему из двух сообщающихся сосудов, частично заполненных жидкостью. Под давлением сжатого воздуха, действующего на плавающий в широком колене поршень, создается плоский однородный поток в рабочей части — прямоугольной прозрачной трубе. Этот поток обтекает модель — половину симметричного профиля, укрепленного на боковой стенке рабочей части (фиг. 5). Процесс погружения фиксируется скоростной киносъемкой. Сопротивление профиля измерялось тензодат-чиком, скорость потока —емкостным уровнемером. Показания тензодатчика и уровнемера записывались на шлейфовом осциллографе с отметкой времени.

Основные результаты экспериментов приведены на фиг. 7—8. • Там же построены полученные выше теоретические зависимости. В целом соответствие между расчетными и экспериментальными данными можно считать удовлетворительным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kikuhara S. A study of spray generated by seaplane hulls. IASS, VI, vol. 27, № 6, 1960.

Рукопись поступила 19jXlI 1973 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.