CC BY
19Подмодели специально сжимаемой жидкости на двумерных подалгебрах
В.Г. Волков (theorphys@bspu.ru)
Башкирский государственный педагогический университет
В работе рассмотрены двумерные подалгебры из оптимальной системы алгебры Ли Z13, допускаемой уравнениями газовой динамики. Для них вычислены инварианты и построены инвариантные подмодели, которые приведены к одному из двух канонических типов: эволюционному или стационарному.
1. Введение
Дифференциальные уравнения газовой динамики (УГД)
D = д t + u-V,
D р + р divu=0, (1.1)
pD u +Vp = 0, DS=0,
где u - скорость, p - плотность, p - давление, S - энтропия, с уравнением состояния p = f (p, S) допускают 11-ти параметрическую алгебру Ли L11 линейных операторов. В декартовой системе координат (D) базис L11 имеет вид [1, см. также 2]:
X = дх, X2 = д,, X3 = д г, X4 = td х +д и, X5 = td у + dv, X6 = td z + дш, Xw = д г,
X7 = -гдy + Удz + Шди +идш , X8 = гдх - хдz + шди - идш , X9 = хдy - Удх + иди - Uи ,
X11 = Ю t + хд х + Уду + гд z.
Рассматривается уравнение состояния вида:
p = ±pY + F (S), (1.2)
где +p при y> 0, - p при y< 0, у- параметр, F(S)- произвольная функция энтропии.
УГД с уравнением состояния (1.2) допускают дополнительные операторы:
- растяжение
X12 = ^t - иди - оди - шдш - (Г- 2)Рдр -Ypдp ,
- перенос
X13 = дp, где Y = 2y(y - 1)-1, Y ^ 1.
Вместе с L11 они образуют алгебру Ли L13.
В цилиндрических координатах (С) х=(х,г,O),u=(U,V,W), y = rcosO, z = rsin O, u=U, и =Vcos(O )-Wsin(O), ш =Vsin(O )-Wcos(O) базис алгебры L13 таков [3]:
X =дх, X2 = cos Одr - sin 6Г-1(д,+ WдV - VдW), X4 = tдх + ди, X 3 = sin^9 r + cos Or ~1(дв + WдV - VдW ), X11 = tд t + хд х + гд r, X5 = cos 0^дr +дV) - sin Or ~^[д0 + WдV - (V - rt- )дW ], X6 = sin 0^дr + дV) + cos Or ^[д0 + WдV - (V - rt-l)дW ], X7 =д0,
X8 = sinO(rдх - хдr + VдU - иду) + ^0Щди - WW - хг- (д0 + WдV - VдW)],
-1.
X9 =-cosO(rдх - хдr + VдU - иду) + sinO^ - идW - хГ1 (д0+ WдV - VдW)], X10 =дt
X12 = tдt - иди - Vдv - Wдw + (Y- 2)рдр - Ypдp, X13 = дp.
Для алгебры Ь13 перечислены все подалгебры [4], причем при у = —1,"~ подалгебр
больше чем для произвольного у. Рассмотрим двумерные неподобные подалгебры из
оптимальной системы для Ь13, появляющиеся только при у = —1,-3-:
2.1'. Х1+Х2, аХ4+Х13, а(у —1)=0; 2.2'. Х12, аХ4+Х13, а * 0; 2.3'. Х1+Х12, аХ4+ЬХ5+Х13; 2.4'. -Х11+Х12, Х1+аХ5+Х13, а * 0; 2.1''. аХ1+Х12, Х10+Х13, а * 0; 2.5'. аХ7-ЬХ11+Хп, Х1+Х13, а * 0;
2.6'. аХ7+ЬХп+Х12, СХ4+Х13, с2 + (Ь +1)2 * 0 V а2 + с2 * 0, с{у — 1) = 0; (1.3) 2.7'. Х1+аХ7+Х12, ЬХ4+Х13, а * 0; 2.8'. аХ7+Х12, ЬХ4+Х13, а * 0, Ь(у — 1) = 0; 2.9'. аХ7 -(у + 1)Хп+ Х12М4+Х10+ Х13 , Ь(у — 1) = 0,у * 1; 2.2''. ЬХ1+аХ7+Х12, Х10+Х13, Ь * 0; 2.10'. аХ7+Хю-Хц +Х12, ЬХ1+Х13, Ь * 0; для подалгебр 2.1'' и 2.2'' у = — 1 ^у = 1/3, для остальных подалгебр у = 1 ^ у = — 1. Здесь параметры а и Ь задают серии неподобных подалгебр.
