CC BY
42
Т о м X
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
19 7 9
№ 3
УДК 533.661.013
ПОДОБИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТРЕУГОЛЬНЫХ КРЫЛЬЕВ ПРИ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ
А. И. Минайлос
На основе результатов расчетов сверхзвукового обтекания бесконечно тонких треугольных пластин определены погрешности аэродинамических характеристик, полученных с помощью гиперзвуковой теории ударного слоя или формулы Брауна — Микэла в теории тонкого тела.
Показано, что в широких диапазонах изменения определяющих величин справедливы параметры подобия линейной теории, а также параметры Месситера и Сычева гиперзвуковой теории.
1. Проверка соотношений подобия налагает жесткие требования на точность тех результатов, с помощью которых они проверяются. Приближенные методы расчета этим требованиям не удовлетворяют. Данные экспериментов для этой цели практически тоже не годятся; помимо низкой точности из результатов эксперимента трудно выделить эффект влияния вязкости (а он часто оказывается существенным [1]). В связи с этим для проверки соотношений подобия целесообразно использовать результаты численных расчетов. Однако результаты расчетов обтекания треугольных пластин в необходимом объеме до последнего времени практически отсутствовали. Автору известны только две работы, в которых параметр подобия Месситера анализировался по результатам расчетов методом интегральных соотношений [2, 3].
Проведенные недавно методом сквозного счета обширные расчеты обтекания различных крыльев [4] позволяют провести оценку параметров подобия. В работе [4] исследовано влияние на аэродинамические характеристики числа М, формы крыла в плане, формы и толщины профилей, удлинения, углов стреловидности и атаки. Для проверки соотношений подобия из этих материалов возьмем результаты обтекания бесконечно тонких треугольных пластин. Расчеты обтекания этих пластин были получены не в одной серии (некоторые — с помощью более грубого численного метода С. К. Годунова, некоторые —на грубой сетке). Поэтому
в некоторых вариантах ошибки в значениях аэродинамических коэффициентов достигали 1,5—2%. При оценке параметров подобия такие ошибки следует признать значительными (велики они и с точки зрения точности применяемого метода — возможности метода при его реализации на машине БЭСМ-6 не были исчерпаны).
Результаты обладают еще одной, уже систематической погрешностью: они получены без учета отрыва потока с острых кромок крыла. Такой отрыв с образованием вихревых шнуров и продольным сверхзвуковым компонентом скорости существует для значительной части исследованных вариантов. Расчеты течений с учетом и без учета отрыва [4] на треугольных крыльях с клиновидным профилем (х = 75°) и на прямоугольных крыльях в диапазонах 2<М00<5 и а-С 20° показали, что отрыв слабо (в отличие от дозвуковых скоростей) влияет на аэродинамические характеристики, так как разрежение на верхней поверхности крыла под вихрем заменяется при изменении схемы течения примерно таким же разрежением в течение расширения. С учетом отрыва значения су возрастают примерно на 2—3%. Для учета отрыва в областях, где он должен быть, будут проведены дополнительные оценки.
Ниже на рисунках приняты следующие обозначения. На рис. 1 крестиками обозначены результаты при числе Моо=1,2; кружками — при Мсо = 1,3, треугольниками вершиной вверх — при Мсо= 1,5, квадратами — при Моо = 2, ромбами — при М^ — З и треугольниками вершиной вниз-—при Мос = 5.
На остальных рисунках кружками обозначены данные для пластины с углом стреловидности ^ = 85°, полу кружками с плоским низом—82,5°, полукружками с плоским верхом — 80°, треугольниками вершиной вверх — 75°, ромбами — 70°, квадратами — 60е, треугольниками вершиной вниз —45°.
Точки при одном значении / = const и М» — const соединены тонкими линиями: штриховыми с короткими штрихами — приМсо=2, штрихпунктирными — при Мсо = 3 и 4, штриховыми с длинными штрихами — при Мм = 5 и сплошными — при Мх = 8.
