Подмодели трехмерной модели Вестервельта при отсутствии диссипации Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«наука. инновации. технологии», № 1, 2018

удк 534.141+517.95 Чиркунов Ю.А. [Chirkunov Yu. A.]

подмодели трехмерной модели вестервельта

при отсутствии диссипации

Submodels of the three-dimentional Westervelt model in the absence of dissipation

Получен общий вид всех инвариантных подмоделей ранга 1 трехмерной модели Вестервельта нелинейной гидроакустики при отсутствии диссипации. Исследованы некоторые подмодели, описываемые инвариантными решениями ранга 1, которые найдены либо явно, либо их поиск сводится к решению нелинейных интегральных уравнений. С помощью этих подмоделей исследованы различные волновые процессы в нестационарных ультразвуковых полях. При некоторых условиях установлены существование и единственность решений краевых задач, описывающих эти волновые процессы. Среди исследованных подмоделей содержатся, в частности, следующие подмодели: подмодель, описывающая «коническое ультразвуковое поле»; подмодель, описывающая «спиральное ультразвуковое поле»; подмодель, описывающая «пульсирующий ультразвуковой пучок», инициированный сингулярными направленными источниками; подмодель, описывающая сферически-симметричное ультразвуковое поле, для которого скорость изменения акустического давления имеет особенность в центре, хотя акустическое давление особенности не имеет.

A general form of all invariant submodels of rank 1 of the three-dimensional model of the Westervelt model of nonlinear hydroacoustics is obtained in the absence of dissipation. Some submodels, described by invariant solutions of rank 1 which are found either explicitly or their search is reduced to the solution of nonlinear integral equations. With the help of these submodels, various wave processes in nonstationary ultrasonic fields were investigated. Under certain conditions, the existence and uniqueness of the solutions of the boundary value problems describing these wave processes are established. Among the submodels studied, in particular, the following submodels are contained: a submodel that describes a "conical ultrasonic field"; a submodel, describing the "spiral ultrasonic field"; a submodel describing a "pulsating ultrasonic beam" initiated by singular directional sources; a submodel that describes a spherically symmetric ultrasonic field for which the rate of change of the acoustic pressure has a singularity at the center, although the acoustic pressure does not have of the singularity.

Ключевые слова: нелинейная гидроакустика, модель Вестервельта при отсутствии диссипации, инвариантные подмодели, интенсивные акустические волны.

Key words: nonlinear hydroacoustics, Westervelt model in the absence of dissipation, invariant submodels, intense acoustic waves.

ВВЕДЕНИЕ

Многие математические модели механики сплошной среды сформулированы в виде линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. При выводе этих уравнений использована их инвариантность при различных преобразованиях пространства-времени. Но симметрии модели могут быть скрыты, они могут быть результатом физических свойств моделируемого явления. Использование всех свойств симметрии позволяет корректно моделировать явление и классифицировать подмодели. Симметрийный анализ этих подмоделей является одним из наиболее эффективных способов

получения количественных и качественных характеристик описываемых ими физических процессов.

В нелинейной гидроакустике модель Вестервельта [1-4] используется для исследования ультразвуковых полей, генерируемых мощными излучателями. В этой модели не делается предположения о малости углов дифракции, что позволяет более точно учитывать дифракционные эффекты. Наиболее известными практическими применениями модели Вестервельта являются использование этой модели для расчета параметрических сонарных антенн и для расчета ультразвуковых полей в медицине.

В настоящей работе исследуется модель Вестервельта в отсутствие диссипации. Эта модель задается следующим уравнением Вестервельта [1-3]:

Р +Р +Р

хх уу гг

1

_Р +

2 ТТ т

С0

4

РйС О

О

где Р = Р (Т х) - акустическое давление,

Т -е -

Ро -

Со -

время, х = (х, у, z) е Я3, параметр нелинейности, равновесная плотность среды, скорость звука.