2. Предложение о согласовании уравнения состояния (1.2) с фиксированным уравнением состояния
Уравнение (1.2) согласуется с фиксированным уравнением состояния [5]
р = Ф(р1) + Т/ (р"1), (2.1)
при определенных значениях функций F(S), Ф(р_1), /(р1). Здесь Ф(р_1)-потенциальная компонента давления, Т/(р—) - тепловая компонента давления, р— -удельный объем. Уравнение (2.1) описывает поведение реальных сред, которые по своим свойствам приближаются к твердым или жидким телам. Это возможно при больших давлениях (порядка 109 кг/см2) и высоких температурах (порядка 106 К). Найдем значения F(S), /(р—), Ф(р—) .
Сравниваяр в (1.2), (2.1) и исключая Т по первому началу термодинамики ( р, S -независимые параметры) получаем тождество:
±р+ F(S) = Ф(р— ) + — — Г я р—1)/(р—) (2.2)
где О^ - определяется дополнительным опытом. Дифференцируем (2.2) дважды по S, получим:
0= — — F' 'ss V/(V) + О'^ /(V), (2.3)
где V = р— .
10. Пусть FSS * 0 , тогда:
F' О"
S =—V/ (V) + —^ / (V). (2.4)
SS SS
V г
о
о'
Еще раз дифференцируем по 5, получим: -— = -— /(V). Если -— ^ 0, то,
Р II РII Р и
V 4 V 4 1 55
разделяя переменные, имеемI=const=I и после интегрирования, подставляем в (2.4).
С'
Получается противоречие с тем, что р и 5- независимые параметры. Значит-— = 0,
р "
55
т. е.
С" = к Р''
55 0 55
Р'55 = К, (2.5)
а из (2.4) следует
Интегрирование (2.5) при к1 ^ 0 и подстановка в (2.2) дает:
5
р (5 ) = к1к 2 + к3;
кк
Ф(рч) = ±рг + к3 - к4к1
к0 -Р~
I (Р ) = -Рк-т, (2.6)
Рк0 - 1
5
0( 5) = к0к1к2 ^ + к4 5 + к5,
где к- постоянные интегрирования.
2°. Пусть Р55=0 (равносильно к1=0). Тогда Р(5)=к15+к0 и из (2.3) получим (при к
С "55 ^ 0) —^— = I(V) = const=/0. Поэтому из (2.2) следует:
С'' 55
Ф(р-!) = кр-70 + к0 -к2/0 ±р,
I (Р-1) = Ю, (2.7)
к
С (5) = 152 + СД 5) + С0, 210
где С0, G1=const.
3°. Пусть Р55=0, С55=0. Из (2.4) следует Р5=0, Р(5)=Р0. Из (2.2) получим:
Ф(р->) = ±р^+ р - (р-1),
С( 5) = С( 5) + С0, (2.8)
где Р0, С0, С1- постоянные интегрирования.
Таким образом, уравнение состояния (1.2) согласуется с (2.1), если функции Р(5), I(р-1), Ф(р^) представляются в одном из видов: (2.6), (2.7), (2.8).
3. Вычисление инвариантов
Для построения подмодели специально сжимаемой жидкости необходимо вычислить инварианты подалгебры [2, см. также 1].
Алгоритм вычисления инвариантов заключается в следующем:
1. Подбираем систему координат, в которой будут вычислены инварианты. Если подалгебра содержит оператор вращения Х7, то удобно выбрать цилиндрические координаты, если оператора вращения нет, то удобны декартовы координаты.
