Подсеточное моделирование для квазистационарных уравнений Максвелла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 537+550 О.Н. Соболева

ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск

Е.П. Курочкина

ИТ СО РАН, Новосибирск

ПОДСЕТОЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЛЯ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

O.N. Soboleva

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, pr. Lavrent’eva, 6, Novosibirsk, 630090, Russian Federation E.P. Kurochkina

Kutateladze Institute of Thermal Physics SB RAS,

pr. Lavrent'eva 1, Novosibirsk, 630090 Russian Federation

SUBGRID MODELLING FOR QUASI-STATIONARY MAXWELL EQUATIONS

In our work, we obtained the evaluations of the mean values of the electric, magnetic field intensities and the electric field density by a subgrid modeling method. Quasi-stationary Maxwell equations are considered for the fields in isotropic random inhomogeneous media under the condition that only statistical information is available about the fluctuations of parameters. The peculiarities of the problems suggested here are multiscale and fractal properties of the coefficients, which have logarithmic statistics. The theoretical results are confirmed by numerical modeling.

Одна из фундаментальных задач при изучении неоднородных сред касается математического моделирования включающего малые масштабы. Эта задача возникает, например, в молекулярной динамике, турбулентных течениях и течениях неоднородных пористых средах. Основные модели для таких явлений могут быть очень точными моделями для реальных явлений, но требуют больших вычислительных затрат из-за вариаций коэффициентов всех масштабов. Если учитывать малые масштабы, то даже компьютеры с большой мощностью не способны решить эти уравнения с достаточной точностью. Традиционный подход для преодоления этой трудности найти упрощающие модели, требующие меньшего количества вычислительных затрат. Решение, которых для физических величин, например, для плотности электрического тока, напряженностей электрического и магнитного полей и т. д. близко в среднем к решению первоначальной полной задачи. Построение таких более простых моделей, правильно описывающих поведение решения в крупномасштабном пределе, называется подсеточным моделированием. Естественным подходом для поиска подсеточной модели может быть усреднение полных уравнений по мелкомасштабной компоненте [1]. В настоящей работе получена такая модель для квазистационарных уравнений Максвелла при условии, что о флуктуациях параметров среды имеется лишь статистическая информация. Особенностями предлагаемых задач являются многомасштабность и фрактальность коэффициентов. Квазистационарное приближение уравнений Максвелла для монохроматических полей

Ё х,/ =Re Е х е~ш ,Н x,t =Re Н х е~ш при отсутствии сторонних

токов имеет вид:

гоШ X = <7 X Е X ,

,, „ (1) гоЖ = т/лН,

где Н и Е - векторы напряженности магнитного и электрического полей с комплексными компонентами, /л - магнитная проницаемость, ах -

удельная электропроводность, со - циклическая частота. Практически для всех горных пород, за исключением пород с включениями ферромагнитных минералов, магнитная проницаемость мало отличается от магнитной проницаемости вакуума, поэтому для электроразведки можно полагать, что /л постоянна и равна магнитной проницаемости вакуума. Будем предполагать, что вне конечного объема V с достаточно гладкой поверхностью £ удельная электропроводность постоянна. Тогда на границе £ непрерывна напряженность магнитного поля и касательные компоненты вектора электрического поля. Поле электропроводности случайная функция пространственных координат описывается моделью

где сг0 константа, безразмерное поле ^(х,^) имеет нормальное распределение, следовательно, а(х) = а1о(х) имеет логарифмически нормальное распределение вероятности, Ь, 1о максимальный и минимальный масштабы неоднородностей. Корреляционная функция поля ^(х,^) однородна и изотропна. Дальнейшее упрощение модели среды достигается в частном случае некоррелированности флуктуаций поля (р разных масштабов. Это обычное предположение для скэйлинговых моделей и отражает тот факт, что статистическая зависимость затухает, если масштабы флуктуаций параметра различны по величине. Для получения теоретических оценок это предположение не очень существенно, но при численной проверке полученных результатов существенно упрощает численное моделирование поля ст х . Функцию проводимости (7 х разделим на две компоненты

относительно масштаба /. Крупномасштабная компонента <т х,1 получена статистическим усреднением по всем ср{х,1х) с /0 < /х < /, где /-/0 мало. Мелкомасштабная (подсеточная) компонента равна <т'(х) = сг(х) - сг(х,/):

сг'(х) = <т(х

сг(х,/) =

^/(х), (4)

где () означает усреднение по ^(хД), с ,10<1г<1, Ф0 I =Ф 0,1 значение корреляционной функции поля <p(xj) в нуле. Крупномасштабные (надсеточные) компоненты напряженности электрического и магнитного полей E x, l ,H x,l получаются как усредненные решения системы уравнений (1), в которой крупномасштабная компонента <т(х,/) фиксирована, а мелкомасштабная <т'(х) - случайная величина. Подсеточные компоненты напряженности магнитного и электрического полей равны Н' х =Н х -Н х,/ , Е' х =Е х -Е х,/ . Подставим выражения для

H х , Ex , сг(х) в систему уравнений (1) и усредним по мелкомасштабной компоненте

гоШ х,/ =сг(х,/)Е х,/ +(сг'Е')

(5)

rotЕ х,/ =icojuH х,/ .