(1)

С помощью переменных

г = с0Т, дс) =-2Р(Т' *)

Рос о

(2)

уравнение (1) записывается в следующем виде

Рхх+Руу+Ри- Р

о

(3)

Уравнение (3) является основным объектом дальнейшего исследования.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В настоящей работе исследуется трехмерная модель Вес-тервельта нелинейной гидроакустики при отсутствии диссипации. Получены подмодели, задаваемые инвариантными решениями ранга 1, которые найдены либо явно, либо их поиск сведен к решению нелинейных интегральных уравнений. С помощью этих подмоделей исследовано: 1) распространение интенсивных акустических волн (автомодельных, осесимметричных, плоских и одномерных), 2) сферически-симметричное ультразвуковое поле. При

некоторых условиях установлены существование и единственность решений краевых задач, описывающих эти процессы. Методами исследований являются: групповой (симметрийный) анализ дифференциальных уравнений и общие методы математической физики.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

1. Групповое свойство.

Основная группа Ли преобразований уравнения (3) определяется по стандартному алгорипму [5] и порождается операторами:

х0=др х1=дх> Х2=ду хъ = дг> К1 =1д(+х8х+уду+гдг, (4)

Я2= 1д1+(2р-\)др, 2Х =уд- гду, %2 = гд- хдЕ, 2ъ=хд-удх.

Симметрийные свойства (4) позволяют получить формулу, производства новых решения уравнения (3). Пусть р = д (?, х) - решение уравнения (3). Тогда решением этого уравнения является следующая функция:

р = ь42 \^(ьгъл1 + ¿>2, ЬгВх* + Ь21 -11 + -

(5)

Здесь Ъ1, Ъ3, Ъ4 - произвольные постоянные, такие что Ь3 Ъ4 Ф 0, знак * означает транспонирование, Ь2 - произвольный постоянный вектор, а матрица В имеет вид

Г

В =

8шал

-сое вта2втаъ - БШвта2вта3+ СОБ а1 сое а3

^ соза^та^созагз

вта^т^созаз-соза^таз

со8а2соза3у

где а1, а2, а3 - произвольные постоянные.

2. Инвариантные подмодели

Инвариантные подмодели ранга 1 задаются инвариантными решениями ранга 1 уравнения (3). Действие группы внутренних автоморфизмов основной алгебры Ли (4) уравнения (3) на эту алгебру разбивает ее на непересекающиеся классы подобных подалгебр. Выбор простейшего представителя в каждом классе дает оптимальную систему неподобных подалгебр основной алгебры Ли этого уравнения. Чтобы получить все не связанные точечными преобразованиями инвариантные решения ранга 1 уравнения

(3), строятся оптимальные системы трехмерных и четырехмерных подалгебр алгебры Ли с базисом (4). Каждой подалгебре этой оптимальной системы соответствует подгруппа основной группы уравнения (3), порожденная этой подалгеброй. Применение критерия инвариантности функции относительно группы Ли преобразований [5] дает универсальный инвариант каждой подгруппы оптимальной системы подгрупп в пространстве Я5 (?, х, р). Так как стационарное решение уравнения (3) является произвольной гармонической функцией, то нетривиальными инвариантными решениями этого уравнения являются нестационарные решения, т. е. решения, инвариантные относительно подгрупп, для которых его алгебра Ли не содержат оператор Х0.

Оптимальная система не содержащих оператор Х0 трехпараметричес-ких и четырехпараметрических подгрупп основной группы уравнения (3) и универсальные инварианты этих подгрупп приведены в таблицах 1 и 2,

где = 1, 2,..., 8) - произвольные постоянные,

г = У!х2+У2, <Р = апЛап^, 1*1 = ^ч-^+г2.

Таблица 1.

ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ 9Ъл

к Базис подалгебры Универсальный инвариант

1. ъ «2 2з п.-1, (2р - 1) г -2 2 2

2. | + 2.3 «2 Хз г ехр (|1 ф), (2р - 1) г -2 ехр (2| ф)

3. + |з «2 2з + |2 «2 Хз ¡г2^-1 ехр ф), (2р - 1) г-21 ехр (-2| ф)

4. Хо + «1 — «2 |Хо + 2з Хз г ехр (|4 Ф-1), (2р- 1) ехр (2 (г-|ф))

5. Хо + Хз «1 2з (2-г) г-1 , р

6. Хо + 2з «1 — «2 Хз фЧ (2р-1) г 2

7. X + |Хз Хз — «2 Х2 г ехр (|5 х — 2), (2р-1) ехр (2 х—2 ))

8. Х1 Х2 «2 2, (2р-1) г -2

9. «1 Хз «2 ух-1, (2р-1) г -1 х1

10 «1 + |з «2 Х1 Х2 г2 -1з—1, (2р-1) 2 -21з

11. Хо + «1 — «2 Х1 Х2 2 ехр (— г ), (2р-1) ехр (2г )

12. Х + |б X Хо + Х2 Хз у-1 - |б х, р

13. Х + |5 Хз Хо + Хз «1 ^ - t - |5 х) у—', р

14. Х1 Х2 Хз г, р

15. 21 22 2з г, х, р

Таблица 2.

ЧЕТЫРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ вАк

к Базис подалгебры Универсальный инвариант

1 гз «2 Хз (2р-1)г2г2

2 Х1 Х2 Хз «2 (2р-1)г "2

3 Х1 + У 5 Хз Х2 «1 «2 (2р-1)г2 (г - у5 х)2

4 Х2 + У 6 Х1 Хо + Х| «1 Хз Р

5 Ъ + Уз «2 Х1 Х2 Хз Уз = -1: т * Уз # -1: (2р-1)! ^

6 Хо + «1 — «2 Х1 Х2 Хз (2р - 1) ехр (2!)

7 «1 + Уз «2 г1 г2 гз t |х^и, (2р-1) |х|

8 «2 г1 г2 гз |х|, (2р-1)! "2

9 Хо + Ъ - Я2

|х|, ехр (- /), (2р-1) ехр ( 2!)

г

г

Таблицы 1 и 2 позволяют получить все не связанные точечными преобразованиями нестационарные инвариантные решения ранга 1 уравнения (3). Входящие в последующие формулы величины

ск (к = \, 2, ..., 17), рп (« = 0, 1, 2, ..., 5), ¿о> *о> Уо' 2о, го=^1хо+Уо, ^0 = агс1ап—

\хо\~^хо + Уо +2о

суть произвольные вещественные постоянные.

2.1. Инвариантные подмодели ранга 1

Нестационарные инвариантные подмодели ранга 1 определяются инвариантными Н - решениями, где

Н е{*3Л (к = 1 2 ..., 14), вАм (т = 7, 8 9)}.

Рассмотрим решения, инвариантные относительно подгрупп в31, в32,

^3.3, $38 $48 $4.9.

Инвариантное в31 - решение

Это решение описывает осесимметричное ультразвуковое поле, является автомодельным и имеет вид

= t2z 2qU) + -, 4 = rz \ v У 2

(6)

(М

Функция q (£) является решением следующего интегрального уравнения:

{ '

3;

£

Ч0

(7)

где

4 = W, (т74+2т72-1)-,Г('?2+з)[2т72+1 + Лг

В{4, т,) = 12(t72 +\){ti(ti2 + з)-ф2 +3)).

Наличие произвольных постоянных в интегральном уравнении (7) позволяет использовать решение (6) для решения краевых задач. В частности, это решение описывает распространение интенсивных акустических волн, для которых давление и его производная в направлении оси 02 заданы в начальный момент времени t = ^ > 0 на окружности

г = r>0, z = z Ф 0: о ' о

(8)

В этом случае c2, c3 определяются по формулам: (\ |2

_ J_ о

с3 _ iJl

^(|*o|2+2zO)a +(4го -|хО|2)(2^О -1)

(9)

z0 по Р\

Решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям (8), для которого величина t 2 r 2 (2p (t, x) -1) постоянна на поверхности каждого кругового конуса х2 + y 2 = c 2 z 2 (c = const ф 0) с удаленной вершиной существует и единственно в окрестности окружности r = r0 > 0, z = z0 ф 0. Это решение определяется формулами (6), (7), (9).