2. Выписываем операторы подалгебры в удобной системе координат из списка (1.3).
3. Вводим функцию h, зависящую от 9 переменных (А, х, и, р, p) в качестве искомых инвариантов.
4. Функция h является инвариантом подалгебры L=<Y1,Y2> тогда и только тогда, когда любой оператор Y подалгебры, действуя на инвариантную функцию, зануляет ее. А именно, Y ■ h = 0, Y е L. Подействуем оператором Yl базиса подалгебры L на инвариантную функцию. В результате получаем линейное однородное уравнение с частными производными 1-го порядка. Для этого уравнения записываем характеристическое уравнение, систему обыкновенных дифференциальных уравнений [6]. Предположим, что находится явно полный набор функционально независимых инвариантов (интегралов) Iе (А,х,и, р,p ), к=1..8.
5. Записываем второй оператор базиса через полученные инварианты 1-го порядка по правилу:
г\тк
^ = ?д. дхг(3-1)
6. Подействуем оставшимся оператором Y2 на инвариантную функцию Получаем линейное однородное уравнение с частными производными 1-го порядка. Записываем для него уравнение характеристик. Находим полный набор инвариантов.
7. Переходим к первоначальным переменным.
Полученные инварианты сведены в таблицу (см. Приложение). Пример:
В качестве примера рассмотрим подалгебру 2.7' из (1.3).
Yl=Xl+aX7+Xl2= адв + tд{ - иди - Гду - Ждж +рдр- рдр;
Y2=ЪXA+Xlз=Ъt д х + Ъди +д р;
Введем инвариантную функцию , р, р ), х = (х, г, в), и=(иу,Ж), удовлетворяющую
уравнениям Y1h=0, Y2h=0. Второе уравнение имеет вид: Ъ^х+Ъ^+^=0.
йх йи йр йг йв ё¥ йЖ йр й
Запишем уравнение характеристик: — =-= — = — = — =-=-= — = — .
Ы Ъ 1000000
Находим интегралы, которые образуют полный набор функционально независимых
инвариантов: t; р; Ж; V; в; г; и1=и~х^1; р1=р-х(ЪА)л. Записав 2-е уравнение через
полученные инварианты по правилу (3.1) получим Мх=0. Отсюда следует
h=h1(t,г,в ,V, Ж, р, р1,и1). Первое уравнение в новых инвариантах для известных
уравнений переменных имеет вид:
а^в - + (-и + xt+ ^ - ШШх +р/^р + (-р + х(Ы)д = 0.
Записав характеристическое уравнение и вычислив интегралы, получаем полный набор функционально независимых инвариантов, которые в первоначальных переменных имеют вид:
г, в- а 1п| А, и - х, Vt, т, pt-, pt - хЪ-. (3.2)
4. Инвариантные подмодели ранга 2
Двумерная подалгебра имеет 5 инвариантов. Если из выражений для инвариантов определяются все искомые функции, то существует инвариантное решение. Для этого эти инварианты назначаются новыми функциями от остальных инвариантов. Остальные инварианты обязательно будут функциями независимых переменных [2].
Из полученных равенств определяются все неизвестные функции. Таким образом, получается представление инвариантного решения, которое и подставляется в УГД. В результате подстановки по теореме о представлении инвариантного многообразия,
получится система уравнений, связывающая только инварианты и новые инвариантные функции. Уравнения для инвариантов называется инвариантной подмоделью.