2. Теория тонкого тела с учетом сходящих с кромок тангенциальных разрывов является разделом линейной теории. Пределы применимости теории тонкого тела определяются параметрами оф и рХ. Здесь р = 1)1/2, X = 4ctg/— удлинение крыла. Обычно
предполагают, что теория справедлива при оф<1, рХ 1 и
Установим количественные зависимости между этими параметрами и точностью расчета коэффициента подъемной силы. В работе [5] такие оценки были получены в случае крыльев с Х=1; 0,25 для некоторых областей изменения этих параметров. На рис. 1, где по осям отложены параметры сф и рХ, эти области заштрихованы; точность теории в этих областях оказалась очень низкой и, следовательно, они не удовлетворяют требованиям малости параметров, особенно параметра рХ. Этот факт почти очевиден; с такой точки зрения анализ точности теории тонкого тела в этих областях вообще некорректен, хотя известно немало случаев (см., например, следующий раздел настоящей статьи), когда в регулярной асимптотической теории пределы применимости законов подобия оказываются значительно шире заданных исходными предположениями.
2—Ученые записки № 3
17
В формуле для коэффициента подъемной силы в теории тонкого тела с учетом отрыва основной член соответствует линейной теории тонкого тела. Дополнительный член, характеризующий теорию, пропорционален а5/3. В одной из самых простых моделей теории, предложенной Брауном и Микаэлом [6], коэффициент при этом члене получен в аналитической форме:
суТ = ^-а + с<&*, с = «кч». (1)
Для сопоставления результатов формулы (1) и получаемых с помощью численных расчетов воспользуемся относительным отличием в процентах:
Су Т Су числ
8= - -- %■
ьу числ
Расчеты [4] не соответствуют в основном области малых значений параметров <*р и рХ, Поэтому были проведены дополнительные расчеты с построением, где это необходимо [5], тангенциальных разрывов, сходящих с кромок крыла и сворачивающихся в вихревые жгуты. В этих расчетах исследовано обтекание треугольных пластин с углами стреловидности ^ = 75°; 80°; 85°; 86°25'; 89° при числах М=1,3; 1,5; 2; 3; 5 в диапазоне изменения угла атаки 1°<а<15°. На рис. 1 эти варианты течений, использованные для сравнения, отмечены различными значками.
Интерполяцией по параметру рх определены представленные на рис. 1 кривые постоянных значений г. Таким образом, область применимости формулы (1) при заданной точности расчета коэффициента су располагается вдоль координатных осей и с повышением точности сужается в большей степени у оси рх.
Таким образом, вывод работы [5] о плохом соответствии количественных результатов, полученных с помощью формулы (1), и результатов расчетов при сверхзвуковых скоростях следует признать слишком категоричным. В рамках рассмотренной модели для треугольных крыльев в поле параметров сф и рХ существует полоса, где отличие аналитических результатов от численных не превосходит, скажем, 5%. Эта полоса узка, но для моделей течения, учитывающих более точно форму вихревой пелены, она должна быть несколько шире. По-видимому, для тонких тел другой формы размеры и форма полосы могут несколько изменяться.
Поиск параметров подобия на основе численных результатов приводит к следующей зависимости:
2
По существу это обычные параметры подобия линейной теории.
3. В теории гиперзвукового ударного слоя [7—11] в качестве основного параметра, по которому проводится разложение, используется отношение плотностей о = р00/р в ударной волне у двумерной пластины, имеющей тот же угол атаки, что и крыло (при этом должно выполняться условие а 1). Обычно вместо точного значения а используют приближенное аналитическое выражение:
С = X + 1 + (X + I ) (Мк Sin сс)2 • ^
Сходимость результатов теории улучшается с уменьшением о, т. е. при росте произведения MooSina и уменьшении показателя адиабаты х.
Вторым существенным параметром теории [8] является параметр Месситера Q = ctg * . Он характеризует отношение полу-
tg a у a
размаха крыла к размерам возмущенной области. Значение коэффициента нормальной силы определяется по теории Ньютона с дополнительным членом, коэффициент которого F зависит только от параметра Q:
С. = 2 Sin2 a + —V + /^(2) a sin2 a. (3)
v-
Из оценок [8] следует, что значение 2 = 2 в этой теории соответствует границе присоединения ударной волны к кромкам пластины (т. е. границе АВ из [4]). В [12] на основании анализа полей течения в теории ударного слоя сделано предположение, что значение Ü = 0,5 является границей области существования отрывного течения около кромки (т. е. границей 1—2 из [4]). Однако при сопоставлении с экспериментальными данными автор [12] пришел к выводу, что эта граница должна быть несколько сдвинута в сторону больших значений 9 (примерно до 2 = 0,7). По материалам расчетов [4], как граница АВ, так и граница 1—2 являются функциями только Q и на графике зависимости F(Q) будут представлены в виде двух кривых.