где () означает усреднение по ^(x,/j), с 10 <1Х </. Второй член в левой

части первого уравнения системы (5) не может быть отброшен без предварительной оценки, так как, несмотря на малость величин er', Е', среднее от произведения этих величин может быть велико. Вычтем из (1) систему уравнений (5) и, оставляя члены только первого порядка малости, получим подсеточные уравнения rotH' = <j х,/ Е'+сг'Е х,/

(6)

rotE' = icojuH'.

Считая известными поля Ex,l ,H(x,l), находим решение для E'из

уравнения (6). Для полей, в которых небольшое изменение масштаба влечет за собой значительные флуктуации самого поля (это характерно для фрактальных полей), можно считать, что сг(х,/), Е х,/ , Н(х,/) и их

производные меняются медленнее чем <т', Н' и их производные. С учетом этого предположения оценка надсеточного члена в (5) равна

1 9

(&' х Е' х —Ф0 + — к2 ^е кгФ rj dr

\

3

о

— а х,/ Е х,/

/

(V) _______________

где к2 = т/лст(х,1), к= 1 + / лу<у//<т(х,/)/2 . Для определенности выбрано то значение корня, при котором Яе^>0, 1ш^>0. Если величина Ф0а)/лст(х,1)Ь2 много меньше единицы, то интегральный член мал и им можно пренебречь. Это условие выполняется в широком диапазоне частот для задач скин-слоя в неоднородной среде с масштабами неоднородностей Ь<Ь0, где Ь0 масштаб всей области. Подставив (7) в (6) получим

rotH xj =

Í--Oo l 6

dl

dï

Ul / . \ MÍ

7+(w)T

(70 exp

L,

jV/Hx,/, у11л //,

E x,/

гоЖ х,/ =/£>//Н х,/ .

(8)

Таким образом, для того чтобы решить систему (1), используя вместо

<т х более гладкий коэффициент <т х = <т0 ехр

L,

-\<p(*,lx)dlxllx

и получить

при этом правильное среднее значение напряженностей электрического и магнитного полей нужно использовать эффективный коэффициент <те/

равный

х =

1 1 _ . dl i , \dl 1 — Ф0 / — + (ф I )— 6 0 / ' 1 I

а х

/ '

(9)

Тогда в пределе / —» /0 для aef х получим выражение

х =^о/ехР

где б/ln сг,

о/

d ln l

= -^фо 1 +(<Р 1 )•

(10)

(11)

В масштабно-инвариантной среде средние значения Ф0, (р не зависят от масштаба /. Решение уравнения (11) в этом случае имеет вид

^ x _rh /^;_1_//л\

/

(12)

СТ0/ — L

L

где константа <jol описывает течение тока в среде на самом большом масштабе при / = L и определяет эффективную электропроводность в надсеточной области. Эффективные коэффициенты получены также для оценки дисперсии электрического поля и плотности тока. Полученные оценки проверяются прямым численным моделированием.

Реальная часть усредненной напряженности электрического поля; 1 -результат, полученный для <т00 = (сг х } = 1;

2 - результат, полученный с эффективным коэффициентом электропроводности;

3 - результат, полученный прямым численным моделированием.

Іт<Н >

Мнимая часть усредненной напряженности магнитного поля;

1 - результат, полученный для сгоо ={сг X ) = 1;

2 - результат, полученный с

эффективным коэффициентом электропроводности; 3 -

результат, полученный прямым численным моделированием.

Мнимая часть усредненной плотности электрического тока;

1 - результат, полученный для <Тоо =(сг х ^ = 1;

2 - результат, полученный с эффективным коэффициентом электропроводности;

3 - результат, полученный прямым численным моделированием.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Г.А. Кузьмин, О. Н. Соболева, Моделирование фильтрации в пористых ввтомодельных средах // Прикладная механика и техническая физика, 43(4):115-126, 2002.

© О.Н. Соболева, Е.П. Курочкина, 2008