Для рассмотренного примера запишем инвариантную подмодель. Из инвариантов (3.2) составим равенства: в- a 1п| ^ = в1, Ц - x = Ц ( г, в1), Vt = V ( г, в1) , Wt = Ш1(г,01),
рt-1 = р1(г,в1), р1(r,в1) = pt - хЬ1. Из этих равенств определяется представление
инвариантного решения: U = (Ц + х)Г\ V = V W = W1Гl, Р = Р1t,
p = p1t+ x(bt)-1. Представление инвариантного решения для 5 можно получить из
уравнения состояния: р = ±р-1 + 5 ^ 5 = t-1 (х(Ь)-1 + 51), где 51 = р1 ± р1-1 заменяет
уравнение состояния в инвариантной подмодели. Подстановка в УГД приводит к инвариантной подмодели:
д = (^г-1 - а)дв1 + Vlд г, ДЦ = -(РЬ) 1,
А^ + рХг Р1-1 = г-1 +
+ Рщр)-1 = Wl - ^Щг-1, (4.1)
Ал + р (Vlr + г-1 Wщ) = -Р1 (2+V/-1), Б151 =-иЬ-\
Любую инвариантную подмодель можно привести выбором инвариантов к одному из 2-х канонических типов [7]:
- эволюционному (время t - инвариант подалгебры)
Б = д , + щд,,
Би2 + ьр;1ри = ^
БО2 = a2,
Бш2 = а3, (4.2)
Бр1 + р1и2, = а 4 ,
Б51 = а5, Ь>0.
- стационарному
Б = и2д х, + и2д у
Би2 + ^Рх'Рц = ^ Би2 + Ь2Р1-1 Р1 у, = ^
Бш2 = а3, (4.3)
Бр1 +Р(и2 Х2 +и2 у1) = а4 ,
Б51 = а5, Ь>0, Ь2>0.
Канонические типы инвариантных подмоделей для подалгебр (1.3) сведены в таблицу (см. Приложение), где:
- 1 -й столбец - номер подалгебры,
- 2-й столбец - основная система координат в которой рассматриваются УГД,
- 3-й столбец - канонический тип: 5- стационарный, Е- эволюционный,
- в 4-м столбце приведены инварианты,
- в 5-м столбце записаны коэффициенты канонического типа.
Приведем (4.1) к стационарному каноническому типу заменой г = х1,в -а 1п= у1, и2 = Ух, и2 = (х1)~1Ж1, ш2 = и1. При этом получим следующие
коэффициенты: а1 = и2 + х1(и2 + а), а2 = (и2 - а)(1 - 2и2(х1)-1), а3 = 1 - (р1Ъ)
а4 = -р1(и2х-1 + 2),а5 = (1 - ш2)Ъ- + Б1, Ъ1 = 1, Ъ2 = х-2.
Пример приведения подалгебры 2.9' к каноническому типу.
Операторы подалгебры таковы:
= аХ7 — 2 Хц + X12, 72 = ЪХ 4 + X10 + X12, Ъ(у) = 0,7^-1.
Ъ а
Инварианты из независимых переменных имеют вид: х1 = (х - 12)гу1 = в +—1п| г|.
Представление инвариантного решения записывается через новые инвариантные
1 1 -1 1 1 функции: V = У1г2, Ж = Ж1г2, р = р1г 2, р = р1г2, и = и1г2 + Ъ, где У1, Ж1, р1, р1, и1
функции х1 , у1.
Из уравнения состояния определяется представление решения для энтропии
1
8 = 81г2 +где 81 = р1 ± р1-1.
