Погрешность вычисления рядапри полуинтервальной организации вычислений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е. В. Виноградов

ПОГРЕШНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ РЯДА

ПРИ ПОЛУИНТЕРВАЛЬНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

1. Введение. Вычисления трансцендентных функций на компьютере как правило проводятся с погрешностью в силу ряда причин, связанных с ограничением на размер используемой программой памяти, конечным числом итераций в суммировании ряда, и т. д.

При этом выделяют два типа погрешностей — арифметическую и методическую.

Арифметическая погрешность обусловлена округлением, выполняемым вычислительной системой, для того, чтобы уместить результат вычисления в формат переменной для сохранения или отображения.

Методическая погрешность появляется в связи с тем, что практические реализации вычислительных алгоритмов используют различные ограничения, чтобы получить результат за приемлемое время и учесть ограничения, накладываемые компьютерной арифметикой.

Для получения гарантированно точных результатов на компьютере (под гарантированно точными результатами понимается интервал, гарантированно содержащий в себе точное значение результата) было разработано большое количество методов.

Часть их основана на применении интервальных вычислений вместо обычных [1]. Однако в некоторых случаях такой подход требует неоправданного расширения результирующего интервала.

Кроме того, активно развивается направление, использующее комбинацию из обычных вычислений и интервальных (например, [2]), построенную на основе метода, предложенного А. Зивом [3]. Однако, такие методы требуют операций с «двойной» (составленной из двух чисел типа double) арифметикой на основе итерационного процесса до получения результата требуемой точности.

В данной статье рассматривается метод определения методической погрешности вычисления на компьютере, связанной с ограничением на количество итераций в суммировании ряда. Рассматривается неубывающая неотрицательная функция f (x), разложимая в сходящийся степенной ряд

и полуинтервальный способ ее вычисления (результатом вычисления является интервал). Под полуинтервальным способом вычисления [5] понимается такой способ, при котором значение функции изначально рассчитывается традиционными методами, затем интервальными методами рассчитывается погрешность традиционного расчета и находится интервальный результат. Под методической погрешностью понимается погрешность, вызванная неполным соответствием вычисления на компьютере требуемому вычислению в связи с ограниченным количеством операций суммирования в подсчете суммы ряда. Приведенный метод позволяет избежать использования «двойной» арифметики, а также итерационного подхода.

© Е. В. Виноградов, 2006

k=0

2. Базовое решение. Предполагается, что вычисления проводятся в системе, соответствующей четырем гипотезам интервального анализа в соответствии с [1]. Известно (см. [4]), что многие из существующих на сегодняшний день вычислительных систем этим гипотезам соответствуют.

Вычисление функции предполагается проводить не на всем множестве значений аргумента, а в некотором сравнительно узком помежутке х$ = 0 ^ х$ < х$ [3],

называемом базовым.

Пусть

П

ф) акхк > 0, в = ,

к=0

г(х) и г(х) —нижняя и верхняя, соответственно, оценки методической погрешности вычисления (I(х) — ф(х)), Л — отношение максимальной величины округления к единице младшего разряда числа для используемой машинной арифметики, ц — основание внутренней системы счисления компьютера, в — число разрядов порядка во внутреннем компьютерном представлении аргумента.

В работе [5] было получено следующее выражение для относительной поргешности а вычисления ф(х):

е

<_л — ,

1-е

т)>°-

(1)

где

, 2п +1 п 2п - 1

(ж) - ^ ^ _/3уп-2ап-1Х +-- + ао

Символ' (тильда) отмечает потенциально неточный машинный результат.

3. Методическая погрешность вычисления ряда. Указанный выше подход можно естественным образом продолжить на степенные ряды. При этом возникает проблема оценки методической погрешности вычисления.

Будем рассматривать неубывающую неотрицательную функцию I (х). Пусть для нее строится степенной ряд при х ^ 0:

I(х) =22 акхк, аи > 0. (2)

к = 1

п

Выберем некоторое п и обозначим фп (х) = ^2 аихк. Тогда методической погрешностью

к = 1

(погрешностью, связанной с ограниченным количеством операций суммирования) будет остаток ряда

гп+1 = I(х) — фп(х) = ^2 аихк. (3)

к=п+1

Кроме того, предположим, что ряд сходится в базовом промежутке х$ = [ж,5,жг] и

гп+1 = 0"п+1% ( 1 Н——^~х -\——^—х +...). (7)

ап+1 ап+1

удовлетворяет при этом признаку Даламбера. Тогда для достаточно больших к, к ^ п + 1 будет выполняться

&к-\-1х6 I . ч

эир —-------- < 1. (4)

к'^п+1 ак

Обозначим максимум этого отношения для остатка ряда через 70п):

1(п) = виР ---------• (5)

к^п+1 ак

Пусть также

• с &к-\-\х8 * (с\

7о<" ( )

Очевидно, что величины 7о(п) и ^0п) зависят от выбранного ранее п.