Применение этого решения состоит в следующем:

Пусть сингулярный точечный источник (например, точечный взрыв), расположенный в точке (0, 0, 0), инициирует в пространстве ультразвуковое поле такое, что в каждой точке поверхности каждого кругового конуса

х2 + y 2 = c 2 z 2 (c = const Ф 0)

с удаленной вершиной акустическое давление определяется по закону

р = к— + — (к = const) г2 2 К

Если на окружности г = rQ > 0, z — zQ Ф 0 в момент времени t0 > 0 измерить акустическое давление и скорость его изменения в направлении оси Oz, то в окрестности этой окружности акустическое давление однозначно определяется по формулам (6), (7), (9). Подмодель, определяемую этим решением, можно назвать «коническим ультразвуковым полем».

Инвариантное вЪ22 - решение

Это решение описывает плоское ультразвуковое поле и имеет вид

р = t2 ехр(-2/^)q (£) + ^, = г ехр

(10)

для

Функция q (£) является решением следующих интегральных уравнений: для ¡л0 = 0:

С JuiJi

CgSin

И0 = 0:

■ с. +с.

lnr+ 12^ т]Ъ In

WWn

г

(11)

к

+c?cos

2^1

J fhi

4 ^¿+3 ,

sin

с

92(T7)/77

(12)

где

£0=r0exP(-^0).

В окрестности точки (?0, х0), (х0 = (х0, у0) ф (0, 0)) существует единственное решение уравнения (3), для которого в точке х0 = (х0, у0) ф (0, 0) в начальный момент времени t = ^ > 0 заданы акустическое давление и его производная в радиальном направлении:

Рт

(13)

Для этого решения величина Г2 —1) постоянна на

каждой логарифмической спирали г ехр^-//^^ = с (с=соп5&0). Это решение определяется формулами (10) - (12), в которых ск {к=А, 5, 6, 7) таковы:

с4 -io

Ро ~\~roPi hl'o ]' с5 = <о\Pv

У

.-2 и,2+1 с6 = Ч г0 еХР

V -¿У

вш

V V

2 ,

Я

-(1пг0-^0)

+

щ

сое

2М1 ,2 ,

к

УУ

^ 2 ,

+ —-сое

2/1,

2ц

2

М +

\Л

уу

1А

С1 = 'оЧ д +1 ехР

2/^р

V -¿У

вт

А

2/^

2

сое

2^

(14)

+

-(1пг0-^0)

уу

БШ

2/^

-(1пг0-^0)

Применение этого решения состоит в следующем: Пусть задано плоское ультразвуковое поле такое, что в каждой точке логарифмической спирали г ехр ц^р^ = с (с=соп$1>0) акустическое давление определяется по закону

р = Ы2 ехр (-2+ — {к = сот.

Если в точке х0 = (х0, _у0) Ф (0, 0) в момент времени t0 > 0 измерить акустическое давление и его производную в радиальном направлении, то в окрестности точки х0 акустическое давление однозначно определяются по формулам (10) - (12), (14). Подмодель, определяемую этим решением, можно назвать «спиральным ультразвуковым полем».

Инвариантное въ,3 - решение

Это решение описывает нелинейные и дифракционные эффекты в сфокусированном одномерном ультразвуковом пучке волн. Оно имеет вид

Р = г2*ы+ ^ = р(-//24 (15)

1. Пусть ц2 = 0. В этом случае при /л3 = -1 функция q (£) неявно определяется квадратурой

Ч{? Я*

■са±

2*

Л

(16)

Интеграл в левой части (16) элементарными преобразованиями [6] сводится к линейной комбинации эллиптических интегралов и интегралов, выражаемых через элементарные функции.