Подстановка в УГД приводит к следующей инвариантной подмодели:
Д = (и -х^д+ (Ж1 + а2^л,
д1и1 +р1-1 =-Ъ - 2-1V1U1,
а V2
ДV + р-1 (Р1У1 2-Р1х1 х1) = Ж12 -Р1 (2р)-1 - (4.4)
АЖ +р1-1 Р1У1 = Ж^,
Др -VlXlх + Vlylа(2г)-1 + Жл) = -3^А2-1,
Д8 =-1 - -
Введем новые инвариантные скорости по выражению для Д\: и1 - х1У1 = и2,
а 2 2 2
+ Ж1 = и2, Ж1--V1 - хЩи1 — = ш2 , с которыми получаем замену: х2 = х1 - ау1,
2 а а
а
у2 = у1 + ^1пх^, и3 = 2х1и2 -аи2, и3 = (2х1)-1 аи2 +и2. Подставив эти выражения в (4.4),
получим систему (4.3), где:
а1 =-2х2Ъ - V1(х2и1 + 2х2(и1 - х^) -аЖ1 + V1 х2(р1)-1) + (2х2 -а)(Ж12 -р1(2р1)-1 -
2 ^ + 2(и1 - х^)2,
а2 = (а(2х2)-1 + 1)(Ж2 - р1(2р1)-1 - 2-1V12) - аЪ(2х2)-1 - aVlU1(4х2)-1 +
а
(2 х2)-1 а(и1 - х^ - - х2-2 + Ж^,
а3 = Ж1У1 - 2а- (Ж12 - р1 (2р)-1 - 2-1 V12) + 2х2а-1 (-Ъ - 2'lVlU1) + 2а- (и1 - х^ Щ,
5 а 2
а4 =--р^, а5 =-1 -2-1V1S1, Ъ = (2х222-1 а2)2 +1 + 4х22, Ъ2 = — +1,
р1 =±А-1 +81.
5. Инвариантная подмодель ранга 3
Для подалгебры 2.1'' из оптимальной системы (1.3) при а=0 выражения для инвариантов определяют скорость и давление, но невозможно определить плотность. В этом случае можно строить регулярную частично инвариантную подмодель.
Дадим определение регулярным частично инвариантным решениям в общем случае.
Пусть для подалгебры Н имеется /1,.., /к — инвариантов из независимых переменных и J1v., Jl — инвариантов из зависимых и независимых переменных. Если из инвариантов J1,.., Jl определяются все зависимые переменные, то можно строить инвариантную подмодель ранга к, назначая инварианты Jj функциями от (11,.., /к ), т.е.
J] = J] (/1,.., 1к ), ] = 1,.., I. (5.1)
Если же невозможно определить все зависимые переменные из инвариантов J,
то (5.1) дает представление регулярного частично инвариантного решения ранга к, дефекта а, который равен числу неопределяемых зависимых переменных, т.е. а = т -1, где т — общее число зависимых переменных.
Для подалгебры 2.1'' ранг равен 3, дефект равен 1.
Рассмотрим подробнее подалгебру 2.1''. Операторы базиса таковы:
7=д , + д ,,
72 = ^, - иди -иди -®дш + 3Рдр+ Рд р .
Инварианты из независимых переменных: х, у, г. Из остальных инвариантов, указанных в таблице, получаем представление регулярного частично инвариантного решения
1
и= р 3 и1(х,у,г),р = г + р3рг(х,у,г),р = р(г,х,у,г). (5.2)
Подстановка в УГД дает:
1 -1 2 1 -1 -3и1(р +р 3 и1 .ур)+ р3[( и1 -V)и1+ Уд] + 3р 3р .Ур = 0, (5.3)
2 -3 2
р,, + 3 р 3 и1. Vр + р3divul=0. (5.4)
1
Из уравнения состояния получим представление решения для энтропии £ = г + р35^ где 51 = р1 -1.
Подстановка в Б5=0 дает:
1 -2 -1
351 р 3(р, +р 3 и1. Ур) + и1 - +1 = 0. (5.5)
Из (5.4) и (5.5) следует:
(и1 - Ур)р-1 =-9 5-1(1 + и1 - У51) + 3^иь (5.6)
Тогда из (5.5) можно найти р1:
1 1 1 р
Заменяя р1 на 51+1 и подставляя (5.7), (5.6) в (5.3) получим:
-■ Ур = [-^ и1(1+ и1. У51) - У51 - (и1. V) и1]3(51+1)-1 = А(х). (5.8)
р 51 Подстановкой (5.8) в (5.6) исключаем р :
—р, = 3р 3[-divul+251-1(и1 • У51 +1)] = р 3В(х). (5.7)
^2 (5,1+1)"1-3)( Ul +1 НЗД+^Щ .V Хй+Г^2 )=0. Приравнивая смешанные производные функции 1пр из (5.7), (5.8), получим
VB = 3 В A, rotA=0. Из последнего равенства следует, что A = V р и
1
—<р
V(31nВ-р) = 0 ^ 31пВ-р = 0 ^В = е3 . Из (5.8) следует р = Ъ{Г)ер. Тогда из (5.5)
2
получим Ъ = Ъ3.