Этот график (рис. 2) во всем исследованном диапазоне параметров представляет кривые f (Q), полученные по материалам расчетов [4]; каждая кривая построена для постоянного значения угла стреловидности и постоянного числа Мое. при изменении угла атаки через 5°. Все кривые начинаются со значения a = 5°.
Все части этих кривых, соответствующие значениям параметра a < a* = 0,685, попадают в узкий коридор, выделенный на рисунке жирными сплошными линиями. Этот коридор подобен огибающей семейства кривых. В дальнейшем будем называть его „огибающим коридором". По-видимому, имея точные значения сп и выбирая в качестве а* уменьшающиеся значения, можно получить более узкие огибающие коридоры. Однако для этого точность расчетов
о- / V^-J т- __
\ / -Л
• \ 4 \ V \ / s/ \ N \ \\\ \ Y
К / \у \ А \ \ , /\ й-*' \ \ а \ \ \ \ V\
■А // с \\/ л\ л ц \ 1 11 \ \ \ 'V \ \
У / \ \\ ' 1 4 / t/'- у ïli !1 i - 1 А i Y . д............. i з, о\ \ \ я {
■ 1 JL i 6 О \=85 ---М^=2 82,5 --- 3 g¿ » ----- Ц л 75°-- Ô 70° В о V 45°
i д к
Рис.
2
оказалась недостаточной, так как в полученном коридоре отдельные кривые располагаются с некоторым разбросом. При значениях 2 >2, где теория несправедлива [8], полученный коридор резко расширяется. Оценки показывают, что, выбирая в качестве значений для расчета сп средние значения из коридора, можно в пределах более узкого коридора при МооЗта>2 (т. е. при з< 0,273) получить значения сп с ошибками, не превосходящими 1,5% при 2 = 2 и 2% при 2 = 0,5. В случае, когда параметр М« эта >1,3 (т. е. а <0,66, что соответствует более широкому коридору; о близко к предельному для коридора значению а*), точность незначительно уменьшается, ошибки при этом не превосходят соответственно 1,6 и 2,2%. Таким образом, даже при достаточно больших значениях з(о«0,7), где разложение в ряд по о должно сходиться медленно, значения сп оказываются близкими к значениям, соответствующим середине коридора, и могут определяться с помощью параметра 2.
Средняя линия в огибающем коридоре с достаточной точностью аппроксимируется простой зависимостью:
(2) = -0,5+1,58 2-0,2 22. (4)
Эта зависимость позволяет с указанной выше точностью определять значения сп в диапазоне изменения параметров:
а <0,685; 0,2 < 2 < 2,0.
Жирными штриховыми кривыми на рис. 2 показаны граница АВ отсоединения ударной волны и граница 1—2 образования отрывного течения (по материалам [4]). Каждая из этих границ для всех пластин сливается на графике /"(2) в единую кривую. Положение кривой /—2 определено по расчетным значениям экстраполяцией и поэтому недостаточно точно: в действительности эта линия может располагаться несколько ближе к кривой АВ. Как уже отмечалось выше, в теории ударного слоя эти границы располагаются в сечениях 2 = 2 и 0,5. Эти оценочные значения, конечно, очень грубы; кривые АВ и 1—2, полученные в расчете, при этих значениях оказываются вне огибающего коридора.
Оценим влияние отрыва потока от кромки пластины на значения /^(2). На рис. 2 область течения с отрывом располагается всюду выше кривой 1—2, т. е. может существовать в огибающем коридоре во всем диапазоне значений й. По результатам [4] примем для оценки, что значения сп с учетом отрыва возрастают на 3% по сравнению со значениями сп без отрыва, но с течением разрежения над кромкой. Тогда середина коридора огибающей сместится вверх. Ее новое положение изображено на рис. 2 жирной штрихпунктирной кривой. Отметим, что при £2 >1,5 в пределах коридора оказываются варианты как с отрывом, так и без отрыва потока.