При /л3 Ф -1 функция q (£) является решением интегрального уравнения:

Му

2-+1 €

<5 -f г"^"1

(17)

Решение (15), (17) можно использовать для описания распространения сфокусированного пучка интенсивных одномерных ультразвуковых волн, инициированных акустическим давлением и скоростью его изменения, заданных в начальный момент времени t = ^ > 0 на окружности г = г0 > 0:

др ы

р(к> *) = Р0> -¿('о* го) = Ру

(18)

В окрестности окружности r = r0 > 0 существует единственное решение уравнения (3), удовлетворяющее условию (18), для которого величина г 2fls(2p(t, jc) -l) постоянна вдоль каждой траектории t=crfl5+1(c = const).

Это решение определяется формулами (15) и (17), в которых c10 и еп задаются формулами

сю = ci 1 (С"з +111 r0 ~111 'о ) +

си ~ го Ръ

Ы-1)

(//3+1)

+1

Ро-

2/i3

+1

1 «3+1

^3+1

Pq-

(//3+1)

(19)

\ л

-2/J.

2. Пусть ц2 ф 0. В этом случае функция ) является решением интегрального уравнения:

* = ■-"V":-Т21' Ь = 2 , л2» = Vo * exp(-/u2f,).

(20)

В окрестности точки (дсо=(;со'существу-

ет решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям

Единственность этого решения обеспечивается условием постоянства величины (2p{t, jc)-l)r"2№exp(-2^2p) вдоль каждой траектории

t=(с = const > О).

Это решение определяется формулами (15) и (20), в которых c 12 и c13 определяются формулами

с12 =v4cos(¿>ln^0)+5sin(¿>ln^0), c13=8cos(éln ) - A sin

(Ып£0), (21)

где А=Ь 140

aqQ

Ч+1

ъ% 2ц0

+ 1

"£ого 14 Ра

с

Яг

+1

ехр(-2 цгср^

2цг

Применение этого решения состоит в следующем: Пусть задан сфокусированный пучок ультразвуковых волн такой, что в каждый фиксированный момент времени t в каждой точке траектории +1 / \

t = сг ехр I ц^ф I (с=сопз1:>0)

акустическое давление определяется по закону р = кг2^ ехр^2/и2<р^+ (к = сопя^.

Если в момент времени ^ > 0 измерить в точке х0 ф (0, 0) акустическое давление и скорость его изменения, то в окрестности точки (Х0, х0) акустическое давление однозначно определяются по формулам (15), (17), (19) - (21). Подмодель, определяемая этим решением, характеризуется нетривиальной зависимостью акустического давления от времени.

Инвариантное въ,8 - решение

Это решение описывает нелинейные и дифракционные эффекты в сфокусированном одномерном ультразвуковом пучке волн, распространяющихся вдоль оси 02. Оно определяется по формуле

Л ' - ^

1 2

Р

с14 +

/

где

\

0; с,

15

(22)

с14 ± ^ ; 0; С15

физико-математические науки

Подмодели трехмерной модели вестервельта при отсутствии диссипации

- эллиптическая функция Вейерштрасса [6] переменной антами g2 = 0 и g3 = с15.

При с15 = 0 решение (22) имеет вид

ч-2

с14 +

Гб

1

+ -

с инвари-

(23)

Решение (23) имеет физический смысл в каждой точке толь-

ко в течение ограниченного периода времени, а именно для

-2

* < * = 2 *

При с15 ф 0 акустическое давление р ¿) в каждый фиксированный момент времени является периодической функцией второго порядка [6] переменной 2 с двумя периодами

13 1

2(О1=26С15 3(к(к)-х(к')), 2со2 = 26С15 3(к(к)+1к(к')) (*'2=-1)

К

<1(р

где

К

«-

- к2 вшр^2

полный эллиптический интеграл первого рода [6] с модулем

к = -у] 2 - л/з 2

и дополнительным модулем

k' = -^¡2 + S 2 .