I 3
Интегрирование дает Ъ = (3) , где постоянная интегрирования сделана нулем с
помощью переносов по I и по р, допускаемых УГД.
Итак, определяется плотность в виде р = tрДх,у,г). Тогда представление (5.2) можно записать в виде: u = t"^(х,у,г),р = ^(х,у,г), т.е. является представлением инвариантного решения для одномерной подалгебры 72.
Таким образом, происходит редукция частично инвариантного решения к инвариантному:
(щ -V +р-1 • р' = Ul,
Ul •Vр1 + р divu1=-3 р, (5.9)
щ ^^ = - 81,
1
где = рх ±рр, 8 = tS1.
Автор выражает искреннюю благодарность профессору Хабирову С. В. за постановку задачи и высококвалифицированные консультации по вопросам, связанным с построением подмоделей специально сжимаемой жидкости.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. -Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. - 240с.
[2] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: - Наука, 1978. - 400 с.
[3] Хабиров С.В. Инвариантные решения ранга 1 в газовой динамике // Труды международной конференции "Моделирование, вычисление, проектирование в условиях неопределенности - 2000". - Уфа: УГАТУ, 2000. - С. 104-115
[4] Хабиров С.В. Оптимальные системы подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики. - Уфа: Институт механики УНЦ РАН, 1998. - 33 с.
[5] Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. - М.: ГИТТЛ, 1955.- 804с.
[6] Гюнтер Н. М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. -Л.М.: ГТТИ, 1934. - 359с.
[7] Хабиров С.В. Приведение инвариантной подмодели газовой динамики к каноническому виду // Математические заметки. -1999. - Т.66. - вып.3. - С. 439444.
Приложение Таблица
№ С. К. Тип Инварианты: Xl,yi,U2,U2, Ш2 ,pi,Si t,s- для Е Подмодель (4.2) или (4.3) aba2,a3,a4,a5,b,bbb2
2.1' D S y, z, tu, trn, tu-x+ln\t\, pf1, tS-xa'l+a'lln\t\, a1= u2, a2= u2, a3=1-(ap1)-1, a4=-2p1, a5=S1+a1(1- ш2), b1=b2=1,
2.2' D S y, z, tu, trn, tu-x, ptA, tS-xa'1, a1= u2, a2= u2, a3=-(ap1)-1, a4=-2p1, a5=S1-a"1 ш2, b1=b2=1,
2.3' D S x-ab-1y-ln\t\, z, tu-ab-1tu-1, trn, ab'1 (tu-ab~ 1y-1)+tu-y, ptA, tS-ya_1, a1= u2+a(b2p1)'1+1, a2= U2P1, a3= ab-1( u2+1)-(bp1)-1, a4=-3p1, a5=S1-ba'2 ш 2 +au2, b=a2b'2+1, b2=1,