Сопоставим полученный результат с данными других авторов. Результаты различных экспериментов, собранные в [8], соответствуют значениям о<а*, однако не попадают в огибающий коридор (значки на рис. 3). По-видимому, то, что они лежат ниже коридора, можно объяснить влиянием вязкости на экспериментальные данные: толщина вытеснения пограничного слоя больше на подветренной стороне крыла. Кружок с крестом на рис. 3 отмечает
результат [7] в предельном случае £2 = 0 (/г = —1,8). Линия с крестиками—результаты [8]; при 2 = 0 представлены два значения, полученные различными приближенными методами решения основного уравнения теории ударного слоя.
Значения сп в теории ударного слоя [7—11] при 2<0,5 и в методе интегральных соотношений [2, 3] получены при двух предположениях: 1) на верхней стороне крыла давление равно нулю; 2) на кромке крыла используется грубое краевое условие.
В методе интегральных соотношений считается, что нормальный к кромке компонент скорости достигает скорости звука на нижней поверхности пластины на кромке, а расчеты всего поля [4] показывают, что в этом режиме конически звуковая поверхность не приходит на поверхность крыла, а подходит по нормали к поверхности тангенциального разрыва, сходящего с кромки. В теории ударного слоя [8] это краевое условие искажено еще больше, так как предполагается, что конически звуковая скорость достигается на ударной волне в точке, расположенной под кромкой крыла. Из сопоставления значений су [4] для вариантов с отрывом и без отрыва потока от кромки можно сделать вывод о том, что второе предположение слабо влияет на подъемную силу крыла. Отметим, наконец, что если первое допущение завышает значения сп, то второе — занижает, и, следовательно, ошибка частично компенсируется.
В работе [2] при указанных предположениях получена зависимость Р (2) методом интегральных соотношений в диапазоне 0<! -<2-^0,9. На рис. 3 она изображена штрихпунктирной кривой. Отличие этих результатов от результатов, соответствующих середине коридора, достигает при 2 = 0,2 15% в значении сп. Затем А. П. Базжин [3], используя практически тот же метод, исследо-
вал диапазон 0,1<2<1. Результаты этой работы оказались в полосе, ограниченной на рисунке штриховыми линиями.
Расхождение между результатами работ [2, 3], использующих один и тот же метод, в окрестности 2 = 1 достигает 6% в значениях сп. Это отличие, возможно, объясняется некоторыми упрощениями в решении аппроксимационной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, позволившими в [2] значительно сократить время счета. В целом обе работы для большей части исследованного диапазона 2 дают заниженные значения сп, следовательно, преобладает эффект, обусловленный вторым предположением. Отличие значений сп, полученных в [3], от значений, соответствующих середине коридора, при малых 2 достигает 14%.
Необходимо также отметить, что параметр а в работе [3] определялся не по формуле (2), а как отношение плотностей на ударной волне у треугольного крыла в плоскости симметрии течения. Получающиеся при этом значения о меньше, чем полученные по формуле (2), а коэффициент 2 — больше. Поэтому на рис. 3 результаты [3] должны быть сдвинуты влево.
Наконец, кривая с черными точками представляет зависимость, полученную в [10] на основе теории ударного слоя. Преодолев значительные вычислительные трудности, автор [10] получил зависимость во всем диапазоне 2 <2. На участке 2 <0,5 значения из [10] очень близки к полученным в [8]. Разрыв в точке 2 = 0,5 объясняется особенностью в уравнении теории ударного слоя. За исключением небольшого интервала, эти результаты лежат в пределах огибающего коридора.
Сопоставим оценки нормальной силы для треугольного крыла с ромбовидным поперечным сечением, полученные по теории ударного слоя, с численными результатами. Впервые такие оценки в рамках теории ударного слоя были получены в [9]. Для решения использовалась постановка обратной задачи, решение искалось в виде разложений в ряды. Результаты [9] для крыльев различной относительной толщины с= 1/|/о (А-—половина толщины-крыла, гк — полуразмах) изображены на рис. 4 сплошными линиями. Позже в этом решении были обнаружены неточности; более точные результаты [11] изображены штриховыми кривыми.
Для сравнения использованы результаты расчета обтекания крыла с параметрами Мс* = 4; -/ = 75°; к\гк = 0,587; а = 10°, 20°, 30°.