Тогда остатком ряда будет

сп+1 / 1 + ^п+2х + ^п±1х2 \ ап+1 ап+1

Так как ак+1/ак ^ 7о(п)/х$ при к ^ п +1, минорантой остатка ряда будет

г’п+1 ^ ап+1ж"+1 I 1 + 7о(„)— + ( 7о(п)~ ) +•••); (8)

\ х6 \ х6 / /

или

ап+1хп+1 . .

г„+1>гв±1 = ---------------• (9)

1 _ 7о(п)^

Аналогично для мажоранты остатка ряда, т.к. ак+1/ак ^ 7(,п)/^<5 ПРИ к ^ п-\-1:

^------- ап+1Хп+1

г„+1 < гп+1 = о ■ (10)

Чп) х6

Таким образом, получается включение

а 1 1гп+1

/(ж) е [/1(ж),/2(ж)], /г(ж) = (рп(х) Н— --------ж-, /=(1,2), (И)

1 - 7г —

Ж«5

71 = 7о(п)/жг, 72 = 7(°„)/^.

4. Применение оценки методической погрешности. Покажем метод применения полученной оценки методической погрешности на примере натурального логарифма.

Введенным ограничениям удовлетворяет ряд (25/28) из [7]:

+то 1 х 1

1пж = 2у-^( —)2Й-! (12)

2к — 1 х + 1 у ’

к=1

Благодаря тому, что по свойству логарифма 1п х = р 1п ц + 1п т (где р — порядок, а т — мантисса числа в машинном представлении), а также условию нормировки мантиссы [4], в качестве базового промежутка можно взять интервал [1, При этом на

отрезке то € [л/Д, Я-] будет использоваться логарифмирование обратной величины, т. к. очевидно, что 1п X = (р + 1) 1п ц — 1п то', то/ = ^ .

Так как в большинстве современных вычислительных систем предусмотрены точные способы отделения мантиссы от порядка, вычислять значение функции можно только от мантиссы аргумента, и вычисление ряда требуется действительно только в базовом интервале.

Так как х > 0, можно ввести переменную

х1

и (х ) = ——. 13

х +1

Обозначив V = и2, ряд (12) можно переписать в следующем виде:

ln x = 2

ОО 2k — 1 ^ +^> k

— и 1 2 vk

2к — 1 и 2к — 1

к=1 к=1

Для аргумента в указанном базовом промежутке такой ряд будет сходиться на всей числовой оси.

Тогда

. 2к — 1 2к — 1 2п + 1

71 = Ш! 771—ГТ = 07 , -I \к=п+1 = ~—гтт, (14)

к^п+1 2к + 1 2к + 1 2п + 3

2к~1 1

72 = вир = 1. (15)

А^п+1 +1

Теперь для подсчета методической погрешности остается только выбрать п и по формулам (11), (14), (15) получить численный результат.

Summary

E. V. Vinogradov. Error estimation for a series with semi-interval evaluation.

Truncation error estimation for series computer evaluation is obtained by construction of ma-jorant and minorant of the remainder with some constraints for computer system and series coefficients.

Литература

1. Меньшиков Г. Г. Локализующие вычисления: Конспект лекций. Выпуск 1. Введение в интервально-локализующую организацию вычислений. СПб., 2003. 89 с.

2. de Dinechin F., Defour D, Lauter C. Fast Correct Rounding of Elementary Function in double precision using double-extended arithmetic. Research Report N 2004-10. Lyon: Ecole Normale Superiure de Lyon, 2004. 17 p.

3. Ziv A. Fast evaluation of elementary mathematical functions with correctly rounded last bit // ACM Tarnsactions on Mathematical Software 17(3) September 1991. P. 410-423.

4. Виноградов Е. В. Стандарт IEEE Std 754-1985 и версия постулируемых свойств машинной арифметики для обеспечения интервально-локализующих вычислений // Процессы управления и устойчивость. Труды XXXVI Межвузовской научной конференции аспирантов

и студентов 11-14 апреля 2005 года / Под редакцией Н. В. Смирнова, В. Н. Старкова. СПб.: Издательство СПбГУ, 2005. С. 256-260.

5. Виноградов Е. В. Методика учета инструментальной и методической погрешности вычисления положительного полинома // Процессы управления и устойчивость. Труды XXXVII Межвузовской научной конференции аспирантов и студентов 10-13 апреля 2006 года / Под редакцией Н. В. Смирнова, А. В. Платонова. СПб.: Издательство СПбГУ, 2006. С. 300-305.

6. Меньшиков Г. Г. Практические начала интервальных вычислений. Л.: Издательство ЛГУ, 1991. 91 с.

7. Люстерник Л. А., Червоненкис О. А., Янпольский А. Р. Математический анализ. Вычисление элементарных функций. М.: Физматгиз, 1963.

Статья поступила в редакцию 15 апреля 2006 г.