2.4' D E t, z'1(y-atx), z'l(u-ax-atu-s ш ), z_1((a2t2+s2) (u-ax)+atu+s ш ), z~1((a2t2+s2)ш + +s(u-ax)-atsu), p z, z-1(S-x), a1=-2(1+a2t2+s2)'1 [u2(a2t2 -st u2)+ ш2 (t u2-s)]+at(p1)-1-s/»1(p1)-1, 2 2 2 1 3 2 a2=(1+a t +s )- [2a u2-u2 a t -2as ш2 +( u2+u2)(2a2t+2su2)-
-ш2 u2+s u2 u2+ш2 u2+ s( u2) 2~]+at(p1jl-sp1(p1j\ a3=(p1)-1(p1(1+ a2t2+ats)+ (1 +a2t2+s2)-1[2 a2t2 ш2 -( ш2 -su2ft-2s u2+as2 ш2 ]+ ( u2) 2, a4=-2 p1(( ш2 -su2) (1 + a2t2+s2)-1), a5=-[ш2 (S1-s)+ u2- u2(a2t+S1s)] (1+a2t2+s2)-1, b=(1+a2t2+s2), P1= ± p1-1+S1,
2.5' C E t, 6+aln\r\, r\V a+W),r-1U, ar'l(Wa-V), pr, r\S-x), a1=-a(p1)~1(S1+(p1)~1)+ (a(a2+1))-1(w22-a2 u22+ + 2U2Ш2 ), a2=-(ß1)'1- U2(a(a2+1))-1 (a u2- ш2), a3=-2(a(a2+1))-1(u2+ ш2) (a2u2- ш2), a4=-p1(a(a2+ 1))-1(a2u2- ш2), a5=-u2, b= a2+1,
2.6' C S b rt~, 6-a(b+1)-1ln\t\, a1=( u2(2ax1-b)+ u2)(b+1)-1 + +u22x1+x1(b+a2)(b+1)-2, a2=( U2(b+1)-1+a(b+1)-2)(1-b),
i Vt^+î - b(b+1)-ixb i Wtb+T(xi)'i-a(b+1)'i, (U-xt-i) i i i tb+1, p t^ ,(S-x(ct)-i) t™, a3= m2 ((b+1)'1-1)-(pic)'1, a4=-pi(3b+2)(b+ 1)-1-piU2(xi)-1, a5=S1(b+1)'1-m2 c'1, bi= 1, b2=(xi)'2,
2.8' C S r, e-aln\t\, tV, tW(xi)-1-a, Ut-x, pt1, St-xb1, a1= u2+x1(u2+a)2, a2=(u2+a)(1-2 U2(xi)-1), a3=-(pib)'\ a4=-pi(u2(xi)-1+2), a5=-m2 b'x, b1= 1, b2=(x1)'2,
2.10' C S ret, в-at, V¿+ xi, Wet(xi)'1- a, Ue', pe\ (S-x(b)'1)et, a1=2u2+2x1(u2+a) -x1, a2=u2-a+a u2(x1)'1+ u2u2, a3=m2 -(pib)'1, a4=-pi(u2-xi)(xi)-1, a5=S1-m2 b'1, b1= 1, b2=(x1)'2,
2.1'' a Ф 0 D S x x x y, z, u e a , m e a , u e a , 3x x p e a , (S-t) e a, a1=a"1 u2m2, a2= a-1u2m2, a3= a'\m2 2-Si(pi)-1-(pi)'2), a4=-2a-1 m2 p1, a5=-1-a1 m2 S1, bi=b2 = 1,
2.1'' a=0 D S x, y, z, i i i up3, up3, œp3, -i (p-t)pY, p =t3 pi(x,y,z), u = t x, y, z ), p=tpi(x,y,z), (5.9)
2.2'' C S x-ba'xe, r, в в в Ue a-bWea (y1a)'1, Ve a, в в We a +Uea b(y1a)'1 зв в pe a , (S-t) e a. a1 =u2( m2 -u2b(y1a)'1) (yia(b2+(yia)2)'1)-bpi(yia)~2(pi)~\ a2=(m2 -U2b(yia)'1) ((yia)2(b2+(yia)2)'1)((yi)'1(m2 - U2b(yi¿if)'1)((yia)2('b2+ (yia)2)-1)+ u2(yia)-1, a3=(m2 -U2b(yia)'1)((yia)'1-(b2+(yia)2)-\u2(3b2+(yia)2))-pi (yiapi)-1(b»2(yia)'2+1), a4=-pi u2yi-1-2pi(m2 -щЬ (yia)-1) (yia(b2+(yia)2)-1), a5 =-1 - y1a(b2+(y1a)2)-1 (m2 -U2b(yia)-1)Si, bi= b2(yia)'2+1, i b2=1, Pl=Si ± p3.