Выбранным углам атаки соответствовали значения а: 1,89;. 0,612; 0,375. Из приведенных выше результатов для плоской пластины ясно, что вариант с углом а = 10° не попадает в огибающий коридор для этого крыла, а два других варианта соответствуют предположениям теории и могут быть сопоставлены с результатами [9, 11]. Оценки показывают, что теория ударного слоя в этом случае завышает значения сп примерно на 15% (с = 0,75) и на 20% (с = 0,958). Существенное снижение точности теории ударного слоя при переходе от тонких пластин к крылу конечной толщины может быть обусловлено приближенным методом решения основного уравнения теории ударного слоя в [9, 11].
4. Треугольные пластины относятся к частному классу острых длинных тел, для которых в [13] в предположениях
М^Шя» 1; — х)С1 (5)
получены законы подобия. Коэффициент сп выражается через параметры подобия
Ki — ctg/ctga и К2 = Moo sin а следующим образом:
1^ = Ai{K2) + KiBl(K2). (6)
Результаты расчетов [4], обработанные в соответствии с этой формулой, представлены на рис. 5 в виде зависимостей ^ =
=/(/<",, К2У Точки при некоторых постоянных значениях Кг зачернены и соединены жирными сплошными линиями (остальные обозначения описаны в начале статьи). На каждую линию ложатся точки для различных пластин при одном и том же значении К2. С ростом
параметра К2 значения ^ убывают, а линии К» = const спрямляются (в предельном случае К2 = °° значения Л, = const и В,= = const и линия /С2 = const — прямая).
В обработку включены пластины с углами />-45°, а значения К2 рассмотрены в диапазоне 0,7 К2 < 4,0. Таким образом, формула (6) справедлива даже в тех областях, где нарушаются условия (5).
Штриховые линии в нижней части рис. 5 определяют линии /С2 = 3,0 и ЛГ2 = 5,18 из работы [3]. Различия в значениях сп в [3]
п [4] достигают 15—18% и обсуждались в предыдущем пункте статьи.
В заключение автор благодарит Ю. Л. Жилина за полезные обсуждения, улучшившие содержание второго пункта работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Fetterman D., Henderson A., Bertram М., Johnston Р. Studies relating to the attainment of high lift-drag ratios at hypersonic speeds. NASA TN D — 2956, 1965.
2. К e n n e t H. The inviscid hypersonic flow on the windward side of a delta wing. JAS Paper N 63-55, 1S63.
3. Базжин А. П. К расчету обтекания плоских треугольных крыльев при больших углах атаки. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1966, № 5.
4. Косых А. П., Минайлос А. Н. Аэродинамические характеристики крыльев простейших форм на сверхзвуковых скоростях. Труды ЦАГИ, вып. 1891, 1977.
5. Минайлос А. Н. Расчет сверхзвукового обтекания крыльев с учетом сходящих с кромок тангенциальных разрывов в рамках модели, использующей систему уравнений Эйлера. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1978, № 1.
6. В г о w п С. Е., М i с h а е 1 W. Н. On slender delta wings with leading-edge separation. NACA TN 3430, 1955.
7. С о 1 e Л. D„ Brain erd J. Л. Slender wings at high angles of attack in hypersonic flow. ARS Paper N 1981-61, 1961.
8. Messiter A. F. Lift of slender delta wings according to newtonian theory. „AIAA J.", vol. 1, N 4, 1963.
9. H i d a K. Thickness effect on the force of slender delta wings in hypersonic flow. „AIAA J.", vol. 3, N 3, 1965.
10. Shanbhag V. V. Numerical studies on hypersonic delta wings with detached shock waves. ARC CP 1277, 1974.
11. H e m d e n H. Т., H u i W. H. Unsteady and steady aerodynamic forces of slender wings according to newtonian theory. 10 Congress 1CAS,
12. Squire L. C. Flow regimes over delta wings at supersonic and hypersonic speeds. Aeronaut. Quart., XXVII, 1, 1976.
13. Сычев В. В. Пространственные гиперзвуковые течения газа около тонких тел пои больших углах атаки. ПММ, т. XXIV, вып. 2, 1960.
Рукопись поступила 29 III 1977 г.