Акустическое давление имеет полюсы второго порядка в точках

2т,п = 2та\ + 1п(°2

(т и п - произвольные целые числа). Каждый параллелограмм периодов содержит только один полюс.

Подмодель, определяемая этим решением, описывает «пульсирующий ультразвуковой пучок», инициированный сингулярными направленными точечными источниками

Инвариантное в4.9 - решение Это решение имеет вид

р = *2д(|*|) + -, х = у, г").

(24)

Функция д(£) является решением уравнения Эмдена & + 2д' + 4д2=0. (25)

Это уравнение имеет частное решение = Этому

решению соответствует акустическое давление

Ii1 1

P = + (26)

|*|2 2

описывающее сферически-симметричное ультразвуковое поле с особенностью в точке x = 0.

Уравнение (25) также имеет решение, для которого, полученное по формуле (24) акустическое давление принимает конечное значение в точке x = 0. А именно: из уравнения (25) следует, что в окрестности точки x = 0 существует единственное решение уравнения (3), такое, что для каждого значения времени:

t \ 1 I |2 Cp(t,

lim p{t, xj = -, lim |*| —д, | = 0. |*|-»+о 1 |*|->+o ölxl

В этом случае акустическое давление для всех t > 0 удовлетворяет условию p (t, x) > 1/2 и на некоторой сфере с центром в точке x=0 акустическое давление p (t, x) = 1/2. Подмодель, определяемая этим решением, описывает сферически-симметричное ультразвуковое поле, для которого скорость изменения акустического давления имеет особенность в центре, хотя акустическое давление не имеет особенности.

Инвариантное в4.9 - решение

Это решение имеет вид

/? = tf(£)exp(-2i) + |, £ = |*|exp(-i), x = [x,y,z^ (27) где q(£) - решение интегрального уравнения

\

д(4)+д2^) = 4\6+С11ЫЫ 12ЬД+7 г^д^ц £0=|*0|ехр(-*0)

* )

(28)

Решение (27), (28) можно использовать для описания сферически-симметричного ультразвукового поля, инициированного в начальный момент времени ^ = 4 > 0 в фиксированной точке х = х0 Ф 0 акустическим давлением и его радиальной производной:

р(<о,х0) = р0, ^г,*о) = р5. (29)

В окрестности точки (t0, x0) существует единственное решение уравнения (3), удовлетворяющее условию (29), для которого величина (2p(t, x)-1) exp(2t) постоянна вдоль каждой траектории t = ln |x| + c (c = const). Это решение определяется формулами (27) и (28), в которых ci6 и c17 задаются формулами

лГ

\ /у

Р<г \) [to-1] exP(2ío) + l]exp(-2í0)+c43(í0-ln|x0|),

(30)

C17 ~ *0

( 1 1

[Pq- 2J(2(2Po~ l)exp(2í0)-3)+|x0| p5((2p0-l)exp(-2í0) +1))exp(-2í0).

Применение этого решения состоит в следующем: Пусть задано сферически-симметричное ультразвуковое поле такое, что в каждый фиксированный момент времени t в каждой точке траектории t = ln |х| + c (c = const) акустическое давление определяется по закону p = к exp (-2t)+1/2 (k = const). Если в момент времени t0 > 0 измерить в точке х0 Ф (0, 0, 0) акустическое давление и его радиальную производную, то в окрестности точки (t0, х0) акустическое давление однозначно определяется по формулам (27), (28), (30). Подмодель, определяемая этим решением, описывает сферически-симметричное ультразвуковое поле, для которого акустическое давление нетривиально зависит от времени.

2.2. Семейства решений

Применение формулы производства решений (5) к решениям, определяемых формулами (6), (7), (10) (10) - (12), (14) - (17), (20), (22) -(24), (26) - (28) дает содержащее произвольные постоянные семейство решений нелинейного уравнения (3). Эти решения по формулам (2) дают семейство решений уравнения (1). Наличие произвольных постоянных открывает новые возможности для изучения других имеющих физический смысл краевых задач для этих уравнений в дополнение к уже рассмотренным в этой статье задачам.

ВЫВОДЫ

Для трехмерной модели Вестервельта нелинейной гидроакустики при отсутствии диссипации получен общий вид всех инвариантных подмоделей ранга 1. Исследованы некоторые подмодели, описываемые инвариантными решениями ранга 1, которые найдены либо явно, либо их поиск сводится к решению нелинейных интегральных уравнений. С помощью этих подмоделей исследованы различные волновые процессы в нестационарных ультразвуковых полях. При некоторых условиях установлены существование и единственность решений краевых задач, описывающих эти волновые процессы. Среди исследованных подмоделей нужно отметить следующие: подмодель, описывающая «коническое ультразвуковое поле»; подмодель, описывающая

«спиральное ультразвуковое поле»; подмодель, описывающая «пульсирующий ультразвуковой пучок», инициированный сингулярными направленными источниками; подмодель, описывающая сферически-симметричное ультразвуковое поле, для которого скорость изменения акустического давления имеет особенность в центре, хотя акустическое давление особенности не имеет. Применение полученной формулы производства решений к полученным решениям дает содержащее произвольные постоянные семейство решений нелинейного уравнения (3). Наличие произвольных постоянных открывает новые возможности для изучения других имеющих физический смысл краевых задач для этих уравнений в дополнение к уже рассмотренным в этой статье задачам.

Исследование выполнено при частичной финансовой поддержке Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета и РФФИ в рамках научного проекта № 16-01-00446 а.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Westervelt P. Parametric acoustic array. J. Acoustic Soc. Am., 1963. V. 35(4). P. 535-537.

2. Novikov B.K., Rudenko V.I., Timoshenko V.I. Nonlinear underwater acoustics. New York, AlP-Press. 1987. 262 p.

3. Voronin V.A., Tarasov S.P., Timoshenko V.I . Nonlinear acoustics. New York, AlPPress. 1995. 314 p.

4. Чиркунов Ю.А., Пикмуллина Е.О. Точные решения нелинейных уравнений мелкой воды над прямолинейным дном. Ж.: Наука. Инновации. Технологии. 2017. Вып. 2. С. 73-86.

5. Чиркунов Ю.А., Хабиров С.В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды. Новосибирск. НГТУ. 2012. 659 c.

6. Whittaker E.T., Watson G.N. A course of modern analysis. V. 2. Cambridge: Univ. Press. 1962. 515 p.

REFERENCES

1. Westervelt P. Parametric acoustic array. J. Acoustic Soc. Am., 1963. V. 35(4). P. 535-537.

2. Novikov B.K., Rudenko V.I., Timoshenko V.I. Nonlinear underwater acoustics. AlP-Press, New York, 1987. 262 p.

3. Voronin V.A., Tarasov S.P., Timoshenko V.I. Nonlinear acoustics. AlP-Press, New York, 1995. 314 p.

4. Chirkunov Yu.A., Pikmullina E.O. Tochnye reshenia nelineynyh uravneniy melkoy vody nad priamolineynym dnom (Exact solutions of nonlinear shallow water equations over square bottom). J.: Science. Innovations. Technologies. 2017. No 2. P. 73-86.

5. Yu. A. Chirkunov, S. V. Khabirov. Elementy simmetriynogo analiza differentzialjnyh uravneniy mehaniki sploshnoi sredy (Elements of symmetry analysis of differential equations of continuum mechanics). Novosibirsk: NGTU. 2012. 659 p.

6. Whittaker E.T., Watson G.N. A course of modern analysis. V. 2. Cambridge: Univ. Press. 1962. 515 p.